韩信点兵与中国剩余定理
韩信点兵问题,中国仅有的世界通用定理
韩信点兵问题与中国剩余定理今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？这段文字翻译成现代数学语言其实并不难，就是一个数同时满足除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2，问这个数是多少？此类问题古人称为“韩信点兵问题”,据说是韩信不用过问兵的数量，只需让士兵变换方阵即可快速得出士兵的数量，也不知道是真是假，如果是真的，那韩信也算是一个数学过硬的将军了.上过小学的同学都知道，我们随便试几个数就可以很快发现，23就是第一个满足的数字.然而，你要找到更多的数字，那就有些难度了.要是换成更大的数字，例如一个数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，那这样的数如何去求呢？这就是今天小编要分享的是中国剩余定理.中国剩余定理是唯一一个以国家命名的定理，“韩信点兵问题”的记载最早出自南北朝数学名著《孙子算经》,中国剩余定理也叫孙子定理.这个问题放在现在肯定是不难求解的，接触过初等数论的同学就知道，只需解一个同余式组.)5(mod 3)3(mod 2N )7(mod 2{≡≡≡N N 的最小正整数解.方法一：大衍求一术公元13世纪，大数学家秦九韶集前法之大成，终于在一次同余式的研究上获得超越前人的辉煌成果，系统的阐述了“大衍求一术”，到了明代，著名大数学家程大位，在他的《算法统宗》中，还编写了四名歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.意思不难理解：三个人一同走路，70岁的老者很少，五棵梅花树上一共有21朵梅花，7个孩子在每月十五团圆，把这些数减去105便能得出答案.为什么？其中的原理还是让多数人摸不着头脑的,程大位数学家就更加详细了：①找出能被5与7整除而被3除1的数70，被3与7除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7余1的数15；②把70、21、15这三个数字分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是2.同理，233与63被5除余数是3；233与30被7除余数是2，所以233是满足题目的一个数；③而3，5，7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3，5，7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求.故105n+23就是问题的解.方法二：等差数列法学过小学奥数的同学或者学过高中数学数列的同学非常好理解，三三数之余二，即3n+2，穷举得2，5，8，11，14........，从这些数中找到除以5余数是3的数，第一个数是8，故15n+8满足前两条件；再从15n+8的数中找到23满足除以7余2，而15和7的最小公倍数为105，故105n+23即满足所有条件.是不是相当简单？方法三：不定方程法设这个数为n ，则有273523+=+=+=z n y n x n 消去n 可得,175135-=--=-z y x y ，再消去y 得z z z x 31237+==，而x 为整数，可令k =z 31，即有z =3k ,x =7k ，代入可得5y -21k =-1,可得y =21k ′+4，代入可得n =105k ′+23,此法亦不难理解，初中生学过方程的即可.当然，还是一个核心的问题，这类问题有没有固定的解法，一旦数字改变，那解法可能会变得复杂，甚至算不出来.其实是有的.古人也早就提出了解法，不过具体原因在哪里，很多人是不明白的.如下：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
韩信点兵
简介：韩信点兵又称为中国剩余定理，乃由于相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
韩信点兵是一个很有趣的猜数游戏，随便抓一把蚕豆粒，假若3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么所抓的蚕豆有多少粒?这类题目看起来是很难计算的，可是中国古时却流传着一种算法，它的名称也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔墙算」；杨辉叫它「剪管术」；而比较通行的名称是「韩信点兵」。
最初记述这类算法的是一本名叫「孙子算经」的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做「大衍求一术」，流传到西洋以后，外国化称它是「中国剩余定理」，在数学史上是极有名的问题。
至于它的算法，在「孙子算经」上就已经有了说明：“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五”，而且还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，《孙子算经》中给出了其中关键的步骤是：但在《孙子算经》中并没有说明求乘数的方法，直到1247年宋代数学家秦九韶在《数书九章》中才给出具体求法：70是5与7最小公倍的2倍，21、15分别是3与7、3与5最小公倍数的1倍。
