第三章 推理技术

2 消解反演
(1) 反演求解的步骤 给出一个公式集S和目标公式L，通过反证或
反演来求证目标公式L，其证明步骤如下：
1)否定L，得～L； 2)把～L添加到S中去； 3)把新产生的集合｛～L，S｝化成子句集； 4)应用消解原理，力图推导出一个表示矛盾的空 子句NIL。
(2) 反演求解的正确性
设公式L在逻辑上遵循公式集S，那么按照定义 满足S的每个解释也满足L。决不会有满足S的解释能 够满足～L的，所以不存在能够满足并集S∪｛～L｝ 的解释。因此，如果L在逻辑上遵循S，那么由并集 S∪｛～L｝消解得到的子句，最后将产生空子句； 反之，可以证明，如果从S∪｛～L｝的子句消解得 到空子句，那么L在逻辑上遵循S。
(2) 用狄·摩根(De Morgan)定律把否定符号移 进括号内，直到每个否定符号的辖域最多只 含有一个谓词为止。 (3) 对所得到的表达式进行Skolem化和前束 化。 (4) 对全称量词辖域内的变量进行改名和变 量标准化，而存在量词量化变量用Skolem函 数代替。 (5) 删去全称量词，而任何余下的变量都被 认为具有全称量化作用。
3.作为终止条件的事实节点的一致解图 逆向系统中的事实表达式均限制为文字合取
形，它可以表示为一个文字集。当一个事实文字 和标在该图文字节点上的文字相匹配时，就可把 相应的后裔事实节点添加到该与或图中去。这个 事实节点通过标有mgu的匹配弧与匹配的子目标文 字节点连接起来。
逆向系统成功的终止条件是与或图包含有某 个终止在事实节点上的一致解图。
第三章 推理技术
3.1 消解原理 3.2 规则演绎系统 3.3 不确定性推理 3.4 非单调推理
§3.1 消解原理
消解原理的基础知识： （1）谓词公式、某些推理规则以及置换合一等概念。 （2）文字：一个原子公式和原子公式的否定都叫做 文字。 （3）子句：由文字的析取组成的公式。 （4）子句集：子句通过合取符号联接起来形成子句 集。
3.2.1 规则正向演绎系统
基于规则的演绎系统和产生式系统，均 有两种推理方式：正向推理和逆向推理。
正向推理：从if部分向then部分推理的 过程，它是从事实或状况向目标或动作进行 操作的。
逆向推理：从then部分向if部分推理的 过程，它是从目标或动作向事实或状况进行 操作的。
1.事实表达式的与或形变换
下面举例说明问题求解过程：
例１：已知：①王先生是小李的老师； ②小李与小张是同班同学； ③如果ｘ与ｙ是同班同学，则ｘ的老 师也是的ｙ老师。
求：小张的老师是谁? 例２：Ａ说Ｂ和Ｃ说假话，Ｃ说Ａ和Ｂ中至少有一 人说假话，Ｂ说Ａ和Ｃ说假话，求谁说真话。
§3.2 规则演绎系统
本节将研究采用易于叙述的if-then(如 果-那么)规则来求解问题。
举例如下：
目标表达式被化成与或形：
～P(f(y))∨{Q(f(y),y)∧[～P(f(y))∨～S(y)]}
式中，f(y)为一Skolem函数。 对目标的主要析取式中的变量分离标准化可得:
～P(f(z))∨{Q(f(y),y)∧[～P(f(y))∨～S(y)]}
应注意不能对析取的子表达式内的变量y改名 而使每个析取式具有不同的变量。
3 问题求解
(1)把已知前提用谓词公式表示出来，并且化为子句 集Ｓ；
(2)把待求解的问题也用谓词公式表示出来，并且与 谓词ANSWER一起构成析取式（变元要一致），也化 为子句集，并将其并入Ｓ，构成新子句集；
(3) 对新子句集消解反演； (4) 若得到归结式ANSWER，则答案就在ANSWER中。
2、消解式求法 (1) 假言推理
父辈子句 P
～P∨Q(即P→Q)
\
/
\
/
消解式Q
(2) 合并 (3) 重言式
(4) 空子句(矛盾) (5) 链式(三段论)
3.1.3 含有变量的消解式
为了对含有变量的子句使用消解规则，我们必 须找到一个置换，作用于父辈子句使其含有互补文 字。
例1：
例2：
表 3.1 消解推理常用规则
例如：有事实表达式: ( u)( v){Q(v，u)∧～[(R(v)∨P(v))∧S(u，v)]}
