江苏省南通市2014届高三第一次调研测试数学
南通市2014届高三第一次调研测试
南通市2014届高三第一次调研测试化 学说明：本试卷分为第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，总分：120分，答题时间：100分钟。
可能用到的相对原子质量：H —1 C —12 N —14 O —16 Zn —65 W —184选择题（共40分）单项选择题：本题包括10 小题，每小题2 分，共计20 分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．2013年11月江苏在大部分地市推广使用含硫量大幅减少的苏V 汽油。
下列有关汽油的说法正确的是A ．汽油属于可再生能源B ．将原油通过萃取、分液可获得汽油C ．使用苏V 汽油可降低酸雨发生率D ．苏V 汽油只含C 、H 、O 三种元素 2．下列有关化学用语表示正确的是 A ．水的电子式： B ．中子数为20的氯原子： Cl C ．聚丙烯的结构简式：D ．钠原子的结构示意图：3．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是 A ．0.1 mol·L -1盐酸的澄清透明溶液：Fe 3＋、K ＋、SO 42－ 、Br － B ．含有NaNO 3的溶液：H ＋、Fe 2+、SO 42－ 、Cl － C ．能使石蕊变红的溶液：Cu 2+、Na ＋、AlO 2－、Cl －D ．由水电离出的c (H +)·c (OH －)=10-22的溶液：Na ＋、Ca 2＋、HCO 3－ 、NO 3－ 4．下列有关物质性质或应用的说法正确的是 A ．医疗上，常用碳酸钠治疗胃酸过多 B ．在海轮外壳上安装锌块以减缓船体腐蚀 C ．液氨汽化放出大量的热，可用作制冷剂 D ．明矾具有强氧化性，常用于自来水的杀菌消毒5．粗略测定草木灰中碳酸钾的含量并检验钾元素的存在，需经过称量、溶解、过滤、蒸发、焰色反应等操作。
下列图示对应的操作不．规范．．的是A ．称量B ．溶解C ．蒸发D ．焰色反应—CH 2—CH 2—CH 2— [ ] n20 176．甲、乙、丙、丁四种物质中，甲、乙、丙均含有相同的某种元素，它们之间的转化关系如下图所示。
江苏省南通市2014届高三数学 Word版含答案
A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数） （为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。
2014-2015年江苏省南通一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，=．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}，则M∩N=．3．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为．4．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n=．5．（5分）函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是．6．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=．7．（5分）已知=．8．（5分）要得到y=sin x的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位．9．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题q：0＜a＜1，则p 是q的．（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）10．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f （x+1），则f（2+log23）=．11．（5分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．12．（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有．（填所有正确的序号）（1）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；（2）若f（x）=ax2+2x+1只有一个零点，则a=1；（3）命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；（4）对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞g′（x）；（5）在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充要条件．13．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并作出函数y=f（x）在一个周期内的简图（用五点法列表描点）；（2）求函数y=f（x）的周期，并写单调区间．16．（14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．17．（14分）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N+，x ≤12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（1）写出2014年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（2）试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？18．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若数列{a n}满足：，，令，求数列{b n}的通项公式；（III）对于（Ⅱ）中的数列{a n}，令，求数列{c n}的前n项的和S n．20．（16分）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．（Ⅰ）证明f（x+2kπ）﹣f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；（Ⅱ）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f（x0）]2=；（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，…，a n，…，证明＜a n+1﹣a n＜π（n=1，2，…）．21．（10分）已知函数f（x）=ln（2x﹣e），点P（e，f（e））为函数的图象上一点．（1）求导函数f′（x）的解析式；（2））求f（x）=ln（2x﹣e）在点P（e，f（e））处的切线的方程．22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切．求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值．23．（10分）（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．24．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，=﹣1．【解答】解：=．故答案为：﹣1．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}，则M∩N={x|1＜x＜2} ．【解答】解：∵集合M{x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N={1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．3．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为．【解答】解：∵，∴，又，且（+k）∥，∴1×（2+k）+5（﹣1+k）=0，解得：k=．故答案为：．4．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n=．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+1）﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，当n=1时，2n﹣1=1≠a1，∴．答案：．5．（5分）函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：由题意可得函数f（x）的定义域是x＞2或x＜0，令u（x）=x2﹣2x的减区间为（﹣∞，1）∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）故答案：（﹣∞，0）6．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．7．（5分）已知=﹣．【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣∴cosα=∴sinα=±=±∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣∴tanα=﹣tan2α==﹣故答案为﹣．8．（5分）要得到y=sin x的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位．【解答】解：将函数y=sin（）的图象向左最少平移单位，可得y=sin[（x+）﹣]=sin x的图象，故答案为：．9．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题q：0＜a＜1，则p 是q的必要不充分条件．（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）【解答】解：命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R⇔a=0或⇔a=0或⇔a=0或0＜a＜4⇔0≤a＜4命题q：0＜a＜1．故p是q的必要不充分条件．答案为：必要不充分条件10．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=．【解答】解：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==故应填11．（5分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以cos∠BAD==﹣，故sin∠BAD=，S ABCD=（）2×=．故答案为：．12．（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有（1）．（填所有正确的序号）（1）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；（2）若f（x）=ax2+2x+1只有一个零点，则a=1；（3）命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；（4）对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞g′（x）；（5）在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充要条件．【解答】解：对于（1），命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；对于（2），当a=0时函数f（x）=ax2+2x+1也只有一个零点，命题（2）错误；对于（3），命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2或y＜3，则x+y ＜5”，命题（3）错误；对于（4），对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），说明f（x），g（x）均为偶函数，又当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0，g′（x）＜0，命题（4）错误；对于（5），在△ABC中，A＞45°不一定得到sinA＞，如A=150°，sinA=，∴“A ＞45°”不是“sinA＞”的充要条件，命题（5）错误．故答案为：（1）．13．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为【解答】解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．【解答】解：∵不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，，∴+，当a1≠0时，化为+1=，当=﹣时，上式等号成立．∴．故答案为：．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并作出函数y=f（x）在一个周期内的简图（用五点法列表描点）；（2）求函数y=f（x）的周期，并写单调区间．【解答】解：（1）由于向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．则有f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），函数的周期为T==π，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：描点得整个图象，如右．（2）函数y=f（x）的周期为π，由2k≤2x+≤2k，解得k≤x≤k；由2k≤2x+≤2k，解得k≤x≤k，则单调增区间[k，k]（k为整数）；单调减区间[k，k]（k为整数）．16．（14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．17．（14分）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N+，x ≤12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（1）写出2014年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（2）试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=﹣3x2+40x．验证：x=1时，37符合f（x））=﹣3x2+40x∴f（x））=﹣3x2+40x（x∈N*，且1≤x≤12））（2）第x月旅游消费总额为g（x）=f（x）•q（x）==当1≤x≤6，且x∈N+时，g′（x）=18x2﹣370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=140（舍去）∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（万元）当7≤x≤12，且x∈N*时，g（x）=﹣48x+640是减函数，∴当x=7时，g（x）max=g（7）=304（万元），综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．18．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．【解答】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）=﹣=﹣2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）=﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）=﹣f（﹣x）=2x，所以f（x）∈（1，2]，又f（0）=0．所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令t=f（x），则＜t≤1，g（t）=f2（x）﹣f（x）+1=t2﹣λt+1=+1﹣，①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（）=1﹣=﹣2，解得λ=±2（舍去）．③当＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=﹣2，解得λ=4，综上所述，λ=4．19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若数列{a n}满足：，，令，求数列{b n}的通项公式；（III）对于（Ⅱ）中的数列{a n}，令，求数列{c n}的前n项的和S n．【解答】解：（I）由已知f（﹣n）=a（﹣n）2+b（﹣n）=0，f′（0）=b=n解得a=1，b=n，所以f（x）=x2+nx（3分）；（Ⅱ）由可得，（4分），即b n=2b n+1所以数列{b n}是首项为，公比q=2的等比数列，（6分）∴b n=4•2n﹣1=2n+1（8分）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知C n=n•2n+1﹣n（9分）∵S n=1•22+2•23+…+n•2n+1﹣（1+2+3+…+n）2S n=1•23+2•24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2﹣2（1+2+3+…+n）（10分）∴﹣S n=（22+23+…+2n+1）﹣n•2n+2+（1+2+3+…+n）=﹣n•2n+2+，∴S n=（n﹣1）•2n+2+4﹣（12分）20．（16分）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．（Ⅰ）证明f（x+2kπ）﹣f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；（Ⅱ）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f（x0）]2=；（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，…，a n，…，证明＜a n+1﹣a n＜π（n=1，2，…）．【解答】解：（Ⅰ）证明：由函数f（x）的定义，对任意整数k，有f（x+2kπ）﹣f（x）=（x+2kπ）sin（x+2kπ）﹣xsinx=（x+2kπ）sinx﹣xsinx=2kπsinx．（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导，f'（x）=sinx+xcosx①令f'（x）=0，得sinx+xcosx=0．显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化简为x=﹣tanx．此方程一定有解．f（x）的极值点x0一定满足tanx0=﹣x0．由sin2x==，得sin2x0=．因此，[f（x0）]2=x02sin2x0=．（Ⅲ）证明：设x0＞0是f'（x）=0的任意正实数根，即x0=﹣tanx0，则存在一个非负整数k，使x0∈（+kπ，π+kπ），即x0在第二或第四象限内．由①式，f'（x）=cosx（tanx+x）在第二或第四象限中的符号可列表如下：所以满足f'（x）=0的正根x0都为f（x）的极值点．由题设条件，a1，a2，a n，为方程x=﹣tanx的全部正实数根且满足a1＜a2＜＜a n ＜，﹣a n=﹣（tana n+1﹣tana n）=﹣（1+tana n+1•tana n）tan（a n+1那么对于n=1，2，a n+1﹣a n）．②＜π+nπ，由于+（n﹣1）π＜a n＜π+（n﹣1）π，+nπ＜a n+1则＜a n﹣a n＜，+1由于tana n+1•tana n＞0，由②式知tan（a n+1﹣a n）＜0．由此可知a n+1﹣a n必在第二象限，即a n+1﹣a n＜π．综上，＜a n+1﹣a n＜π．21．（10分）已知函数f（x）=ln（2x﹣e），点P（e，f（e））为函数的图象上一点．（1）求导函数f′（x）的解析式；（2））求f（x）=ln（2x﹣e）在点P（e，f（e））处的切线的方程．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（2x﹣e），∴f′（x）==…（4分）（2）∵f（e）=1，f′（e）=，∴切线的方程为y﹣1=（x﹣e），即2x﹣ey﹣e=0 …（10分）22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切．求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值．【解答】解：（1）由题意得，圆C的极坐标方程为ρ=2，则ρ2=4，所以圆C的直角坐标方程是：x2+y2=4…（5分）（2）因为直线l：kx+y+3=0与圆C相切，所以，解得k=…（10分）23．（10分）（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．24．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣2S n+1=0．①代入上式得S n﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
江苏省南通市高三第一次调研测试数学试题 Word版含答案.pdf
即又BN=2AM ②…………………………… 8分
由①②，得ABAC．选修4—2：矩阵与变换
（本小题满分10分），满足，，求．，因为，………………………………………………… 2分
所以，即…………………………………………… 6分
解得所以． 10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）：，过极点O的直线与曲线相交于A、B两点，
结束
Y
N 输入x ② M · （第18题） M F O E · ① M · （第19题） A B C D x P y · O （第2题） B C M N O （第22题） P1
，求直线的方程．的方程为(ρ∈R)，，， …………………………………2分
则．，故．+2kπ或+2kπ，k∈Z．修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知，，均为正数求证：．证明：因为，，均为正数所以．同理可得．当且仅当yz均时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．【必做题】
（本小题满分10分），，…，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．．（1）的概率；
（）的分布列及数学期望．1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共
有种不同选法，其中的为有一个角是
的直角三角形（如△），共种，
所以．（），，．的等腰三角形（如△），共6种，所以．的为等边三角形（如△），共2种，所以．
又
由（1）知，故的分布列为
所以．……………………………………… 10分
23．（本小题满分10分）满足下列性质T的排列，，…，的个数为（n≥2，且n∈，，…，中有且只有一个
（{1，2，…，}）．
（1）求；
（2）求．
解：（1）当时，1，2，3的所有排列有，2，，，3，，，1，，，3，，
(完整版)南通市2014届高三第一次调研测试数学(word版,含答案)
南通市2014届高三第一次调研测试数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．2．已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限． 3．命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．5．设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ．6．如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ． 7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ．（第6题）12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是▲ ．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．A 1B 11CDAD 1（第15题）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34． （1）求tan B 的值；（2）若2c ，求△ABC 的面积．17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为»EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A、D在»EF上，设∠AOD=2θ．（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cosθ的值．（第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yx a ba b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点1(1)4P，，且2AP PC=u u u r u u u r，2BP PD=u u u r u u u r．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率．（第19题）已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+ b1，a1+ b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，……第2n－1次从数列{a n}中继续依次取2n－1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，……由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n和为S n．求满足S n＜22014的最大正整数n．（第21—A 题）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】A ． 选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN =2AM ． 求证：AB 2=AC ．B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分） 设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB 求直线l 的方程．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111y x z yz zx xy x y z++++≥．【必做题】22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ．（1）求S =的概率； （2）求S 的分布列及数学期望()E S ．23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）． （1）求(3)f ； （2）求()f n ．4（第22题）南通市2014届高三第一次调研测试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{3，5}．2.二．3.x ∀∈R ，||0x >． 3. 3．4. 7．5. 32-． 6. 乙． 7.25． 8. π3． 9.52． 11．1． 12.1-． 13．.43π+． 14．8． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A B I BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-．所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-． 