定积分的元素法
定积分的元素法,平面图形的面积
•P(r, )
令
a
v
r .
r0
v
,
••
OM
x
特别地，当 r0 0 时，等速螺线的极坐标方程为 r a .
注：附录Ⅱ中常用的曲线的极坐标方程。
18
3．极坐标与直角坐标的关系
x r cos y r sin
r2 x2 y2
tan y
x
y
r
•
O
x
x, y
x
r ( )
d
O
21
例4 计算阿基米德螺线
r a (a 0)
上相应于 从0 变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积。
解：积分变量为 , 积分区间为
0,2 , 在此区间上任取小区间
2a
, d , 面积元素为
O
x
dA 1 (a )2 d
2
2
所以曲边扇形的面积为：
d
O
r ( )
x
圆扇形面积公式为 A 1 R2 2
A
1 (
2
)2
d
20
极 点 在 图 形 外 （ 曲 边 环扇 形 ）
面 积 元 素: 面积:
dA
1 2
出 (
)2 d
1 2
入
(
)2 d
A
1 2
0
0
3
9
例２ 计算抛物线 y2 2x与直线 y x 4 所围成的
图形的面积。
y
解（1） 解方程组
3.3 定积分的应用医学高等数学课件
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为
r dV x dx h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V
h
0
h r hr x dx . 0 2 h 3 3 h
2
r 2 x3
2
类似地，如果旋转体是由连续曲线
1 2
3
1
情形3 我们如图做出面积微元，这时我 们所求阴影部分的面积即为
f1(x)
dA1
dA 1 f1 ( x) f 2 ( x)dx dA2 f 2 ( x) f1 ( x)dx
a
c
dA2
f2(x)
c
b c
b
A A1 A2 f1 f 2 dx f 2 f1 dx
b
b x
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a , b]分成 n个长度为 x i 的小区间， 相应的曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形的面积为 Ai ，则 A Ai .
n i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
i [ xi 1, xi ]
i 1 n
直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x ) (a x b) ，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a , b ] 上任取小区间[ x , x dx ]，
y
dy
o a x x dx b
x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx )2 (dy )2 1 y 2 dx
定积分的应用元素法学习资料
定积分的应用元素法学习资料积分的应用元素法是一种在有限元空间建立数值等值面的一种数值方法。
它可以有效地求解复杂的几何形状的实体内的难以求解的问题，如电磁力学、热传导以及流体力学等问题。
应用元素法的关键在于选择合适的空间积分，进行有效的数值求解。
积分的应用元素法的基本思想是将连续的物理场划分成多个小片，比如节点，使用一组有限元素来代表物理场的连续性。
每个单元包含若干个积分点，积分点之间的距离即为空间积分，这必须在建立数值等值面之前得到适当的设置，而选择合适的空间积分点密度对积分精度具有重要意义。
典型应用积分元素法的计算问题包括电磁学，热传导和流体力学等，其计算结果与实际物质的状态相近，因此在应用上十分重要。
在实际的应用中，我们会从各种不同的积分元素中进行选择，其中常见于力学、热处理以及传热力学等的二维、三维图形的时间积分，存在着单元体积的极限；面实体的时间积分会根据节点的位置来定义，可以用单面元素或者双面元素，进行元素和渐近空间划分；边实体的时间积分也可以根据节点位置定义，元素和渐近空间划分也可以采用单边元素或双边元素。
因此，为了得到尽可能接近实际的结果，空间积分的选择非常重要。