把它化为:
Q(v,A)∧{[～R(v)∧～P(v)]∨～S(A,v)}
对变量更名标准化，使得同一变量不出现在事 实表达式的不同主要合取式中。更名后得与或 形表达式：
Q(w,A)∧{[～R(v)∧～P(v)]∨～S(A,v)}
全称量词串 无量词公式
(6) 把母式化为合取范式
任何母式都可写成由一些谓词公式和(或)谓词公 式的否定的析取的有限集组成的合取。这种母式叫做 合取范式。
例如 ： A∨{B∧C}化为{A∨B}∧{A∨C}
(7)消去全称量词
可以消去明显出现的全称量词。
(8)消去连词符号∧
用用{(A∨B),(A∨C)}代替(A∨B)∧(A∨C)， 以 消去明显的符号∧。反复代替的结果，最后得到一个 有限集，其中每个公式是文字的析取。任一个只由文 字的析取构成的合适公式叫做一个子句。
将下列谓词演算公式化为一个子句集
( x){P(x)→{( y)［P(y)→P(f(x,y))］∧～( y)［Q(x,y)→P(y)］｝｝
Baidu Nhomakorabea.1.2 消解推理规则
1、消解式 已知两子句L1∨α和～L2∨β,如果L1和L2具有
最一般合一者σ，那么通过消解可以从这两个父辈 子句推导出一个新子句α∨β。这个新子句叫做消 解式。它是由取这两个子句的析取，然后消去互补 对而得到的。
（ y)P［g(y) ，y]
如果要消去的存在量词不在任何一个全称量词的辖域 内，那么我们就用不含变量的Skolem函数即常量。
例如，( x)P(x)化为P(A)，
(5)化为前束形
把所有全称量词移到公式的左边，并使每个量词 的辖域包括这个量词后面公式的整个部分。所得公式 称为前束形。前束形公式由前缀和母式组成，前缀由 全称量词串组成，母式由没有量词的公式组成，即 前束形 = (前 缀) (母 式)
(9)更换变量名称 可以更换变量符号的名称，使一个变量符号不出
现在一个以上的子句中。例如，对于子集{～P(x)∨～ P(y)∨P[f(x,y)],～P(x)∨Q[x,g(x)],～P(x)∨～ P[g(x)]}，在更改变量名后，可以得到子句集：
{～P(x1)∨～P(y)∨P[f(x1,y)], ～P(x2)∨Q[x2,g(x2)], ～P(x3)∨～P[g(x3)] }
与或形的目标公式也可以表示为与或图。不过，与 事实表达式的与或图不同的是，对于目标表达式， 与或图中的k线连接符用来分开合取关系的子表达 式。上例所用的目标公式的与或图如下所示:
这个目标公式的子句形表示中的子句集可从终止在 叶节点上的解图集读出：
～P(f(z)), Q(f(y),y)∧～R(f(y)), Q(f(y),y)∧～S(y)
基于规则的问题求解系统运用下述规则:
其中，If部分可能由几个if组成，而Then部分可能 由一个或一个以上的then组成。
这种基于规则的系统叫做规则演绎系统 (rule based deduction system)。
在这种系统中，通常称每个if部分为前项， 称每个then部分为后项。
有时，then部分用于规定动作；这时，称 这种基于规则的系统为反应式系统(reaction system)或产生式系统(production system)。
我们希望在应用规则之后得到的图，既能表示 原始事实，又能表示从原始事实和该规则推出的事 实表达式。
4.作为终止条件的目标公式
应用F规则的目的在于从某个事实公式和某个规 则集出发来证明某个目标公式。
目标文字和规则可用来对与或图添加后继节点， 当一个目标文字与该图中文字节点n上的一个文字相 匹配时，我们就对该图添加这个节点n的新后裔，并 标记为匹配的目标文字。这个后裔叫做目标节点。
2.事实表达式的与或图表示
与或形的事实表达式可用与或图来表示。如 图的与或树表示出上述例子的与或形事实表达。
3 与或图的F规则变换
F规则: L→ W 式中：L是单文字；W为与或形的唯一公式。 把形式为 L→ W 的规则应用到任一个具有 叶节点n并由文字L标记的与或图上，可以得到 一个新的与或图。在新的图上，节点n由一个单 线连接符接到后继节点(也由L标记)，它是表示 为W的一个与或图结构的根节点。