因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B=-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin Asin B 3sin 5C =．………………………10分ABCCDABD（第15题）由正弦定理，得sin sin 35c A a C ===12分 所以△ABC的面积为114sin 2223ac B ==．……………………14分 17．(本小题满分14分)（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a 3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． ………………………………………2分 ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增．……………… 4分 ②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．…… 6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．… 7分（2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x 2－1．……………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x 2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分 ③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求．………………… 13分 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．………………………………………………… 14分 18．(本小题满分16分)（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB AD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯，故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==． 综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为（第18①()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦． 令0S '=，得cos θ．…………………………………………………………… 10分记区间(0 )3π，θ（唯一存在）．列表：又当32θππ<≤时，32sin2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数， 所以当0θθ=即cos θ= 16分19．(本小题满分16分)（1）解：依题意，222221314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，= 所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………… 6分（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =u u u r u u u r ，得()1133428x y C --，．…………………………………………… 8分 代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，…………………………………………… 10分即1118x y +=-．③ ……………………………………… 12分设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ ……………………………………… 14分 ③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--．……………… 16分（第1920．(本小题满分16分)（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分（第21—A 题）ABCMNO数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】C ． 选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以AC AM BC BM=， ① …………………………… 3分 又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM BA BN BC ⋅=⋅， 即BA BN BC BM=，…………………………………… 6分 又BN =2AM ， 所以2 BA AM BC BM=， ②…………………………… 8分 由①②，得AB 2=AC ． ……………………… 10分 D ． 选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，因为()111---=BA A B ，…………………………………… 2分 所以10120134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21 20 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………… 6分 解得2 1 3 21 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，，…………………………2分 则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．…………………………………………………………… 5分 又3AB =，故03sin =θ ……………………………………………………… 7分解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． …………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y y x x yz zx z x y z++≥≥．……………… 4分同理可得2y z xy zx x +≥，2x z yz xy y+≥．…………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxyz++++≥．……………………………………………………… 10分 【必做题】22．（本小题满分10分）解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C 种不同选法，其中S =的为有一个角是30o的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ===． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120o的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ==．…………………………………………… 5分S =的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分又由（1）知(361235C P S ===，故S的分布列为所以331()10510E S 10分23．（本小题满分10分）解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分 （2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．………………………………………… 6分 若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．…………………………… 8分 综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………… 10分564（第22题）。
江苏省南通市2014届高三数学学科基地密卷(3) Word版含答案
2014年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 函数()sin()3f x x πω=-的最小正周期为3π，其中0ω>，则ω= .2. 若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数，则实数a = .3. 若{Z |2216},{3,4,5}x A x B =∈≤≤=，则AB = .4. 已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则其渐近线方程为 ． 5．如果数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差是a ，若数据132x -，232x -，332x -，…，32n x -的方差为9，则a = .6. 执行右边的程序框图，若p ＝80，则输出的n 的值为 .7. 如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为x 和y ，则log (1)1x y -=的概率为 . 8．若)(x f 是R 上的增函数，且2)2(,4)1(=-=-f f ，设{}31)(|<++=t x f x P ，{}4)(|-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是______.9．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3.10. 若方程[][]22221,1,5,2,4x y a b a b+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆，则z a b =+的最小值为 ．11. 已知22()9,f x x x kx =-++若关于x 的方程()0f x =在（0，4）上有两个实数解，则k 的取值范围是 .12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.若Q 为圆C 上的一个动点，则PQ MQ ⋅的最小值为 .13. 已知函数3221()(21) 1.3=++-+-+f x x x a x a a 若函数()f x 在(]1,3上存在唯一的极值点．则实数a 的取值范围为 ．14. 已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数 ，且()(1)n a f n f n =++，则1232014a a a a +++⋯+=.(第6题)二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =，2(cos2,cos )2An A =，且1m n ⋅=.(1)求角A 的大小；(2)若2b c a +==,求证：ABC ∆为等边三角形.16.（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60ACB ∠=，E 、F 分别是11,AC BC 的中点．（1）证明：平面AEB ⊥平面1B CF ；（2）设P 为线段BE 上一点，且2EP PB =，求三棱锥11P B C F -的体积．P F EC 1B 1A 1CBA17.（本小题满分14分）设椭圆方程22221x y a b+=(0)a b >>，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求椭圆方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12-，是否存在动点00(,)P x y ，若2OP OM ON =+，有22002x y +为定值．18. (本小题满分16分) 某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB 至少长3米，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5米，∠BCD=600（1）若,CD x =,BC y =将支架的总长度表示为y 的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段AB 、BD 和CD 长度之和）（2）如何设计,AB CD 的长，可使支架总长度最短．19.（本小题满分16分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=.（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；（2）能否从数列中依次抽取一个无穷多项的等比数列，且使它的所有项和S 满足9116013S <<，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？（注：设等比数列的首项为1,a ，公比为(||1)q q <，则它的所有项的和定义为11a q-）20.（本小题满分16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x 的零点； （3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的最大值.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC ∆中，,=AB AC 过点A 的直线与其外接圆交于点P,交BC 延长线于点D. 求证：⋅=⋅AP AD AB ACB ．（选修４－２：矩阵与变换）ABC ∆的顶点A （1，2），B （3，3），C （2，1），求在矩阵2002⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换下所得图形的面积．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交于点P . （1）求P 点的坐标；（2）求点P 与(1,5)Q -的距离.D ．（选修４－５：不等式选讲）设,a b 是正数，证明：3322222a b a b a b+++≥⋅.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，PDC BA∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -CPF 的长度．23．数列{}n a 满足2121n n a a +=-，1N a =且11N a -≠，其中{}2,3,4,N ∈（1）求证：1||a ≤1； （2）求证：()12cos 2N k a k Z π-=∈．PFEDCAB2014年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题 1. 6．263T ππωω==⇒= ;2. 1.将复数表示为(,)z a bi a b R =+∈的形式，然后由0,0a b =≠即可求；3.{}3,4.142216,222,14x x x ≤≤∴≤≤∴≤≤，即{}1,2,3,4A =. {}3,4,5B = ，{}3,4A B ∴⋂=；4. y x =±.设焦点为(,0)c ，渐近线方程为by xa=±，即0,bx ay ±=所以a =所以,a b =即渐近线方程为y x =±;5. 3.原数据的方差为a ，则新方差为2a ，而已知新方差为9，所以3a =;6. 7 .依次产生的S 和n 值分别为2,2;6,3;14,4;30,5;62,6;126,7;所以，输出的n 值为7;7.19.因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为36种，又由l o g (1)1x y -=知1(1)y x x =+>，所以，满足条件的事件有: (2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)共4种，则log (1)1x y -=的概率为19;8.3>t .{}|()13{()2}{()(2)}P x f x t x f x t x f x t f =++<=+<=+<，{}|()4{()(1)}Q x f x x f x f =<-=<-，因为函数)(x f 是R 上的增函数，所以{}|2{2}P x x t x x t =+<=<-，{}|1Q x x =<-，要使“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则有21t -<-，即3t >；9..由题意知，弧长为4π×8＝2π，即围成圆锥形容器底面周长为2π，所以圆锥底面半径为r ＝1，可得圆锥高h ＝，所以容积V ＝13πr 2×h ＝13π×1.⨯;10. 4 .方程22221x y a b+=表示焦点在x 的椭圆时，有22a b c e a ⎧>⎪⎨==⎪⎩，即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩， 又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令z y x =+，平移直线,y x z =-+当过(2,2)时，min 4Z =; 11. 23(,3).4--()0f x =可以转化为22|9|x x kx -+=-，记22()|9|g x x x =-+，则()0f x =在（0，4）上有两个实数解，可以转化为函数2229,03()929,34x g x x x x x <≤⎧=-+=⎨-<<⎩与()h x kx =-的图象，结合图像和特殊点(3,9),(4,23)A B 可知23(,3)4k ∈--; 12.－4.设圆心C (,)a b ，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，则圆C 的方程为222x y r +=，将点P 的坐标代入得22r =，故圆C 的方程为222x y +=，设(,)Q x y ，则222x y +=，且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++=224x y x y +++-=2x y +-，法一：令x α，y α=，则2sin()4x y πα+=+≥-2法二：令x y t +=，则y x t =-+，所以2PQ MQ x y ⋅=+-≥-4，PQ MQ ⋅的最小值为4- ; 13. [)7,1--.2()221'=++-f x x x a ， 若函数()f x 在(]1,3上存在唯一的极值点，则方程2221++-x x a =0在区间(]1,3上有唯一解.因为抛物线21122=--+a x x 的对称轴为1=-x ，函数21122=--+a x x 在区间(]1,3单调递减，所以[)7,1∈--a ；14. 2014. n 为奇数时 1+n 为偶数 ，22(1)21=-+=--n a n n n ， n 为偶数时，1+n 为奇数，22(1)21=-++=+n a n n n ∴ 13=-a ，25=a ，37=-a ，49=a ，511=-a ，713=a ，…… ，∴ 122+=a a ，342+=a a ，即1220142014a a a ++=.二、解答题15. (1)由(1,2)m =，2(cos2,cos )2A n A =， 得222cos22cos 2cos 1cos 12cos cos 2Am n A A A A A ⋅=+=-++=+ …………4分 又因为1m n ⋅=，所以，22cos cos 1A A +=解得1cos 2A =或cos 1A =- …………6分0,3A A ππ<<∴=……7分(2)在ABC ∆中，2222cos a b c bc A =+-且a =所以，22222122b c bc b c bc=+-⋅=+-① …………9分又b c +=b c =，代入①整理得230c -+=，解得c =b于是a b c ===， .…………13分 即ABC △为等边三角形. .…………14分 16．（1）在ABC ∆中，∵AC =2，BC =4,060ACB ∠=，∴AB =222AB BC AC +=， ∴AB BC ⊥.………………………………3分 由已知1AB BB ⊥，1BB BC B =，∴11AB BB C C ⊥面. …………………5分又∵AB ABE ⊂面，11ABE BB C C ⊥故平面平面，即平面AEB ⊥平面1B CF ……7分 （2）取11B C 的中点H ，连结EH ， 则//EH AB且12EH AB ==由（1）11AB BB C C ⊥面，∴11EH BB C C ⊥面， ……10分C 1A 1A∵2EP PB =，∴111111111333P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=. ……14分17. （1）因为24a =，所以，2a = ---------------------------------2分∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2．∴由椭圆的对称性知，椭圆过点(,1)c ，即22114c b+= --------------------4分224c b =-，解得22b =椭圆方程为22142x y += ------------------------------------------------------------7分（2）存在这样的点00(,)P x y .设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则121212OM ON y y k k x x ==-，化简为 121220x x y y += ---------------------9分 ∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴2211142x y +=，2222142x y += 由2OP OM ON =+得0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩- ----------------------------------------11分所以22220012122(2)(2)x y x x y y +=+++ 222211221212(2)4(2)4(2)x y x y x x y y =+++++444020=+⨯+=即存在这样的点00(,)P x y -----------------------------------------------------14分 18. （1）由,CD x =则(0.5)BD x m =-，设CB y =， 则支架的总长度为AC BC BD CD +++，在BCD ∆中，由余弦定理2222cos60(0.5)x y xy x +-=-化简得 20.25y xy x -=-+ 即20.250y xy x -+-= ① ……4分 记0.5220.5l y y x x y x =++-+=+- 由20.250y xy x -+-=，则20.251y x y -=-222220.2520.52220.5420.5220.520.50.50.51111y y y y y y y l y y y y y y ---+---=+⨯-=+-=-=--------------6分（2）由题中条件得23y ≥，即 1.5y ≥设1(0.5)y t t -=≥则原式224(1)2(1)0.5484220.50.50.5t t t t t l t t+-+-++---=-=-=246 1.5 1.5 1.50.5460.54 5.5t t t t t t t++-=++-=++ ……10分0.5t ≥由基本不等式 1.54t t∴+≥有且仅当24 1.5t = ，即t =时成立，又由t = 满足0.5t ≥1y ∴=，x ∴= ∴当2,AB CD =+=金属支架总长度最短． (16)分19. （1）当1n =时，1123a a +=，则11a =.又23n n a S +=，所以1123n n a S +++=，两式相减得113n n a a +=，即 {}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -=------------------------------------------------------4分 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为,,,()p q r a a a p q r << 则111211333q p r ---=+，即211333q p r=+，所以2331r q r p --⋅=+，即2331r q r p --⋅-=，即3(23)1r q q p ---=又p q r <<，*,r q r p N ∴--∈，所以33,230r q q p -->-<所以3(23)0r q q p ---<∴假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列 --------8分 （2）设抽取的等比数列首项为13m ，公比为13n，项数为k ，且,,m n k N +∈则111[1()]333()111133k m nmn nS k -=<--， -------------------------------------------10分因为9116013S <<，所以191311601313<<-， ------------------12分 所以1311(1)3391609(2)33m nn m ⎧<-⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩由（1）得到113133nm +<，所以3,1m n ≥≥， ------------13分 由（2）得到1609933m n +>， --------------------------------14分 当3,1m n ==时，适合条件，这时等比数列首项为311327=，公比为11133= 当3,1m n =>时，均不适合. 当3,1m n >≥时，均不适合.综上可得满足题意的等比数列有只有一个. ------------------16分20. （1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根， --------2分 令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-， 从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减.∵()g x 有3个零点，∴(1)0(3)0g g ->⎧⎨<⎩，∴824t -<<. -----------------4分（2）,,a b c 是()f x 的三个极值点∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分∴23932a b c ab ac bc t abca c b++=⎧⎪++=-⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）∴111a b c ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩， 所以，()f x的零点分别为1-1，1+ -------------------10分 （3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立.即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. ----------------12分 设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+. 设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-.因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<， 故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<. 从而()y x ϕ=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<.所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5. -----------------16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 由AB AC =，所以ABC ACB ∠=∠，所以,,∠=∠∠=∠ACD APC CAP CAP 所以,APCACD ∆∆所以,=AP ACAC AD所以2,=⋅AC AP AD 由AB AC =，所以⋅=⋅AP AD AB AC .………10分B ．由20120224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以，A ，B ，C 在矩阵变换下变为(2,4),(6,6),(4,2)A B C '''---，从而可得A B B C A C ''''''===，可得S=6． ………10分C. （1）将15x t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩代入0x y --=得t =得(1P +， ………5分（2）由(1,5)Q -，得PQ =. ………10分D. 332233222()()()222a b a b a ba b a b a b +++≥⋅⇔+≥++ ……3分3322332222()()()a b a b ab a b a b ab a a b b a b ⇔+≥+⇔+-+=--- ……6分 2()()0a b a b ⇔+-≥.当且仅当a b =时等号成立. ……10分22. （1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以4cos ,||||BE CP BE CPBE CP ⋅<>==⋅即异面直线BE 与CP ． -----------------------------5分 （2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t nt-=-， 所以，121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅解得23t =，或2t =（舍）． 所以PF = ---------------10分 23. （1）猜想：N K a -≤1，1≤k <N －1，k ∈N *，接下来用数学归纳法对k 进行证明：当k =1时，由2121n n a a +=-，1N a = 得 21N a -=12N a +=1 但11N a -≠ ∴1-N a =－1，∴11N a -≤成立 --------------------------------------------2分 假设k =m (1≤m <N －1，m ∈*N )时，1N m a -≤ 则21N m a --=12N m a -+∈[0，1] 所以11N m a --≤ 所以k =m+1时结论也成立.综上 ，有1N K a -≤，1≤k <N －1，k ∈*N 故有11a ≤ ----------------5分 （2）当N=2时，由12=a 且11≠a 得11cos a π=-=成立假设N=m (m ≥2)时，存在Z k ∈，使得12cos2m k a π-= ------------------7分 则当N=m ＋1时，由归纳假设，存在k ，使得23cos 2m k a π-=，则21a =212a +=3cos 122m k π-+=22cos 2m k π- 所以12cos 2m k a π-==(1)22cos 2m k π+-或12cos 2m k a π-=-=(1)2(1)2(22)cos 2m m k π+-+-- 所以无论N 取任何大于1的正整数，都存在k 使得()12cos2N k a k Z π-=∈ --10。
