万有引力与航天专题复习培训课件

专题： 万有引力与航天一、 开普勒行星运动定律（1） 所有的行星围绕太阳运动的轨道是_____,太阳处在____上，这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。

（2）对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的____.这就是开普勒第二定律，又称面积定律。

（3）所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值____。

这就是开普勒第三定律，又称周期定律。

若用R 表示椭圆轨道的半长轴，T 表示公转周期，则k TR =22（k 是一个与行星无关的量）。

二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与 成正比，与它们之间 成反比．2．公式：F ＝ ，其中G ＝ N·m 2/kg 2，叫引力常量． 3．适用条件：公式适用于 间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是 间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到 间的距离．【例】1、(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ） A ．太阳引力远大于月球引力 B ．太阳引力与月球引力相差不大C ．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D ．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T 。

若以R 表示月球的半径，则A.卫星运行时的向心加速度为22π4T RB.卫星运行时的线速度为T R π2C ．物体在月球表面自由下落的加速度为22π4T RD ．月球的第一宇宙速度为TR h R R 3)π2+（三、人造卫星1、三种宇宙速度 宇宙速度 数值(km/s)意 义第一宇宙速度 7.9卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）．若7.9 km/s ≤v <11.2 km/s ，物体绕 运行(环绕速度) gR RGMv ==1第二宇宙速度11.2物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s ≤v <16.7 km/s ，物体绕 运行(脱离速度) gR RGMv v 22212===第三宇 宙速度16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v ≥16.7 km/s，物体将脱离 在宇宙空间运行(逃逸速度)补充：第一宇宙速度的理解和推导1．由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要重力势能。

根据论述可推导如下： s km R GMv R v m R MmG /9.7,1212=== 或s km gR v Rv m mg /9.7,121=== 其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导，''1R g v =注意（1）三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度。

（2）第一宇宙速度既是最小发射速度，又是最大运行速度【例】1、某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的12，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 ( )A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关C .卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力2. 近地卫星 所谓近地卫星，是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径，卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。

它的运行速度为第一宇宙速度，也是卫星的最大________的速度。

3、同步卫星（1）轨道平面一定：轨道平面与 共面． （2）周期一定：与 周期相同，即T ＝24 h. （3）角速度一定：与 的角速度相同．（4）高度一定：由G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π2－R . ≈3.56×107m（5）速率一定：v ＝GMR ＋h（6）向心加速度大小一定()h R T v a n +⎪⎭⎫⎝⎛==22πω【例】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ）A ．运行速度大于7.9 km/sB ．离地面高度一定，相对地面静止C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等4、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r 的关系①由=2rMmG r v m 2得=v _____________,所以r 越大，v _______②由=2r MmGr m 2ω 得ω=_______，所以r 越大，ω_______ ③由=2r Mm G r Tm 2)2(π得T=_____，所以r 越大，T _______万有引力定律应用的基本方法：（1）把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．“万能”连等式：G Mm r 2＝ma n =m v 2r ＝mω2r ＝m (2πT)2r ＝m (2πf )2r（2）不考虑中心天体的自转。

黄金代换式：mg RGMm=2考向一：天体的质量M 、密度ρ的估算（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T ，由G Mm r 2＝m (2πT )2r ，可得天体质量为：M ＝4π2r 3GT2.该中心天体密度为：ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R3（R 为中心天体的半径）．当卫星沿中心天体表面运行时，r ＝R ，则ρ＝3πGT 2.（2）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.【例】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约为（ ）A ．1.8×103 kg/m 3B ．5.6×103 kg/m 3C ．1.1×104 kg/m 3D ．2.9×104 kg/m 3考向二：卫星的运行和变轨问题 1．人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力．即G Mm r 2ma =＝m v 2r ＝mrω2＝m (2πT)2r ma =2．人造卫星的运动学特征 （1）向心加速度2rGMa =， 随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。

（2）由线速度 v ＝GMr，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。

（3）角速度ω＝GMr 3， 随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。

（4）周期T ＝2πr 3GM， 随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。

【例】如图所示，a 、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R 和2R (R 为地球半径)．下列说法中正确的是（ ）A ．a 、b 的线速度大小之比是 2∶1B ．a 、b 的周期之比是1∶2 2C ．a 、b 的角速度大小之比是3 6∶4D ．a 、b 的向心加速度大小之比是9∶4 3．卫星的环绕速度和发射速度不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度rGMv，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即发射速度＞环绕速度，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．4．人造地球卫星的超重和失重(1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动．这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态．(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态．在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生．因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：天平、水银气压计等） 5.卫星的变轨卫星做匀速圆周运动时满足：2rMm G ＝ma = r v m 2＝mrω2＝mr (2πT )2当卫星由于某种原因使向心力与所受地球万有引力不相等时，卫星就会变轨，即当F 引>rv m 2时,卫星向近地心的轨道运动,即做向心运动;当F 引<rv m 2时,卫星向远地心的轨道运动,即做离心运动。

