(完整word版)高中数学必修四第一章测试
【优质文档】高一数学必修4第一章测试题及答案
sin ( sin ) ( cot )
=-tan
------------10
由 sin
3
= 可知
5
是第三象限或者第四象限角。
所以 tan = 3 或 3 44
3
即所求式子的值为
4
-------------14
19．（本小题 15 分）
分 分
解：令 t=cosx, 则 t [ 1,1]
-------------2
3
21. 用图像解不等式。 (16 分 )
① sin x 1 2
② cos 2x 3 2
4
参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1----6 、 BBDCBA 7----12 、 CCDCAB
二、填空题（每小题 6 分，共 30 分）
13. |
2
16.
13
n ,n Z 2
17. 2
14. -660
,2k 5 , k Z ----------8
分
6
6
（ 2）、图略
-------------11
分
由图可知：不等式的解集为 k
, k 11 , k Z ---------16
分
12
12
《试卷编写说明》 本试卷三角函数的大框架下，主要借助正弦函数和余弦函数这两种模型，从函数的定义域、值
6
域、单调性、奇偶性，特别是新学习内容 ----- 周期性出发，以这五个方面为主要内容而命制。
二、填空题（每小题 6 分，共 30 分）
13. 终边在坐标轴上的角的集合为 _________.
14. 时针走过 1 小时 50 分钟，则分钟转过的角度是 ______.
人教版数学必修四第一章自我检测(完整版)资料
人教版数学必修四第一章自我检测（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）第一章 三角函数一、选择题 1．已知 为第三象限角，则2α所在的象限是( )．A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限3．sin 3π4cos 6π5tan ⎪⎭⎫⎝⎛3π4－＝( )．A ．－433B ．433C ．－43 D ．43 4．已知tan θ＋θtan 1＝2，则sin θ＋cos θ等于( )．A ．2B ．2C ．－2D ．±25．已知sin x ＋cos x ＝51(0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )．A ．－43B ．－34C ．43D ．346．已知sin ＞sin ，那么下列命题成立的是( )． A ．若，是第一象限角，则cos ＞cosB ．若，是第二象限角，则tan＞tanC ．若，是第三象限角，则cos ＞cosD ．若，是第四象限角，则tan＞tan7．已知集合A ＝{|＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{|＝4k π±3π2，k ∈Z }，C ＝{γ|γ＝k π±3π2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )．A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．C ⊆A ⊆BD ．B ⊆C ⊆A8．已知cos(＋)＝1，sin＝31，则sin的值是( )．A ．31B ．－31C ．322D ．－322 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )．A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫⎝⎛4π5 ，π B ．⎪⎭⎫⎝⎛π ，4π C ．⎪⎭⎫⎝⎛4π5 ，4πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )．A ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛3π － 2x ，x ∈RB ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6π ＋ 2x ，x ∈RC ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈RD ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛32π ＋ 2x ，x ∈R二、填空题11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上的最大值是 ．12．已知sin ＝552，2π≤≤π，则tan＝ ．13．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 2π＝ ．14．若将函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ．15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－21|sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ．16．关于函数f (x )＝4sin ⎪⎭⎫⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos ⎪⎭⎫⎝⎛6π － 2x ；②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－6π，0)对称；④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6π对称．其中正确的是______________．三、解答题17．求函数f (x )＝lgsin x ＋1cos 2-x 的定义域．18．化简：(1))－()＋(－)＋＋()＋()－(－)＋＋(－αααααα︒︒︒︒180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ；(2))－()＋()－()＋＋(πcos πsin πsin πsin n n n n αααα(n ∈Z )．19．求函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6π － 2x 的图象的对称中心和对称轴方程．20．(1)设函数f (x )＝xa x sin sin ＋(0＜x ＜π)，如果 a ＞0，函数f (x )是否存在最大值和最小值，如果存在请写出最大(小)值；(2)已知k ＜0，求函数y ＝sin 2 x ＋k (cos x －1)的最小值．参考答案一、选择题 1．D解析：2k π＋π＜＜2k π＋23π，k ∈Z ⇒k π＋2π＜2α＜k π＋43π，k ∈Z ． 2．B解析：∵ sin θcos θ＞0，∴ sin θ，cos θ同号．当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限；当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限．3．A解析：原式＝⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πtan 6πcos 3πsin ＝－433．4．D解析：tan θ＋θtan 1＝θθcos sin ＋θθsin cos ＝θθcos sin 1＝2，sin cos＝21．(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2．sin＋cos ＝±2．5．B解析：由 得25cos 2 x －5cos x －12＝0．解得cos x ＝54或－53．又 0≤x ＜π，∴ sin x ＞0．⎩⎨⎧1＝cos ＋sin51＝cos ＋sin 22x x x x若cos x ＝54，则sin x ＋cos x ≠51，∴ cos x ＝－53，sin x ＝54，∴ tan x ＝－34．6．D 解析：若，是第四象限角，且sin ＞sin ，如图，利用单位圆中的三角函数线确定，的终边，故选D ．7．B解析：这三个集合可以看作是由角±3π2的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合．8．B解析：∵ cos(＋)＝1，∴ ＋＝2k π，k ∈Z ．∴＝2k π－．∴ sin ＝sin(2k π－)＝sin(－)＝－sin ＝－31．9．C解析：作出在(0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．10．C(第6题`)解析：第一步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx 的图象，第二步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x 的图象．二、填空题 11．415．解析：f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上是增函数，f (x )≤sin 23π＋3tan3π＝415．12．－2． 解析：由sin ＝552，2π≤≤πcos ＝－55，所以tan＝－2．13．53．解析：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，即cos ＝53，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 2π＝cos＝53．14．21．解析：函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x ω (ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后得到函数y ＝tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋6π－x ω＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛ωω6π－4π＋x 的图象，则6π＝4π－6πω＋k π(k ∈Z )，ω＝6k ＋21，又ω＞0，所以当k ＝0时，ωmin ＝21．15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，－． 解析：f (x )＝21(sin x ＋cos x )－21|sin x －cos x |＝⎩⎨⎧)＜()(x x x x x x cos sin sin cos ≥sincos 即 f (x )等价于min{sin x ，cos x }，如图可知，f (x )max ＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＝22，f (x )min ＝f (π) ＝－1．16．①③．解析：① f (x )＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛+-6π2x＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6π2x ．② T ＝22π＝π，最小正周期为π．③ 令 2x ＋3π＝k π，则当 k ＝0时，x ＝－6π，∴ 函数f (x )关于点⎪⎭⎫⎝⎛0 6π－，对称． ④ 令 2x ＋3π＝k π＋2π，当 x ＝－6π时，k ＝－21，与k ∈Z 矛盾．∴ ①③正确． 三、解答题17．{x |2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }．解析：为使函数有意义必须且只需⎪⎩⎪⎨⎧-② 0 ≥1 cos 2① ＞0 sin x x(第15题)(第17题)先在[0，2π)内考虑x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线．由①得x ∈(0，π)，由②得x ∈[0，4π]∪[47π，2π]．二者的公共部分为x ∈⎥⎦⎤⎝⎛4π0，．所以，函数f (x )的定义域为{x |2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }．18．(1)－1；(2) ±αcos 2．解析：(1)原式＝αααααα cos cos tan tan sin sin －＋－－＝－ααtan tan ＝－1．(2)①当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝)－()＋()－()＋＋(π2 cos π2sin π2sin π2sin k k k k αααα＝α cos 2．②当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝])＋－([])＋＋([])＋－([]＋)＋＋([π12 cos π12sin π12sin π12sink k k k αααα＝－αcos 2．19．对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ；对称轴方程为x ＝2πk ＋3π(k ∈Z )．解析：∵ y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)，k ∈Z ， ∴ 令2x －6π＝k π，得x ＝2πk ＋12π．∴ 所求的对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ，k ∈Z ． 又 y ＝sin x 的图象的对称轴是x ＝k π＋2π，∴ 令2x －6π＝k π＋2π，得x ＝2πk ＋3π．∴ 所求的对称轴方程为x ＝2πk ＋3π (k ∈Z )．20．(1)有最小值无最大值，且最小值为1＋a ； (2)0． 解析：(1) f (x )＝xa x sin sin ＋＝1＋xasin ，由0＜x ＜π，得0＜sin x≤1，又a＞0，所以当sin x＝1时，f(x)取最小值1＋a；此函数没有最大值．(2)∵－1≤cos x≤1，k＜0，∴k(cos x－1)≥0，又sin2x≥0，必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}na a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（notbelong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x xx --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}-. （2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； －5 A ； 17 B . 解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈； 由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x=-的函数值组成的集合；（3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合.解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y xy y =-=≥-.（3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．⑵方程有一解为，而另一解不是x =代入得a =时另一解1x =⑶方程有一解为x =代入得a时另一解为1x =，合．综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第2讲§¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作A B⊆（或B A⊇），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 如果集合A是集合B的子集（A B⊆），且集合B是集合A的子集（B A⊇），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A B=.3. 如果集合A B⊆，但存在元素x B∈，且x A∉，则称集合A是集合B 的真子集（proper subset），记作A≠⊂B（或B≠⊃A）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A⊆；若A B⊆，B C⊆，则A C⊆；若A B A=，则A B⊆；若A B A=，则B A⊆.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}；{等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅2∈+=；0 {0}；∅{0}；Nx R x{|20}{0}.解：（1），；A BBA AB A BA ．B ．C ．D ． （2）=， ∈， ，.【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M⊆，求实数a 的值.解：由26023xx x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-.（i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a=. 若N M ⊆,满足1123aa==-或，解得1123a a ==-或.故所求实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1.当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0.因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-.经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.B （读作“B B （读作“B UA （读作“{|AB x ={|AB x ={|UA x =图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()UU R A x x B x x AB AB ==-≤≤=<<求.解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}AB x x =<≤，(){|1,9}U C AB x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A BC ； （2）()AABC .解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0AC B C =------.∴()A A C BC {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()UCAB ，UA-2 4 m xB AABB A()U C AB ，()()U UC A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C AB =由{1,3,6,7,9}UC A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U CA CB =，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()UU U CA CBC AB =，()()()U U U C A C B C AB =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()UU U CA CBC AB =与()()()U U U C A C B C AB = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 §¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()UU U CAB C A C B =,()()()U U U C AB C A C B =. 2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n AB =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9AB =，求实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9AB =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去；当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , AB .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}AB =，{4}AB =； 当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}AB a =，AB =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240xx +=}， B ={x |222(1)10xa x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-；(ii )若0∈B ，代入得2a1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意； 当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意． (iii )若－4∈B ，代入得2870aa -+=⇒a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意； 当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -=. （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}UC A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U AC B .第5讲 §¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间. 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）y .解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y xx =-++.解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠.所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y xx x =-++=--+.所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式解：（1）由121x x-=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x-=+，解得11t x t-=+，所以1()1t f t t-=+，即1()1x f x x-=+.点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x xx++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <.所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩(,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞，∴ f (0)=32.又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示. 点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.解：任取12,x x ∈(0,1)，且12xx <.则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201xx <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x axbx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x xR ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122bxx a <≤-时，有120x x -<，12b x x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a-∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2b a-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间： （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y xx =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.第8讲 §¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y axbx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a -=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a-；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲： 【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y xx x =-+-=--+. 当14x =时，max360y=.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数，所以当1x =时，min2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d=+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令1x t-=，则t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值： （1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a=-，即1x =-.画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max4y =； 当32x =时，min94y=-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 §¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性： （1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x xx =-.解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数.（2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数.（3）由于23()()f x xx f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩. 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.教学过程。
数学必修四第一章试卷(含答案).
