第七章-遗传算法的理论基础

任一模式，则称P(t)中与模式H匹配的个体的平均适
应值为模式H在第t代的适应值，记为 f (H , t), 即有
1
f (H,t)
f (v)
H P(t ) vHP(t )
7.1 模式定理
例 假定当前种群中的个体及适应值如表1所示， 则模式H及其适应值如表2所示。
表1 个体及其适应值
6.2基于有限马尔可夫链的收敛性分析
定理7.2 若杂交概率 pc 和变异概率 pm 满足0 pc 1, 0 pm 1, 适应函数 f ( x) 不恒等于一个常数，则 SGA不能依概率收敛于全局最优解。
6.2基于有限马尔可夫链的收敛性分析
定理7.2说明了简单遗传算法不能依概率收敛到全 局最优解，但只要对简单遗传算法作一点改动， 每次将当前找到的最好解保留下来，在算法结束 后，将所保留的最好解作为问题的最优解或近似 最优解输出，则可证明修改后的遗传算法依概率 收敛到全局最优解。
f (v)
f (v)
vH P (t )
N vHP(t) M (H , t ) M (H , t ) M (H , t ) f (H , t )
f (v)
f (v)
f (t)
vP (t )
vP (t )
N
6.1 模式定理
再考虑杂交算子对模式的影响。 杂交算子随机地选取1到l 1 中的一个位置，并交
t 0; initialize(P(t)); evaluate(P(t)); while(not termination condition)do
P(t) crossover(P(t)); P(t 1) mutate(P(t)); e valuate (P ( t )); P(t 1) select(P(t)); t t 1; end while; returnthe best solution; e nd.
o(H ) l 1
o(H )
pm

M (H , t 1)K M (H ,0)K t
于是推论成立。
6.2基于有限马尔可夫链的收敛性分析
定义 设 P(t) {x1(t), x2(t),, xN (t)} 是遗传算法当 代数为t时的种群，f ( x) 为适应函数，
概率为
(1 pm )o( H )
6.1 模式定理
经选择、杂交、变异操作后，第t+1代中包含模 式H的个体数目 M(H, t 1) 有以下估计式：
M (H , t 1)

M(H,t)
f (H,t) f (t)
1
pc
l(H1)(1
pm )o( H )

M(H,t)

pc
(H )
l 1
个与H匹配的个体
6.1 模式定理
最后讨论变异算子对模式H的影响。
对于一个属于模式H的个体v，变异算子以概率 pm 对v的每一位相互独立地进行变异，当且仅当变
异算子在H的o(H )个确定位置上不对v进行变异
时，经变异算子后所得到的个体仍然属于H。由
于对某一位不进行变异的概率为 1 pm ，于是 属于模式H中个体v经变异后仍然属于模式H的
xi2


exp
1 n
n i 1
cos(2

xi
)

20

e
30 xi 30, i 1,2,, n;e 2.71828
并研究问题的维数对算法性能的影响。
2 使用路径表示设计并实现一个求解具有30个城市 的旅行商问题的遗传算法, 假定问题的距离矩阵 由平面上随机生成的30个点之间的距离给定。并 比较PMX杂交算子和OX杂交算子对算法性能的影响
换两个父体中所选取位置右边的子串。显然，若 选取的杂交位置不在模式H的第一个确定位置和 最后一个确定位置之间，那么原来属于H中的个 体经杂交后仍然属于H。 若所选取的杂交位置在模式H的第一个确定位置 和最后一个确定位置之间，那么原来属于H中的 个体经杂交后有可能不再属于H。
例如
P(t) {001101, 101011, 100100, 111000,001100,101100}
为的模式，若 s H, 则称s与模式H匹配。
7.1 模式定理
二进制位串00与下列模式匹配：00，*0，0*，** 二进制位串110与下列模式匹配：110, *10, 1*0,
11*, **0, *1*, 1**, ***.
定义 假设 P(t) {v1(t), v2(t),, vN (t)} 表示SGA在 第t代时的种群，f 为SGA所使用的适应函数，H为
M (H , t 1)
M(H,t)
f
(H,t f (t)
)

