电动力学教程 第4章 时变电磁场

H E μ t 4 E 0
2
E H ε t
H 代入(2)式 H με 2 0 t 再利用矢量恒等式和 (3)式 2 2 H H H H 可得到 2 H 2 的无 H με 2 0 t 波源 动空 同样地，(2)式两边取旋度后可得 方间 程电 2 磁 E 2 E με 2 0 场 t
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程
在时变得情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成 电磁波，其能量以波的形式向前传播，电磁波的传播规律 服从波动方程。由麦氏方程可以推导出电磁场的波动方程。
下面建立无源空间 ρ 0, J 0 的波动方程。
取限定形式的麦氏方程: E 1 H ε t 3 H 0 (1)式两边取旋度
e e )e jt ] ˆx E ˆ ˆ Re[e E E xm y ym z zm e jt ] E ( x, y, z, t ) Re[E 时间因子 m
其中 E e ˆx Exm e ˆy Eym e ˆz Ezm 称为电场强度复矢量。 m 它只是空间坐标的函数，与时间t无关。这样我们就把时间t 和空间x、y、z的四维(x, y, z, t)矢量函数简化成了空间(x, y, z)
上两式相减
D B E H H E E J E H t t
若介质是线性、均匀且各向同性的，则介质参数(、、)均 为常数，那么上式右边各项：
B H 1 H H 1 H H H B t t 2 t t 2 D E 1 E E 1 E E E D t t 2 t t 2
时谐场： 电磁场变量随时间正弦或余弦式地变化。 1. 时谐场的复数表示
时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其 振幅和初相也都是空间坐标的函数。 以电场强度为例， 在直角坐标系中，
E x ( x, y, z, t ) E xm ( x, y, z ) cos[t x ( x, y, z )] E y ( x, y, z, t ) E ym ( x, y, z ) cos[t y ( x, y, z )] Ez ( x, y, z, t ) Ezm ( x, y, z ) cos[t z ( x, y, z )]
S
另一方面，根据Poynting矢量的定义，单 位时间流过任意曲面A的能量(i.e.功率)为 P S dA
A
S
流入闭合曲面A的功率 P S dA
A
A
b
对比(a)、(b)两式，可得Poynting矢量 S的表达式
S EH
说明：
① 该式给出的是Poynting矢量S的瞬时值表达式。
上式写为：
1 1 - E H E J E D H B t 2 2
两端体积分，并利用散度定理
d 1 1 - E H dS E JdV E D H B dV S V dt V 2 2
时谐场复数场矢量的时间导数： 一阶导数
E Re Em eit Re Em eit Re i Em eit t t t i t






二阶导数
2 2 t 2
其它场变量的复数形式可 依照写出：
② S、E、H三者 彼此正交且构成 右手螺旋关系。
H
E
S
③ 将Poynting矢量的表达式代入(*)式，得到
d - S dA E JdV A V dt
ω
V
e
ωm dV
(为避免混淆，将面积S改写成A)
称为Poynting定理，也就是电磁能量的守恒定律。 定理的物理意义：流入体积V内的电磁功率等于体积V内
T kE0 2 1 (3) S av ˆz E (t ) H (t )dt e T 0 0T