在基于规则的正向演绎系统中，把事实表示 为谓词演算公式，并把这些公式变换为叫做与或 形的非蕴涵形式。与或形表达式是由符号∧和∨ 连接的一些文字的子表达式组成的。
要把一个公式化为与或形，可采用下列步骤： (1) 利用(W1→W2)和(～W1∨W2)的等价关系， 消去符号→(如果存在该符号的话)。实际上，在 事实中间很少有符号→出现，因为可把蕴涵式表 示为规则。
举例：
用消解反演来证明目标公式:
结论：当正向演绎系统产生一个含有以目标节点 作为终止的解图时，此系统就成功地终止。
3.2.2 规则逆向演绎系统 基于规则的逆向演绎系统，其操作过程与正
向演绎系统相反，即为从目标到事实的操作过程， 从then到if的推理过程。
1.目标表达式的与或形式 逆向演绎系统能够处理任意形式的目标表达 式。首先，采用与变换事实表达式同样的过程， 把目标公式化成与或形，即消去蕴涵符号，把否 定符号移进括号内，对全称量词Skolem化并删去 存在量词。
(2) 减少否定符号的辖域 每个否定符号～最多只用到一个谓词符号上，
并反复应用狄·摩根定律。
(3) 对变量标准化
在任一量词辖域内，受该量词约束的变量为 一哑元(虚构变量)，它可以在该辖域内处处统一 地被另一个没有出现过的任意变量所代替，而不 改变公式的真值。合适公式中变量的标准化意味 着对哑元改名以保证每个量词有其自己唯一的哑 元。
3.1.4 消解反演求解过程
1 基本思想
把要解决的问题作为一个要证明的命题，其目 标公式被否定并化成子句形，然后添加到命题公式 集中去,把消解反演系统应用于联合集，并推导出 一个空子句(NIL)，产生一个矛盾，这说明目标公 式的否定式不成立，即有目标公式成立，定理得证， 问题得到解决。这与数学中反证法的思想十分相似。
(4)消去存在量词
Skolem函数：在公式( y)[( x)P(x,y)]中，存在量词 是在全称量词的辖域内，我们允许所存在的x可能依
赖于y值。令这种依赖关系明显地由函数g(y)所定义，
它把每个y值映射到存在的那个x。这种函数叫做 Skolem函数。
如果用Skolem函数代替存在的x,我们就可以消去 全部存在量词，并写成：
（5）消解：如果存在某个公理E1∨E2和另一公理 ～E2∨E3，那么E1∨E3在逻辑上成立。这就是消解， 而称E1∨E3为E1∨E2和～E2∨E3的消解式 (resolvent)。
任一谓词演算公式可以化成一个子句集。
3.1.1子句集的求取
1、步骤 (1) 消去蕴涵符号
以～A∨B替换A→B。
例：[(A→B) →B] ∨C，在消去蕴涵符号后得到公式： A．[～(A→B) ∨B] ∨C B．[～(～A∨B) ∨B] ∨C
(3) 反演求解举例
例1 某公司招聘工作人员,有A、B、C三人面试,公司 表达想法: 1)三人中至少取一人; 2)如果录取A而不录取B,则一定录取C; 3)如果录取B,则一定录取C。 求证:公司一定录取C。 例2 “有些患者喜欢任一医生。没有任一患者喜欢任 一庸医。所以没有庸医的医生。”
消解反演可以表示为一棵反演树，其根节点为NIL。
例如，把规则S→ (X∧Y)∨Z应用到下图所示的与或 图中标有S的叶节点上。
图中标记S的两个节点由一条叫做匹配弧的弧线 连接起来。
事实表达式: Q(w,A)∧{[～R(v)∧～P(v)]∨～S(A,v)}
与规则S→ (X∧Y)∨Z 的消解式: X∨Z∨P∨Q ,Y∨Z∨P∨Q ,R∨X∨Z ,R∨Y∨Z 全部包含在解图所表示的子句之中。
可见目标子句是文字的合取，而这些子句的析取 是目标公式的子句形。
2.与或图的B规则变换 B规则：即逆向推理规则。 B规则是建立在确定的蕴涵式基础上的，我们把B 规则限制为:
W→L 其中，W为任一与或形公式，L为文字，
把B规则限制为这种形式的蕴涵式还可以简化匹配， 可以把像W→ (L1∧L2)这样的蕴涵式化为两个规则 W→L1和W→L2。