届南通市高三一模考试数学试题及答案前综合练习数学试题及答案三
2014届南通市高三一模考试前数学综合练习三数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．满足11z i -+≤的复数z 在复平面上对应的点构成的图形的面积为 ▲ ． 2． 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为400~1，按编号顺序平均分为20个组。
若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组抽取的号码为 ▲ ．3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．4． 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m ,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线012=--y x 上方的概率为 ▲ ．5． 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”，已知一黄金圆锥的侧面积为π，则这个圆锥的高为 ▲ ． 6． 在ABC ∆中，若π6A =，π3B =，1=BC ，则BA CA ⋅的值为 ▲ ． 7． 集合()()()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0-----用描述法可表示为 ▲ ． 8． 关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为()2,1-，则关于x 的不等式bx c xba >++2的解集为 ▲ ．9． 函数x x x x y 2sin 3cos 2cos 3sin 2+++=的值域为 ▲ ． 10．设P 为2412-=x y 图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为 ▲ ．11．已知函数 若12,x x ∃∈R ，12x x ≠，使得()()21x f x f =成立，则实数的取值范围是 ▲ ．12．直线23+=x y 与圆心为D 的圆()()13122=-+-y x 交于B A ,两点，直线BD AD ,的倾斜角分别为βα,，则()βα+tan = ▲ ．2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨+>⎩2a13．设函数()x x x x f 5323+-=，{}n a 为公差不为0的等差数列，若101021=+++a a a ，则()()()1021a f a f a f +++ = ▲ ． 14．设()1,5,4,3,2,1051==≥∑=i ii xi x ，则{}{}54433221,,,m a x mi n x x x x x x x x ++++= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）设函数()x x x x x f cos sin 3cos 62sin 2++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π.(1) 若4π<x ，求函数()x f 的值域；(2) 设C B A ,,为ABC ∆的三个内角，若252=⎪⎭⎫ ⎝⎛A f ,()cos A C +=求co s C 的值；16．（本小题满分14分）如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于C B A ,,三点处,AC AB =,A 到线段BC 的距离40=AO ,72π=∠ABO (参考数据: 33272tan ≈π). 今计划建一个生活垃圾中转站P ,为方便运输,P 准备建在线段AO (不含端点)上.（1）设()400<<=x x PO ,试将P 到三个小区距离的最远者S 表示为的函数,并求S 的最小值；（2）设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=∠720πααPBO ,试将P 到三个小区的距离之和y 表示为α的函数,并确定当α取何值时,可使y 最小?x17．（本小题满分16分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为255． （1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.18．（本小题满分16分）已知函数()()22ln ,f x ax a x x a =-++∈R ．（Ⅰ）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时，若()x f 在区间[]e ,1上的最小值为2-，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若对任意()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,恒有()()221122x x f x x f +<+成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分16分）设数列{}n a ，对任意n ∈N *，都有()()()n n a a a p a a b kn +++=+++ 2112 （其中p bk ,,是常数）.x（1）当4,3,0-===p b k 时，求n a a a +++ 21；（2）当0,0,1===p b k 时，若15,393==a a ，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列” .当0,0,1===p b k 时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212=-a a ，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意*∈N n 都要有0≠n S ，且181111112121<+++<n S S S ，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由.第Ⅱ部分 附加题（满分40分，答卷时间30分钟）20．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵1001M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求矩阵M 的特征值和特征向量；（2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=32β ，求β 99M .C ．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx （t 为参数），点()0,1A ,()3,3-B ，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系．21．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．过直线1-=y 上的动点()1,-a A 作抛物线2x y =的两切线AQ AP ,，Q P ,为切点． （1）若切线AQ AP ,的斜率分别为21,k k ，求证：21k k ⋅为定值； （2）求证：直线PQ 过定点．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．对有()4n n ≥个元素的总体{}n ,,3,2,1 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}m ,,3,2,1 和{}n m m ,,2,1 ++（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随 机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率. （1）求n P 1的表达式（用n m ,表示）；（2）求所有()1ij P i j n <≤≤的和.23．对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体 和（是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随 机抽取个元素组成样本.用表示元素和同时出现在样本中的概率. （1）求的表达式（用表示）；（2）求所有的和.2014届南通市高三一模考试前数学综合练习三答案1．2π 2．391 3．205 4. 415．1 6. 3 7．(){}Z x y x y x ∈=+,2,22 8．()0,∞-9．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-545，10．2 11. ()()+∞∞-,21, 12．43- 13．30 14. 31 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）()4n n ≥{}n ,,3,2,1 {}m ,,3,2,1 {}n m m ,,2,1 ++m 22m n -≤≤2ij P i j n P 1n m ,()1ij P i j n <≤≤设函数()x x x x x f cos sin 3cos 62sin 2++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π.(1) 若4π<x ，求函数()x f 的值域；(2) 设C B A ,,为ABC ∆的三个内角，若252=⎪⎭⎫ ⎝⎛A f ,()cos A C +=cos C 的值；解：（1）()x x x x x f 2sin 2322cos 12cos 212sin 23++++=＝2162sin 2212cos 2sin 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++πx x x …………4分 4π<x 32623πππ<+<-∴x 162sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<-∴πx …………6分 ()25321≤<-∴x f , 即()x f 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-25,321；…………7分（2）由252=⎪⎭⎫ ⎝⎛A f , 得16sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，又A 为ABC 的内角，所以3π=A ,……9分又因为在ABC 中, ()1435cos -=+C A , 所以()1411sin =+C A ……10分 所以()()1433sin 23cos 213cos cos =+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=C A C A C A C π…………14分16．（本小题满分14分）如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于C B A ,,三点处,AC AB =,A 到线段BC 的距离40=AO ,72π=∠ABO (参考数据: 33272tan ≈π). 今计划建一个生活垃圾中转站P ,为方便运输,P 准备建在线段AO (不含端点)上.∆∆(1) 设()400<<=x x PO ,试将P 到三个小区距离的最远者S 表示为的函数,并求S 的最小值；(2) 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=∠720πααPBO ,试将P 到三个小区的距离之和y 表示为α的函数,并确定当α取何值时,可使y 最小?16.解：（1）在AOB Rt ∆中,因为40=AO ,72π=∠ABO ,所以320=BO , 所以x PA -=40,21200x PC PB +==…………2分， ①若PB PA ≥，即50≤<x 时，x S -=40； ②若PB PA <，即405<<x 时，21200x S +=，从而 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤<-=405120050402x x x x S ………………4分。
2014年江苏省南通市高考数学一模试卷
2014年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2014•南通一模）复数的虚部是_________．2．（5分）（2014•南通一模）某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数．则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为_________．3．（5分）（2014•南通一模）函数f（x）=的值域为_________．4．（5分）（2014•南通一模）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．5．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为_________．6．（5分）（2014•南通一模）如图是计算的值的一个流程图，则常数a的取值范围是_________．7．（5分）（2014•南通一模）函数y=的图象可由函数y=sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y=sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：A．图象上所有点向右平移个单位；B．图象上所有点向右平移个单位；C．图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D．图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）．请按顺序写出两次变换的代表字母：_________．（只要填写一组）8．（5分）（2014•南通一模）记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数f（x）和g（x）的定义域都是R，则“f （x）和g（x）都是偶函数”是“函数F（x）=max{f（x），g（x）}为偶函数”的_________条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）9．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2﹣4x﹣8y+19=0关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的方程为_________．10．（5分）（2014•南通一模）给出以下三个关于x的不等式：①x2﹣4x+3＜0，②，③2x2+m2x+m＜0．若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是_________．11．（5分）（2014•南通一模）设，且，则tanβ的值为_________．12．（5分）（2014•南通一模）设平面向量，满足，则•的最小值为_________．13．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线上的点到原点O的最短距离为_________．14．（5分）（2014•南通一模）设函数y=f（x）是定义域为R，周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1）时，f（x）=1﹣x2；已知函数g（x）=，则函数f（x）和g（x）的图象在区间[﹣5，10]内公共点的个数为_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（14分）（2014•南通一模）设向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．（1）若⊥，求的值；（2）设向量=，且+=，求α，β的值．16．（14分）（2014•南通一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面DEF⊥平面PAC．17．（14分）（2014•南通一模）如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18．（16分）（2014•南通一模）设公差不为零的等差数列{a n}的各项均为整数，S n为其前n项和，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列{a n}中的项．19．（16分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C长轴的右端点到其右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程．（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且∠AOB=．求证：原点O到直线AB的距离为定值．（3）在（2）的条件下，求AB的最小值．20．（16分）（2014•南通一模）设函数f（x）=alnx﹣bx2，其图象在点P（2，f（2））处切线的斜率为﹣3．（1）求函数f（x）的单调区间（用只含有b的式子表示）；（2）当a=2时，令g（x）=f（x）﹣kx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=0的两个根，x0是x1，x2的等差中项，求证：g′（x0）＜0（g′（x）为函数g（x）的导函数）．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（2014•南通一模）AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC．22．（2014•南通一模）已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．23．（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．24．（2014•南通一模）已知实数x，y满足：，求证：．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（2014•南通一模）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．26．（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，F为其焦点，点E的坐标为（2，0），设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交抛物线C与点P，Q．（1）当MN⊥Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；（2）当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1=2k2．2014年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2014•南通一模）复数的虚部是．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据复数的除法法则计算即可．解答：解：==，所以复数的虚部是．故答案为：．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．2．（5分）（2014•南通一模）某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数．则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为72．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，利用平均数的公式计算即可得到结论．解答：解：由茎叶图中的数据可知，对应的平均数为=72，故答案为：72．点评：本题主要考查茎叶图的应用，利用平均数的公式是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）（2014•南通一模）函数f（x）=的值域为（0，4]．考点：指数型复合函数的性质及应用．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数t=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，可得0＜≤4，由此求得函数f（x）的值域．解答：解：由于函数t=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴0＜≤=4，故函数f（x）=的值域为（0，4]，故答案为：（0，4]．点评：本题主要考查二次函数的性质，指数函数的定义域和值域、单调性，属于中档题．4．（5分）（2014•南通一模）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．解答：解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．点评：本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．5．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知条件推导出双曲线方程为，λ＞0，由此能求出双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，∴双曲线方程为，λ＞0，∴双曲线的标准方程为，∴a=，c==2，∴e==2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．6．（5分）（2014•南通一模）如图是计算的值的一个流程图，则常数a的取值范围是（19，21]．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序的功能是求S=+++…+的值，从而求得n=21程序运行终止，再根据不满足条件n＜a时输出S，可得a的范围．解答：解：∵程序的运行功能是求的值，∴程序最后一次运行后S=+++…+，∴n=21终止程序运行，∴19＜a≤21，故答案为：（19，21]．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断终止运行的n值是解答本题的关键．7．（5分）（2014•南通一模）函数y=的图象可由函数y=sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y=sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：A．图象上所有点向右平移个单位；B．图象上所有点向右平移个单位；C．图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D．图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）．请按顺序写出两次变换的代表字母：BD（DA）．（只要填写一组）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求函数y=sinx的图象先向左平移，再求图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），求出所得到的图象对应的函数解析式即可．也可以先伸缩，后平移．解答：解：将函数y=sinx的图象先向左平移，得到函数y=sin（x+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（2x+），变换顺序可以是BD．或者图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）．得到函数y=sin2x，图象上所有点向右平移个单位；得到y=sin（2x+），变换顺序可以为DA．故答案为：BD（DA）．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．8．