通常，数值稳定性要求积分应当具有足够的精度，也要求结构不会出现不连续现象，考虑到空间积分步长应该选择足够小，以免精度不够和出现不可控的积分偏差，而再加上贴近曲面的多边形，可以准确描绘出物体的面和曲面，从而使求解结果接近物理客观现象。
综上所述，积分的应用元素法是一种有效的数值计算方法，用于求解物理场的复杂几何形状的问题，它以节点为基本单元，采用有限元素来代表物理场的连续性，并且以空间积分来准确描绘出物体的面和曲面，从而使求解结果接近实际情况。
定积分的元素法
二、元素法 1. 能用定积分计算的量，应满足下列三个条件 (1) U 与变量人的变化区间［a ,b ］有关； (2) U 对于区间［a ,b ］具有可加性； (3) U 部分量A U .可近似地表示成f (& i) •电i 。
2. 写出计算U 的定积分表达式步骤 (1) 根据问题，选取一个变量x 为积分变量，并确定它的变化区间［a , b ］； (2) 设想将区间［a ，b ］分成若干小区间，取其中的任一小区间任，x + d ］, 求出它所对应的部分量A U 的近似值 A U 机f (x )dx ( f (x )为［a ,b ］上一连续函数) 则称f (x ')dx 为量U 的元素，且记作dU = f (x )dx 。
(3) 以U 的元素dU 作被积表达式，以［a , b ］为积分区间，得 U = f f (x )dx a 这个方法叫做元素法，其实质是找出U 的元素dU 的微分表达式 dU = f (x )dx (a < x < b ) 因此，也称此法为元素法。
课后作业教学后记 教学过程二、 体积1. 旋转体的体积求由曲线y = f (x ),直线x = a , x = b 及x 轴所围的曲边梯形绕x 轴旋转 一周而成的旋转体体积。
V =兀卜平2(y )dy 例5求y = x 3, x = 1及x 轴所围图形分别绕x 、y 轴旋转一周而成的旋转体体 积。
例6求y = sin x 和它在x = y 处的切线及x =兀所围图形绕x 轴旋转而成的 旋转体体积。
2. 截面积为已知的立体的体积 某立体的垂直于x (或y )轴的截面面积为已知，体积V = j b A(x)dx a 例7求以半径为R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h 的正劈 锥体的体积。
三、 平面曲线的弧长 1. 直角坐标情形 s — j b %：1 + (y 心dx a 例8求y — ln x 对应于13 < x 〈胰一段弧长。
定积分元素法课件
02
确定被积函数
03
建立积分方程
根据物理或工程问题的数学模型 ，确定被积函数，即需要求解的 未知函数。
根据定积分的定义和性质，将问 题转化为数学模型中的积分方程 。
离散化方程的推导
离散化方法
将连续的积分元素离散化为有限个离散点，常用的离散化方法有矩形法、三角形法等。
离散化方程推导
根据离散化方法和定积分的性质，推导离散化方程，即将积分方程转化为有限元方程。
二维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决二维问题时，通过 将二维平面离散化为网格，将复杂的二 维积分运算转化为一系列的一维积分运 算，降低了求解难度。
VS
详细描述
二维问题涉及平面上的形状、面积、体积 等的求解。定积分元素法将二维平面离散 化为网格，每个网格点上的积分值相等。 通过求解每个网格点的积分值，再求和得 到整体解。这种方法简化了二维积分运算 ，提高了计算精度和效率。
三维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决三维问题时，通过将三 维空间离散化为体素，将复杂的三维积分运 算转化为一系列的二维积分运算，降低了求 解难度。
详细描述
三维问题涉及空间中的形状、体积等的求解 。定积分元素法将三维空间离散化为体素， 每个体素上的积分值相等。通过求解每个体 素的积分值，再求和得到整体解。这种方法 简化了三维积分运算，提高了计算精度和效 率。
步骤 1. 将问题分解为若干个元素或单元；
定积分元素法的应用场景
物理问题
定积分元素法广泛应用于物理问题的求解 ，如静力学、动力学、热力学等领域。
工程问题
在土木工程、机械工程、航空航天等领域 ，定积分元素法也被广泛应用。
数值分析
在数值分析中，定积分元素法是数值求解 微分方程的重要方法之一。
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
定积分及其应用
下面我们将应用这一方法来讨论一些问题.