必修四第一章姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若sin cos 0αα⋅<，则α的终边在( ) A ．第一或第二象限 B ．第一或第三象限C ．第一或第四象限D ．第二或第四象限 2．sin （﹣285°）＝（ ） A ．624- B ．624--C ．624+ D ．624+-3．已知sinx ＋cosx ＝15(0≤x ＜π)，则tanx 的值等于( )． A ．－34 B ．－43C ．34D ．434．若tan 3α=,则2sin cos 3cos()-5cos 2ααπαα+-- 的值为（ ）A ．12B ．1-2C ．514D ．74-5．化简12sin 50cos50-︒︒的结果为（ ）A ．sin50cos50︒-︒B ．cos50sin50︒-︒C ．sin50cos50︒+︒D ．sin50cos50-︒-︒ 6．sin110cos40cos70sin320︒︒+︒︒=( ) A ．12B ．32C ．12-D ．32-7．设函数()()002f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则f （0）＝（ ） A ．3 B ．32C ．2D ．1 8．函数f (x )=lg (1+2cosx )的定义域为（ ） A ．-2233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k Z ∈ B ．22-2233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈C ．-2266k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈D ．22263k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭， ()k Z ∈9．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝3π对称的是（ ）A ．sin(2)6y x π=+B ．sin(2)3y x π=+ C ．sin(2)3y x π=- D ．sin(2)6y x π=-10．把函数sin 2)6y x π=+（的图象沿x 轴向右平移4π个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，可得函数()y g x = 的图象，则()g x 的解析式为（ ） A ．()sin(4)12g x x π=-B ．()sin(4)6g x x π=-C ．()sin(4)3g x x π=-D ．2()sin(4)3g x x π=-11．已知函数f (x )＝cos 23x πω⎛⎫+⎪⎝⎭(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为2π，为了得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移76π个单位长度 B ．向右平移76π个单位长度 C ．向左平移724π个单位长 D ．向右平移724π个单位长度12．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 二、填空题 13．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为____________. 14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是_________________. 15．设0a <，角θ的终边与单位圆的交点为(3,4)P a a -，那么sin 2cos θθ+值等于_________________. 16．已知1sin cos 5θθ-=，则sin cos θθ的值是__________. 三、解答题17．已知sin()3cos(2)0απαπ---=. （1）求tan α的值；（2）求333sin ()5cos (3)33sin ()2πααππα-+--的值.18．已知函数()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.19．函数23()sin cos 3sin 2f x x x x ωωω=⋅-+（0>ω）的部分图象如图所示. （1）求ω的值； （2）求()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值.20．已知函数()sin(2)f x x φ=+是奇函数，且02φπ<<. （1）求φ；（2）求函数f （x ）的单调增区间.21．(1)利用“五点法”画出函数1()sin()26f x y x π==+在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表:126x π+x y（1）作图:(2)并说明该函数图象可由sin (R)y x x =∈的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数()f x 图象的对称轴方程.22．已知函数2()23cos sin(π2)f x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． （Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间．参考答案1．D 【解析】 【分析】分sin 0α＞，cos 0α＜和sin 0α＜，cos 0α＞两种情况讨论得解. 【详解】若sin 0α＞，cos 0α＜，则α的终边在第二象限； 若sin 0α＜，cos 0α＞，则α的终边在第四象限， 故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数在各象限的符号，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简sin （﹣285°）可得：sin （﹣285°）＝sin （45°+30°），利用两角和的正弦公式计算得解。
人教A版数学必修四第一章综合检测题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第二象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案] A[解析]α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角．2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin2C.2sin1D．2sin1[答案] C[解析] 由题设，圆弧的半径r ＝1sin1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin1.3．(2013·宁波模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) [答案] A[解析] 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故P 点坐标为(cos θ，sin θ)．4．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34 D ．－43[答案] D[解析] x <0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15x ，∴x 2＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43.5．如果sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316 D ．－2316[答案] D[解析] ∵sin α－2cos α＝－5(3sin α＋5cos α)， ∴16sin α＝－23cos α，∴tan ＝－2316.6．如果sin α＋cos α＝34，那么|sin 3α－cos 3α|的值为( ) A.2512823B ．－2512823 C.2512823或－2512823 D ．以上全错[答案] C[解析] 由已知，两边平方得sin αcos α＝－732.∴|sin 3α－cos 3α|＝|(sin α－cos α)(sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α)|＝1－2sin αcos α·|1＋sin αcos α|＝2523128.∴sin 3α－cos 3α＝±2523128. 7．(2013·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( )A ．－81727 B.81727 C.82027D ．－82027[解析] ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θsin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110 ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027.8．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根， 则sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)＝( ) A.35 B.53 C.45 D.54[答案] B[解析] 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35， x 2＝2.则sin α＝－35原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.9．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的一个单调递减区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，2π3[解析] 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，整理得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，所以仅有⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3是单调递减区间．10．将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin(12x －π2) C ．y ＝sin(12x －π6) D ．y ＝sin(2x －π6)[答案] B [解析]11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数[解析] ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．∵f (－x )＝－cos(－x )＝－cos x ＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴即直线x ＝0对称． 12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据： t /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米2321322320.99322则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( ) A ．y ＝12cos π6t ＋1 B ．y ＝12cos π6t ＋32 C ．y ＝2cos π6t ＋32 D ．y ＝12cos6πt ＋32[答案] B[解析] ∵T ＝12－0＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6. 又最大值为2，最小值为1，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，解得A ＝12，b ＝32， ∴y ＝12cos π6t ＋32.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，则cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝________.[答案]22－13[解析] cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－cos(75°＋α)－sin(α＋75°)．∵180°<α<270°，∴255°<α＋75°<345°.又∵cos(α＋75°)＝13，∴sin(α＋75°)＝－23 2.∴原式＝－13＋232＝22－13.14．函数y ＝lg(sin x )＋16－x 2的定义域为________________． [答案] [－4，－π)∪(0，π)[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0.解得 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <2k π＋π，－4≤x ≤4，即x ∈[－4，－π)∪(0，π)． 15．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.[答案] 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6. 16．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)； ②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称； ④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中，正确的是________．(填上你认为正确命题的序号) [答案] ①③[解析] ①f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4cos(π2－2x －π3)＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．②T ＝2π2＝π，最小正周期为π.③∵2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，函数f (x )关于点(－π6，0)对称．④2x ＋π3＝π2＋k π，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾．∴①③正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为，求2sin α＋cos α的值．[解析] (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45， 2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25. 18．(本题满分12分)已知tan α、1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两实根，且3π<α<72π，求cos(3π＋α)－sin(π＋α)的值．[解析] 由题意，根据韦达定理，得tan α1tan α＝k 2－3＝1，∴k ＝±2.又∵3π<α<72π，∴tan α>0，1tan α>0，∴tan α＋1tan α＝k >0，即k ＝2，而k ＝－2舍去，∴tan α＝1tan α＝1，∴sin α＝cos α＝－22，∴cos(3π＋α)－sin(π＋α)＝sin α－cos α＝0.19．(本题满分12分)已知x ∈[－π3，2π3]， (1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4的值域．[解析] (1)∵y ＝cos x 在[－π3，0]上为增函数，在[0，2π3]上为减函数，∴当x ＝0时，y 取最大值1； x ＝2π3时，y 取最小值－12. ∴y ＝cos x 的值域为[－12，1]． (2)原函数化为：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1， 即y ＝3(cos x －23)2－13，由(1)知，cos x ∈[－12，1]，故y 的值域为[－13，154]． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1，x ∈R .求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合； (2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图象？ [解析] (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4，此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z .(2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象； ②将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象； ③将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象；④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图象．21．(本题满分12分)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .试求A 、ω的值和M 、P 两点间的距离．[解析] ∵函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)图象的最高点为S (3,23)， ∴A ＝2 3.由图象，得T4＝3，∴T ＝12. 又T ＝2πω，∴ω＝π6，即y ＝23sin π6x . 当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3. ∴M (4,3)．又P (8,0)． ∴|MP |＝42＋32＝5， 即MP 的长是5.22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2， 解得φ＝－π3， ∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，如图，sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[32，1]，∴方程 f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3]，即实数m 的取值范围是[3＋1,3]．。
(word完整版)高一数学必修四第一章测试题