（5分）（2014•南通一模）记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数f（x）和g（x）的定义域都是R，则“f （x）和g（x）都是偶函数”是“函数F（x）=max{f（x），g（x）}为偶函数”的充分不必要条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据max{a，b}的定义，结合函数奇偶性的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵f（x）和g（x）都是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x）恒成立，则根据偶函数的对称性可知，函数F（x）=max{f（x），g（x）}也关于y轴对称，即F（x）为偶函数成立，若函数F（x）=max{f（x），g（x）}为偶函数，则f（x）和g（x）不一定都是偶函数，必要f（x）=x2为偶函数，g（x）=﹣x2﹣1，（0＜x＜1），满足F（x）=max{f（x），g（x）}=）=x2为偶函数，但g（x）=﹣x2﹣1，（0＜x＜1），不是偶函数，∴“f（x）和g（x）都是偶函数”是“函数F（x）=max{f（x），g（x）}为偶函数”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的性质以及函数max{a，b}的定义是解决本题的关键．9．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2﹣4x﹣8y+19=0关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的方程为x2+y2=1．考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C1化为标准方程，求出圆心坐标与半径，设出圆心C1关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的圆心C2的坐标，利用对称关系，求出圆心C2的坐标，即可得到圆C2的方程．解答：解：圆C1：x2+y2﹣4x﹣8y+19=0可化为（x﹣2）2+（y﹣4）2=1，则圆心C1（2，4），半径为1，设圆心C1关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的圆心C2的坐标为（a，b），则，解得a=0，b=0，∴圆C1：x2+y2﹣4x﹣8y+19=0关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的方程为x2+y2=1．故答案为：x2+y2=1．点评：本题考查圆的方程，考查点关于直线对称点的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）（2014•南通一模）给出以下三个关于x的不等式：①x2﹣4x+3＜0，②，③2x2+m2x+m＜0．若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是[﹣1，0）．考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：分别求得①、②的解集，可得它们的并集，由题意可得，方程2x2+m2x+m=0的两个实数根都在区间[﹣1，3]内，令f（x）=2x2+m2x+m，则由题意可得，由此求得m的范围．解答：解：由：①x2﹣4x+3＜0可得1＜x＜3；由②可得＜0，即﹣1＜x＜2；由③2x2+m2x+m＜0的解集非空，可得△=m（m3﹣8）＞0，即m＞2，或m＜0．①②解集的并集为（﹣1，3），故方程2x2+m2x+m=0的两个实数根都在区间[﹣1，3]内，令f（x）=2x2+m2x+m，则由题意可得．解得﹣1≤m＜0，故答案为[﹣1，0）．点评：本题主要考查集合的运算及分式不等式、一元二次不等式的基本解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．（5分）（2014•南通一模）设，且，则tanβ的值为．考点：两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：根据两角和的正切公式即可得到结论．解答：解：∵，∴，∵，∴，∴tanα=4，tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]=，故答案为：点评：本题主要考查三角函数的求值和化简，要求熟练掌握正切的公式，以及条件角之间的关系．12．（5分）（2014•南通一模）设平面向量，满足，则•的最小值为﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积性质和基本不等式即可得出．解答：解：∵平面向量，满足，∴，化为≥﹣6，∴．当且仅当，取等号．故答案为：﹣．点评：本题考查了向量的数量积性质和基本不等式，属于中档题．13．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线上的点到原点O的最短距离为5．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设曲线上的点P（x，y）．则P（x，y）到原点的距离：d==，由此利用均值定理能求出曲线上的点到原点O的最短距离．解答：解：设曲线上的点P（x，y）．设P（x，y）到原点的距离：d===≥==5，当且仅当时，d取最小值．∴曲线上的点到原点O的最短距离为5．故答案为：5．点评：本题考查曲线上的点到原点距离的最小值的求法，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．14．（5分）（2014•南通一模）设函数y=f（x）是定义域为R，周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1）时，f（x）=1﹣x2；已知函数g（x）=，则函数f（x）和g（x）的图象在区间[﹣5，10]内公共点的个数为14．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的周期性，作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合即可得到两个函数公共点的个数．解答：解：∵函数y=f（x）是定义域为R，周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1）时，f（x）=1﹣x2；∴作出函数f（x）的图象如图：∵g（x）=，∴作出函数g（x）的图象如图：则由图象可知两个图象的交点个数为14个，故答案为：14点评：本题主要考查函数图象交点个数的判断，利用函数的周期性以及利用数形结合是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（14分）（2014•南通一模）设向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．（1）若⊥，求的值；（2）设向量=，且+=，求α，β的值．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用数量积的运算性质即可得出；（2）利用向量相等和诱导公式、三角函数的单调性即可得出．解答：解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴||=1，||=1．∵⊥，∴•=0．于是===2．故．（2）∵+=，∴，由此得cosα=cos（π﹣β），由0＜β＜π，得0＜π﹣β＜π，又0＜α＜π，故α=π﹣β．代入，得．而0＜β＜α＜π，∴．点评：本题考查了数量积的运算性质、向量相等和诱导公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．16．（14分）（2014•南通一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面DEF⊥平面PAC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线定理推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PBC．（2）由已知条件推导出△ACD为正三角形，DF⊥AC，从而得到DF⊥平面PAC，由此能证明平面DEF⊥平面PAC．解答：证明：（1）在△PAC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC．…（2分）又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．…（5分）（2）连结CD．因为∠BAC=60°，AD=AC，所以△ACD为正三角形．因为F是AC的中点，所以DF⊥AC．…（7分）因为平面PAC⊥平面ABC，DF⊂平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，所以DF⊥平面PAC．…（11分）因为DF⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面PAC．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（14分）（2014•南通一模）如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（1）给养快艇从港口A到小岛B的航行时间，已知其速度，则只要求得AB的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间．（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合，根据题意确定各边长和各角的值，然后由余弦定理解决问题．解答：解：（1）由题意知，在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°．于是AB=60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时．…（5分）（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇．…（7分）在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°，所以，而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t），∠BOC=30°，…（9分）由余弦定理，得BC2=OB2+OC2﹣2OB•OC•cos∠BOC，即，亦即8t2+5t﹣13=0，解得t=1或（舍去）．…（12分）故t+2=3．即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇．…（14分）点评：本题主要考查余弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力．余弦定理在解实际问题时有着广泛的应用，一定要熟练的掌握．18．（16分）（2014•南通一模）设公差不为零的等差数列{a n}的各项均为整数，S n为其前n项和，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列{a n}中的项．考点：数列的应用．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）先确定a4=1，再根据得d=3或，结合数列{a n}的各项均为整数，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；（2）根据，a n=3n﹣11=3（n﹣4）+1，可得为数列{a n}中的项，必须是3的倍数，进而验证，可得所有的正整数m，使得为数列{a n}中的项．解答：解：（1）因为{a n}是等差数列，且S7=7，而，于是a4=1．…（2分）设{a n}的公差为d，则由得，化简得8d2﹣27d+9=0，即（d﹣3）（8d﹣3）=0，解得d=3或，但若，由a4=1知不满足“数列{a n}的各项均为整数”，故d=3．…（5分）于是a n=a4+（n﹣4）d=3n﹣11．…（7分）（2）因为，a n=3n﹣11=3（n﹣4）+1，…（10分）所以要使为数列{a n}中的项，必须是3的倍数，于是a m在±1，±2，±3，±6中取值，但由于a m﹣1是3的倍数，所以a m=1或a m=﹣2．由a m=1得m=4；由a m=﹣2得m=3．…（13分）当m=4时，；当m=3时，．所以所求m的值为3和4．…（16分）点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和的公式，解题的重点是要熟练掌握基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．19．（16分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C长轴的右端点到其右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程．（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且∠AOB=．求证：原点O到直线AB的距离为定值．（3）在（2）的条件下，求AB的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．分析：（1）根据题意设椭圆C的方程为．再利用已知条件求出a，b的值即可．（2）设原点O到直线AB的距离为d，则由题设及面积公式知．分情况讨论．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，解得．当直线OA的斜率k存在且不为0时，设直线方程为y=kx．与椭圆方程联立解得A，B两点的坐标，利用．化简即可得到．（3））d为定值，所以求AB的最小值即求OA•OB的最小值．求AB的最小值即求OA•OB的最小值OA2•OB2=．利用基本不等式即可求出AB的最小值．解答：解：（1）由题意，可设椭圆C的方程为．则，解得．∴椭圆方程为．（2）设原点O到直线AB的距离为d，则由题设及面积公式知．①当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，有或．则．∴．②当直线OA的斜率k存在且不为0时，则联立方程，得．∴．解得或在Rt△OAB中，．则======．∴．综上，原点O到直线AB的距离为定值．（3）∵d为定值，∴求AB的最小值即求OA•OB的最小值．=令，则t≥2，于是==∵t≥2，∴，当且仅当t=2，即k=±1时，OA•OB取得最小值，∴．∴A的最小值为．点评：本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆相结合的问题，利用基本不等式求最值等知识．属于难题．20．（16分）（2014•南通一模）设函数f（x）=alnx﹣bx2，其图象在点P（2，f（2））处切线的斜率为﹣3．（1）求函数f（x）的单调区间（用只含有b的式子表示）；（2）当a=2时，令g（x）=f（x）﹣kx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=0的两个根，x0是x1，x2的等差中项，求证：g′（x0）＜0（g′（x）为函数g（x）的导函数）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）由函数图象在在点P（2，f（2））处切线的斜率为﹣3得到a与b的关系，用b表示a，代入导函数解析式，然后分b=0，b＜0，b＞0分类求解函数的单调区间；（2）由a的值求解b的值，得到函数g（x）的解析式，把函数的两个零点代入函数所对应的方程，求解得到k的值，求出g′（x0），借助于等差中项的概念把x0用x1，x2表示，换元后进一步利用导数研究函数的单调性，由单调性说明g′（x0）＜0成立．解答：（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．，则，即a=8b﹣6．于是．①当b=0时，，f（x）在（0，+∞）上是单调减函数；②当b＜0时，令f'（x）=0，得（负舍），∴f（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数；③当b＞0时，若，则f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调减函数；若，令f'（x）=0，得（负舍），∴f（x）在上单调增函数，在上单调减函数；综上，若b＜0，f（x）的单调减区间为，单调增区间为；若，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；若，f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（2）证明：∵a=2，a=8b﹣6，∴b=1，即g（x）=2lnx﹣x2﹣kx．∵g（x）的两零点为x1，x2，则，相减得：，∵x1≠x2，∴，于是=．令，，则，则φ（t）在（0，1）上单调递减，则φ（t）＞φ（1）=0，又，则g'（x0）＜0．命题得证．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了换元法，是难度较大的题目．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（2014•南通一模）AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：证法一、可以连接OD，构造直角三角形，然后求出∠DCO，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得出结论；证法二、连接OD，DB，再证明△ADB≌△CDO，得到AB=OC，转化为证明CO=2BC解答：证明：法一：连接OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．证法二：连接OD、BD．因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，AB=2OB．因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．点评：本题考查的知识点是切线的性质，即切线垂直过切点的半径，将问题转化为直角三角形问题，解直角三角形即可得到答案．22．（2014•南通一模）已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．考点：逆变换与逆矩阵．专题：选作题；矩阵和变换．分析：先求出矩阵A，再求矩阵A的特征值．解答：解：因为A﹣1A=E，所以A=（A﹣1）﹣1．因为|A﹣1|=﹣，所以A=（A﹣1）﹣1=．…（5分）于是矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ2﹣3λ﹣4，…（8分）令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=﹣1，λ2=4．…（10分）点评：本题考查矩阵的逆矩阵，考查特征值．正确求矩阵的逆矩阵是关键．23．（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：椭圆的普通方程为，右焦点为（4，0），直线普通方程为2y﹣x=2，斜率为：，利用点斜式求出方程即可．解答：解：椭圆的普通方程为，右焦点为（4，0），直线（t为参数）的普通方程为2y﹣x=2，斜率为：；所求直线方程为：点评：本题考查参数方程与普通方程的转化．直线方程求解．属于基础题．24．（2014•南通一模）已知实数x，y满足：，求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：首先由3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，再结合已知的不等式，即可证得结论．解答：证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，由题设，∴．∴．点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（2014•南通一模）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）求出从正方体的8个顶点中任取不同2点的所有可能情况，对角线长为的所有可能情况，即可求概率；（2）随机变量ξ的取值共有1，，三种情况，求出相应的概率，即可求ξ的分布列、数学期望E（ξ）．解答：解：（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种．因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2×6=12条．因此．…（3分）（2）随机变量ξ的取值共有1，，三种情况．正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是．…（5分）从而．…（7分）所以随机变量ξ的分布列是ξ 1P（ξ）…（8分）因此．…（10分）点评：本题考查概率知识的运用，考查随机变量ξ的分布列、数学期望，正确计算概率是关键．26．（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，F为其焦点，点E的坐标为（2，0），设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交抛物线C与点P，Q．（1）当MN⊥Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；（2）当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1=2k2．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到直线MN的方程，代入抛物线方程求出M、N的坐标，由两点式求得直线ME的方程，和抛物线方程联立解得P点坐标，同理求得Q点坐标，则直线PQ的方程可求，直线PQ与x轴的交点坐标可求；（2）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），再设直线MN、MP、NQ的直线方程，。
南通市对口单招高三数学一调试卷(含答案).doc
南通市中等职业学校对口单招 2014届高三第一轮复习调研测试数学试卷注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分．试卷满分150分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号用0.5mm 黑色签字笔填写在答题卡规定区域．3．选择题作答：用2B 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑．4．非选择题作答：用0.5mm 黑色签字笔直接答在相应题号的答题区域内，否则无效． 5．试卷中可能用到的公式：样本方差公式 ])()()[(1)(122221212x x x x x x nx x n s n n i i -++-+-=-=∑=Λ逻辑运算律公式 吸收律：A B A A =⋅+，A B A A =+⋅)(反演律：B A B A +=⋅，B A B A ⋅=+排列数计算公式 )1()1()!(!+--=-=m n n n m n n A mn Λ组合数计算公式 !)1()1()!(!!m m n n n m n m n A A C m m m n mn+--=-==Λ 二项式定理 nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(通项rr n r n r b a C T -+=1 （=r 0,1,2,…,n ）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）1．设全集},3||{Z x x x U ∈<=，且集合}2,1{=A ，集合}2,1,2{--=B ，则)(B C A U Y 等于 ( ▲ ) A ．｛1｝B ．｛1，2｝C ．｛2｝D ．｛0，1，2｝2．已知50:<<x p ，52:<-x q ，那么p 是q 的 ( ▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知α是第四象限角，且53)sin(=+απ，则)2cos(πα-等于 ( ▲ ) A ．54B ．54-C ．54± D ．534．已知向量a =( 1 , m )，b =( m , 2 )，若a ∥b ，则实数m 等于 ( ▲ ) A ． 2-B ． 2C ． 2±D ． 05．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 ( ▲ ) A ．1y x=B ．x y e-=C ．．21y x =-+D ．lg ||y x =6．若直线024=-+y mx 与直线052=+-n y x 垂直，垂足为),1(k ，则k n m +- 等于( ▲ )A ．-4B ．20C ．30D ．247．如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么y x z -=2的最大值为( ▲ )A ．2B ．1C ．2-D ．3-8．如果nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-22的展开式中的第五项是常数项，则n 的值是( ▲ )A ．6B ．7C ．12D ．159．给出以下四个命题： ①若直线a ∥直线b ，且b ⊂平面α，则a ∥平面α；②一条直线和一个平面所成角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛20π，； ③和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线； ④若直线a 和平面α内任意一条直线都垂直，则a ⊥α．以上四个命题中正确的有( ▲ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．已知函数)(x f 是以3为周期的周期函数，且当)1,0(∈x 时，12)(-=xx f ，则)10(log 2f 的值为 ( ▲ )A ．53 B ．51 C ．43- D ．41二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知复数2)21(i iz -=，则|z |= ▲ ．12．=+12coslog 12sinlog 22ππ▲ ．13．样本中共有六个个体，其值分别为2,a ，1,4,5,2，若该样本的平均数为3，则样本方差 为 ▲ ．14．若直线l 与圆⎩⎨⎧+-==θθsin 21cos 2:y x C （θ为参数）相交于A 、B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为 ▲ ．15．已知ABC ∆的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，且满足cCb B a A cos cos sin ==，则ABC ∆为 ▲ 三角形．三、解答题（本大题共8小题，共90分）16．（本题满分6分）解不等式：8)21(22≥--xx .17．（本题满分10分）定义在R 上的函数)(x f 满足)()()(y f x f y x f +=+，且1)1(=f . (1) 求)0(f ，)4(f 的值； (2) 求证：)(x f 为奇函数.18．（本题满分12分）若函数)32sin(2sin )(π++=x x x f(1)求)(x f 的周期； (2)若]4,0[π∈x ，求)(x f 的最大值及此时x 的值.19．（本题满分10分）已知正项等差数列{}n a 的公差1d =，且满足1，1a ，3a成等比数列. (1)求1a ；(2)若11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前10项的和 10T .20．（本题满分10分）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球和2个白球,乙袋装有2个红球和n 个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球． (1)若n =3时，求取到的4个球全是红球的概率； (2)若取到的4个球中至少有1个红球的概率为3635，求 n ．21．（本题满分12分）某超市从郊县购进一批枇杷，其进货成本是每千克5元．根据市场调查，日销售量y （千克）与每千克的销售价x （元）之间的函数关系是1500100+-=x y ． (1)如果日销售利润（不考虑其他因素，以下也是）为w （元），请写出w 与x 之间的函数关系式；并请你帮忙定出售价范围，使商家能盈利；(2)当每千克销售价为多少元时，日销售利润最大？并求出该最大值．22．