三角函数在解题中的应用小结

三角函数在解题中的应用小结

三角函数是非常重要的基本初等函数，它是一种描述周期性现象的重要数学模型.函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画。在数学和其它学科领域中具有重要的作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数之一.通过对三角函数的定义及其性质的学习，体会三角函数在解决具有周期性变化规律问题中的作用。将会进一步提升学生对函数概念的理解，提高用函数思想解决实际问题的能力。

一、三角函数的定义以及三角函数之间的关系

（二）三角函数的定义

1. 锐角三角函数的定义

若在锐角（）的一边上任取

一点，向另一边作垂线，垂足为，于是得,设的对边分别为,如图所示

当a在上变化时函数的值将随之而变,它们均为角a的函数，统称为锐角a的三角函数。

2. 任意角的三角函数

由于角的概念推广到了任意角，于是就必须给任意角的三角函数下定义,为了得到推广，我们不妨把这个几何问题转化为代数问题来解决。

在平面直角坐标系内，把任意角的顶点和坐标原点重合，角的

始边在轴的非负半轴上，角的终边与单位圆的交点为，则叫做的正弦，记作，即。叫做的余弦，记作,即.叫做的正切，记作，可以看出，当

时，即的终边在y轴上，这时点p的横坐标,所以无意义。除此之外，对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的。所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统成为三角函数。由于角的集合与实数集之间可建立对应的关系，因此三角函数可以看作是自变量为实数(正切除终边在y轴上)的函数。由相似三角形具有相似比，故角终边上任意一点，设p点到原点的距离为r()无论角的终边落在哪一个象限，根据点的坐标的定义x,y,r这三个实数都可以构造一个直角三角形。又因有锐角三角函数的定义为基础，这三个实数的六个比值就定义了任意角的三角函数。

这样就把直角三角形中边的比转化为实数之比了.由于“距离”都是正的，即r>0，且

而实数x,y是可正可负的，于是三角函数定义中的比值的正负就取决于角的终边所在的象限了。但是任意角与构造的直角三角形中的锐角的同名三角函数值除了角的终边在第一象限外是不一定

相等的。

注1.加法公式除了用于直接解三角函数外,也可用于解形如这

样的题型,例如:已知，求的值，在求解过程中，我们首先分析可以

表示成，于是将问题转化为求已知角的三角函数。

2.降幂、升幂公式是将倍角与半角的三角关系联系起来，在应用的时候，我们应从“角”入手，选择适当的公式。

3.半角公式主要用于求一个角的半角的三角函数，应用时，我们应考虑“半角”所在的象限，从而确定函数值的符号。

4.和差化积、积化和差公式，一方面是将角拆分成

的形式，拆分成的形式，另一方面我们一定要注意“=”一边的三角函数和差（乘积）的名称，适当地选择“=”另一边三角函数乘积（和差）的名称。

5.万能公式是将一个角的所有不同的三角函数名称都转化为它的半角的正切函数的形式，即“化异为同“。

6.上述公式都是恒等变换，同时我们应当注意“1“的变用

四、三角函数的应用

（一）三角函数在数列中的应用

在平时的学习中很容易忽视三角函数在数列中的应用，主要是因为三角函数与数列没有直接的关系，但是如果把数列题与三角函数结合的话，我们就自然会想到三角函数的应用了。

分析从所求的值出发（），我们很容易想到分别求的值，一方面我们将已知的等式与恒等式““联立方程组，通过解方程组即可求出的值，另一方面，我们还可以从数列角度入手(等差中项)，即由知是的等差中项，下面是我从数列角度求解的过程。

角函数的性质，从而准确地解决了这个数列问题。

（二）三角函数在证明等式中的应用

在等式的证明题中，有时候不容易找出列等式的依据，而在三角函数中有许多固有等量关系，就比如各种变形都是恒等变形，如果在具体的应用当中我们能从所求问题的形式入手，恰当的设变量并且选用合适的公式，不仅问题可以得到解决，还会给人一种耳目一新的感觉。

例2 已知：求证：中至少有两个数相等。

分析从已知的等式中，我们发现它们有相同的形式“

”，于是从形式入手，我们很容易想到正切代换，即两角差的正切函数。

构造方程

但是此方程如果去分母化简后能得到一个一元二次方程，因此方程最多只能有两个根，由此可知中至少有两数相等。

（三）三角函数在求面积中的应用

在解决实际问题时我们常会设未知数或引入一定的参数，把实际问题数学化.我们一定要想办法使引入的一个参数可以同时控制几个变量的变化，即把几个变量的变化集中在一个参数上，从而简化解题过程，而具有这一特点的变量代换就是三角代换了，因而利用三角函数处理这类问题就势在必然.下面这个例子就充分体现了这一点。

例3在四边长度给定的一切四边形中，内接于圆的四边形有最大的面积。

分析本题要建立面积和边长的关系，故可引入面积参数，三角形的面积公式是我们所熟悉的：

上述公式把几何学中的三个重要的元素：

长度，角和面积联系在一起，引入面积的

三角形式是最常用的。

经过分析知，本题可证明.

证明设四边形的总面积为则

又由余弦定理有

两式相减得(2)

把 (1)(2)分别平方相加，经整理可得

由于均为正数，所以当时上式有最大值，即圆内接四边形的面积最大。

（四）三角函数在积分中的应用

在解不定积分或定积分的计算题时，我们经常会遇到被积函数是有理分式函数的形式，有时形式比较复杂，分子分母无法直接分解或化解，我们往往会陷入困境，这时如果我们能想到用三角代换求解，那么问题就简单多了.下面这个例子就充分说明了三角函数在积分中的应用。

例4 求