宣威市第九中学第一次月考高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一．选择题（每小题5分，共60分） 1.与32︒-角终边相同的角为（ ）A ．36032k k Z ︒︒⋅+∈， B. 360212k k Z ︒︒⋅+∈， C ．360328k k Z ︒︒⋅+∈， D. 360328k k Z ︒︒⋅-∈， 2. 半径为1cm ，中心角为150o 的弧长为（ ）A ．cm 32B ．cm 32πC ．cm 65D ．cm 65π3.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx值为( ) A.3 B. - 3 C. 33 D. -334.下列函数中属于奇函数的是（ ）A. y=cos(x )2π+B. sin()2y x π=- C. sin 1y x =+ D.cos 1y x =-5.要得到函数x y sin =的图象，只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y 的图象 （ ）A. 向左平移3π B. 向右平移3π C. 向左平移32π D. 向右平移32π6. 已知点(sin cos tan )P ααα-，在第一象限，则在[02π]，内α的取值范围是（ ） Ａ．π3π5ππ244⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，， Ｂ．ππ5ππ424⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，， Ｃ．π3π53ππ2442⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，， Ｄ．ππ3ππ424⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，7. 函数2sin(2)6y x π=+的一条对称轴是（ ）A. x = 3πB. x = 4πC. x = 2πD. x = 6π8. 函数)32sin(π-=x y 的单调递增区间是（ ）A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ Z k ∈ B ．52,21212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ Z k ∈ C ．5,66k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈ D ．52,266k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈9.已知函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A ．sin(2)2y x π=+ B ．sin(2)4y x π=+C ．sin(4)2y x π=+ D ．sin(4)4y x π=+ 10．在函数22sin ,sin ,sin(2),cos()323x y x y x y x y ππ===+=+中,最小正周期为π的函数的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D.4个11.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于（ ）B. 1C. 0D.12.设a 为常数，且1>a ,[0,2x ∈π],则函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最大值为（ ）.A.12+aB.12-aC.12--aD.2a第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设角α的终边过点(4,3)P t t -(,0)t R t ∈>且,则2sin cos αα+=14. 函数1y tan 34x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为15.求使sin α>成立的α的取值范围是 16 关于函数f(x)=4sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3π2x (x ∈R)，有下列论断：①函数y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6)； ②函数y=f(x)的最小正周期为2π；③函数y=f(x)的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称； ④函数y=f(x)的图象可由y=4sin2x 向左平移3π个单位得到. 其中正确的是 .(将你认为正确的论断的序号都填上) 一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、 14、 15、 16、三、解答题（共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）(1) ;(2)已知=αsin 21-,且α是第四象限角,求αcos 、αtan 的值.18.（本小题满分12分）已知51cos sin =+θθ，其中θ是ABC ∆的一个内角. （1）求θθcos sin 的值；（2）判断ABC ∆是锐角三角形还是钝角三角形； （3）求θθcos sin -的值.19．（本小题满分12分）已知tan 1tan 1αα=--，求（１）21sin sin cos ααα+的值;（2）设222sin ()sin (2)sin()322()cos ()2cos()f πθθθθθθπ++π-+--=π+--，求()3f π的值.20．（本小题满分12分）已知函数()2sin sin f x x x =+，02x π≤≤. 若方程m x f =)(有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.21（本小题满分12分）已知函数a x x +-=)62sin(2)(f π．（１）求函数f(x)的最小正周期; （2）求函数f(x)的单调递减区间;(3)若]2,0[x π∈时，f(x)的最小值为－2，求a 的值.22．（本小题满分12分）函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的一段图象如图所示，根据图象求：（1）)(x f 的解析式；（2）函数)(x f 的图象可以由函数sin ()y x x R =∈ 的图象经过怎样的变换得到？。
人教A版数学必修4第一章测试题(一).doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作云南省昭通市实验中学必修4第一章测试题（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各角中与0330角的终边相同的是 （ ）A ．0510 B ．0150 C ． 060- D ．0390-2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限3．扇形的周长是16，圆心角是2rad ，则扇形的面积是 （ ） A ．16 B ．32 C ．π16 D ．π324．α是第二象限角，)5,(x P 为其终边上一点，且x 42cos =α，则αs i n 的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．410- 5．已知0tan .cos <θθ，那么角θ是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第三或第四象限D ．第一或第四象限6．若21tan =α，)2,(ππα∈，则αcos 的值等于 （ ） A ．553-B ．552-C ．553D ．55-7．化简)cos 1)(tan 1sin 1(ααα-+的结果是 （ ） A ．αsin B ．αcos C ．αsin 1+ D ．αcos 1+8．1717cos sin 44ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 （ ）A ．2B ．2-C ．0D ．229．函数)42sin()(π+=x x f 的单调减区间为 （ ）A ．∈++k k k ],85,8[ππππZ B ．∈++k k k ],285,82[ππππZC ．∈+-k k k ],8,83[ππππZD ．Z k k k ∈+-],82,832[ππππ10．函数)32sin(2)(π+=x x f 的最大值及取最大值时x 的集合为（ ）A ．2，}2|{π=x x B ．2，},22|{Z k k x x ∈+=ππC ．2，},12|{Z k k x x ∈+=ππD ．2-，},125|{Z k k x x ∈+-=ππ11．要得到函数2sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin3y x =的图象（ ）A ．向左平移5π个单位B ．向右平移5π个单位 C ．向左平移15π个单位 D ．向右平移15π个单位12．函数)||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的图象如右，则函数的解析式是（ ）A ．)652sin(2π-=x yB ．)652sin(2π+=x yC ．)62sin(2π-=x yD ．)62sin(2π+=x y二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整word)高中数学必修四第一章测试题
必修四第一章复习题一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列说法中，正确的是( )A ．第二象限的角是钝角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( ) A ．0 B.33 C ．1 D. 33．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当 x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π25．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于( ) A.43π B.76π C.53π D.116π6．已知a 是实数，而函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π68．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.549．函数f (x )＝tan x 1＋cos x的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A B ．m －nD.12(m －n ) C ， 对称；②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ，其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________. 14．函数y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象与直线y ＝－3及y 轴围成的图形的面积为________．15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.16．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数x ，使sin x ＋x ＝2；③若α，βα<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称． 其中正确命题的序号为__________．小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)的值．18．(12分)在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，求tan A 的值．19．(12分)已知f (x )＝sin ⎝⎛2x (1)求函数f (x )(2)求函数f (x )(3)函数f (x )换得到？20．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数解析式；(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值；(3)求使y ≤0时，x 的取值范围．21．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，且0<α<π22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．。
必修四第一章测试卷(含答案)
必修四第一章单元练习一、选择题1．已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A.B.C 的关系是( )A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A CD ．A=B=C2．下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k 3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin 4. 已知)20(παα<<的正弦线与余弦线相等,且符号相同,那么α的值为（ ）A ．ππ434或B ．ππ4745或 C ．ππ454或 D ．ππ474或5. 已知αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为（ ）A ．－2B ．2C ．1623 D ．－1623 6、已知34tan =x ,且x 在第三象限，则=x cos ( )A.54 B. 54- C. 53 D.53-7. 1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为（ ）A ．1tan 1cos 1sin >> B ．1cos 1tan 1sin >>C ．1cos 1sin 1tan >>D ．1sin 1cos 1tan >>8. 设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）A ．33B ．－33 C ．3 D ．－39. 函数)4sin(π+=x y 在下列哪个区间为增函数.（ ）A ．]4,43[ππ-B ．]0,[π-C ．]43,4[ππ-D ．]2,2[ππ-10. 函数)42sin(log 21π+=x y的单调减区间为（ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππ B ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππD ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ11. 函数)252sin(π+=x y的图象的一条对称轴方程是（ ）A ．2π-=xB ．4π-=x C ．8π=xD ．π45=x12．已知)2cos()(),2sin()(ππ-=+=x x g x x f ，则下列结论中正确的是 （ ） A.函数)(x g x f y⋅=）（的周期为π2 B.函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为1C.将)(x f 的图像向左平移2π单位后得)(x g 的图像D.将)(x f 的图像向右平移2π单位后得)(x g 的图像二、填空题13、函数()sin(2)3f x x π=-的图象向左平移3π个单位，再将图像上的横坐标缩短为原来的12，那么所得图像的函数表达式为__________________. 14、已知21tan -=x ，则1cos sin 3sin 2-+x x x =______. 15、设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若,1)2004(=f 则=)2005(f .16．函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y的最小值是必修四第一章单元练习答题卷一、选择题二、填空题13.____________________ 14.____________ 15.______________ 16._________________三、解答题 17、若xx x x x tan 2cos 1cos 1cos 1cos 1-=+---+, 求角x 的取值范围.18、已知),0(πθ∈，且137cos sin -=+θθ，求θtan 。
人教A版数学必修四第一章测试.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角解析 A 、B 均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C 错，∴选D.答案 D2．若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33 C ．1D. 3解析 由题意，得3a＝9，得a ＝2，∴tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝ 3.答案 D3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上解析 由题意知，cos θ≥0，tan θ≤0，所以θ在x 轴上或在第四象限，故θ2在第二、四象限或在x 轴上．答案 D4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π2解析 由题意知T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，有2π＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴θ＝π2.答案 A5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于( ) A.43π B.76π C.53πD.116π解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＝－32，又x ∈(π，2π)，∴x ＝7π6. 答案 B6．已知a 是实数，而函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析 三角函数的周期为T ＝2π|a |，当振幅大于1时，∵|a |>1，∴T <2π.∵D 的振幅大于1，但周期反而大于2π，∴D 不符合要求．答案 D7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6D.11π6解析 当φ＝11π6时，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.答案 D8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ的值为( )A ．0B ．1 C.34D.54解析 ∵tan θ＝2，∴2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ＝2tan θ－1tan θ＋2＝2×2－12＋2＝34.答案 C9．函数f (x )＝tan x1＋cos x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 解析要使f (x )有意义，必须使⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，1＋cos x ≠0，即x ≠k π＋π2，且x ≠(2k ＋1)π(k ∈Z )， ∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x1＋cos x ＝－f (x )，∴f (x )＝tan x1＋cos x 是奇函数．