、平面图形的面积
根据围成平面图形的曲线的不同情况，我们分为以下两种情形
(1)由一条曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及x轴围成的平面图形
O
(8,4)
-2
y
y+dy
4
A1
A2
(2,-2)
y2=2x
y=x-4
x
y
图6-11
O
x
a
b
xy=f(x)ຫໍສະໝຸດ 图 6-13( b) y x+dx
x
1
x
O
图6-14
x
图6-15
(a)
y
y+dy
2
1
y
O
(b)
O
a
A(x)
b
x
图 6-16
O B x a P Q
01
02
A
a
x
R
03
图6-17
y
当 在区间[a,b]上的值有正有负时,则由曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及 x轴围成的曲边梯形的面积A是在x轴上方和下方的曲边梯形面积之差.
O
x
b
a
y=f ( x)
y=g( x)
图
图 6-9
x
y
O
x
x+dx
y
O
图6-10
y
a
b
x+dx
x
-a
本章的基本要求 理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道函数连续是可积的充分条件，函数有界是可积的必要条件；理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿―莱布尼茨公式；熟练掌握定积分的换元法与分部积分法；掌握用定积分表达一些几何量（如面积和体积）的方法；了解反常积分及其收敛、发散的概念等. 重点 定积分的概念和性质， 牛顿―莱布尼茨公式， 定积分换元法和分部积分法， 利用定积分计算平面图形的面积.
第十周周一高等数学の5-定积分在几何物理上的应用广义积分
x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区 间[a，b]上具有一阶连续导数，则
ds 1 y2dx ，s b 1 y2dx ． a
讨论：
(1)设曲线弧由参数方程
x
y
(t), (t)
( t )给出，其中
(t)、(t)在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各
2
2
1
1a
ab
b2
2(1(1cocso2st2)td)tdt11
a
ab·b·
11
a ab b．．
22 0 0
2 2 2 24 4
A 4A1 a b．
2. 极坐标的情形
•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：
由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形．
•曲边扇形的面积元素：
dA 1 [()] 2d ．
a2 (1 cos )2 a2 sin 2 d 2a sin d ．
2
所求弧长为
s
2 2a sin d
0
2
2a[2
cos
2
]02
8a ．
y
2a
O
a
2 a
x
3. 极坐标的情形
设曲线弧由极坐标方程
r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数． 由直角坐标与极坐标的关系可得
是什么？
(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
) Ds MO MP ,
ds MP dx2 dy2 ,
直角坐标系下 y f x,
P
O
dy
6.1 元素法
利用元素法解决: 利用元素法解决 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
第一节 定积分的元素法
第六章 六
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
机动
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结束
一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小 常代变 近似和 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小 表示为
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
b
定积分定义
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值
dU = f (x) dx
第二步 利用“
U = ∫a f (x) dx
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法 元素法 微元分析法) 微元分析法 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
定积分的元素法
课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课 时 计 划 ( 教 案 ) 一、()()=n y f x 型的微分方程 解法: 积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-, …… 例1 求微分方程y '''=e 2x cos x 的通解.。
例2 求微分方程x x y cos sin -=''满足初始条件1)0(,2)0(='=y y 的特解。
二、),(y x f y '=''型的微分方程 解法: 设y '=p 则方程化为 p '=f (x , p ). 设p '=f (x , p )的通解为p =(x ,C 1), 则 ),(1C x dx dy ϕ=. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ. 例3 求微分方程 (1x 2)y ''=2xy 满足初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=3的特解. 例4设由一质量分布均匀，柔软的细绳，其两端固定，求它在自身重力作用下的曲线方程．三、),(y y f y '=''型的微分方程 解法: 设y '=p ,有dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为 ),(p y f dydp p =. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =(y , C 1), 则原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ. 例5 求微分yy ''y '2=0的通解。
四、习题讲解329P Ex2（5）（6），4五、课堂小结、布置作业课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )。
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
S定积分的元素法
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
二 、如何应用微元分析法（定积分）解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值
d U f ( x ) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式
U a f ( x ) dx
第一节 定积分的元素法
一、微元分析法 ? 二 、微元分析法的步骤 ?
