条件数学期望例题
11条件数学期望(北大)
(4) E[E(g(X,Y)|X)]=E[g(X,Y)] 证
f ( x, y) = ∫ g ( x , y ) fY | X ( y | x )dy = ∫ g ( x , y ) dy fX ( x) −∞ −∞
+∞
+∞
m(x)=E[g(X,Y)|X=x]
+∞
E[E(g(X,Y)|X)]=E[m(X)] =
X关于Y的条件期望 E(X|Y)=mX|Y(Y)
7
例3 设(X,Y)服从D={(x,y)|0<x<1,0<y<x2}上的均匀分布
⎧ 3, 0 < x < 1,0 < y < x 2 f ( x , y) = ⎨ ⎩0, 其他 ⎧3 x 2 , 0 < x < 1 fX ( x) = ⎨ 其他 ⎩ 0,
16
作业
1. 设Xi ~P (λi), i=1,2,…,N且相互独立, 记Yk= X1+ X2+ … +Xk, Y=YN , 求E(Yk|Y). 2. 设X~U(0,1), Y~U(X,1), 求E(Y|X). 3. 证明: E[g(X)⋅Y]=E[g(X)⋅E(Y|X)].
17
1/5 2/5 2/5 3/5 1/5 1/5
E(Y|X) 6/5 3/5 p 0.5 0.5
E(Y|X) 6/5 3/5 p 0.5 0.5
4
例2 设射手的命中率为p, 进行到击中2次为止. 记 X为击中第一次时的射击次数, Y为击中第二次时 的射击次数. P{X=i, Y=j}=p2qj-2, i=1,2,…, j=i+1,i+2, … P{X=i}=pqi-1, i=1,2,… P{Y=j|X=i}=pqj-i-1, j=i+1,i+2,…, i=1,2,…
条件数学期望与条件方差
称之为随机变量X
D(Y | X )
2、条件方差的性质
条件下随机变量Y的条件
D ( 方Y 差，|记X 为 ) E { Y 2|X E (Y |X )2 }
D (X |Y ) E { X 2|Y E (X |Y )2 }
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
E(X|Yyi) xipi j
i1
i 1xi p p.ijjuj
所以E(X |Y)的分布律
E(X |Y) u1 u2
uj
P
p.1 p.2
p. j
E[E(X |Y)]
uj p. j
j1
j1
xi
i1
pij p. j
p. j
EX
若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则
E[E(X |Y)]
x1 2
2(12) 1
x1 y2 1 2
y2 2 2
[( )] 1
x1
2(12) 1
y2 2 2
( y2 ) 222
pXY(xy)
1
21 12
exp{212(112)[x112(y2)]2}
所 以 E(XYy)112(y2) 同 理 E(YXx)212(x1)
二、条件方差
E { [YE (Y|X )]2|X } 存{Y2|XE(Y|X)2}
EY2EXE(Y|X)2
D E ( Y |X ) E X [ E ( Y |X ) ] 2 ( E Y ) 2
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
总条件方差结
条件数学期望
一、条件数学期望
0 1 离散型r.v. 的条件数 学期望
条件期望练习题
条件期望练习题条件期望是概率论中的一个重要概念，应用广泛。
在统计学、金融学、经济学以及其他领域中，条件期望被广泛用于预测、评估和决策等方面。
在本文中，我们将介绍条件期望的定义、性质和计算方法，并提供一些练习题，以帮助读者更好地理解和应用条件期望。
一、条件期望的定义条件期望是给定一个事件发生的条件下，对另一个事件的期望值。
通常用E(Y|X)表示条件期望，其中Y是一个随机变量，X是事件。
条件期望的计算公式如下：E(Y|X) = ∑(y·P(Y=y|X))其中，y是随机变量Y的取值，P(Y=y|X)是在事件X发生的条件下，随机变量Y等于y的概率。
二、条件期望的性质条件期望具有以下性质：1. 常数性质：如果Y是一个常数，那么E(Y|X) = Y。
2. 线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量Y1和Y2，有E(aY1+bY2|X) = aE(Y1|X) + bE(Y2|X)。
3. 唯一性性质：如果两个随机变量Y1和Y2满足对于任意的事件X，有E(Y1|X) = E(Y2|X)，则必须有P(Y1=Y2|X) = 1。
三、条件期望的计算方法根据条件期望的定义，可以使用以下方法来计算条件期望：1. 使用条件概率分布表：根据条件概率分布表中给定的概率值，对随机变量Y的取值进行加权求和，即可得到条件期望的值。