答案 A10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析 在同一坐标系里分别作出y ＝x 和y ＝cos x 的图象易知，f (x )＝0有且仅有一个零点．答案 B11．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A的值是( )A ．m ＋1n B ．m －n C.12⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1n D.12(m －n )解析 ∵m －n ＝lg(1＋cos A )－lg 11－cos A＝lg(1＋cos A )＋lg(1－cos A )＝lg(1＋cos A )(1－cos A )＝lgsin 2A ＝2lgsin A ， ∴lgsin A ＝12(m －n )，故选D. 答案 D12．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ，其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①把x ＝1112π代入f (x )知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝3sin 3π2＝－3. ∴x ＝1112π是函数f (x )的对称轴，∴①正确． ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．令k ＝0得增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，∴②正确．③依题意知y ＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3， ∴③不正确．应选C. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.答案 －2 214．函数y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象与直线y ＝－3及y 轴围成的图形的面积为________．解析 如图，由于y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，所以区域(Ⅰ)与区域(Ⅱ)也关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称图形，故区域(Ⅰ)的面积为矩形ABCD 的面积的一半，即12×π×6＝3π.答案 3π15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由图知，T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝43π. 又T ＝2πω＝43π，∴ω＝32. 答案 3216．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝2；③若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．其中正确命题的序号为__________．解析 ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2＝－sin 23x 是奇函数． ②因为sin x ，cos x 不能同时取最大值1，所以不存在实数x 使sin x ＋cos x ＝2成立．③α＝π3，β＝13π6，则tan α＝3，tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝tan π6＝33，tan α>tan β，∴③不成立．④把x ＝π8代入函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4，得y ＝－1.∴x ＝π8是函数图象的一条对称轴．⑤因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称中心在图象上，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0不在图象上，所以⑤不成立．答案 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)的值．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)． ∴sin α＝－2cos α. 可知cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34. 18．(12分)在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，求tan A 的值． 解 ∵sin A ＋cos A ＝22，① 两边平方，得2sin A cos A ＝－12，从而知cos A <0，∴∠A ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.∴sin A －cos A ＝ (sin A ＋cos A )2－4sin A cos A＝12＋1＝62.②由①②，得sin A ＝6＋24，cos A ＝－6＋24， ∴tan A ＝sin Acos A ＝－2－ 3.19．(12分)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间；(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到？解 (1)T ＝2π2＝π.(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . 所以所求的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)把y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π12个单位，再向上平移32个单位，即得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32的图象． 20．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数解析式；(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值； (3)求使y ≤0时，x 的取值范围． 解 (1)由题意知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π.∴ω＝2πT ＝2，由ω·π12＋φ＝0，得φ＝－π6，又A ＝5， ∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)函数的最大值为5，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )． ∴x ＝k π＋π3(k ∈Z )． (3)∵5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )． ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．21．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋β，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋β，即sin α＝2sin β① 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，即3cos α＝2cos β② ①2＋②2得2＝sin 2α＋3cos 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝12.∴cos α＝±22. 又∵α∈(0，π)，∴α＝π4，或α＝34π.(1)当α＝π4时，cos α＝22，cos β＝32cos α＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6.(2)当α＝3π4时，cos α＝－22，cos β＝32cos α＝－32， 又β∈(0，π)，∴β＝5π6. 综上，α＝π4，β＝π6，或α＝3π4，β＝5π6.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43. ∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43，当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数．它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1，或－tan θ≥3，即tan θ≥1，或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
高中人教A版数学必修4：第一章 章末检测 Word版含解析
第一章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．锐角都是第一象限角C ．第一象限角都是锐角D ．小于90°的角都是锐角答案：B2．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( ) A.17 B ．－17C ．－7D ．7答案：A解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35. ∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－15－75＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4答案：B解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π. 4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( ) A ．2 B.12C ．3 D.13答案：B解析：由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎫ω×2π3＝1，cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 5．sin(－1740°)的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案：D解析：sin(－1740°)＝sin60°＝32. 6．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 答案：B解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 7．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数的偶函数是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝tan x答案：A解析：作图比较可知．8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移23个单位 D ．向右平移23个单位 答案：C解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝⎛⎭⎫x ＋23， ∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移23个单位即可． 9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32C ．－32 D.12答案：B解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ax (x <0)g (x －1)(x ≥0)，则g ⎝⎛⎭⎫56等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：C 解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，∴g ⎝⎛⎭⎫56＝g ⎝⎛⎭⎫－16＝sin ⎝⎛⎭⎫－a 6＝ sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32. 11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以ωπ2＋π4≤ωx ＋π4≤ωπ＋π4，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A. 12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 答案：A解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2＝62＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 答案：m解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________．答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )．15．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域为________． 答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x ≥12， 如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6. 答案：①②解析：4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故①②正确，③④错误． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值． 解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54. 18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值． 解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，又∵⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ， ∴a ＝12或a ＝－14，经检验Δ≥0都成立， ∴a ＝12或a ＝－14.(2)∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴a <0， ∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝－62. 19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：当b ＞0时，⎩⎨⎧ a ＋b ＝52a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝32， g (x )＝－4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 当b ＜0时，⎩⎨⎧ a －b ＝52a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32， g (x )＝－4sin(－32x )＝4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. b ＝0时不符合题意．综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系是s ＝A sin(ω t ＋φ)，0<φ<π2，根据图象，求：(1)函数解析式；(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需要多长时间？解：(1)由图象知，34T ＝1112－16＝34，所以T ＝1.所以ω＝2πT＝2π. 又因为当t ＝16时取得最大值，所以令2π·16＋φ＝π2＋2k π， ∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以φ＝π6.又因为当t ＝0时，s ＝3， 所以3＝A sin π6，所以A ＝6，所以函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (2)因为A ＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(3)因为T ＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.21．(12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ω×0＋π6＝3sin π6＝32. (2)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π6)． (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35， ∴sin α＝±1－cos 2α＝± 1－⎝⎛⎭⎫352＝±45. 22．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； (3)将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，故函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )； (2)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上为减函数 又f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， ∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根． (3)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ∴g (x )＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－m ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2m 由题意得π4－2m ＝2k π，∴m ＝－k π＋π8，k ∈Z 当k ＝0时，m ＝π8，此时g (x )＝2sin2x 关于原点中心对称．。
(word版)高一数学必修四第一章测试题