1
pc(H ) l源自1o(H)
pm

其中 f (t)为P(t)中个体的平均适应值，l 为个体的编 码长度。
6.1 模式定理
证 首先考虑选择对模式H的影响。
由于SGA采用基于适应值比例的选择策略，所 以在第t代种群P(t)中，与H匹配的个体被选择作 为父体的个数的期望值为
7.1 模式定理
模式H中确定位置的个数称为模式H的阶, 记为o(H ) 例 o(*0101) 4, o(0**1*) 2 模式H中第一个确定位置与最后一个确定位置之
间的距离称为模式H的定义长度，记为 (H ) 例 (*0101) 5 2 3, (0*1***) 3 1 2 设s是一个长度为的二进制位串，H是一个长度
H *1*** 0*
那么有 111000 H, 若111000与101011进行杂 交，且随机选择的杂交位置为3，杂交后所得到 的两个后代分别为111011和101000，这两个后 代均不属于H。
6.1 模式定理
原来属于H中的个体经杂交后也有可能仍然属于 H。例如 若在上面的例子中111000与001100进 行杂交，杂交位置仍为3，那么杂交后所得到的 两个子串为111100和001000，其中后代111100 仍然属于H。
f (H,t) f (t)
1
pc
(H )
l 1
(1

o(
H
)

pm )
(若pm 1)

M(H,t)
f (H,t) f (t)
1
pc
(H )
l 1
o(H )
pm

6.1 模式定理
推论 在SGA中，定义长度较短、低阶且适应值 大于种群平均适应值的模式H，在种群中的数目 呈指数增长
个体 101 100 010 110
适应值 5 1 2 3
表2 模式及其适应值
H
f(H,t)
***
(5+1+2+3)/4=2.75
**0
(1+2+3)/3=2
*1*
(2+3)/2=2.5
*00
1/1=1
7.1 模式定理
定理7.1(模式定理) 设 P(t) {v1(t), v2(t),,vN (t)} 表示 SGA在第t代时的种群，SGA的杂交概率和变异概 率分别为 pc 和 pm , H为任一模式，M(H , t) 表示第t 代种群中与H匹配个体的个数，则有估计式
示0或1，所以一个模式可以表示一个二进制位串 的集合。 例 模式*0101表示集合{00101,10101}，而模式 0**1*表示集合{00010，00011，00110，00111， 01010，01011，01110，01111}。 在一个模式中，字符0或1所出现的位置称为确定 位置，字符*所出现的位置称为不确定位置。
证 设对任意 t t, 都有
f (H ,t) C f (t)
其中 C 1 为一个常数。并设
K

C 1
pc

(H )
l 1

o(H )
pm

6.1 模式定理
当时，由定理知
M(H,t)

M(H,t
1)
f
(H,t f (t
1) 1)
1

pc
6.2基于有限马尔可夫链的收敛性分析
定理7.3 改进后的简单遗传算法依概率收敛到全局 最优解。
演化计算读书报告题目(下列题目选择之一)
1 用遗传算法或演化策略求解下列优化问题(n=2)

min f ( x1,...,xn ) 20 exp 0.2
1 n
n i 1
7.1 模式定理
模式定理是由Holland所提出的，其目的是从理 论上解释遗传算法的有效性。
Holland的模式定理是针对简单遗传算法(SGA) 而言的，即假定在遗传算法中，种群的规模不 变，使用二进制编码、基于适应值比例的选择 策略、单点杂交算子和通常的变异算子。
7.1 模式定理
字符集{0,1,*}上的一个字符串称为一个模式 在一个模式中，*表示一个不确定的字符，即表
改进后的简单遗传算法描述如下：
6.2基于有限马尔可夫链的收敛性分析
procedure Improved_GA begin
t 0; initialize(P(t)); evaluate(P(t)); while(not termination condition)do
P(t) crossover(P(t)); P(t 1) mutate(P(t)); e valuate (P ( t )); P(t 1) select(P(t)); k eepthe best chromsome; t t 1; end while; returnthe best solution; e nd.