2. 使用条件期望的计算公式：根据条件期望的计算公式，对随机变量Y的取值进行加权求和，即可得到条件期望的值。
3. 使用边际分布和条件分布：根据边际分布和条件分布的关系，可以通过计算边际分布和条件分布的乘积，再进行加权求和，得到条件期望的值。
四、练习题1. 设X和Y是两个独立的随机变量，且X服从正态分布N(0,1)，Y 服从正态分布N(1,1)。
求E(X+Y|X=Y)的值。
2. 设随机变量X和Y服从二项分布B(n,p)，且Y|X的条件分布为二项分布B(X,p)，其中p是一个常数。
求E(Y|X=k)的值。
11条件数学期望(北大)
fY
(
y)
=
⎪⎧3(1 ⎨ ⎪⎩0,
−
y ),
0< y<1 其他
当0<y<1时
⎧1 fX|Y ( x | y) = ⎪⎨1 −
, y
⎪⎩0,
y< x<1 其他
mX|Y ( y)
=
E(X
|Y
=
y)
=
1 2
(1 +
y)
得 E( X |Y ) = 1 (1 + Y ) 2
9
二. 性质
根据随机变量函数的期望公式, 有 离散型
(1) E(c|X)=c
(2) E(aY1+bY2|X)=aE(Y1|X)+bE(Y2|X) (3) 若X与Y相互独立, 则E(Y|X)=E(Y)
(4) E[E(g(X,Y)|X)]=E[g(X,Y)] 特别地, E[E(Y|X)]=E(Y)
(5) E[g(X)Y|X)]=g(X)E(Y|X) (6) 对任意的g(⋅), E{[Y-E(Y|X)]2}≤ E{[Y-g(X)]2}
+∞ +∞
∫ ∫ = (ay1 + by2 ) f(Y1,Y2 )|X ( y1, y2 | x)dy1dy2 −∞−∞
∫ ∫ =
+∞+∞
(ay1
−∞−∞
+ by2 )
f
(
x, fX
y1, y2 (x)
)
dy1dy2
12
∫ ∫ ∫ ∫ +∞+∞
= a y1
−∞−∞
f
(
x, fX
y1, y2 (x)
y) dy
条件数学期望例题共59页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
条件数学期望例题
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
条件数学期望例题 PPT
47
证明：
EvarX Y E E X 2 Y EX Y 2 EEX 2 Y E EX Y 2 EEX 2 Y E EX Y 2 EX 2 E EX Y 2 ．
varX Y y E X 2 Y y EX Y y2 ．
以 varX Y 记 Y 这样的函数，它在 Y y 的值就 是 varX Y y，我们有下面的结果：
46
命 题 3.1 （ 条 件 方 差 公 式 ）
varX EvarX Y varEX Y ．
出席的轮数．求 ERn ．
23
解： ⑴ 由上例推出，不论留在那里的人有多少，平均每轮有一 次匹配．这就使人想到
ERn n ．
这个结果是正确的，现在给出一个归纳性证明．
由 于 显 然 有 ER1 1 ， 假 定 对 于 k 1, , n 1 ， 有 ERk k ．
通过对 k 1 次相继的成功所必须试验的次数 Nk 1 取条件，我们将得到 Mk 的一个递推方程．由此推出
Mk ENk EENk Nk1 ．
30
现在，
E Nk Nk1 Nk1 1 1 pENk ，
其中上式是得自若取 Nk 1 次试验得到 k 1 次相继的 成功，则或者下一次是成功，我们就会接着得到第 k 次成功，或者下一次是失败，我们必须重新开始．
他们自己的 n 1个帽子中选取的匹配数的期望数，显
示出
EX X1 1 2，
所以，我们得到结果
EX
X1
0
n2． n 1
38
例 3.17（几何随机变量的方差） 连续地做 每次成功的概率为 p 的独立试验．N 是首次成
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。
本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。
本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。
关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ：第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1ini ix p x ∑=学期望不存在[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。
推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。