宣威市第九中学第一次月考 高一数学试卷本试卷分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部，总分值 150分，时间120分钟.第一卷(选择题共60分)一．选择题〔每题5分，共60分〕1.与32角终边相同的角为〔〕号学A ．k36032，kZ B.k36212，kZC ．k360328，kZD. k360 328，kZ2.半径为1cm ，中心角为150o 的弧长为〔〕A ．2cmB．2 c mC ．5cmD ．5cm3363.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，那么y值为()名x姓3A.3B.-3C.D.-334.以下函数中属于奇函数的是〔〕A. y=cos(x )B. ysin(x)C. ysinx1 D. y cosx 12 2级5.要得到函sinx 的图象，只需将函数sinx 的图象 〔 〕数y y班3A.向左平移B.向右平移C.向左平移2D.向右平移233336. 点P(sin cos，tan )在第一象限，那么在[0，2π]内的取值范围是〔〕Ａ．Ｃ．π3π5，Uπ，π44π3π53，Uπ，π2 4 42Ｂ．Ｄ．ππU5，π，π24ππ3，π，π247 .函数y2sin(2x)的一条对称轴是〔〕A.x=B.x=4C.x=2D.x=68 .函数ysin(2x)的单调递增区间是〔〕3A．12k,5kZB．2k,52k kZ 121212C．6k,5k kZD．2k,52k kZ 666y9.函数ysin(x )(0,)的局部1 2图象如下列图，那么此函数的解析式为〔〕A．ysin(2x)B．ysin(2x)O37x488C．ysin(4x)D．y sin(4x)1410．在函数ysinx,ysinx,ysin(2x2),ycos(x2)中,最小正周期为的323函数的个数是()个个个个11.设f(x)是定义域为R，最小正周期为3的函数，假设f(x)cosx,(x),22sinx,(0x那么f(15)等于〔〕4A .2B.1 C.0D.2 221 2.设为常数，且a1,x[0,2,那么函数()cos22sin1〕fx x ax的最大值为〔. A.2a1 B.2a1C.2a1D.a2第二卷(非选择题共90分)二、填空题〔每题5分，共20分〕1 3.设角α的终边过点P(4t,3t)(tR,且t0),那么2sincos=1 4.函数ytan1x的定义域为341 5.求使sin3成立的的取值范围是216关于函数f(x)=4sin 2xπ(x∈R)，有以下论断：①函数y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π)；6②函数y=f(x)的最小正周期为2π；③函数y=f(x)的图象关于点π对称；，6④函数y=f(x)的图象可由y=4sin2x向左平移个单位得到..(3)其中正确的选项是将你认为正确的论断的序号都填上一、选择题〔每题5分，共60分〕12345678910111 2二、填空题〔每题5分，共20分〕13、14 、15 、16 、三、解答题〔共70分,解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕〔本小题总分值10分〕(1)化简12sin100cos1001cos2170;cos3500(2)sin 1是第四象限角,求cos、tan的值.,且218.〔本小题总分值12分〕sincos1，其中是ABC的一个内角.51〕求sincos的值；2〕判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；〔3〕求sin cos 的值.19．〔本小题总分值12分〕tan1，求〔１〕1tansin2的值;1sincossin2()sin2(2)sin()3〔2〕设f()22cos()2，求f()的值.cos2()320．〔本小题总分值12分〕函数f(x)2sinx sinx，0x2.假设方程f(x)m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.21〔本小题总分值12分〕函数f(x)2sin(2x)a．6〔１〕求函数f(x)的最小正周期;〔2〕求函数f(x)的单调递减区间;(3)假设x[0,]时，f(x)的最小值为－，求的值. 2222．〔本小题总分值12分〕函数yAsin(x)(A0,0,||)的一段图象如下列图，根2据图象求：〔1〕f(x)的解析式；y〔2〕函数f(x)的图象可以由函数ysinx(x R)的图象经过怎样的变换得到？3512x123。
(完整版)高中数学必修四第一章测试(可编辑修改word版)
3 2 22 2232 第一章 基本初等函数(Ⅱ)的测试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1．(2016·陕西延川县期中)半径为 π cm ，中心角为 120°的弧长为 ( ) π A.3π2cm B. 32π cm C. 3 12π2 cm D. 3cm 3π2．(2016·桂林全州学段考)如果 sin(π＋A )＝－2，那么 cos ( 2－A )等于( )1 A ．－2 1 B.2C. D．－ 3．若点 P (sin2，cos2)是角 α 终边上一点，则角 α 的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4右．图是函数 f (x )＝A sin ωx (A >0ω，>0)一个周期的图象则，f (1)＋f (2)＋f (3) ＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于()A. B.C ．2＋D ．27πsin 10cosπ 5．给出下列各函数值：①sin100°；②cos(－100°)；③tan(－100°)；④ 17π .其中符号为负的是()A ．①B ．②C ．③D ．④ tan 9 π16．把函数 y ＝sin (x ＋6)图象上各点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象π向右平移3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )π A. x ＝－2 π B. x ＝－4 π C. x ＝8 1 πD. x ＝47．(2016·山西大同一中测试)若 0<α<2π，且 sin α< ，cos α> ，利用三角函数线得到角 α2 的取值范围是()π ππ5π π5πA.(－3，3)B.(0，3)2sin αcos α－cos αC.( 3 ，2π)D.(0，3)∪( 3 ，2π)8．化简 ＋ 2 － － 2 等于( )1 sin α sin α cos α11 A ．tan α B.C ．－tan αD ．－tan αtan α32 2π ππ 5π 2π 2π9. 设 a ＝sin 7 ，b ＝cos 7 ，c ＝tan 7 ，则()A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cπ10．(2016·上海高考)设 a ∈R ，b ∈[0,2π]．若对任意实数 x ，都有 sin (3x －3)＝sin(ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为() A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A ＞0，ω＞0)的最大值是 4，最小值是 0，该函数的π π图象与直线 y ＝2 的两个相邻交点之间的距离为4，对任意的 x ∈R ，满足 f (x )≤|A sin (12ω＋φ)|＋m ，且 f (π)＜f (4)，则下列符合条件的函数的解析式是() π7πA ．f (x )＝2sin (4x ＋6)＋2B ．f (x )＝2sin (2x ＋ 6 )＋2π7πC ．f (x )＝2sin (4x ＋3)＋2D ．f (x )＝2sin (4x ＋ 6)＋212．(2016·山西榆社中学期中)函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ 是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：π①最小正周期为 π；②将 f (x )的图象向左平移6个单位，所得到的函数是偶函数；12π 14π 5π ③f (0)＝1； ④f ( 11 )<f ( 13)； ⑤f (x )＝－f( 3－x ).其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．sin(－120°)cos1 290°＋ cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝.14．(2016·河南灵宝高级中学期中)已知函数 f (x )＝3sin (ωx －6)(ω>0)和 g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1 的图象的对称轴完全相同，若 x ∈[0，2]，则 f (x )的取值范围是．221＋2sin(3π－α)cos(α－3π)sin(α－2 )－1－sin2(2 ＋α)3π5π32ππ2π15．(2016·河南洛阳八中月考)函数y＝f(cos x)的定义域为[2kπ－6，2kπ＋3 ](k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为．sin x＋cos x＋|sin x－cos x|16.已知函数f(x)＝2，则下列结论正确的是．π①f(x)是奇函数；②f(x)的值域是[－，1]；③f(x)是周期函数；④f(x)在[0，2]上递增．三、解答题(本大题共6 小题，共70 分)17．(10 分)化简，其中角α 的终边在第二象限．18．(12 分)已知函数y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示(ω>0)，试求它的表达式．1 19．(12 分)(2016·山西大同一中期中)已知α 是一个三角形的内角，且sinα＋cosα＝.5(1)求tanα 的值；1(2)用tanα 表示2 －并求其值．2sin αcos αx π20．(12 分)(2016·银川九中期中)已知函数f(x)＝3sin(2＋6)＋3.(1)用五点法画出这个函数在一个周期内的图象；(必须列表)(2)求它的振幅、周期、初相、对称轴方程；(3)说明此函数图象可由y＝sin x 在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到．21．(12 分)设函数f(x)＝sin(2ωx＋3)＋＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y 轴右[ ]ππ3 66．A 依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是 y ＝sin [2(x －π)＋π]＝sin 7π侧的第一个最低点的横坐标为 6.(1) 求 ω 的值；π 5π(2) 如果 f (x )在区间 － ， 上的最小值为3，求 a 的值．22．(12 分)已知函数 f (x )＝log a cos (2x －3)(其中 a >0，且 a ≠1)．(1) 求它的定义域；(2) 求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．2π 2π2详解答案1．D 120°＝ 3 ，∴弧长为 3，故选 D.1 1 3π12．A sin(π＋A )＝－2，∴sin A ＝2，cos ( 2 －A )＝－sin A ＝－2，故选 A. 3．D ∵2 弧度是第二象限角∴sin2＞0，cos2＜0. ∴点 P 在第四象限，∴角 α 的终边在第四象限，故选 D.2π π πx4．A 易知 A ＝2，由ω ＝8，得 ω＝4，∴f (x )＝2sin 4，又由对称性知，原式＝f (1)＝ π ＝ 2，故选 A.2sin 45．B ①sin100°>0；②cos(－100°)＝cos100°<0；③tan(－100°)＝－tan100°>0；④∵sin7π7π 17π sin 10cosπ 10>0，cosπ＝－1，tan 9<0，∴ 17π >0.其中符号为负的是②，故选 B. tan 93 6(2x －2)＝π－cos2x ，注意到当 x ＝－2时，y ＝－cos(－π)＝1，此时 y ＝－cos2x 取得最大值，因此π直线 x ＝－2是该图象的一条对称轴，故选 A .32 3 4π ( )( 33 3 π 2π7．D 如图示，满足 sin α< 的角 α 为(0，3)∪( 3 ，2π)，满足1 π 5π cos α>2的角 α 为(0，3)∪( 3 ，2π)，所以符π 5π合条件的角 α 为(0，3)∪( 3 ，2π)，故选 D.8．B 原式＝ cos α(2sin α－1) 1－cos 2α＋sin 2α－sin αcos α(2sin α－1) cos α(2sin α－1) ＝ ＝2sin 2α－sin α 1＝ .故选 B. tan αsin α(2sin α－1) 5π 2π 2π9．D a ＝sin 7 ＝sin 7 ＜tan 7＝c .2π π 2π 3π cos 7 ＝sin (2－ 7 )＝sin 14， 3π 2π 3π 2π∵14＜ 7 ，∴sin 14＜sin 7.故 b ＜a ＜c . π π10．B sin (3x －3)＝sin (3x －3＋2π)＝5π 5π ππ 4π sin (3x ＋ 3 )，(a ，b )＝(3， 3 )，又 sin (3x －3)＝sin [π－(3x －3)]＝sin (－3x ＋ 3 )，(a ，b )＝ (－3， 3 )，因为 b ∈[0,2π]，所以只有这两组．故选 B.π 2π π 11．D 由题意得Error!解得Error!由题可知周期 T ＝2，由T ＝ ω ＝2得 ω＝4，于是函π π π数 f (x )＝2sin(4x ＋φ)＋2.又由题可知 x ＝ 是函数的对称轴，故 4× ＋φ＝k π＋ ， 则 φ＝k π＋12 12 2π π 6(k ∈Z )，又因为 f (π)＜f(4)，验证选项 A 、D ，可得选项 D 正确．7π π 7π7π 3π12．C 由图象可知，A ＝2，T ＝(12－3)×4＝π，∴ω＝2，当 x ＝12时，2×12＋φ＝ 2，∴φ＝ π π π，∴f (x )＝2sin 2x ＋ 故①正确；f (0)＝2sin ＝ 3，故③不正确，故选 C.13.1解析：原式＝－sin120°cos210°＋cos60°sin30°＝ 3 1 1 － 2× － )＋ × ＝1.2 2 2331 23π π 3π 3 2π π解析：由题可知，f (x )与 g (x )的周期相同，∴T ＝ 2 ＝π，∴ω＝2，则 f (x )＝3sin (2x －6)， 当 0≤x ππ π 5π≤2x － 3 f (x )≤3. ≤2时，－6 6≤ 6 ，∴－ ≤ 15.[－2，1]π 2π 1 1解析：∵2k π－6≤x ≤2k π＋ 3 ，k ∈Z .∴－2≤cos x ≤1.∴f (x )的定义域为[－2，1].16．②③解析：f (x )＝Error!∴f (x )的图象如图所示．依据图象可知②③正确．17. 解 ： 原 式 ＝ 1＋2sin[2π＋(π－α)]cos[(α－π)－2π] －sin( 2 －α)－ 1－sin 2[2π＋(2＋α)]1＋2sin (π－α)cos (α－π) (cos α－sin α)2 ＝ ＝ .cos α－ 1－cos 2α∵α 是第二象限角，∴sin α>0，cos α－sin α<0. sin α－cos αcos α－|sin α| 于是，原式＝ － ＝－1.cos α sin αT 5π π π 2π18．解：∵2＝ 6 － ＝ ，ω>0，∴T ＝π，ω＝ T ＝2.3 2 π π 2π ∵图象过点(3，0)，∴f (3)＝A sin ( 3 ＋φ)＝0， 2π∴ 3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ， π令 k ＝0，得 φ＝3.又图象过点(0， )，由 A sin (2 × 0＋ )＝ 得，A ＝ 3. 2 3 2π∴所求表达式为 y ＝ sin (2x ＋3).19．解：(1)已知 α 是一个三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0.3 24 2 － 2 22 2－ 4 7 2 －2 π2 π1 1 24由sin α＋cos α＝ ，得 1＋2sin αcos α＝ ，∴2sin αcos α＝－ ，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－5 25 2549 7 4 32sin αcos α＝ ，∴sin α－cos α＝ .∴sin α＝ ，cos α＝－ ，25 5 5 54∴tan α＝－ . 31 sin 2α＋cos 2αtan 2α＋1(－3)2＋1 251 25 (2) ＝ ＝ ＝ sin α cos α sin α cos α tan α 120．解：(1)列表(－3)2－1 ＝ .∴ ＝ .sin α cos α 7x π － 3 2π 3 5π 3 8π 3 11π 3 x π＋ 2 6 0 π 2π 3π 2 2π y3633π x π π 2π (2) 周期 T ＝4π，振幅 A ＝3，初相 φ＝6，由 ＋ ＝k π＋ ，得 x ＝2k π＋ (k ∈Z )即为对称轴方程；2 6 23π π(3) ①由 y ＝sin x 的图象上各点向左平移 φ＝6个长度单位，得 y ＝sin (x ＋6)的图象；②由 y ＝sin (x ＋6)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得 y ＝sinx π(2＋6)的图象；x π③由 y ＝sin (2＋6)的图象上各点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变)，得 y ＝3sinx π(2＋6)的图象；x πx π④由 y ＝3sin (2＋6)的图象上各点向上平移 3 个长度单位，得 y ＝3sin (2＋6)＋3 的图象．7π π 3π 121．解：(1)依题意知，2× 6 ω＋3＝ 2 ⇒ω＝ .(2)由(1)知 f (x )＝sin (x ＋3)＋ ＋a ，32 3＋1 π π π 5π π 7π又当 x ∈[－3， 6 ]时，x ＋3∈[0， 6 ]，1 π故－2≤sin (x ＋3)≤1，π 5π 1 从而 f (x )在[－3， 6 ]上取最小值－2＋＋a . 1 3 因此－ ＋ ＋a ＝ 3，解得 a ＝ .222πππππ22．解：(1)由题意知 cos (2x －3)>0，∴2k π－2<2x －3<2k π＋2(k ∈Z )．即 k π－12<x <k π＋5ππ5π 12(k ∈Z )．故定义域为(k π－12，k π＋12)(k ∈Z )．π π2π π(2)由 2k π≤2x －3≤(2k ＋1)π(k ∈Z )，得 k π＋6≤x ≤k π＋ 3 (k ∈Z )．即 cos (2x －3)的单调π 2π 减区间为[k π＋6，k π＋ 3]ππ π π(k ∈Z )．由 2k π－π≤2x －3≤2k π(k ∈Z )，得 k π－3≤x ≤k π＋6(k ∈Z )．即 cos (2x －3)的单π π调增区间为[k π－3，k π＋6](k ∈Z )．π πππ5π∴函数 u ＝cos (2x －3)在(k π－12，k π＋6](k ∈Z )上是增函数，在[k π＋6，k π＋12)(k ∈Z )上 是减函数． ∴当 a >1 时，f (x )的单调增区间为 π π(k π－12，k π＋6](k ∈Z )． π 5π单调减区间为[k π＋6，k π＋12)(k ∈Z )．当 0<a <1 时，f (x )的单调增区间为π 5π[k π＋6，k π＋12)(k ∈Z )，单调减区间为π π(k π－12，k π＋6](k ∈Z )．(3)∵f (x )的定义域不关于原点对称， ∴函数 f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(4)∵f (x ＋π)＝log a cos [2(x ＋π)－3]＝log a cos (2x －3)＝f (x )．∴函数 f (x )的周期为 T ＝π.。
高中数学必修四第一章测试题
