数的整除特征

数的整除性质主要有：

（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。

（9）若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。

（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（13）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除

（14）末位数字为零的整数必能被10整除

（15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.）

（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。

（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太

大不能直接观察出来，就重复此过程。

方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数

中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7

的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断

133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝

49，所以6139是7的倍数，余类推。

方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位

以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．

如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也适

用于判断能否被11或13整除的问题。

如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．

如：判断383357能不能被13整除．

这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两

个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被

13整除．

方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。

例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。对32669可继续，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49当然被7整除，所以452669能被7整除。

（18）能被11整除的数的特征：除了前面讲的被7整除的方法二适用于11之外，还可以把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加

起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。奇位数字的和

9+6+8=23 ，偶位数位的和4+1+7=12，23-12=11因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的

是：倍数不是2而是1。

（19）能被13整除的数的特征：除了前面讲的被7整除的方法二适用于13之外，还可以把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4

倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到

能清楚判断为止，重复此过程。

例如：判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440 ，

12844+0×4=12844，1284+4×4=1300，1300÷13=100所以，1284322能被

13整除。

（20）能被17整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

例如：判断1675282能不能被17整除。

167528-2×5=167518

16751-8×5=16711

1671-1×5=1666

166-6×5=136

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍

大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，

17÷17=1；所以1675282能被17整除。

若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数

能被17整除。

（21）能被19整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。