试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。
连续函数条件期望例题
连续函数条件期望例题假设有一场抽奖活动，参与者可以购买一张抽奖券，每张抽奖券的价格为10元。
中奖概率是一个与购买的抽奖券个数有关的连续函数。
具体地，设购买抽奖券个数为X，中奖概率为P(X)。
我们需要求出购买抽奖券的期望值E(X)，即平均购买抽奖券的个数。
首先，我们需要找到中奖概率函数P(X)的具体表达式。
根据问题描述，抽奖活动的中奖概率与购买抽奖券的个数有关，我们可以通过观察数据或者建立数学模型来确定中奖概率函数。
假设中奖概率函数P(X)与购买的抽奖券个数X之间的关系为P(X)=kX，其中k是一个常数。
这个假设意味着购买抽奖券的个数每增加一个单位，中奖概率也增加一个单位。
这个假设可以用来简化分析，实际中可以根据具体情况进行调整。
现在，我们需要确定常数k的值。
根据题目中的条件，购买一张抽奖券的价格为10元，因此我们可以假设P(1)=1/10，即购买一张抽奖券的中奖概率为1/10。
代入P(X)=kX，得到1/10=k。
因此，中奖概率函数可以表示为P(X)=X/10。
接下来，我们需要求解购买抽奖券的期望值E(X)。
期望值是随机变量的平均值，用来度量随机变量的平均水平。
我们可以通过对随机变量X的所有可能取值进行加权平均来计算期望值。
在这个例题中，随机变量X表示购买的抽奖券个数，它的取值范围是正整数。
我们可以通过计算每个取值与相应的概率的乘积，再对所有乘积进行求和来计算期望值。
具体地，我们可以将期望值E(X)表示为以下形式：E(X)=ΣxP(x),其中，x表示随机变量X的所有可能取值。
在这个例题中，x的取值范围是1到无穷大。
代入我们求解得到的中奖概率函数P(X)=X/10，得到：为了计算期望值E(X)，我们需要求解Σx^2的值。
考虑到x的取值范围是1到无穷大，我们可以使用数学方法求解Σx^2的值。
通过求解数学公式，我们可以得到：Σx^2=(1^2)/1+(2^2)/2+(3^2)/3+...=1+2+3+...,这是一个无穷级数，可以用数学知识进行求解。
条件数学期望例题
记 X 表示该读者遇到的印刷错误
数．令
1 Y 2
如果读者选取数学书 ， 如果读者选取历史书
则由全期望公式，得
EX EEX Y PY 1EX Y 1 PY 2EX Y 2
12 15 7 ． 222
例 2（随机变量的随机数量和的期望） 假定一工 厂设备每周出现事故次数的期望为 4．又假定在每次 事故中受伤工人数是具有相同均值 2 的独立随机变 量．再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的 事故数目相互独立．每周受伤人数的期望是多少？
条件数学期望例题
例 1 某人准备读一章数学书或者一章历史 书．如果他在读一章数学书中印刷错误数是服从 均值为 2 的 Poisson 分布，而他在读一章历史 书中的印刷错误数是服从均值为 5 的 Poisson 分布．假设该读者选取哪一本书是等可能时，求 该读者遇到的印刷错误数的期望是多少？
解：
解：
以 N 记事故次数，以 X i 记在第 i 次事故中的受伤人
数 ， i 1, 2, ， 那 么 伤 者 总 数 可 以 表 示 为
N
X i ．现在
i 1
E
N i 1
Xi
E
E
N i 1
Xi
N
．
但是
N
n
E i1 Xi N n E i1 Xi N n
n
E Xi i1
果矿工选取第 2 个门，那么 3 小时后他将回到他的矿井．但是，一旦他回到
矿井，问题就和以前一样了，而直到他到达安全地的附加时间的期望正是
EX ．因此，
EX Y 2 3 EX ．
在方程（3.7）中其它等式后面的推理是相似的．
因此，
EX 1 2 3 EX 5 EX ，
条件概率、条件分布与条件数学期望
练习、
设“取出的是黄球”为事件B，“取出的是黑球”为事件C， 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不 10 10 15 5 放回的取两次，求： 则P（C）= ，（ P C）=1- ，（ P B）= 25 25 25 25 3/5 （1）第一次取到新球的概率； 5 B C， P （BC）=P（B）= 3/5 （2）第二次取到新球的概率； 25 P（BC） 1 （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 所求概率（ P B|C）= P（ C） 3
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB) A 6
P ( AB) n( AB) P B A P ( A) n( A)