班级 姓名 学号 分数必修四第一章综合测试题（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共11个小题,每小题3分,共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α是第四象限的角，则 （ ）A. sin 0α> ;B. cos 0α> ;C. tan 0α> ;D. cot 0α> 2.函数sin y x =的最小正周期是（ ） A. π ； B. 2π ； C.π2 ； D. π43.若cos 0,tan 0θθ<>，则θ是第（ ）象限角.A.第一象限角；B.第二象限角；C.第三象限角；D.第四象限角 4. 函数的一个单调递增区间是（ ）A.；B.；C.；D. 5．若角α的终边经过点)2,1(-P ，则αtan 的值为（ ） A.55 B. 552-C. 2-D. 21-6.正弦函数x x f sin )(=图象的一条对称轴是（ ） A. 0=xB. 4π=x C. 2x π=D. π=x7. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. x x f sin )(=B. 1)(2+=x x fC. x x f ln )(=D.x x f cos )(=()cos f x x =(0)2π,(,)22ππ-(0)-π，(0,)π8.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A. B. C. D. 9.若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（ ） A. )(Z k k ∈+=+ππβαB. )(2Z k k ∈+=+ππβαC. )(2Z k k ∈+=+ππβαD. )(22Z k k ∈+=+ππβα10.先将函数的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图像向左平移个单位，则所得图像的对称轴可以为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）A ．在区间上单调递减B ．在区间上单调递增C ．在区间上单调递减D ．在区间上单调递增 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 12.=-)600cos( .2sin 2y x =12π()26k x k Z ππ=-∈()26k x k Z ππ=+∈()212k x k Z ππ=-∈()212k x k Z ππ=+∈2sin y x =12π12x π=-1112x π=6x π=-6x π=()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<π()f x 3π(0,1)P ()sin()f x x ωϕ=+[,]63ππ-[,]63ππ-[,]36ππ-[,]36ππ-13. 已知角的终边经过点13(,)22P ，则tan α的值为____________.14.已知函数（其中）图象过点，且在区间上单调递增，则的值为_______.15.函数()sin()f x A x ωϕ=+，0,0,A ω>>02πϕ<<的图象如右图所示，则f (x ) = .三、解答题 （本大题共4小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（本小题10分）已知A 是角终边上一点，且A 点的坐标为，求．（12分）17．（本小题12分）已知函数()sin f x x ωϕ，π(0,)2ωϕ的部分图象如图所示．（13分）（Ⅰ）写出函数)(x f 的最小正周期和其单调递减区间； （Ⅱ）求)(x f 的解析式．18.（本小题12分）已知函数()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈．列表并画出函数在922ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的简图；（10分）19．（本小题12分）已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值。
高中数学 必修四 文档：第一章章末综合检测 Word版含答案
, (时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简sin 600°的值是( )A ．0.5B ．－32C.32D ．－0.5 解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32.2．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2的值为( )A ．0B ．22C ．1D ．－1解析：选C.由题知[a ，b ]⊆⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos a ＋b 2＝cos 2k π＝1.3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{1}B ．{1，3}C ．{－1}D ．{－1，3}解析：选D.当x 为第一象限角时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，所以y ＝sin x sin x ＋cos xcos x＋tan xtan x＝3； 当x 为第二象限角时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，所以y ＝sin x sin x ＋－cos x cos x ＋tan x－tan x＝－1；当x 为第三象限角时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，所以y ＝sin x －sin x ＋－cos x cos x＋tan x tan x ＝－1；当x 为第四象限角时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，所以y ＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x －tan x ＝－1. 综上可知，值域为{－1，3}．4．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝( )A.56π B ．16π C.π2 D ．π3解析：选A.y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2（x －π2）＋φ的图象，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．因为其图象与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，所以φ－π＝π3－π2＋2k π，所以φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又因为－π≤φ<π，所以φ＝5π6.5．要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C.因为函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12，所以将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，即可得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图像．故应选C.6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：f 1(x )＝2cos 2x ，f 2(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，f 3(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－1，则( )A ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两为“同形”函数；B ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两不为“同形”函数；C ．f 1(x )，f 2(x )为“同形”函数，且它们与f 3(x )不为“同形”函数；D ．f 2(x )，f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数．解析：选D.由题意得f 2(x )与f 3(x )中，A ，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f 2(x )与f 3(x )为“同形”函数，而f 1(x )中ω＝2与f 2(x )，f 3(x )中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f 1(x )不为“同形”函数．7．已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )A ．f (cos α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β) 解析：选D.由已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，知函数f (x )在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞π2且0＜α，β＜π2，则π2＞α＞π2－β＞0，所以sinα＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f (sin α)<f (cos β)成立，选D.8．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选B.法一：将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位后所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ωπ2＋φ，而平移后所得图像与原图像重合，所以ωπ2＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝4k (k ∈Z )，所以ω的值不可能等于6，故选B. 法二：当ω＝4时，将函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝2sin(4x ＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数f (x )＝2sin(6x＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝2sin(6x ＋3π＋φ)＝－2sin(6x ＋φ)，与原函数不相同，故选B.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|＜π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：选C.因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6，知f ⎝⎛⎭⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值．函数f (x )的周期T ＝π，所以f (π)＝f (0)．又因为函数的对称轴为x ＝π6，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，知f ⎝⎛⎭⎫π2＞f ⎝⎛⎭⎫π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π6是函数f (x )的最小值，所以2×π6＋φ＝－π2，解得φ＝－56π.由－π2＋2k π≤2x－56π≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )． 10．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A ．10小时B ．8小时C ．6小时D ．4小时解析：选B.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，2πω＝12，解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，则y ＝0.5cos πt 6＋1.令y ＝0.5cos πt 6＋1>1.25(t ∈[0，24])得cos πt 6>12.又t ∈[0，24]，πt6∈[0，4π]，因此0≤πt 6<π3或5π3<πt 6≤2π或2π≤πt 6<2π＋π3或2π＋5π3<πt6≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12≤t <14或22<t ≤24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同实数解，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2与y ＝m 有两个不同交点．令u ＝2x －π6，由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2得u ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，在同一直角坐标系中做出函数y ＝2sinu 与y ＝m 的图像(如图)，可知1≤m <2.答案：[1，2)12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈[－π，0])的递减区间是________．解析：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝－1，得－5π6≤x ≤－π3，得函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3.答案：⎣⎡⎦⎤－5π6，－π313．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小关系为________(按由小至大顺序排列)．解析：a ＝sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－5π7＝sin 2π7，b ＝cos 2π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2π7＝sin 3π14，因为0＜3π14＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以b ＜a ；又因为0＜π4＜2π7＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以c ＝tan 2π7＞tan π4＝1，所以b ＜a ＜c . 答案：b ＜a ＜c14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度可得y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．解析：将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确的是________．解析：①f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，正确；②T ＝2π2＝π，最小正周期为π，错误；③令2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，所以函数f (x )关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，正确；④令2x ＋π3＝k π＋π2，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾，错误．所以①③正确． 答案：①③三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)计算3sin （－1 200°）tan 113π－cos 585°·tan ⎝⎛⎭⎫－374π. 解：原式＝3sin （－120°－3×360°）tan ⎝⎛⎭⎫3π＋2π3－cos(225°＋360°)·tan ⎝⎛⎭⎫－9π－14π＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4＝3·323＋⎝⎛⎭⎫－22×1＝32－22.17. (本小题满分10分)(1)求函数y ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的最大值和最小值及相应的x 值；(2)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．解：(1)当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－1，即x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝－23π＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最大值1＋2＝3.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，即x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值1－2＝－1.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12.当a ＞0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3.所以12a ＋3＝4，所以a ＝2.当a ＜0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3.所以－a ＋3＝4，所以a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.18．(本小题满分10分)为得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像，只要把函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换？解：法一：①把函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像．法二：将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin2x 的图像；②把得到的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像； ③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎛⎭⎫2x －3π，列表如下：描点连线，可得函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像如下．20．(本小题满分13分)已知A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P (1，－3)，若|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，不等式mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为角φ的终边经过点P (1，－3)，所以tan φ＝－3，且－π2＜φ＜0，得φ＝－π3.函数f (x )的最大值为2，又|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3，得周期T ＝2π3，即2πω＝2π3，所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3.(2)令－π2＋2k π ≤3x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π18＋2k π3≤x ≤5π18＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－π18＋2k π3，5π18＋2k π3，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－π3≤3x －π3≤π6，得－3≤f (x )≤1，所以2＋f (x )＞0，则mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立等价于m ≥f （x ）2＋f （x ）＝1－22＋f （x ）恒成立．因为2－3≤2＋f (x )≤3，所以1－22＋f （x ）最大值为13，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，＋∞.。
