辽宁省2020年高考理科数学质量检测试题及答案

4
相切的圆的方程为 ______ ．
3
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 试题考生都必须作答．第 22、 23 为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题（共 60 分）
17. ( 本小题满分 12 分 )
17～ 21 题为必考题，每个
已知数列 an 满足 a1 1 , an 2an 1 2n 1 n 2 ，数列 bn 满足 bn an 2n 3 .
由题意 l1 的斜率 k 存在且不为 0，设 l1 的方程为 y k( x 1) ，
y k( x 1)
由
y2 4x
k 2 x2 (2k 2 4) x k 2 0
4 x1 x2 2 k 2
则 AB
x1
x2
p
4
4 k 2 ，同理得
DE
x3 x4 p 4 4k2
故S
1 AB DE
2
1 (4
2
4 k2 )(4
辽宁省 2020 年高考理科数学质量检测试题及答案
（满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。）
1. 设集合 A x | x2 x 2 0 ， B x | log2 x 0 ，则 A B
其中
，
，
，
，
.
从而
，
，
，
设
，从而得
，
，
设平面 MBD的法向量为
，
7
若直线 PA// 平面 MBD，满足
，
即
，
得
，取
，
且
，
直线 BP与平面 MBD所成角的正弦值等于：
.
20 解：（ 1）设 P( y02 , y0 ) ，则点 P 到直线 x y 3 0 的距离 d 2p
若
0 ，则 d min 0 不合题意，所以
16 ．
3
9
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）当 n 1 时， a1 1 ，故 b1 6 .
当 n 2 时， an 2an 1 2n 1，
则 bn an 2n 3 2an 1 2n 1 2n 3 2 an 1 2n 1 2 an 1 2 n 1 3 ，
bn 2bn 1 ，
数列 bn 是首项为 6 ，公比为 2 的等比数列 .
（ 2）过点（ 1， 0）作两条互相垂直的直线 l1、 l2 ，与抛物线 C 分别交于 A、B、 D、E ，求四边
4
形 ADBE 的面积 S 的最小值．
21. ( 本小题满分 12 分 )
已知 f ( x)
1
1
e ln x
x.
e
x
（ 1）求函数 f ( x) 的极值；
（ 2）设 g (x) ln( x 1)
梅的单位利润为
（元 / ），请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总
利润（万元）的期望更大？并说明理由 .
降雨量
亩产量
500
700
600
400
19. （本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 PABCD－中， AB//CD， AB＝ 1， CD＝ 3， AP＝ 2， DP＝2 ， PAD＝60°， AB⊥平 面 PAD，点 M在棱 PC上．
的概率为
（ 2）据题意，总利润为
（或 元，其中
所以随机变量（万元）的分布列如下表：
27
35
.） 31.2
. 22.4
0.2 故总利润（万元）的期望
0.4
0.3
6
0.1 （万元）
因为
，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大
19. 解：（Ⅰ）因为 AB⊥平面 PAD，所以 AB⊥DP，
②当 a 2 时，设 h x ex 1 a ， h x ex
1
2
x1
x1
x 1 2 ex 1
2
0，
x1
所以 g x 在 0, 上单调递增，且 g 0 2 a 0 ，则存在 x0 0, ，使得 g x 0
所以 g x 在 0, x0 上单调递减，在 x0,
上单调递增，又 g x0 g 0 1，
所以 g x 1不恒成立，不合题意 .
(1) 求证：平面 PAB⊥平面 PCD；
(2)若直线 PA// 平面 MBD ，求此时直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值．
20. （本小题满分 12 分）
已知 P 为抛物线 C : y2 2 px( p 0) 上一点，点 P 到直线 x y 3 0的最小距离为 2 ．
（ 1）求抛物线 C 的方程；
又因为
， AP=2，∠ PAD=60°，
由
，可得
，
所以∠ PDA=30°，所以∠ APD=90°，即 DP⊥AP，
因为
，所以 DP⊥平面 PAB，
因为
，所以平面 PAB⊥平面 PCD
（Ⅱ）由 AB⊥平面 PAD 以点 A 为坐标原点， AD所在的直线为 y 轴， AB 所在的直线为 z 轴，如图所示建立空间直角坐标系 .
时，函数 f x 的最大值为 2 e
对于任意 x1 0,
, x2 1,
，总有 g x1
e f x2 成立，等价于 g x
2
g x ex 1 a x1
① a 2时，因为 ex x 1 ，所以 g x
ex 1 a x 1 1 a 2
x1
x1
1恒成立， a 0 ，即 g x 在
0, 上单调递增， g x g 0 1 恒成立，符合题意 .