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ 解1：设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
高中数学期望试题及答案
高中数学期望试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.5，那么E(X)等于多少？A. 5B. 10C. 15D. 20答案：A2. 随机变量X的期望值E(X)是2，方差Var(X)是4，求E(2X+1)。
A. 5B. 6C. 9D. 11答案：B3. 抛一枚公平的六面骰子，随机变量X表示骰子朝上的点数，求E(X)。
A. 3B. 3.5C. 4D. 5答案：B4. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=0，σ^2=1，求E(X)。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，且E(X)=5，a=2，则b等于________。
答案：86. 随机变量X的期望值E(X)是3，若随机变量Y=3X-2，则E(Y)等于________。
答案：77. 抛一枚硬币，正面朝上的概率为0.6，反面朝上的概率为0.4，随机变量X表示硬币正面朝上的次数，若抛掷两次，则E(X)等于________。
答案：1.28. 随机变量X服从泊松分布P(λ)，若E(X)=4，则λ等于________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知随机变量X服从指数分布，参数λ=2，求E(X)。
答案：E(X) = 1/λ = 1/210. 抛掷一个骰子三次，随机变量X表示三次抛掷中朝上的点数之和，求E(X)。
答案：E(X) = 3 * (1+2+3+4+5+6)/6 = 15.511. 随机变量X表示一个学生在一次考试中的得分，假设X服从正态分布N(70, 20^2)，求E(X)。
答案：E(X) = 7012. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，不放回地再抽取第二个球，随机变量X表示两次抽取中红球的个数，求E(X)。
答案：E(X) = (5/8) + (3/8) * (4/7) = 47/5613. 随机变量X表示一个工厂生产的零件重量，假设X服从正态分布N(μ, σ^2)，已知E(X)=10kg，Var(X)=4kg^2，求μ和σ。
数学期望的性质与条件期望
9
i P
1
2
0.16
9
0 .8
9
3 0.04
E i 0.8 2 0.16 3 0.04 1.24
E E ( i ) E i 9 1.24 11.16
i 1
i 1
例4
某种无线电元件的使用寿命 是一个随机变量，
其概率密度是
e x x 0 ( x) , x0 0 其中 0 ，求这种元件的平均使用寿命. 1 E x 解 x ( x )dx xe dx 0
n
n
i 1
6 若与独立，则 E ( ) E E
证 假设 , 是离散型随机变量， 由于 与 独立
(1) i ( 2) j
所以pij p p , E ( ) xi y j pij xi y j p(i 1) p(j2)
i j i j
E ( b) E ( ) x ( x )dx x ( x b)dx
令 z x b, 有
E ( b) ( z b) ( z )dz z ( z )dz b ( z )dz
E ( k b) E ( k ) b kE b
(2)若 则
k
是连续型随机变量，其概率密度为
( x)
E Ef ( ) f ( x ) ( x )dx
例2
设 , 的分布如下，
求 E ( ), E ( )
0 1 2
0
与
独立，
1 2
P 1/ 4 1/ 2 1/ 4
概率论 第六章条件数学期望和特征函数
1 ,y 1− x
∈ (x, 1), x ∈ (0, 1)
2 6.8 解 由定理 2.1 知 X |{Y = 63} ∼ N (µ1 + ρ(σ1 /σ2 )(63 − µ2 ), (1 − ρ2 )σ1 ), Y |{X = 1.7} ∼ 2 2 N (µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), (1 − ρ )σ2 ) 故 2 (a)EY |{X = 1.7} = µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), Y |{X = 1.7}的标准差为 (1 − ρ2 )σ2 ,
P (Y =y,N =n) P (N =n)
=
βα 1 Γ(n+α) n!Γ(α) (β +1)n+α
f (y,n)dy
=