人教版高中数学必修4第一章单元测试(二)- Word版含答案
系统知识,持续更新.欢迎关注主页公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号！2018-2019学年必修四第一章训练卷三角函数（二）后附答案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．化简sin600︒的值是（ ）A ．0.5B ．0.5- CD．2．若sin cos 0x x ⋅<，则角x 的终边位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限3．函数tan2xy =是（ ） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数4．已知4tan 53α⎛⎫--π=- ⎪⎝⎭，则tan 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．－5B ．5C ．±5D ．不确定5．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于（ ）A ．1B ．2C ．12 D ．136．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于（ ）A ．2π-B ．2k π－2π(k ∈Z) C ．k π(k ∈Z)D ．k π＋π2(k ∈Z)7．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin cos θθ的值是（ ）A ．310-B ．310 C ．3±10D ．348．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是（ ） A ．y ＝sin 210x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．y ＝sin 25x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．y ＝sin 1210x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．y ＝sin 1220x π⎛⎫- ⎪⎝⎭9．将函数y ＝sin(x －θ)的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x ＝4π，则θ的一个可能取值是（ ） A ．512π B ．－512π C ．1112πD ．－1112π10．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是（ ）11．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos 322x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．0B ．1C ．2D ．412．设a ＝sin 57π，b ＝cos 27π，c ＝tan 27π，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．如果cos α＝15，且α是第四象限的角，那么cos 2απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________．14．设定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．15．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．16．给出下列命题：（1）函数y ＝sin|x |不是周期函数； （2）函数y ＝tan x 在定义域内为增函数； （3）函数y ＝|cos2x ＋12|的最小正周期为2π； （4）函数y ＝4sin 32x ⎛π⎫ ⎪⎝⎭＋，x ∈R 的一个对称中心为,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的序号是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知α是第三象限角，()()()()3sin cos tan 22tan sin f ααααααππ⎛⎫⎛⎫-+π- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--π-π-＝． （1）化简f (α)；（2）若31cos 25α⎛⎫-π= ⎪⎝⎭，求f (α)的值．18．（12分）已知4sin 2cos 3sin 5cos θθθθ-+＝611，求下列各式的值．（1）2225cos sin 2sin cos 3cos θθθθθ+-； （2）1－4sin θcos θ＋2cos 2θ．系统知识,持续更新.欢迎关注主页公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号！19．（12分）已知sin α＋cos α＝15．求：（1）sin α－cos α；（2）sin 3α＋cos 3α．20．（12分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<2)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程．21．（12分）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0≤φ≤2π)在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π，y min ＝－3． （1）求出此函数的解析式； （2）求该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m ，满足不等式Asin(φ)>Asin(＋φ)？若存在，求出m 的范围（或值），若不存在，请说明理由．22．（12分）已知某海滨浴场海浪的高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：（1）根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？系统知识,持续更新.欢迎关注主页2018-2019学年必修四第一章训练卷三角函数（二）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】sin 600sin 60︒=-︒=．故选D ． 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B【解析】由图象知2T ＝2π，T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2．故选B ．6．【答案】D【解析】若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0， ∴φ＝k π＋π2，(k ∈Z)．故选D ．7．【答案】B 【解析】∵sin cos tan 12sin cos tan 1θθθθθθ++==--，∴tan θ＝3．∴sin θcos θ＝22sin cos sin cos θθθθ+＝2tan tan 1θθ+＝310．故选B ．8．【答案】C【解析】函数y ＝sin x 向右平移10π个单位长度，y ＝sin 10x π⎛⎫- ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y ＝sin 1210x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选C ．9．【答案】A【解析】将y ＝sin(x －θ)向右平移3π个单位长度得到的解析式为y ＝sin 3x θ⎡π⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 3x θπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．其对称轴是x ＝4π，则4π－3π－θ＝k π＋2π(k ∈Z)∴θ＝－k π－712π(k ∈Z)．当k ＝－1时，θ＝512π．故选A ．10．【答案】D【解析】图A 中函数的最大值小于2，故0<a <1，而其周期大于2π．故A 中图象可以是函数f (x )的图象．图B 中，函数的最大值大于2，故a 应大于1，其周期小于2π，故B 中图象可以是函数f (x )的图象．当a ＝0时，f (x )＝1，此时对应C 中图象，对于D 可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D 中图象不可能为函数f (x )的图象．故选D ． 11．【答案】C【解析】函数y ＝cos 322x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 2x ，x ∈[0,2π]，图象如图所示，直线y ＝12与该图象有两个交点．故选C ．12．【答案】D 【解析】∵a ＝sin57π＝sin 57π⎛⎫π- ⎪⎝⎭＝sin 27π．27π－4π＝828π－287π>0．∴4π<27π<2π．又α∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，sin α>cos α．∴a ＝sin 27π>cos 27π＝b ．又α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，sin α<tan α．∴c ＝tan 27π>sin 27π＝a ．∴c >a ．∴c >a >b ．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【解析】∵α是第四象限的角且cos α＝15．∴sin α，∴cos 2α⎛⎫ ⎪⎝π⎭＋＝－sin α．14．【答案】23 【解析】由6cos 5tan y xy x =⎧⎨=⎩消去y 得6cos x ＝5tan x ．整理得6cos 2x ＝5sin x ，6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)(2sin x ＋3)＝0， 所以sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)．点P 2的纵坐标y 2＝23，所以|P 1P 2|＝23． 15．【答案】3【解析】由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知：2T ＝(－3π)－(－23π)＝3π，∴T ＝23π．∵T ＝2ωπ＝23π，∴ω＝3． 16．【答案】（1）（4）【解析】本题考查三角函数的图象与性质．（1）由于函数y ＝sin|x |是偶函数，作出y 轴右侧的图象，再关于y 轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；（2）错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；（3）由周期函数的定义1cos 2()22f x x f x π⎛⎫=≠⎭+ ⎪⎝＋，∴2π不是函数的周期；（4）由于06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故根据对称中心的意义可知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故只有（1）（4）是正确的．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）()()()()3sin cos tan 22tan sin f ααααααππ⎛⎫⎛⎫-+π- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--π-π-＝()()sin sin tan 2tan sin αααααπ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- cos sin tan tan si c s n o αααααα=-＝-．（2）∵3cos 2α⎛⎫-π ⎪⎝⎭＝3cos 2α⎛⎫π- ⎪⎝⎭＝－sin α＝15．∴sin α＝－15．∵α是第三象限角，∴cos α．∴f (α)＝－cos α． 18．【答案】（1）1；（2）－15．【解析】由已知4sin 2cos 3sin 5cos θθθθ-+＝611，∴4tan 23tan 5θθ-+＝611．解得：tan θ＝2．（1）原式＝25tan 2tan 3θθ+-＝55＝1．（2）原式222222sin 4sin cos 3cos sin 4sin cos 3cos sin cos θθθθθθθθθθ=-+++=- 22tan 4tan 31tan θθθ-+=+＝－15． 19．【答案】（1）±75；（2）37125．【解析】（1）由sin α＋cos α＝15，得2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，∴sin α－cos α＝±75． （2）sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，由（1）知sin αcos α＝－1225且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝15×12125⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝37125． 20．【答案】（1）f (x )＝2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）由图象知A ＝2．f (x )的最小正周期T ＝4×5126ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π， 故ω＝2T π＝2．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入f (x )的解析式得sin 3ϕπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1，又|φ|<2π，∴φ＝6π，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（2）变换过程如下： y ＝2sin x 图象向左平移6π个单位得y ＝2sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又所有点的横坐标缩短为原来的12且纵坐标不变得y ＝2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．21．【答案】（1）y ＝3sin 13510x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）[]104,10Z ()k k k π-ππ+∈π；系统知识,持续更新.欢迎关注主页（3）存在，见解析． 【解析】（1）由题意得A ＝3，12T ＝5π⇒T ＝10π，∴ω＝2T π＝15．∴y ＝3sin 15x ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin 5ϕπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3，∵0≤φ≤2π，∴φ＝2π－5π＝310π．∴y ＝3sin 13510x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（2）当2k π－2π≤15x ＋310π≤2k π＋2π时，即10k π－4π≤x ≤10k π＋π时， 原函数单调递增．∴原函数的单调递增区间为[]104,10Z ()k k k π-ππ+∈π．（3）m 满足2223040m m m ⎧-++≥⎪⎨-+≥⎪⎩，解得－1≤m ≤2．∵－m 2＋2m ＋3＝－(m －1)2＋4≤4，∴， 同理．由（2）知函数在[－4π，π]上递增， 若有：Asin(φ)>Asin(φ)，m >12成立即可， 所以存在m ∈(12，2]，使Asin(φ)>Asin(φ)成立． 22．【答案】（1）12，12，1cos 126y t π=+；（2）上午9∶00至下午3∶00． 【解析】（1）由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2T π＝212π＝6π，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5． 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0．∴A ＝0.5，b ＝1，∴1cos 126y t π=+．（2）由题知，当y >1时才可对冲浪者开放，∴1cos 126t π+>1，∴cos 6t π>0，∴2k π－2π<6πt <2k π＋2π，即12k －3<t <12k ＋3．①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0，1，2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24． ∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00．。
高中数学必修四第一章测试题
高中数学必修四第一章测试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知\( a \)，\( b \)为常数，若\( y = ax^2 + bx + c \)的顶点坐标为(-1, -2)，则\( a \)的值为：A. -1B. 1C. 2D. 33. 函数\( y = \frac{1}{x} \)的图像在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 若\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个根为\( x_1 \)和\( x_2 \)，则\( x_1 + x_2 \)的值是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 函数\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)的极大值点是：A. \( x = 1 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 3 \)D. 无极大值点6. 已知\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，求\( \cos^2 \theta \)的值。