变轨时应从两方面考虑：一是中心天体提供的引力F 引=2r MmG，在开始变轨时F 引不变； 二是飞船所需要的向心力F 向=rv m 2，可以通过以改变飞船的速度来改变它所需要的向心力，从而达到使其做向心运动或离心运动而变轨的目的。

(1)当v 增大时，所需向心力m v 2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝ GMr知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．(2)当卫星的速度突然减小时，向心力mv 2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v ＝ GMr知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)轨道Ⅰ 地球 轨道Ⅱ Q P 【例】1、如图4－4－2所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等到同一轨道上的cD ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大2、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r 1，后来变为r 2(r 2<r 1)，用E k1、E k2表示卫星在这两个轨道上的动能，T 1、T 2表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则( ) A ．E k2<E k1，T 2<T 1 B ．E k2<E k1，T 2>T 1 C ．E k2>E k1，T 2<T 1 D ．E k2>E k1，T 2>T 13、人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km ，远地点为340km 的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km ，g=9.8m/s 2）（1）飞船在椭圆轨道1上运行，Q 为近地点，P 为远地点，当飞船运动到P 点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（ ）A ．飞船在Q 点的万有引力大于该点所需的向心力B ．飞船在P 点的万有引力大于该点所需的向心力C ．飞船在轨道Ⅰ上P 点的速度小于轨道Ⅱ上P 的速度D 、飞船在轨道Ⅰ上P 点的加速度小于轨道Ⅱ上P 的加速度（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（ ）A ．从较低轨道上加速 B. 从较高轨道上加速 C. 从同一轨道上加速 D. 从任意轨道上加速 考向三：“双星模型”问题在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．如图（1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力 （2）具有相同的周期T 和角速度ω（3）轨道半径和质量成反比L m m m r L m m m r 21122121,+=+=（4）双星总质量2324M GT L π=总（其中L 为双星间距，T 为周期） 【例】如图4－4－6，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间的距离为L .已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧．引力常量为G . (1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T 2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35×1022kg.求T 2与T 1两者平方之比．(结果保留3位小数)考向四：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较角速度周期线速度向心加速度向心力m 1m 2 r 1 r 2 O ω赤道上 自ωω=1 自T T =1 R v 11ω=R a 211ω=11ma F = 近地卫星上 32R GM=ω GMR T 3224π=12宇v RGM ==νg 22==R GM a mg ma F ==22同步卫星上 自ωω=3 33h)(+=R GMω自T T =3GMR T 323)h (4+=π)(33h R v +=ω h R GM+=3ν )(233h R a +=ω23)(h R GM a += 33ma F =同物比较231ωωω<= 231T T T >= 1231宇v v v v =<<ga a a =<<231mgF F F =<<231【例】如图，地球赤道上的山丘e ，近地资源卫星p 和同步通信卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e 、p 、q 的圆周运动速率分别为v 1、v 2、v 3，向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，则( )A ．v 1>v 2>v 3B ．v 1<v 2<v 3C ．a 1>a 2>a 3D ．a 1<a 3<a 2考向五：万有引力与抛体运动的综合（万有引力与牛顿运动定律的综合） 关键是：重力加速度g（1）由黄金代换得g （2）由抛体运动或牛顿运动定律得g【例】我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注． (1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点．已知月球半径为r ，万有引力常量为G ，试求出月球的质量M 月．考向六：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间： 据()πωω2t -=小大则小大ωωπ-=2t ，而T πω2=则小大小大T T T T t -= 2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间： 据()πωω=t -小大则小大ωωπ-=t ，而T πω2=则()小大小大T T T T t -=2 【例10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R ，a 卫星离地面的高度等于R ，b卫星离地面高度为3R ，则：(1)a 、b 两卫星周期之比T a ∶T b 是多少？(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？图4－4－7【课时训练】1．对万有引力定律的表达式F ＝Gm 1m 2r 2，下列说法正确的是（ ） A ．公式中G 为常量，没有单位，是人为规定的 B ．r 趋向于零时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体之间的万有引力总是大小相等，与m 1、m 2是否相等无关D ．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力2．已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为 ( ) A ．6小时 B ．12小时 C ．24小时 D ．36小时3．在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图4－4－7所示．下列说法正确的是( )A ．宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s 与11.2 km/s 之间B ．若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到“地面”上C ．宇航员将不受地球的引力作用D ．宇航员对“地面”的压力等于零 4．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r ，运行速率为v ，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时A ．r 、v 都将略为减小B ．r 、v 都将保持不变C ．r 将略为减小，v 将略为增大D ． r 将略为增大，v 将略为减小5．天文学上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象，假设地球和火星绕太阳的运动是匀速圆周运动，周期分别是T 1和T 2，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一水平面上．若在某时刻地球和火星都在太阳的一侧，三者在一条直线上，那么再次出现这种现象(已知地球离太阳较近，火星较远)所需要的时间是（ ） A ．T 1＋T 22 B ．T 1T 2C ．T 21＋T 222D ．T 1T 2T 2－T 16．已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响。