第六章
曲边梯形的面积的回顾 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
S i f ( i )xi
3 近似和（求和）
S f ( i )x i
i 1 n
.
分法越细，越接近精确值
x i i x i 1
b
S = lim f ( i ) . x i
记
n
b
i 1
.
.
a
f ( x ) dx
一、什么问题可以用微元分析法（定积分）解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的
一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
b
x
.
4 取极限
令分法无限变细
b
.
.
.
曲边梯形的面积的回顾 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
S i f ( i )xi
1.元素法、面积
（2）利用曲边扇形面积公式：A 1[()]2 d. 2 作业：P284:T2(2),T3,T4,T8(1), T9
8
围成一曲边扇形，求其面积．
d
其中() 连续 面积元素 dA 1[()]2 d
2
()
d
面积 A 1[()]2 d. 2
o
x
例3 求阿基米德螺线 a (a > 0)上相应于 从0到 2 的一段与极轴围成图形的面积
解
30
y2 2x y x4
选 y 为积分变量 y [2, 4]
dA ( y 4 y2 )dy
2
A
4
(y
4
y2 )dy
2
2
y2 2
4y
y3 4
6
2
=18
选 x 为积分变量
dA1 2 2xdx
dA2 ( 2x x 4)dx
2
8
A 0 2 2xdx 2( 2x x 4)dx
a
2
2
sin
0
1 2
a
2
(1 cos 2)d
0
a2
1 a2 2
1 2
a
2
sin
2
0
3 a2 . 2
求下列图形面积：
1.螺线 a 的第一与第二圈之间及极轴所围图形
2. 由 3cos 及 1cos 所确定图形.
30
A 1 4(a)2 d 1 2 (a)2 d 20
y2 2x
定积分的元素法-平面图形的面积省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
但若要求r 0,0 2 ，除极点O外，平面上旳点与极坐标
之间就一一相应了。
在一般情况下,我们要求: r 0 ，而极角能够取任意实数。
16
2．极坐标方程
曲线上点旳极坐标 r 与 之间旳关系能够用式 r r 表达， 称 r r 为曲线旳极坐标方程。
以极点O为圆心，以 a为半径旳旳圆旳极坐标方程: r a.
解方程组：rr
1 3
cos cos
3 , 2 3 •
3
得交点 3 , ， 3 , .
2 32 3
O
A1 2
x
A
2
3 0
1 2
(1
cos
)2 d
2
1
2
3
2
(3cos )2 d
2
3 2
2 sin
1 sin 2
4
3 0
9 2
1 sin 2
2
2
5 .
4
3
23
（1）拟定积分变量，和它旳变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
U dU f xdx
（3）写出 U 旳积分体现式，即：
b
U a f ( x)dx
6
第二节 平面图形旳面积
y
( x)
一、直角坐标情形
A
b
a
(
x)
(
x )dx
oa
(x)
x x dx b x
二、极坐标情形
A
1 2
(
)2
d
d
4ab
0sin 2
tdt
2
2
4ab 2 sin 2 tdt ab 0
当a b时，椭圆变为圆， A a2。
定积分元素法的思想和应用
定积分元素法的思想和应用
积分元素法作为一种现代的工程分析方法，凭借其高效的计算性能而得以广泛
应用在工程背景。
其特点是利用离散网格结构将分析范围划分成若干离散的分割区域，以每个分割区域为单位进行求解，因而大大地减小了计算量及节省计算资源，可以更为准确地求解数值解以及解析优化问题。
在高等教育中，积分元素法被应用到计算机辅助设计系统，多学科优化设计、
数值力学模拟、流体力学模拟等多种工程问题的分析和求解中。
特别是单元法分析的网格形式更加灵活，因而能够有效地模拟细节状况。
此外，该方法也可以用于几何处理器上，从而在几何处理器设计过程中运用积分元素法、进行优化设计的模拟分析。