A. \( \frac{9}{25} \)B. \( \frac{16}{25} \)C. \( \frac{9}{25} \times \frac{16}{25} \)D. \( \frac{16}{25} \times \frac{16}{25} \)7. 以下哪个函数是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = |x| \)C. \( y = x^3 \)D. \( y = \sin x \)8. 已知\( \cos \alpha = \frac{4}{5} \)，且\( \alpha \)在第二象限，求\( \sin \alpha \)的值。
A. \( -\frac{3}{5} \)B. \( \frac{3}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \)D. \( \frac{4}{5} \)9. 以下哪个选项是\( y = \ln x \)的图像？A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 指数曲线10. 若\( \tan \beta = 2 \)，求\( \sin^2 \beta \)的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 基本初等函数(Ⅱ)的测试时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2016·陕西延川县期中)半径为π cm ，中心角为120°的弧长为 ( ) A.π3 cm B.π23 cm C.2π3 cm D.2π23 cm 2．(2016·桂林全州学段考)如果sin(π＋A )＝－12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．若点P (sin2，cos2)是角α终边上一点，则角α的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．右图是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )A. 2B.22C ．2＋ 2D ．2 2 5．给出下列各函数值：①sin100°；②cos(－100°)；③tan(－100°)；④sin7π10cosπtan17π9.其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④6．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π47．(2016·山西大同一中测试)若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，利用三角函数线得到角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3B.⎝⎛⎭⎫0，π3C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 8．化简2sin αcos α－cos α1＋sin 2α－sin α－cos 2α等于( )A ．tan α B.1tan α C ．－tan α D ．－1tan α9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c10．(2016·上海高考)设a ∈R ，b ∈[0,2π]．若对任意实数x ，都有sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3＝sin(ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A ＞0，ω＞0)的最大值是4，最小值是0，该函数的图象与直线y ＝2的两个相邻交点之间的距离为π4，对任意的x ∈R ，满足f (x )≤⎪⎪⎪⎪A sin ⎝⎛⎭⎫π12ω＋φ＋m ，且f (π)＜f ⎝⎛⎭⎫π4，则下列符合条件的函数的解析式是( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6＋2 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋7π6＋2 12．(2016·山西榆社中学期中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f (x )的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1； ④f ⎝⎛⎭⎫12π11<f ⎝⎛⎭⎫14π13； ⑤f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫5π3－x . 其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin(－120°)cos1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝__________.14．(2016·河南灵宝高级中学期中)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 15．(2016·河南洛阳八中月考)函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．16．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋|sin x －cos x |2，则下列结论正确的是________．①f (x )是奇函数；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－22，1；③f (x )是周期函数；④f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上递增． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)化简1＋2sin (3π－α)cos (α－3π)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2＋α，其中角α的终边在第二象限．18．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示(ω>0)，试求它的表达式．19．(12分)(2016·山西大同一中期中)已知α是一个三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)用tan α表示1sin 2α－cos 2α并求其值．20．(12分)(2016·银川九中期中)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋3.(1)用五点法画出这个函数在一个周期内的图象；(必须列表) (2)求它的振幅、周期、初相、对称轴方程；(3)说明此函数图象可由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到．21．(12分)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3＋32＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最低点的横坐标为7π6.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，5π6上的最小值为3，求a 的值．22．(12分)已知函数f (x )＝log a cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(其中a >0，且a ≠1)． (1)求它的定义域； (2)求它的单调区间； (3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．详解答案1．D 120°＝2π3，∴弧长为2π23，故选D.2．A sin(π＋A )＝－12，∴sin A ＝12，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝－12，故选A. 3．D ∵2弧度是第二象限角∴sin2＞0，cos2＜0. ∴点P 在第四象限，∴角α的终边在第四象限，故选D.4．A 易知A ＝2，由2πω＝8，得ω＝π4，∴f (x )＝2sin πx4，又由对称性知，原式＝f (1)＝2sin π4＝2，故选A.5．B ①sin100°>0；②cos(－100°)＝cos100°<0；③tan(－100°)＝－tan100°>0；④∵sin 7π10>0，cosπ＝－1，tan 17π9<0，∴sin 7π10cosπtan17π9>0.其中符号为负的是②，故选B. 6．A 依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝ －cos2x ，注意到当x ＝－π2时，y ＝－cos(－π)＝1，此时y ＝－cos2x 取得最大值，因此直线x ＝－π2是该图象的一条对称轴，故选A .7．D 如图示，满足sin α<32的角α为⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，2π，满足cos α>12的角α为⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π，所以符合条件的角α为⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π，故选D. 8．B 原式＝ cos α(2sin α－1)1－cos 2α＋sin 2α－sin α＝cos α(2sin α－1)2sin 2α－sin α＝cos α(2sin α－1)sin α(2sin α－1) ＝1tan α.故选B. 9．D a ＝sin 5π7＝sin 2π7＜tan 2π7＝c .cos 2π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2π7＝sin 3π14， ∵3π14＜2π7，∴sin 3π14＜sin 2π7.故b ＜a ＜c . 10．B sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3＋2π＝ sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋5π3，(a ，b )＝⎝⎛⎭⎫3，5π3，又sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫3x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋4π3，(a ，b )＝⎝⎛⎭⎫－3，4π3，因为b ∈[0,2π]，所以只有这两组．故选B. 11．D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，m ＝2.由题可知周期T ＝π2，由T ＝2πω＝π2得ω＝4，于是函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)＋2.又由题可知x ＝π12是函数的对称轴，故4×π12＋φ＝k π＋π2，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又因为f (π)＜f ⎝⎛⎭⎫π4，验证选项A 、D ，可得选项D 正确． 12．C 由图象可知，A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫7π12－π3×4＝π，∴ω＝2，当x ＝7π12时，2×7π12＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3故①正确；f (0)＝2sin π3＝3，故③不正确，故选C. 13.1解析：原式＝－sin120°cos210°＋cos60°sin30°＝ －32×⎝⎛⎭⎫－32＋12×12＝1. 14.⎣⎡⎦⎤－32，3 解析：由题可知，f (x )与g (x )的周期相同，∴T ＝2π2＝π，∴ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当0≤x ≤π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴－32≤f (x )≤3.解析：∵2k π－π6≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .∴－12≤cos x ≤1.∴f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，1. 16．②③解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥cos x ，2cos x ，sin x <cos x ，∴f (x )的图象如图所示．依据图象可知②③正确． 17．解：原式＝1＋2sin[2π＋(π－α)]cos[(α－π)－2π]－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－ 1－sin 2⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝1＋2sin (π－α)cos (α－π)cos α－1－cos 2α＝(cos α－sin α)2cos α－|sin α|.∵α是第二象限角， ∴sin α>0，cos α－sin α<0. 于是，原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.18．解：∵T 2＝5π6－π3＝π2，ω>0，∴T ＝π，ω＝2πT ＝2.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0，∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ， 令k ＝0，得φ＝π3.又图象过点⎝⎛⎭⎫0，32，由A sin ⎝⎛⎭⎫2×0＋π3＝32得，A ＝ 3. ∴所求表达式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 19．解：(1)已知α是一个三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0.由sin α＋cos α＝15，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝75.∴sin α＝45，cos α＝－35，(2)1sin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－1＝⎝⎛⎭⎫－432＋1⎝⎛⎭⎫－432－1＝257.∴1sin 2α－cos 2α＝257.20．解：(1)列表x －π3 2π3 5π3 8π3 11π3 x 2＋π6 0 π2 π 3π2 2π y3633(2)周期T ＝4π，振幅A ＝3，初相φ＝π6，由x 2＋π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )即为对称轴方程；(3)①由y ＝sin x 的图象上各点向左平移φ＝π6个长度单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象； ②由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象；③由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象；④由y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象上各点向上平移3个长度单位，得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋3的图象． 21．解：(1)依题意知，2×7π6ω＋π3＝3π2⇒ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋32＋a ， 又当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤0，7π6， 故－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1， 从而f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，5π6上取最小值－12＋32＋a .因此－12＋32＋a ＝3，解得a ＝3＋12.22．解：(1)由题意知cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3>0，∴2k π－π2<2x －π3<2k π＋π2(k ∈Z )．即k π－π12<x <k π＋5π12(k ∈Z )．故定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)由2k π≤2x －π3≤(2k ＋1)π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．即cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3 (k ∈Z )．由2k π－π≤2x －π3≤2k π(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．即cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． ∴函数u ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎝⎛⎦⎤k π－π12，k π＋π6(k ∈Z )上是增函数，在⎣⎡⎭⎫k π＋π6，k π＋5π12(k ∈Z )上是减函数．∴当a >1时，f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π－π12，k π＋π6(k ∈Z )．单调减区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π6，k π＋5π12(k ∈Z )． 当0<a <1时，f (x )的单调增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π6，k π＋5π12(k ∈Z )，单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π12，k π＋π6(k ∈Z )． (3)∵f (x )的定义域不关于原点对称， ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (4)∵f (x ＋π)＝log a cos ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)－π3＝ log a cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为T ＝π.。