（本题满分14分）已知点)1,1(A 是椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的两焦点，且满足1AF ＋2AF＝4. (1)求椭圆的标准方程；(2)设点D 、C 是椭圆上两点，直线AD A 、C 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．23．选做题（本题只能从下列四个备选题中选做两题，若多做，则以前两题计分！） 23-1．（本题满分8分）(1)把十进制数88化为二进制数．(2)化简逻辑函数式：A B A C AB ABC +++．23-2．（本题满分8分）某同学在超市购买了以下商品：①脉动饮料3瓶，单价3.80元/瓶，不打折；②康师傅红烧牛肉面6桶，单价5元/桶，打九折；③黑水笔10支，单价1.50元/支，打九五折；④洗衣粉2袋，单价2.5元/袋，打八折．(1)制作一张购物表，表中须有商品名称、数量、单价、折扣率、应付款；(2)求四种商品的总付款．23-3．（本题满分8分）某工程的工作明细表如下：工作代码紧前工作工期（天）A 无 1B A 3C 无 5D B、C 2E D 5F D 2(1)画出该工程的网络图；(2)指出关键路径，并求完成该项工程的最短总工期．23-4．（本题满分8分）在下图的程序框图中，若箭头a指向①处时，则输出 s = ______；若箭头a指向②处时，则输出 s = ________.（23-4图）南通市中等职业学校对口单招 2014届高三第一轮复习调研测试数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.51 12. -2 13. 2 14. 4π(或︒45) 15. 等腰直角 三、解答题 16．解：8)21(22≥--xx32222≥+xx …………………………………1分∵12>∴322≥+x x …………………………………2分13≥-≤x x 或 ………………………………5分∴不等式的解集是),1[]3,(+∞--∞Y …………………………………6分17．解：（1）∵)()()(y f x f y x f +=+且定义域为R∴令0==y x ，则有)0()0()0(f f f +=，从而有0)0(=f ………………2分 令1==y x ，则有2)1()1()2(=+=f f f ， ………………3分令2==y x ，则有4)2()2()4(=+=f f f ………………5分（2）定义域为R 关于原点对称 ………………6分 令x y -=，则有)()()0(x f x f f -+=0)()(=-+x f x f ，即)()(x f x f -=- …… …………9分 ∴)(x f 为奇函数. …………………………………10分18.解：)32sin(2sin )(π++=x x x f 3sin2cos 3cos2sin 2sin ππx x x ++=x x 2cos 232sin 23+=)62sin(3π+=x …………………………………5分（1）ππ==22T …………………………………6分 （2）∵]4,0[π∈x]32,6[62πππ∈+x …………………………………8分 ∴当262ππ=+x ，即6π=x 时 …………………………………10分)(x f 取到最大值为3 …………………………………12分19.解：（1）3211a a ⨯=221121+=+=a d a a …………………………………2分∴2,111=-=a a∵0>n a ∴21=a …………………………………5分（2）由（1）得1+=n a n …………………………………6分 ∴2111)2)(1(1+-+=++=n n n n b n …………………………………8分∴12512121)121111()4131()3121(10=-=-+-+-=ΛT ……………10分 20．①设事件A=｛取到的4个球全是红球｝ …………………………1分则P(A)=60112524=C C ∴取到的4个球全是红球的概率是601……………………5分 ②设事件B=｛取到的4个球中至少有1个红球｝则P(B)=1-363522242=+n n C C C ……………………8分得2=n ………………………………10分21. 解：（1）)5)(1500100(-+-=x x w ………………………………2分750020001002-+-=x x ………………………………4分根据 0>w得 155<<x所以，当155<<x 时商家能盈利． ………………………………6分 （2）2500)10(1007500200010022+--=-+-=x x x w∵0100<-=a ，∴当10=x 时，最大w =2500． ………………………11分 答：每千克销售价为10元时，销售利润最大，最大利润是2500元. …12分22. 解:(1)由椭圆定义知：42=a ∴2=a ， ………………………………2分∴14222=+by x 把(1,1)代入得11412=+b1)()(=++=++=+++=+++AB B A A B A AB AB AC C AB AB AC AB ABC ∴342=b ，则椭圆方程为134422=+y x ………………………………6分 (2)设AC 方程为： 1)1(+-=x k y 代入椭圆方程消去y 得0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k ………………………………8分∵点A(1,1)在椭圆上∴1316322+--=k k k x C ………………………………9分 ∵直线AC 、AD 倾斜角互补 ∴AD 的方程为：1)1(+--=x k y同理1316322+-+=k k k x D ………………………………10分又1)1(+-=C C x k y 1)1(+--=D D x k y ………………………………12分 所以31=--=D C D C CD x x y y k即直线CD 的斜率为定值31. ………………………………14分 23—1.解：（1）210)1011000()88(= 注：无过程得2分………………………………4分（2）………………………………4分23—2.解： （1）购物表………………………………6分（2）11.4+27+14.25+4=56.65元答：四种商品的总付款为56.65元………………………………8分23—3.解：（1）………………………………4分（2）关键路径：C→D→E ,完成该工程最短需要12天．……………………8分23—4.解：若程序框图箭头a指向①处时，则输出 s=__5____；……………4分若箭头a指向②处时，则输出 s=___15_____. ……………………8分。
数学_2014-2015学年江苏省南通市某校高三(上)调研数学试卷(文科)(一)(含答案)
2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）一、填空题1. 已知集合A ={1, 3, m +1}，B ={1, m}，A ∪B =A ，则m =________．2. 已知a →=(3, 3)，b →=(1, −1)，若(a →+λb →)⊥(a →−b →)，则实数λ=________．3. 圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为2π3，那么它的表面积为________．4. 函数函数y =x a 2−2a−3是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，则整数a 的取值为________．5. 若命题“∃x ∈R ，使得x 2+4x +m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．6. 已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 4+a 7=12，则S 7=________．7. 若实数x ，y 满足{y ≥2x −2y ≥−x +1y ≤x +1，则z =2x +y 的最小值为________．8. 已知函数f(x)=2sin(ωx +π6)(ω>0)，函数f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π，则f(x)的单调递增区间是________．9. 曲线y =x 3+mx +c 在点P(1, n)处的切线方程为y =2x +1，其中m ，n ，c ∈R ，则m +n +c 的值为________．10. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，则折起后形成的三棱锥D −ABC 的体积是________．11. 已知f(x)=log 4(x −2)，若实数m ，n 满足f(m)+f(2n)=1，则m +n 的最小值是________．12. 已知|OA →|=4，|OB →|=2，OA →与OB →的夹角为120∘，点P 为线段AB 上得一点，且BP →=3PA →，则OP →⋅AB →=________．13. 已知数列{a n }满足：a n +a n+1=2n +1(n ∈N ∗)，且a 1=3，则a 2014=________．14. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=|x −a 2|+|x −3a 2|−4a 2．若对任意x ∈R ，f(x)≤f(x +2)，则实数a 的取值范围为________．二、解答题15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．（1）若sin(A +π6)=2cosA ，求A 的值． （2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值．16. 如图，在三棱锥P−ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：AD⊥平面PBC；（2）若点F在线段AC上，且满足AD // 平面PEF，求AF的值．FC17. 已知关于x的不等式(ax−1)(x+1)>0．（1）若此不等式的解集为{x|−1<x<−1}，求实数a的值；2（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18. 已知数列a n的前n项和S n:a n+3S n=1，b n+10=3log1a n(n∈N∗)4（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等差数列；（3）若c n=a n⋅b n，则是否存在正整数k，使c k，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．19. 某公司为了公司周年庆典，先将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高8+8√3，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行如下装饰（如图）：设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面的F处，再讲灯带拉直依次固定在D处、B处、E处，形成一个三角形型的灯带（图中虚线所示）设∠EFB=θ，灯带总长为y（单位：m）（1）求y关于θ的函数表达式及θ的取值范围；（2）当BE多长时，所用灯带总长最短？20. 已知函数f(x)=xlnx．（1）求函数y=f(x)的单调区间；（2）是否存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．若存在，求出x1，x2的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）答案1. 32. 93. 4π4. 15. [4, +∞)6. 287. 18. [−2π3+2kπ, π3+2kπ]，k∈Z9. 510. √21211. 3+2√212. −1313. 201214. [−√22, √2 2]15. 解：（1）若sin(A+π6)=2cosA，即sinA⋅√32+cosA⋅12=2cosA，变形可得sinA⋅√32=32cosA，即sinA=√3cosA，则tanA=√3，则A=π3；（2）cosA=b 2+c2−a22bc=10c2−a26c2=13，∴ 8c2=a2，∴ a=2√2c，∴ 2√2sinC=sinA=√1−cos2A=2√23，∴ sinC=13．16. 解：（1）∵ BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，∴ BC⊥AD．∵ PA=AB，D是PB的中点，∴ AD⊥PB∵ PB、BC是平面PBC内的相交直线，∴ AD平面PBC；（2）连结DC，交PE于点G，连结FG、DE∵ AD // 平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，∴ AD // FG．∵ D、E分别是PB、BC的中点，∴ DE为△BPC的中位线，因此，△DEG∽△CPG，可得DGGC =DEPC=12，∴ AFFC =DGGC=12，即AFFC的值为12．17. 解：（1）∵ 不等式(ax−1)(x+1)>0的解集为{x|−1<x<−12}，∴ 方程(ax−1)(x+1)=0的两根是−1，−12；∴ −12a−1=0，∴ a=−2；（2）∵ (ax−1)(x+1)>0，∴ a<0时，不等式可化为(x−1a)(x+1)<0；若a<−1，则1a >−1，解得−1<x<1a；若a=−1，则1a=−1，解得不等式为⌀；若−1<a<0，则1a <−1，解得1a<x<−1；a=0时，不等式为−(x+1)>0，解得x<−1；当a>0时，不等式为(x−1a)(x+1)>0，∵ 1a >−1，∴ 解不等式得x<−1或x>1a；综上，a<−1时，不等式的解集为{x|−1<x<1a}；a=−1时，不等式的解集为⌀；−1<a<0时，不等式的解集为{x|1a<x<−1}；a=0时，不等式的解集为{x|x<−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x<−1, 或x>1a}．18. 解：（1）∵ a n+3S n=1，∴ a n+1+3S n+1=1，两式相减得a n+1−a n+3(S n+1−S n)=0a n+1−a n+3a n+1=0，则a n+1=14a n，则数列{a n }是公比q =14的等比数列， 当n =1时，a 1+3S 1=1，解得a 1=14， 则a n =14⋅(14)n−1=(14)n ．（2）∵ b n +10=3log 14a n =3n ， ∴ b n =3n −10，则b n −b n−1=3，则数列{b n }是等差数列，公差d =3，首项b 1=−7．（3）∵ b n =3n −10，c n =a n ⋅b n ，∴ c n =(3n −10)•(14)n ，则c k =(3k −10)•(14)k ， c k+1=(3k −7)•(14)k+1，c k+2=(3k −4)•(14)k+2， 若存在正整数k ，使c k ，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，则满足c k+12=c k c k+2，即[(3k −7)⋅(14)k+1]2=(3k −10)•(14)k )(3k −4)•(14)k+2，即(3k −7)2•(14)2k+2=(3k −10)⋅(3k −4)•(14)2k+2，则(3k −7)2=(3k −10)⋅(3k −4)，展开得49=40，方程不成立，即k 不存在． 19. 解：（1）过C 点作CM ⊥BE ，垂足为E ．在Rt △CME 与Rt △CFD 中，CE =CM cosθ，EM =CMtanθ，CF =CD sinθ，FD =CD tanθ， ∴ y =CE +CF +BF +BE =8cosθ+8sinθ+8+8tanθ+8+8tanθ=8(1+sinθcosθ+cosθ+1sinθ)+16 =8(sinθ+cosθ+1)sinθcosθ+16．在△CEM 中，0<tanθ≤√3，∴ θ∈(0,π3]．（2）设sinθ+cosθ=t=√2sin(θ+π4)，∵ θ∈(0,π3]，∴ (θ+π4)∈(π4，7π12)．∴ sin(θ+π4)∈(√22，1]，∴ t∈(1,√2]．∴ t2=1+2sinθcosθ，∴ sinθcosθ=t2−12．∴ y=8(t+1)t2−12+16=16t−1+16，∵ t∈(1,√2]，∴ 1t−1≥√2−1=√2+1．∴ y≥16(√2+1)+16=32+16√2，当t=√2时，θ=π4，此时EM=CM=8，∴ BE=16<8+8√3．20. 解：（1）∵ f(x)=xlnx，定义域为(0, +∞)，∴ f′(x)=lnx+1，∴ 由f′(x)>0得，x>1e ，由f′(x)<0得，0<x<1e，∴ f(x)=xlnx的单调递增区间是(1e , +∞)，单调递减区间是(0, 1e)．（2）不存在．假设存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)，不妨令x1<x2，则由f(x1)= f(x2)得，x1lnx1=x2lnx2，即x2lnx2−x1lnx1=0，∴ x2(lnx2−lnx1)<0，即ln x2x1<0，∴ x2x1<1，即x2<x1，这与|x1−x2|≥1相矛盾，故不存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．。
南通一中2014届高三下学期第一次调研考试数学试题
南通一中2013—2014学年度第二学期第一次调研高三理科数学试题 A ．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7}，集合2{|650}M x x x =∈-+Z ≤，则集合U M ðu = ▲ ． 2．已知函数()sin 2f x x x +，则()f x 的最小正周期是 ▲ ． 3． 经过点（－2，3），且与直线250x y +-=平行的直线方程为 ▲ ． 4． 若复数z 满足3,iz i i++=则||z = ▲ ． 5． 程序如下：t ←1 i ←2While i ≤4t ←t ×i i ←i ＋1 End While Print t以上程序输出的结果是 ▲ ． 6． 若12320082009,,,,,x x x x x 的方差为3，则12200820093(2),3(2),,3(2),3(2)x x x x ----的方差为 ▲ ．7． 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为，则四面体11A B CD -的外接球的体积为 ▲ ．8． 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．9． 设a ＞0，集合A ={（x ，y ）|3,40,20x x y x y a ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥}，B ={（x ，y ）|222(1)(1)x y a -+-≤}．若点P （x ，y ）∈A 是点P （x ，y ）∈B 的必要不充分条件，则a 的取值范围是 ▲ ． 10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ．11．数列{}n a 中，16a =，且111n n n aa a n n---=++（*n ∈N ，2n ≥），则这个数列的通项公式n a = ▲ ．12．根据下面一组等式：1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=…………可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+= ▲ ． 13．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ ． 14．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．答案：1．{6，7} 2．π 3．210x y ++= 45．24 6．27 7．36π 89．0＜a10．78 11．(1)(2)n n ++ 12．4n 13．5π1214．21(,]e e -∞+二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ． （1）求证：AD ⊥平面BC C 1 B 1； （2）设E 是B 1C 1上的一点，当11B EEC 的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解: （1）在正三棱柱中，C C 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴ AD ⊥C C 1．………………………………………2分又AD ⊥C 1D ，C C 1交C 1D 于C 1，且C C 1和C 1D 都在面BC C 1 B 1内，∴ AD ⊥面BC C 1 B 1． ……………………………………………………………5分（2）由（1），得AD ⊥BC ．在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．………………………7分当111B EEC =，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1．………………………………8分事实上，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BC C 1 B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B=B 1A 1A C C 1DDE ． …………………………………………………10分 又B 1B ∥AA 1，且B 1B =AA 1， ∴DE ∥AA 1，且DE =AA 1． ……………………………………………………………12分所以四边形ADE A 1为平行四边形，所以E A 1∥AD ． 而E A 1⊄面AD C 1内，故A 1E ∥平面AD C 1． ………………………………………14分 16．（本小题14分）如图，在四边形ABCD 中，AD =8，CD =6，AB =13，∠ADC =90°，且50AB AC ⋅=． （1）求sin ∠BAD 的值；（2）设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求ABDBCDS S ∆∆的值． 解 （1）在Rt △ADC 中，AD =8，CD =6，则AC =10，43cos ,sin 55CAD CAD ∠=∠=．………………2分又∵50AB AC ⋅=，AB =13， ∴5cos 13||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==． …………………………4分∵0180BAC <∠<，∴12sin 13BAC ∠=． …………………………………………………5分 ∴63sin sin()65BAD BAC CAD ∠=∠+∠=．……………………………………………………8分 （2）1252sin 25BAD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=，1sin 602BAC S AB AC BAC ∆=⋅⋅∠=，24ACD S ∆=， 11分则1685BCD ABC ACD BAD S S S S ∆∆∆∆=+-=，∴32ABD BCD S S ∆∆=．……………………………………14分 17．（本小题15分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：ACDB该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? 解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分 所以43()1105P A =-=．…………………………………………………………………4分 答：略． ……………………………………………………………………………………5分（2）由数据，求得12,27x y ==．………………………………………………………………7分 由公式，求得52b =，3a y bx =-=-． …………………………………………………9分所以y关于x的线性回归方程为5ˆ32yx =-． …………………………………………10分 （3）当x =10时，5ˆ103222y =⨯-=，|22－23|＜2；…………………………………………12分同样，当x =8时，5ˆ83172y =⨯-=，|17－16|＜2．……………………………………14分所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………………………15分 18．（本小题15分）抛物线24y x =的焦点为F ，11221212(,),(,)(,0,0)A x y B x y x x y y >><在抛物线上，且存在实数λ，使AF BF λ+=0，25||4AB =． （1）求直线AB 的方程；（2）求△AOB 的外接圆的方程．解：（1）抛物线24y x =的准线方程为1x =-．∵AF BF λ+=0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB |=122x x ++． …1分设直线AB ：(1)y k x =-，而12121212,,0,0,0.y y k x x y y k x x -=>><∴>- 由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ……………………………………………3分∴2122122(2),1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩|AB |=122x x ++=222(2)2524k k ++=．∴2169k =．……………6分 从而43k =，故直线AB 的方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=．……………………8分（2）由24340,4,x y y x --=⎧⎨=⎩求得A （4，4），B （14，－1）．……………………………………10分设△AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0,1616440,111()0.164F D E F D E F ⎧⎪=⎪++++=⎨⎪⎪+++-+=⎩解得29,43,40.D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………………………………………………14分故△AOB 的外接圆的方程为22293044x y x y +--=．…………………………………15分 19．（本小题16分） 已知函数1()l n s i n g x x xθ=+⋅在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），1()ln m f x mx x x-=--，m ∈R ． （1）求θ的值；（2）若()()f x g x -在[1，＋∞）上为单调函数，求m 的取值范围；（3）设2()eh x x=，若在[1，e ]上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．解：（1）由题意，211()sin g x x x θ'=-+⋅≥0在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-⋅≥．………1分∵θ∈（0，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立，…………………2分只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（0，π），得π2θ=．……4分（2）由（1），得()()f x g x -=2l n m m x x x --．()222()()mx x m f x g x x -+'∴-=．…………5分∵()()f x g x -在其定义域内为单调函数，∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1，＋∞）恒成立．………………………6分220mx x m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥，即221xm x +≥， 而2221x x x x=++，（2x x+）max =1，∴1m ≥． …………………………………………8分220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤，即221xm x +≤在[1，＋∞）恒成立， 而221xx +∈（0，1]，0m ≤． 