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) dy, Γ(α+1)
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) . Γ(α+1)
6.16 解 (a) 设 Xi 为第 i 个人的等待时间, 则第一个电话的到达时间为 X(1) = min(X1 , X2 , . . . , Xn ), 最后一个电话的到达时间为 X(n) = max(X1 , X2 , · · · , Xn ), 对 ∀x > 0 有 P (X(1) ≤ x) = = = = = = 1 − P (X(1) > x) 1 − P (X1 > x, X2 > x, · · · , Xn > x) 1 − P (X1 > x)P (X2 > x) · · · P (Xn > x) 1 − P (X1 > x)n 1 − [1 − F (x)]n 1 − exp(−nxβ ),
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定相继的抛掷是独立的，这就推出在第一次出现反面直到正面首次
出现时的附加抛掷次数的期望是 EN ．
13
因此，
EN Y 11．
将式（3.6）代入方程（3.5），推出
EN p 1 p1 EN ，
解方程，得
EN 1 ．
p
14
例 4 某矿工身陷有三个门的矿井之中．经第 1 个门的通道行进 2 小时后，他将到达安全地；经第 2 个门的通道前进 3 小时后，他将回到矿井原地； 经第 3 个门的通道前进 5 小时后，他又将回到矿井 原地．假定这个矿工每次都等可能地任意一个门， 问直到他到达安全地所需时间的期望是多少？
20
现在，因为第 i 个人等可能地在 N 个帽子中取一个，
这就推出
PXi
1
P第 i
个人取到自己的帽子
1 N
，
随之，
EXi 1 PXi 1 0 PXi 0 1 ， i 1, 2, , N ．
N
21
将上式代入上面的方程，得
EX
E
N
X
i
i1
N
EXi i 1
N
1
i1 N
1．
因此，无论聚会上有多少人，平均总有一人取到自己的帽子．
E N2 Y 0 E N 12 ．
41
因此，我们看到
EN2 EEN2 Y E N2 Y 1 PY 1 E N2 Y 0 PY 0
p 1 p E 1 N 2
p 1 p E1 2N N 2 1 1 p E2N N 2 1 21 pEN 1 pEN 2 ．
9
例 3（几何分布的期望） 连续抛 掷一枚出现正面的概率为 p 的硬币直 至出现正面为止．问需要抛掷的次数的 期望多少？
10
解：
以 N 记需要抛掷的次数，而令
1 Y 0
如果第一次抛掷的结果是正面 ． 如果第一次抛掷的结果是反面
11
现在
EN EEN Y
PY 1 EN Y 1 PY 0 EN Y 0
其中最后一个等式用了上例中建立的结果
EYn 1．由前面的方程推出 ERn n ．
28
例 7 连续地做每次成功的概率为 p 的 独立试验，直至有 k 次相继的成功．所需 试验的次数的均值是多少？
29
解： 以 Nk 记为了得到 k 次相继的成功必须试验的次数，
并记 M k ENk ．
通过对 k 1 次相继的成功所必须试验的次数 Nk 1 取条件，我们将得到 Mk 的一个递推方程．由此推出
条件数学期望例题
1
例 1 某人准备读一章数学书或者一章历史 书．如果他在读一章数学书中印刷错误数是服从 均值为 2 的 Poisson 分布，而他在读一章历史 书中的印刷错误数是服从均值为 5 的 Poisson 分布．假设该读者选取哪一本书是等可能时，求 该读者遇到的印刷错误数的期望是多少？
2
解：
26
所以，
n
ERn PYn i 1 ERn i i0 n 1 ERn PYn 0 PYn i ERni i 1 n 1 ERn PYn 0 n iPYn i （由归纳假设） i 1 1 ERn PYn 0 n1 PYn 0 EYn ERn PYn 0 n1 PYn 0 27
varX Y y E X EX Y y2 Y y ．
也就是，条件方差正好与通常的方差有相同的方式定义．
45
不同之处是所有的概率都是在条件 Y y 下确 定的．将上式展开，并且逐项地取期望，就推出
varX Y y E X 2 Y y EX Y y2 ．
以 varX Y 记 Y 这样的函数，它在 Y y 的值就 是 varX Y y，我们有下面的结果：
Mk ENk EENk Nk1 ．
30
现在，
E Nk Nk1 Nk1 1 1 pENk ，
其中上式是得自若取 Nk 1 次试验得到 k 1 次相继的 成功，则或者下一次是成功，我们就会接着得到第 k 次成功，或者下一次是失败，我们必须重新开始．
31