T
0
cos2 (t kz )dt
kE0 2 ˆz e 0T

T
0
cos(2t 2kz ) 1 dt 2
kE0 2 ˆz e (W / m2 ) 20
物理量的“流”及“流密度”
物理量的某种“流”显然是个和时间有关的概念。比如 能量的流动(“能流”)、动量的流动(“动量流”)、电荷的流动 (“电荷流”，即电流)、粒子的流动(“粒子流”)。流的概念反 映了物理量的时空上的动态变化。 流 物理场T中物理量T的流定义为单位时间内垂直流过面 积dA上的T的值，或者单位时间内面元dA上物理量T的变化 量， i.e. dT/dt。 流密度 为单位时间内垂直流过单位面积的T的值，或者 单位时间内单位面积上物理量T的变化量， i.e. dT/dt/dA。
一个新的矢量--能流密度矢量，即Poynting矢量(符号S)。
其大小定义为：
单位时间流过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。
W P i.e. t S S
故又称为功率密度矢量。
其方向规定为：
能量的流动方向 (=波的传播方向)。
2. Poynting定理--电磁能量守恒定律
4.3 Poynting矢量和Poynting定理
1. Poynting矢量的定义
电磁场中电能密度和磁能密度 1 ωe E D 2 1 ωm B H 2 时变场中的能量密度
1 1 ω ωe ωm E D B H 2 2
由于场随时间变化，故空间各点的电磁能量密度也随时间变 化，从而引起能量的流动。为了描述能量的流动情况，引入
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
A 随时间变化为动态矢量位
A E t 0
也随时间变化称为动态标量位。
A E t
(6)
2. 达朗贝方程 将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得 到A和满足的微分方程 ρ 2 A t ε
*
式中右边第一项就是焦耳定理的积分式，代表体积Ｖ的介质 中所消耗的功率，即单位时间体积Ｖ中消耗的电磁能量；第
二项中的积分是体积Ｖ中的电磁能量，因此该项代表单位时
间体积Ｖ中增加的电磁能量。故等式右边实际上代表单位时 间内，经边界Ｓ流入体积Ｖ的总的电磁能量，即流入功率 a P in - E H dS
的三维函数，即
( x, y , z ) e e e ˆx E ˆ ˆ E ( x, y , z , t ) E E E xm y ym z zm
若要得出瞬时值，只要将其复振幅矢量乘以 ejωt并取实部，便得到其相应的瞬时值：
jt E ( x, y, z, t ) Re[Em ( x, y, z )e ]
e jωt ] Ez ( x,y,z,t) Re[ E zm
Exm Exm e j x 复 j y 振 E ym E ym e 幅 j z E E e zm zm
场矢量的复数表示 j ˆx E xme jx e ˆ y E yme y e ˆz Ezm e jz )e jt ] E ( x, y, z, t ) Re[(e
2 A A 2 J A t t
2
引入洛伦茨规范
得到
A t 2 ρ 2 2 t ε
2 2
A A 2 J t
---达朗贝方程
电磁能量的增加率与体积V内损耗的电磁功率之和。
例题： 已知无源的自由空间中，时变电磁场
的电场强度 E e ˆy E0 cos(t kz ) (V/m) 求：(1)磁场强度；(2)瞬时坡印廷矢量；(3)平均坡印廷矢量。 解: (1)
B E t
E y E y B ˆz ˆx ˆx kE0 sin(t kz ) e e e t x z
电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电 流）及电荷流密度（即电流密度）
dq i , dt

v dq ˆj j e dtdA
dN dtdA
（q是电荷量）
粒子流和粒子流密度
dN , dt

（N是粒子数）
动量场中的动量流和动量流密度 v v dp dp （p是动量） , dt dtdA
4.4 时谐电磁场
利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理 的表达式。
D H J t B E t D E H E J E t B H E H t
kE0 B ˆx H dt e cos(t kz ) 0 t 0 1
(2) S (t ) E(t ) H (t )
ˆy E0 cos(t kz ) e ˆx e
ˆz e
kE0 2
0
kE0
cos(t kz )
0
cos2 (t kz )
2
波动方程的解是空间中沿某一特定方向的电磁波。所 有电磁波的传播问题就归结为在给定边界条件和初值条 件下求波动方程的解。
在有源空间 ρ 0; J 0 ，电磁场的波
动方程表示为：
H 2 H με 2 J t
2
E J ρ 2 E με 2 μ t t ε
实振幅 初相
利用复数来描述时谐电磁场场量，可使数学 运算简化：
E x ( x, y , z, t ) Re[ E xm ( x, y , z )e j [t x ( x , y , z )] ] Re[ E xme jx e jt ] e jt ] Re[ E
xm
e jωt ] Ey ( x,y,z,t) Re[ E ym
2
证明：和无源空间的波动方程的证明类似，差别在于算 子对源变量、J作用时不为0，要保留。 (作业)
4.2 时变场中的位函数
1. 动态矢量位和标量矢量位 对于磁感应强度：
Biblioteka Baidu
B 0
B A (5)
代入麦氏方程 E B ，有 t A E A t t A 故可令 E t