综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞． ………………………………………………10分（3）构造()()()()F x f x g x h x =--，2()2ln m eF x mx x x x=---． 当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x -≤，22ln <0ex x --，所以在[1，e ]上不存在一个x ，使得()()(f xg xh ->成立． ………………………………………………………12分 当m >时，22222222(())'m e mx x m eF x m x x x x -++=+-+=．…………………………14分 因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立．故()F x 在[1,]e 上单调递增，max ()()4m F x F e me e ==--，只要40mme e-->，解得241em e >-． 故m 的取值范围是24(,)1ee +∞-．………………………………………………………16分 20．（本小题16分） 已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<． （1）求a 的值；（2）若对于任意的n +∈N ，总存在m +∈N ，使得3m n a b +=成立，求b 的值； （3）令1n n n C a b +=+，问数列{}n C 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知，得1(1),n n n a a n b b b a -=+-=⋅．由1123,a b b a <<，得,2a b ab a b <<+．因a ，b 都为大于1的正整数，故a ≥2．又b a >，故b ≥3． …………………………2分再由2ab a b <+，得 (2)a b a -<．由b a >，故(2)a b b -<，即(3)0a b -<．由b ≥3，故30a -<，解得3a <． ………………………………………………………4分于是23a <≤，根据a ∈N ，可得2a =．…………………………………………………6分（2）由2a =，对于任意的n *∈N ，均存在m +∈N ，使得1(1)52n b m b --+=⋅，则1(21)5n b m --+=．又3b ≥，由数的整除性，得b 是5的约数．故1211n m --+=，b =5． 所以b =5时，存在正自然数12n m -=满足题意．…………………………………………9分（3）设数列{}n C 中，12,,n n n C C C ++成等比数列，由122n n C nb b -=++⋅，212()n n n C C C ++=⋅，得211(22)(22)(222)n n n nb b b nb b nb b b -++++⋅=++⋅+++⋅．化简，得12(2)2n n b n b -=+-⋅⋅． （※） …………………………………………11分当1n =时，1b =时，等式（※）成立，而3b ≥，不成立． …………………………12分当2n =时，4b =时，等式（※）成立．…………………………………………………13分当3n ≥时，112(2)2(2)24n n n b n b n b b --=+-⋅⋅>-⋅⋅≥，这与b ≥3矛盾． 这时等式（※）不成立．…………………………………………………………………14分综上所述，当4b ≠时，不存在连续三项成等比数列；当4b =时，数列{}n C 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………16分B ．附加题部分21．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是 OB 的中点，求BC 的长． 解：连接OD ，则OD ⊥DC ．在Rt △OED 中，OE =12OB=12OD ， ∴∠ODE=30°． ………………………………3分 在Rt △ODC 中，∠DCO=30°， ………………5分 由DC=2，则OB =OD=DC tan30°=，cos30CD OC ==︒……………………9分 所以BC=OC －OB． …………………………………………………………………10分 B ．选修4－2（矩阵与变换）将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．解：由题意，得旋转变换矩阵2cos45sin 45[]sin 45cos452⎡⎢-⎢⎥==⎢⎥⎥⎦M ， ……………………3分设1xy =上的任意点(,)P x y '''在变换矩阵M 作用下为(,)P x y，x x y y '⎡⎤⎡⎤⎥=⎢⎥⎢⎥'⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦，∴,.x y y y ⎧''=⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩………………………………………………………………………7分 得22122y x -=．将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为22122y x -=．……10分 C ．选修4－4（坐标系与参数方程）求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）截得的弦长．解：把直线方程1212x t y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．…………………………………………3分将圆3c 3sinx y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为229x y +=．……………………………………………6分圆心O到直线的距离d ∴弦长L ==．所以直线1212x t y t =+⎧⎨=-⎩被圆3c o 3s inx y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为10分D ．选修4－5（不等式选讲）已知x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-…………………………………………………3分=21()()()x y x y x y -+-+-……………………………………………………………………6分3=≥， …………………………………………………………………9分所以2212232x y x xy y ++-+≥． …………………………………………………………10分22．（必做题）已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++，其中a i （i =0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）101n n a =∑的值；（2）101n n na =∑的值．解：（1）在252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++中，令1x =-，得01a =．……………………………………………………………………2分令0x =，得5012910232a a a a a +++++==． ……………………………………4分所以101210131nn aa a a ==+++=∑． ……………………………………………………5分（2）等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++两边对x求导，得2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++．…………7分在2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++中，令x =0，整理，得105129101291052160n n na a a a a ==++++=⋅=∑．………………10分 23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD 的上、下底边的长分别是a ，b （a ＜b ），高为h ，求梯形的面积．A B A ′ B ′ C ′ D ′方法一：延长DA 、CB 交于点O ，过点O 作CD 的垂线分别交AB 、CD 于E ，F ，则E F h =．设,,,x a OE x OAB ODC x h b =∆∆∴=+∽即ahx b a=-． 11111()()()22222ODC OAB ABCD S S S b x h ax b a x bh a b h ∆∆∴=-=+-=-+=+梯形．方法二：作AB 的平行线MN 分别交AD 、BC 于M 、N ，过点A 作BC 的平行线AQ 分别交MN 、DC 于P 、Q ，则AMP ADQ ∆∆∽．设梯形AMNB 的高为,,x MN y =x y a b a y a x h b a h--=⇒=+-， 22001()d ()()222hhABCDb a b a b a S a x x ax x ah h a b h h h h ---∴=+=+=+⋅=+⎰梯形． 再解下面的问题：已知四棱台ABCD －A ′B ′C ′D ′的上、下底面的面积分别是1212,()S S S S <，棱台的高为h ，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=13⨯底面积⨯高）．解法一：将四棱台ABCD －A ′B ′C ′D ′补为四棱锥V －ABCD ，设点V 到面A ′B ′C ′D ′的距离为h ′．由212''(),,''S h h S h h h h ==++'.h h= 所以212121111(')'()'3333V S h h S h S S h S h =+-=-+台212111()333S h S S h =+=，所以四棱台ABCD －A ′B ′C ′D ′的体积为121()3S S h ． ………………………5分 解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为S ，它与上底面的距离为x ，xh =+21S S ∴=++．210)d h V S x =++⎰，3211()3F x x S x ⎤=+⎥⎢⎥⎣⎦，3211()(0)3V F h F h S h =-=++121()3h S S =．………………………………………………………………10分。
南通市2014届高三第一次调研测试数学试卷
南通市2014届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7．则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）． 【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．（第6题）9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ． 【答案】π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ． 【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ．【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ． 【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，A 1B 1C 1CDABD 1（第15题）所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A B BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B=-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B =，3sin 5C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin 3c A a ===．……………………………………………12分 所以△ABC的面积为114sin 2ac B ==． ………………………………14分17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a 3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ……………………… 4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增． x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．……………………… 6分 综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分 （2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x 2－1． …………………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x 2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分 ③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． ………………… 13分 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．…………………………………………………… 14分18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为 EF的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =2π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在 EF上，设∠AOD =2θ． （1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB ADθθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==．综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为（第18题）②①()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦．令0S '=，得cos θ=…………………………………………………………… 10分记区间(0 )π，0θ（唯一存在）．列表：又当32θππ<≤时，32sin 2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数，所以当0θθ=即cos θ= 16分19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2A P P C = ，2BP PD = ．（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分 （2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC = ，得()1133428x y C --，．…………………………………………………… 8分 代入椭圆方程221x y +=，得()()21213342148x y --+=．（第19题）整理，得221111319()0x y x y +-+-=，………………………………………………… 10分即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ …………………………………………… 14分③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--． …………………… 16分 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ． （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2． 故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()2221122nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)22220P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分 当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分（第21—A题）数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN=2AM．求证：AB2=AC．证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以AC AMBC BM=，①……………………………3分又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM BA BN BC⋅=⋅，即BA BN=，……………………………………6分又BN=2AM，所以2BA AMBC BM=，②……………………………8分由①②，得AB2=AC．………………………10分B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）设二阶矩阵A，B满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA，求1-B．解：设1a bc d-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，因为()111---=BA A B，…………………………………………………2分所以10120134a bc d⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2120340341a cb da cb d+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，……………………………………………6分解得213212abcd=-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，所以12131--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B．……………………………………………………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C：2sin=ρθ，过极点O的直线l与曲线C相交于A、B两点，AB=l的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分又AB =0sin =θ． …………………………………………………………… 7分解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． ………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x yz zx z x y z++≥≥．……………………………… 4分同理可得2yz xy zx x +≥，2x z yz xy y+≥． ………………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一 个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S =的为有一个角是 30 的直角三角形（如△145PP P ），共6212⨯=种，所以(36123C P S ===． ………………… 3分4（第22题）（2）S．S 的为顶角是120 的等腰三角形（如△123PP P ），共6种，所以(366310C P S ==． …………………………………………………… 5分S =的为等边三角形（如△135PP P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分 又由（1）知(36123C P S ===，故S 的分布列为所以331()10510E S ==．……………………………………… 10分23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）．（1）求(3)f ；（2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有 (1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分 （2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序 排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分 综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。
江苏省南通市第一中学2014-2015学年高三上学期10月阶段测试(月考) 数学(理) Word版含解析(苏教版)
2014—2015学年度第一学期江苏省南通第一中学高三阶段考试数学试题注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2． 命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3．函数()f x =的定义域是 ▲ ．4． 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5． 函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6． 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝ ▲ ． 7． 已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知函数()f x =的值域是[)0+∞，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的11,1514，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，（1）求,a b 的值；( 2) 判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19．（本小题16分）已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷： 吴勇贫 审核：吴勇贫江苏省南通第一中学2015届高三阶段考试理科数学答案1. 解析 由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”． 答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4． 解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5． 解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 －1e6．答案0,1，－12；7． 解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．[][)0,19,+∞，试题分析：由题意得：函数2(3)1y mx m x =+-+的值域包含[)0,+∞， 当m ＝0时，31[0,),y x =-+∈⊃+∞R 满足题意；当0m ≠时，要满足值域包含[)0,+∞，需使得0,0.m >∆≥即9m ≥或01m <≤， 综合得：实数m 的取值范围是[][)0,19,+∞.9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3. 答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b <54，又0<b <a ⇒a b >1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案)+∞．15．解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分 ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为12(1)15la S -⋅吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为1212()(1)[1]1514l S l a S S--⋅⨯-⋅吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅ 2216()105357l l S S =-+⋅+． …………8分 当1335242()105l S =-=-时，y 有最大值，max 24387%280y =≈． …………10分 此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为910a 吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆，则有96105a x a y ⋅=⋅，所以43x y =． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1）()(),f x f x -=-112222x x x x a ab b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b ab a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩. 4分 （2）因为()11212xf x =-++，所以()y f x =是单调递减的.证明：设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的. 10分（3）()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <- 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分 （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x-<-<，11x a x x x -<<+，故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x+的最小值大于a 即可，而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<；（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； 则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++⎪⎝⎭， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )， 由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分。
2014届江苏高考数学南通一校四题(启东大江中学)
启东市大江中学（一校四题）1.函数)11lg()(22+--++=x x x x x f 的值域为解析：函数的定义域为()+∞,0，1122+--++x x x x =22)230()21(-++x —22)230()21(-+-x 表示)0,(x 到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21的距离减去)0,(x 到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21的距离，从而得到1122+--++x x x x )1,0(∈，所以范围为()0,∞-2.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,其中，，35==C B 且满足.12c o s s i n 2s i n 22s i n 2=+-A A A A求（1）)cos(C B -的值；（2）的外心为ABC O ∆，若n m +=，求n m +的值。