a ， b 分别为 5， 2，
则输出的 n
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
10. 已知抛物线 y
1 x 2 的焦点 4
F 是椭圆
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0) 的一个焦点，且该抛物线的准线与
椭圆相交于 A 、 B 两点，若 FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为
A. 3 1
B. 2 1
C. 3 D.
A. [2 k
5 ,2 k
6
]( k z) 6
C. [ k
,k
]( k z)
3
6
B. [2k D. [k
2
,2 k ]( k z)
3
3
5 ,k
]( k z)
12
12
8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清
明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长
13. 在锐角三角形 ABC 中， a ，b ，c 分别为角 A 、 B 、C 所对的边， 且 3a 2csin A ，c 7 ，
且 ABC 的面积为 3 3 ， a b 的值为 __________． 2
14. 在三棱锥 S ABC 中， SAB SAC ACB 90 ， AC 2 ， BC 13 ， SB 29 ，
A. ( 1,2)
B. (0,1)
2. 设 z
1
i ， z 是 z 的共轭复数，则
zz
1i
A. -1
B. i
C. ( ,2)
C. 1
D. ( 1,1)
D. 4
3. 已知向量 m
x2 ,1 ，n
x,2 ，命题 p : x 1 ，命题 q : 2
0,使得 m n 成立， 则命题 p
是命题 q 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
4k 2 )
8k 2
8 k2
16 即 S
2
8k2
8 k2
16
32 ，当且仅
当 8k 2
8 k2 即k
1 时，等号成立， 所以 Smin 32
8
21. (1)
fx
e1 e
x
1 x2
1
1 xe x
e x2
所以 f x 的极小值为： f 1 e
2 ，极大值为： f e
2
；
e
e
(2) 由(1) 可知当 x 1,
6. 已知点 A 2 5,3 10 在双曲线 10
b2
1 b 0 上，则该双曲线的离心率为
A. 10 3
B. 10
C.
2
10
D.
2 10
D. 0.0794
1
7. 若函数 f ( x) 3sin x cos x( 0) ，且 f ( ) 2, f ( ) 0,
的最小值是 ，则 f ( x) 2
的单调递增区间是
0即 0 p 6
y02 y0 3 2p
2
所以当 y0 p 时， dmin
p 3
2 2
2 ，解得 p 2
即抛物线 C 的方程为 y2 4 x ；
（ 2）因为抛物线 C 的方程为 y 2 4x ，所以（ 1， 0）是焦点
设 l1 交抛物线 C 于 A( x1, y1), B(x2, y2 ) ， l2 交抛物线 C 于 D ( x3 , y3), E ( x4 , y4 )
（ α 为参数）以坐标系原点为极
点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ ． （ 1）写出曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（ 2）设点 P 在 C1 上，点 Q在 C2 上，且∠ POQ= ，求△ POQ的面积的最大值．
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 bn 3 2n ， an bn 2n 3 3 2n 2n 3 ，
Sn 3 2 2 2
2n 2 1 2
Sn 3 2n 1 n2 4n 6 .
n 3n
n
21 2 3
12
n n 1 3n ，
18. 解 : （ 1）频率分布直方图中第四组的频率为
该地区在梅雨季节的降雨量超过
的概率为
所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过
（ 1）求证数列 bn 是等比数列；
（ 2）求数列 an 的前 n 项和 Sn .
18.( 本小题满分 12 分 ) 每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续
25 天左右的梅雨季节， 如图是江南某地区 2009 ～
2018 年 10 年间梅雨季节的降雨量（单位： 解答下列问题：
）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，
3
（ 1）假设每年的梅雨季节天气相互独立，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超
过 350 的概率；
（ 2）老李在该地区承包了 20 亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为
28 万元 . 而乙品种杨梅的亩产量 （ / 亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为
A. 3
B. x 1
x2
C. 5
D. 2
5. 已知随机变量 服从正态分布 N (0,1) ，如果 P( 1) 0.8413 ，则 P( 1
0)
A. 0.3413
B. 0.6826
C. 0.1587
x2 y2
则异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值为 __________ ．
15.
x
y
2x
5
y 的展开式中
x 3y 3 的系数为 _______（用数字填写答案）
.
16. 已知椭圆 C ： x2 2
y2 1，直线 l ： y
x 1与椭圆 C 交于 A ， B 两点，则过点 A ， B 且与
直线 m ： x
综合①②可知，所求实数 a 的取值范围是
,2 .
22. （ 1）曲线 C1 的参数方程为
（ α 为参数），
转换为直角坐标方程为： （ x-2 ） 2+y2=4，
转换为极坐标方程为： ρ=4cos θ．
曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ ， 转换为直角坐标方程为： x2+y2-2y=0 ．
9
2
3
2
11. 已知三棱锥 S ABC 所有顶点都在球 O 的球面上， 且 SC 平面 ABC ，若 SC AB AC 1，
Байду номын сангаас
BAC 1200 ，则球 O 的表面积为
2
A． 5 2
B
．5
C ．4
D
．5
3
12. 已知 为偶函数，对任意
，
恒成立，且当
时，
.设
函数
，则
的零点的个数为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
ax e
x
，对于任意
x1
[0,
成立，求实数 a 的取值范围 .
) ， x2 [1, ) ，总有 g x1
e f x2
2
（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。）
22． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（ 2）点 P 在 C1 上，点 Q在 C2 上，且∠ POQ= ，
则：
=
，
因为
, 所以
，
所以
当
时，此时
的面积由最大值，
此时最大值为
23. （ 1）解：
，
，
由绝对值得几何意义可得
和
上述不等式中的等号成立，
不等式
的解集为
；
（ 2）由绝对值得几何意义易得
的最小值为 3，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
10
已知函数
.
（ 1）求不等式
的解集；
（ 2）若存在实数 ，使得
成立的 的最大值为 ，且实数 ， 满足
，
证明：
.
5
参考答案
一、选择题
1.A 2.C 3.A 4.A 5.A 6. C 7.B 8.B 9.B 10.C 11.B 12.C
二、填空题
13. 5 14.
17 15. 40 16. 17
2
x2 y 1
之和为 31． 5 尺，前九个节气日影长之和为 85． 5 尺，则芒种日影长为
A. 1 ． 5 尺
B. 2 ．5 尺
C. 3 ． 5 尺
D. 4 ． 5 尺
9. 宋元时期数学名着 《算学启蒙》 中有关于“松竹并生”的问题： 松长五尺， 竹长两尺， 松日自半，
竹日自倍，松竹何日而长等 . 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的