积分元素法在高校课程设置中也占有重要地位，例如力学、相对论、流体力学等。
此外，它还被用来教授电子设备和智能结构方面的课程。
从理论分析结果上来看，如果不采用积分元素法，那么在计算机系统设计中可能会遭遇非常迫切的挑战，从而影响工程设计结果。
在实践中，高校将积分元素法用于机器学习课程。
通过使用积分元素法，可以
更好地理解学习算法的性能和表现，并根据不同的因素调整学习模型，以便得到更好的机器学习结果。
同时，借助于积分元素法，学生们还可以加强对各种算法性
能的分析能力，在今后的计算机领域职业生涯中更有优势。
总之，积分元素法是一种高效、灵活的工程分析方法，正在越来越广泛地被用
于高校课程和教学体系中，助力现代高等教育的发展和创新。
高数二(定积分应用)
1
e
1
0
1
x0
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
y
f (x)
0
a
dx
x
b
x
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴 内表面积
dV= 2 x f (x)dx
y
f (x)
2π xf ( x )
定积分的应用
§1 . 定积分的元素法
回顾求曲边梯形面积的步骤：
y = f (x) ≥0 ，在[ a , b ]上连续。 (1) 分割：得小曲边梯形得面积 Ai (2) 近似：Ai f ( i )xi (i =1 , 2 ,…, n) ( Ai 与 f ( i )xi 仅差高阶无穷小）
2
2
2
2
0
0
2
2
x
y
5
5
V x 圆 柱 体 V1 )dx 22 5 y 2 dx 20 ( x 1 8
1
5
1
2 y x , y 0, x 2所围图形绕直线 y 1 例 求 旋转一周的体积
解： V V1 圆 柱 体
dV1 ( y 1) 2 dx ( x 2 1) 2 dx
[ x ( x x )]dx
–3
2、参数方程情形 若曲边由参数方程：
x ( t ) ( t ) 给出， y ( t ) ( t ), ( t ) 连续。
则 A
b a
y dx
定积分元素法公式
定积分元素法公式
定积分元素法公式是一种求定积分的方法，它利用微元的思想将定积分转化为极限的形式进行计算。
具体而言，定积分元素法公式可以表示为：
∫ab f(x)dx = limn→∞Σi=1n f(xi)Δx
其中，a和b分别是积分的下限和上限，f(x)是被积函数，Δ
x=(b-a)/n是积分区间[a,b]上的分割长度，xi是分割点，满足xi-1 ≤ xi ≤ xi+1，i=1,2,…,n-1。
定积分元素法公式的本质是将被积函数离散化，然后通过求和的方式逼近积分的值。
当分割长度Δx越来越小，分割点xi越来越密集时，逼近的精度也会越来越高，从而使得极限值能够逼近积分的准确值。
定积分元素法公式的应用非常广泛，它不仅可以用于求解单变量函数的定积分，还可以扩展到多变量函数的情况。
除此之外，定积分元素法公式还可以作为其他数学方法的中间步骤，如微积分学中的牛顿-莱布尼茨公式。
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高等数学教案
高等数学 教案
教 学 内 容 (教 学 时 数：２ )
一 、再论曲边梯形面积计算
设在区间上连续，且,求以曲线为曲边,底为得曲边梯形得面积。
１、化整为零 用任意一组分点
将区间分成 个小区间，其长度为, 记
相应地,曲边梯形被划分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形得面积记为。
于就是 ２、以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形,给出“零”得近似值 ∆∆A f x x x i n i
i i i i i ≈∀∈=-()[,](,,,)ξξ112
3、积零为整,给出“整”得近似值
小结:元素法得提出、思想、步骤 (注意微元法得本质)４、取极限,使近似值向精确值转化
上述做法蕴含有如下两个实质性得问题:(一)、若将分成部分区间,则相应地分成部分量,而
这表明:所求量对于区间具有可加性。
(二）、用近似,误差应就是得高阶无穷小。
只有这样,与式得极限方才就是精确值。
备注：
教 学 内 容 (教 学 时 数: )。