解：（1）由.12cos sin 2sin 22sin 2=+-A A A A 得21c o s -=A )20(π，∈A 32π=∴A .在ABC ∆中，由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+= ∴7=a在ABC ∆中，由正弦定理得：C c B b A a sin sin sin ==，1433sin ,1435sin ==C B 1413cos ,1411cos ==∴C B 4947sin sin cos cos )cos(=+=-C B C B C B 。
- （2）建立直角坐标系得62(220,0(，，），B A由n m +=得.911,32-=-=n m 917-=+∴n m 3.设椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴长是短轴长的x 轴的直线被椭圆截得的弦长为（I ）求椭圆E 的方程；（II ）点P 是椭圆E 上横坐标大于2的动点，点,B C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，试判断点P 在何位置时PBC ∆的面积S 最小，并证明你的判断.解：（I）由已知a =，2b a=a b == 故所求椭圆方程为221126x y +=. （II）设000(,)(2P x y x <≤，(0,),(0,)B m C n .不妨设m n >，则直线PB 的方程为00:PB y m l y m x x --= 即000()0y m x x y x m --+=，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，即01,2x =>，化简得2000(2)20x m y m x -+-=， 同理，2000(2)20x n y n x -+-=，∴,m n 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个根， ∴00002,22y x m n mn x x --+==--，则22200020448()(2)x y x m n x +--=-，∵00(,)P x y 是椭圆上的点，∴22006(1)12x y =-，∴2200202824()(2)x x m n x -+-=-. 则214S =⋅222222000000002220002824412(2)8(2)2(2)2(2)x x x x x x x x x x x -+-+-+⋅=⋅=⋅---，令02(01))x t t -=<≤，则02x t =+，令222(8)(2)()2t t f t t++=， 化简，得2211616()262f t t t t t =++++，则32331632(2)(16)()2t t f t t t t t +-'=+--=， 令()0f t '=，得t =1)<∴函数()f t在1)]上单调递减，当1)t =时，()f t 取到最小值，此时0x =，即点P的横坐标为0x =时，PBC ∆的面积S 最小.4.假设有穷数列{}n a 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{}n a 的排序数列，例如：数列132a a a <<，满足则排序数列为2,3,1(1)写出2,4,3,1的排序数列；(2)求证：数列{}n a 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}n a 为单调数列。
2014-2015学年江苏省南通一中高三(上)段考数学试卷
2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为．2．设复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z的模为．3．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．4．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的．5．函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．6．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如右图所示，则f （x）的函数解析式为．7．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是．8．已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．10．设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是．11．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=．12．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．13．已知直线y=ax+2与圆x2+y2+2x﹣3=0相交于A、B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x 上，且PA=PB，则x0的取值范围为．14．给出定义：若x∈〔m﹣，m+]，（m∈z），则m叫做实数x的“亲密函数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；②函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；③函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）﹣lnx有两个零点其中正确命题的序号是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．设命题p：关于x的不等式1﹣a•2x≥0在x∈（﹣∞，0]上恒成立；命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域是实数集R．如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．16．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C﹣）=，且a2+b2＜c2．（1）求角C的大小；（2）求．17．如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？18．若半径为r的圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的范围；（2）求证：d2﹣r2为定值；（3）是否存在定圆M，使得圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；（3）当m＞0时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m 的值．20．在数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为q k．（1）若q k=2（k∈N*），求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（2）若对任意的k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，设b k=．①求证：{b k}成等差数列，并指出其公差；②若d1=2，试求数列{d k}的前k项的和D k．2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为0．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解．解答：解：∵B⊆A，∴a=≠1⇒a=0．故答案是0点评：本题考查集合中参数的确定．要注意验证集合中元素的互异性．2．设复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：根据所给的关于复数的等式，写出复数z的表达式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果，然后求出复数的模即可得到答案．解答：解：∵复数z满足zi=1+2i，∴z=，所以z的模为．故答案为．点评：本题考查复数的代数形式的除法运算，以及复数的求模运算，是一个基础题，这种题目一般出现在高考卷的前几个题目中，是一个必得分题目．3．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．考点：特称命题．专题：计算题．分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．4．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：x=2，=（1，1），=（3，3），显然“∥”，但是x=﹣2时“∥”也成立．解答：解：x=2，=（1，1），=（3，3），显然“∥”，但是x=﹣2时“∥”也成立．“x=2”⇒“∥”；充分不必要条件．故答案为充分不必要条件点评：理解向量平行的坐标运算以及会充分必要条件的判断．5．函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1}．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．解答：解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．6．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如右图所示，则f （x）的函数解析式为f（x）=3cos（x+）．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的顶点（﹣，3）、（，﹣3）可得A=3，T==，求得ω=．再根据五点法作图可得•（﹣）+φ=0，求得φ=，故有函数f（x）=3cos（x+），故答案为：f（x）=3cos（x+）．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是（﹣1，0）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：讨论a的正负，以及a与﹣1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．解答：解：（1）当a＞0时，当﹣1＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；（3）当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；（4）当a=﹣1时，f′（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；（5）当a＜﹣1时，当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述﹣1＜a＜0，故答案为（﹣1，0）．点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题．8．已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出不等式组表示的平面区域；通过x2+y2﹣2x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；结合图象求出（1，0）到直线的距离即可．解答：解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：x2+y2﹣2x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；点到直线的距离公式可得：，x2+y2﹣2x的最小值为：（）2﹣1=1故答案为：1．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；9．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，根据公比q与1的关系进行分类，由等比数列的前n项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简所求的式子即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，当q=1时，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不满足S3，S9，S6成等差数列；当q≠1时，因为S3，S9，S6成等差数列，所以2×=+，化简得2q6﹣q3﹣1=0，解得q3=或q3=1（舍去），则===，故答案为：．点评：本题考查等比数列的前n项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n 项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论．10．设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是[，）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义．专题：计算题．分析：由f′（x）==+，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为θ的正切值的取值范围，而0≤θ＜π，从而可求θ的取值范围．解答：解：∵函数，∴y′==+≥2=（当且仅当=取等号），∴y′∈[，+∞），∴tanθ，又0≤θ＜π，∴≤θ．故答案为：[，）．点评：本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题．11．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=4．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意建立直角坐标系，可得及，的坐标，而原式可化为，代入化简可得答案．解答：解：由题意可建立如图所示的坐标系可得A（2，0）B（0，2），P（，）或P（，），故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），故==（，）•（2，2）=4或=（，）•（2，2）=4，故答案为：4点评：本题考查平面向量的数量积的运算，建立坐标系是解决问题的关键，属基础题．12．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解答：解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值范围．故答案为：．点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．13．已知直线y=ax+2与圆x2+y2+2x﹣3=0相交于A、B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x 上，且PA=PB，则x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得CP垂直平分AB，且y0=2x0．直线垂直的关系，解得x0与a的关系，把直线y=ax+2代入圆x2+y2+2x﹣3=0化为关于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范围，从而可得x0的取值范围．解答：解：圆x2+y2+2x﹣3=0即（x+1）2+y2=4，表示以C（﹣1，0）为圆心，半径等于2的圆．∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，∵P（x0，y0）在直线y=2x上，∴y0=2x0．又CP的斜率等于，∴•a=﹣1，解得x0=．把直线y=ax+2代入圆x2+y2+2x﹣3=0可得，（a2+1）x2+（4a+2）x+1=0．由△=（4a+2）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2+16a＞0，得a＞0或a＜﹣．∴﹣1＜＜0，或0＜＜．故x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，），故答案为：（﹣1，0）∪（0，）点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．利用直线和圆的位置关系结合判别式△是解决本题的关键．14．给出定义：若x∈〔m﹣，m+]，（m∈z），则m叫做实数x的“亲密函数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；②函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；③函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）﹣lnx有两个零点其中正确命题的序号是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据题意先对函数化简，然后作出函数的图象，根据函数的图象可判断各个选项是否正确．解答：解：①当x∈（，]时，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣0|，当时，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣1|，当时，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣2|，…作出函数的图象如右图：由图可知：①错，②，③对，再作出y=lnx的图象可判断x∈（0，2]时有两个交点，④对故答案为：②③④．点评：本题为新定义题目，解题的关键是读懂定义内涵，尝试探究解决，属难题，考查由函数图象研究函数的性质，作图及识图能力、数形结合思想．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．设命题p：关于x的不等式1﹣a•2x≥0在x∈（﹣∞，0]上恒成立；命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域是实数集R．如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据条件求出命题p，q成立的等价条件，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围解答：解：x∈（﹣∞，0]时，2x∈（0，1]，∵1﹣a•2x≥0在x∈（﹣∞，0]上恒成立，∴1≥a•2x，∴a≤，∵当x≤0时，≥1，∴a≤1，即使p正确的a的取值范围是：a≤1．由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立（1）当a=0时，ax2﹣x+a=﹣x不能对一切实数恒大于0．（2）当a≠0时，由题意可得，△=1﹣4a2＜0，且a＞0∴a＞．故q正确：a＞．∵命题p和q有且仅有一个正确，∴①若p正确而q不正确，则，即a≤，②若q正确而p不正确，则，即a＞1，故所求的a的取值范围是：（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．求出命题的等价条件是解决本题的关键．注意函数的定义域的合理运用．16．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C﹣）=，且a2+b2＜c2．（1）求角C的大小；（2）求．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理表示出cosC，根据已知不等式得到cosC的值小于0，C为钝角，求出2C﹣的范围，再由sin（2C﹣）的值，利用特殊角的三角函数值很即可求出C的度数；（2）由cosC的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，求出的范围，再根据三边之和大于第三边，即可求出的具体范围．解答：解：（1）∵a2+b2＜c2，∴由余弦定理得：cosC=＜0，∴C为钝角，∴＜2C﹣＜，∵sin（2C﹣）=，∴2C﹣=，则C=；（2）由（1）得C=，根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2，即（）2≤，≤，又a+b＞c，即＞1，则的范围为（1，]．点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；转化思想．分析：（1）利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出PQ的长度，然后推出△CPQ 的周长l为定值．（2）利用S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ，推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S，利用基本不等式求出面积的最小值（平方百米）．解答：解：（1）BP=t，0≤t≤1，∠DAQ=45°﹣θ，DQ=tan（45°﹣θ）=，CQ=1﹣=，∴PQ===．∴l=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2．（2）S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1﹣﹣=2﹣≤2．当t=时取等号．探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为2（平方百米）．点评：本题考查三角形的实际应用，函数值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．18．若半径为r的圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的范围；（2）求证：d2﹣r2为定值；（3）是否存在定圆M，使得圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据圆的标准方程求出即可；（2）先求出圆心和半径以及圆心C到直线l的距离d，从而得到答案；（3）分别证明圆M与直线l相切，圆M与圆C相离，从而证出结论．解答：解：（1）∵D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，∴F2＞4F，解得：F＞4；（2）易得圆C的圆心C（﹣，﹣），半径r==，圆心C到直线l的距离d==，∴d2﹣r2=﹣=1；（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，证明如下：1°：∵M（0，0）到直线l的距离为：=1=R，∴圆M与直线l相切；2°：∵CM==，且R+1=+1，∴＞+1⇔＞⇔4＞0，∴CM＞R+1，∴圆M与圆C相离，综上，存在定圆M：x2+y2=1满足题意．点评：本题考察了直线和圆的位置关系，考察圆的标准方程，是一道中档题．19．已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；（3）当m＞0时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m 的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最大值；（2）在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，等价于2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解，分类讨论，可求m的取值范围；（3）求出切线方程为y﹣m+1=2m（x﹣1），即y=2mx﹣m﹣1，从而方程mx2﹣x+lnx=2mx ﹣m﹣1在（0，+∞）上只有一解，分类讨论，可求m的值．解答：解：（1）当m=﹣1时，f（x）=﹣x2﹣x+lnx，所以f′（x）=﹣2x﹣1+=﹣，所以当0＜x＜，f′（x）＞0，当x＞，f′（x）＜0，因此当x=时，f（x）max=f（）=﹣﹣ln分）（2）f′（x）=2mx﹣1+=，即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．①m≤0显然成立；②m＞0时，由于对称轴x=＞0，故△=1﹣8m＞0，所以m＜，综上，m＜．（8分）（3）因为f（1）=m﹣1，f′（1）=2m，所以切线方程为y﹣m+1=2m（x﹣1），即y=2mx﹣m﹣1，从而方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上只有一解．令g（x）=mx2﹣x+lnx﹣2mx+m+1，则g′（x）=2mx﹣1﹣2m+==（10分）所以1°m=，g′（x）≥0，所以y=g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，且g（1）=0，所以mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1只有一解．（12分）2°0＜m＜，x∈（0，1），g′（x）＞0；x∈（1，），g′（x）＜0；x∈（，+∞）），g′（x）＞0，由g（1）=0及函数单调性可知g（）＜0，因为g（x）=mx[x﹣（2+）]+m+lnx+1，取x=2+，则g（2+）＞0．因此在（，+∞）），方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1必有一解，从而不符题意（14分）3°m＞，x∈（0，），g′（x）＞0；x∈（，1）），g′（x）＜0；x∈（1，+∞），g′（x）＞0，同理在（0，），方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1必有一解，从而不符题意．（16分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为q k．（1）若q k=2（k∈N*），求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（2）若对任意的k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，设b k=．①求证：{b k}成等差数列，并指出其公差；②若d1=2，试求数列{d k}的前k项的和D k．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题设知，由此能求出a1+a3+a5+…+a2k﹣1的值．（2）①由a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，知2a2k+1=a2k+a2k+2，再由，能够证明{b k}是等差数列，且公差为1．②由d1=2，得a3=a2+2，解得a2=2，或a2=﹣1．由此进行分类讨论，能够求出D k．解答：解：（1）∵数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，公比q k=2（k∈N*），∴，∴a1+a3+a5+…+a2k﹣1==．（2）①∵a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，∴2a2k+1=a2k+a2k+2，而，a2k+2=a2k+1•q k+1，∴，则，得，∴，即b k+1﹣b k=1，∴{b k}是等差数列，且公差为1．②∵d1=2，∴a3=a2+2，则有，解得a2=2，或a2=﹣1．（i）当a2=2时，q1=2，∴b1=1，则b k=1+（k﹣1）×1=k，即，得，∴=，则==（k+1）2，∴，则d k=a2k+1﹣a2k=k+1，故．（ii）当a2=﹣1时，q1=﹣1，∴，则=k﹣．即，得，∴=××…××1=（k﹣）2．则=（2k﹣1）（2k﹣3），∴d k=a2k+1﹣a2k=4k﹣2，从而D k=2k2，综上所述，D k=，或．点评：本题考查数列的前n项和的计算，等差数列的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养．声明：此资源由本人收集整理于网络，只用于交流学习，请勿用作它途。