对上式两端取期望，得
Mk E E Nk Nk1
EX
X1
0
n 1 n
EX
X1
1
1 n
．
37
但是，由例.14， EX 1．此外，给定第一个人有
一个匹配时，匹配数的期望等于1加上当 n 1个人在
他们自己的 n 1个帽子中选取的匹配数的期望数，显
示出
EX X1 1 2，
所以，我们得到结果
EX
X1
0
n2． n 1
38
例 3.17（几何随机变量的方差） 连续地做 每次成功的概率为 p 的独立试验．N 是首次成
EX 10 ．
18
例 5 在一次聚会上，N 个人将自己戴的 帽子扔到屋子中央．将这些帽子充分混合 后，每人随机选取一顶．求取到自己的帽子 的人数的期望数．
19
解：
以 X 记取到自己的帽子的人数．再设
1 Xi 0
第 i 个人取到自己的帽子， 其它情形
i
1,
2,
,
N ，
N
则有 X X i ． i 1
52
v arS N n v arN Xi N n
i1
n
v ar i1 Xi N n
v ar n
Xi
i1
n
v arXi i 1
n 2 ．
53
用同样的推理，得
ES N n n ．
所以，有
varS N N 2 ， ES N N ．
54
于是，有条件方差的计算公式，得
（由 N 与 X i 相互独立）
nEX1， （由随机变量序列Xi独立同分布）
7
由它导出
E N Xi N N EX1
i1
因此，
E
N i 1
Xi
E E
N i 1
Xi
N
EN EX1
EN EX1．
8
所以，在上面的例子中，在一周中受伤人
数的期望值为
E
N
X
i
EN
E
X1
4
2
8
．
i1
记 X 表示该读者遇到的印刷错误
数．令
1 Y 2
如果读者选取数学书 ， 如果读者选取历史书
3
则由全期望公式，得
EX EEX Y PY 1EX Y 1 PY 2EX Y 2
12 15 7 ． 222
4
例 2（随机变量的随机数量和的期望） 假定一工 厂设备每周出现事故次数的期望为 4．又假定在每次 事故中受伤工人数是具有相同均值 2 的独立随机变 量．再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的 事故数目相互独立．每周受伤人数的期望是多少？
46
命 题 3.1 （ 条 件 方 差 公 式 ）
varX EvarX Y varEX Y ．
（3.8）
47
证明：
EvarX Y E E X 2 Y EX Y 2 EEX 2 Y E EX Y 2 EEX 2 Y E EX Y 2 EX 2 E EX Y 2 ．
功时的试验次数．求 varN ．
39
解： 如果首次试验成功，记Y 1，否则记Y 0 ．
varN EN 2 EN 2 ． 下面我们计算 E N 2 ，对Y 取条件，得
EN2 EEN2 Y ．
然而，
E N2 Y 1 1， E N2 Y 0 E N 12 ，
40
上面两个方程都是正确的，因为如果首次试验的结果是 成功，那么显然 N 1，从而 N 2 1．另一方面，如果首 次试验的结果是失败，那么得到第一次成功所需的试验 总次数等于1（首次试验是失败）加上进行额外试验所 需的试验次数．由于后面的量与 N 同分布，我们得到
varS EvarS N varES N
EN 2 varN
2EN 2 varN ．
55
在上式中，如果 N 是服从 Poisson 分布的随机变量，则
N
S Xi 称为复合 Poisson 随机变量．由于在参数为 的 i 1
Poisson 分布中， varN EN ，因此由例题 3.18，有
15
解： 令 X 记矿工到达安全地所需的时间，以Y 记他 最初选取的门．现在
EX EEX Y
3
P Y
i
EX
Y
i
i 1
3 1 E X Y i ， i1 3 16
然而
EX Y 1 2 ， EX Y 2 3 EX ， EX Y 3 5 EX ． （3.7） 为了理解为什么这是正确的，我们以 EX Y 2为例，给出其如下推理．如
ERn n ．
这个结果是正确的，现在给出一个归纳性证明．
由 于 显 然 有 ER1 1 ， 假 定 对 于 k 1, , n 1 ， 有 ERk k ．
24
为了计算 ERn ，我们先对第一轮中的匹配
数 Yn 取条件．它给出
ERn EERn Yn
n
PYn
i
ERn
Yn
i．
i0
25
现在，给定最初一轮的全部匹配数 i ，需 要的轮数将等于1加上余下的 ni 个人 匹配他们的帽子需要的匹配轮数．
果矿工选取第 2 个门，那么 3 小时后他将回到他的矿井．但是，一旦他回到
矿井，问题就和以前一样了，而直到他到达安全地的附加时间的期望正是
EX ．因此，
EX Y 2 3 EX ．
在方程（3.7）中其它等式后面的推理是相似的．
17
因此，
EX 1 2 3 EX 5 EX ，