2014届江苏高考数学南通一校四题(包场高级中学)
1．设n S 是各项均为非零实数的等差数列{}n a 的前n 项和，且满足条件421021≤+a a ，则9S 的最大值为 。
412解：公差为d ，d a S 36919+=，又d a a 9110+=，所以1011101945)(49a a a a a S +=-+= 令t S y a x a ===9101,,，即422≤+y x ，045=-+t y x ，看做直线与圆面有交点，即有24522≤+-t ，所以最大值为412。
2.在ABC ∆中，三个内角分别为C B A ,,，且A A cos 2)3cos(=-π．（1）若36cos =C ,3=BC ,求AC ． （2）若)3,0(π∈B ，且54)cos(=-B A ，求B sin ． 解：因为A A cos 2)3cos(=-π，得A A A c o s 23s i n s i n 3c o s c o s =+ππ，即A A c o s3s i n =，因为()π,0∈A ，且0cos ≠A ，所以3tan =A ，所以3π=A 。
（1）因为1cos sin 22=+C C ，36cos =C ，()π,0∈C ，所以33sin =C 又632333213623sin cos cos sin )sin(sin +=⋅+⋅=+=+=C A C A C A B ， 由正弦定理知：ABCB AC sin sin =，即61+=AC 。
（2）因为)3,0(π∈B ，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈-=-3,03ππB B A ，1)(cos )(sin 22=-+-B A B A ， 所以53)sin(=-B A ， 所以()()10334)sin(cos )cos(sin sin sin -=---=--=B A A B A A B A A B . 3．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，且过点)23,1(，其短轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线1:+=kx y l 与x 轴、y 轴分别交于两点M ，N ，交椭圆于两点C ，D 。
江苏省南通市高级中学2014-2015学年高三一模 数学试卷
江苏省南通市高级中学2014-2015学年高三一模数学试卷 试题Ⅰ注 意 事 项一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U C A B = ▲ ．2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3． 已知函数()af x x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ． 4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 (GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少平移 ▲ 个单位．6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b=+，b ∈R与曲线x =”的充要条件是“ ▲ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ．8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ▲ ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ． 10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π，且()()0-⋅-=a c b c ，则c的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ▲ ．13．定义：min {x ，y}为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b =+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin cos sin sin f x x x x x x x =+++-∈R，． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若x x =()0π2x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C（第7题）记为C '，且CC a '=（0a <<）．（1）若a ，求二面角C —BD —C '的大小； （2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点 E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由． 18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分） 已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值 之和为0，(2)2f -=．（1）求函数()f x 的解析式；（第16题）D C 'A BC（2）若函数在开区间(99)m m --,上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围． （3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分） 设首项为1的正项数列{}n a的前n 项和为n S ，数列{}2na 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数.（1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．试题Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD=2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长． B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n ，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n nn n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是 关于x 的一次式．南通市数学一模试卷 参考答案1.{}5； 2. 3； 3. 2； 4. 0.09； 5.π6； 6. b =； 7. 8361，；8. π4；9. (01)，； 10. ； 11. ⎣⎦； 12. 1； 13. 1； 14. 3． 答案解析 1．易得{}1 3 9A B A ==，，U ，则()U A B =U ð{}5；2.3z =；3. 易得2()af x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =； 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09200++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6. 1=，且0b <，即b =7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8. 设tan A k=，则t a n B k=，tan 3C k=，且k >，利用t an t a n t a n t a n ()1t a n t a nA B C A B A B +=-+=--可 求得1k =，所以A π=；9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，； 10. 法 1 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积13V x =，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y=，此时max V =； 法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<，记()21 01y t t t =-<<，，利用导数可求得当t =时，max y =，此时max V ；15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力．（1）易得()2221()sin 2sin cos 2f x x x x x =+-1cos212cos222x x x -=+- 1s i n 2c o s 22x x =-+＝()π12sin 262x -+，（5分）所以()f x 周期π，值域为35 ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分）（2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π666x ≤≤--，所以02ππ0 66x ≤≤--，故()0πcos 26x -=，（11分）此时，()00ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()00ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-1142=-．（14分）O AB2CM 1C（第11题图）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5分）易得C O CO '==CC '= 所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3；（7分）（2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED. （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线2212y x -=得2211221112(4)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，，解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或1134x y =⎧⎨=⎩，， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，），所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）证明：由3y x =-+与221y x -=联立方程组可得C D 、的坐标为(36--+、(36-+-，（11分）由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验(36D -+-适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分）（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）（第16题图）DC 'ABCOE18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，则阅卷时间为2693119.246()4754119.246400x x f x x x ⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>-⎩≤，，，，（5分） 而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367301⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c=-+，其中c 因为()f x 的极大值与极小值之和为0， 所以(1)(1)0f f -+=，即0c =，由(2)2f -=得3a =-，所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+-列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分） 又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤，x (21)--,1- (11)-, 1 (12),y '- 0 + 0 - y ↘ 极小值2- ↗ 极大值2 ↘解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0，所以a ，b ，c假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ．若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾．同理，若a <b ，也必出现出矛盾． 故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分） 若p = 0时，243n n S T -=， 当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-， 而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④， ④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{an}是等比数列，且112n na -=；（10分） （3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知n a ，12x n a +，22yn a +依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222n nn -+⨯=+，即an ，2xan +1，2yan +2成等差数列；（12分）必要性：假设n a ，12xn a +，22yn a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n na -=，所以11111222222x y n nn -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力． 解：连接OD ，则OD ⊥DC ， 在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ， 所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DCtan30°=，所以BC =．（10分）B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分）所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分）将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力． 证明：因为a1，a2，a3均为正数，且12310a a a ++=>，所以123111a a a ++()123123111()a a a =++++()()11123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分）当且仅当12313a a a ===时等号成立，所以1239111a a a ++≥.（10分）22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分）令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x=0处取得极大值，且(0)0g =，（6分）故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分）则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----，所以11C C k k n n k n --=；（3分）（2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+[][]0110010010C (1)+()C (1)+()Cn n n n n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+- 01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C n n n n n n n n a x x a a n x x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦ []1010()(1)n a a a n x x x -=+-+-010()a a a nx =+-， 所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。
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南通市2014届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7．则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）． 【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1（第6题）两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】2．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ． 【答案】π．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ． 【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ． 【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ． 【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．A 1B 1C 1D 1（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A B BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B=-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B =，3sin 5C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 3c A a C ===．……………………………………………12分 所以△ABC的面积为114sin 2ac B ==． ………………………………14分17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a 3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ……………………… 4分 ②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增． x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．……………………… 6分 综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分 （2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x 2－1． …………………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x 2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分 ③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． ………………… 13分 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．…………………………………………………… 14分18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为 EF的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在 EF上，设∠AOD =2θ． （1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．（第18题）②①当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB AD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==．综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦．令0S '=，得cos θ= 10分记区间(0 )π，的角为0θ（唯一存在）．列表：又当32θππ<≤时，32sin 2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数，所以当0θθ=即cos θ= 16分19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y xa b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )P ，，且2A P P C =，2BP PD = ．（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（第19题）（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC = ，得()1133428x y C --，．…………………………………………………… 8分 代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，………………………………………………… 10分即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ …………………………………………… 14分 ③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--． …………………… 16分 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ． （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()2221122nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分（第21—A题）数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN=2AM．求证：AB2=AC．证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以AC AMBC BM=，①……………………………3分又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM BA BN BC⋅=⋅，即BA BNBC BM=，……………………………………6分又BN=2AM，所以2BA AM=，②……………………………8分由①②，得AB2=AC．………………………10分B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）设二阶矩阵A，B满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA，求1-B．解：设1a bc d-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，因为()111---=BA A B，…………………………………………………2分所以10120134a bc d⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2120340341a cb da cb d+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，……………………………………………6分解得2 1 3 21 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB =l 的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分 则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分又AB =0sin =θ． …………………………………………………………… 7分解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． ………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x yz zx z x y z++≥≥．……………………………… 4分同理可得2yz +≥，2x z yz xy y+≥． ………………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一 个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ．（1）求S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S =的为有一个角是 30 的直角三角形（如△145PP P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ===． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120 的等腰三角形（如△123PP P ），共6种，所以(3663C P S ===． …………………………………………………… 5分S =的为等边三角形（如△135PP P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分 又由（1）知(361235C P S ===，故S 的分布列为所以331()E S ==．……………………………………… 10分23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）．（1）求(3)f ；（2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，4（第22题）·11· (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有 (1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)， 所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分（2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中， 若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序 排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C in --．……………………………………………………………………… 6分若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分综上，()f n =(1)f n -+1111C n i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-． 从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。