秦九韶称这2、1、1的倍数为“乘率”，求出乘率，就可知乘数，意思是说：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的），5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的），7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的），最后将70、5、15这些数加起来，若超过105，就再减掉105，所得的数便是原来的数了。
根据这个道理，你就可以很容易地把前面一个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。
韩信点兵中国剩余定理
233 是符合題目的其中一個解。 由於解與解相距是105的倍數，所以
233 – 105 – 105 = 23 便是題目的最小的正數解。 除百零五便得知
韓信點兵法 / 中國剩餘定理
今有物，不知其數，三三數之，剩二， 五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？
問題：既然題目是有很多的解， 那麼，最小的一個正數解 是多少？
韓信點兵法 / 中國剩餘定理
由於運算複雜，所以，古時有以下 歌訣把重要步驟及數字紀錄下來：
三 人 同 行 七 十 稀，
五 樹 梅 花 廿 一 枝，
學科講話…延續篇
韓信點兵法 / 中國剩餘定理
韓信點兵法 / 中國剩餘定理
根據「孫子算經」記載︰ 「今有物，不知其數，三三數之， 剩二，五五數之，剩三，七七數 之，剩二，問物幾何？」
韓信點兵法 / 中國剩餘定理
今有物，不知其數，三三數之，剩二， 五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？
設該數為 X
韓信點兵法 / 中國剩餘定理
今有物，不知其數，三三數之，剩二， 五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？
從上述例子得知： 443，548，653… 均可是題目的解。 由於 443，548 及 653均是經過 3、5、7 的倍數構 造出來，所以，我們雖不能從題目得知確實的答 案，但可推斷所有有可能的答案之間的相距應該 是3、5、7 的最小公倍數(LCM)，即105的倍數。
21 = 7 x 3 ( 21能被 3 和 7 整除 )
15 = 3 x 5 ( 15能被 3 和 5 整除 ) 所以， (2 x 70) + (3 x 21) + (2 x 15 ) = 233 除以 3 餘 2 ；除以 5 餘 3 ；除以 7 餘 2 。
韩信点兵又称为中国剩余定理
簡介：韓信點兵又稱為中國剩餘定理，乃由於相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。
劉邦茫然而不知其數。
韓信點兵是一個很有趣的猜數遊戲，隨便抓一把蠶豆粒，假若3個一數餘1粒，5個一數餘2粒，7個一數餘2粒，那麼所抓的蠶豆有多少粒?這類題目看起來是很難計算的，可是中國古時卻流傳著一種算法，它的名稱也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔牆算」；楊輝叫它「剪管術」；而比較通行的名稱是「韓信點兵」。
最初記述這類算法的是一本名叫「孫子算經」的書，後來在宋朝經過數學家秦九韶的推廣，又發現了一種算法，叫做「大衍求一術」，流傳到西洋以後，外國化稱它是「中國剩餘定理」，在數學史上是極有名的問題。
至於它的算法，在「孫子算經」上就已經有了說明：“凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五”，而且還流傳著這麼一首歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
這就是韓信點兵的計算方法，《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是：但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法，直到1247年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法：70是5與7最小公倍的2倍，21、15分別是3與7、3與5最小公倍數的1倍。
秦九韶稱這2、1、1的倍數為“乘率”，求出乘率，就可知乘數，意思是說：凡是用3個一數剩下的餘數，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數，而又是以3去除餘1的），5個一數剩下的餘數，將它用21去乘（因為21是 3與 7的倍數，又是以5去除餘1的），7個一數剩下的餘數，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數，又是以 7去除餘 1的），最後將70、5、15這些數加起來，若超過105，就再減掉105，所得的數便是原來的數了。
根據這個道理，你就可以很容易地把前面一個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。
”韩信点兵”的奥秘，你知道吗？
”韩信点兵”的奥秘，你知道吗？韩信是中国古代一位有名的军事家，民间流传着许多他的故事，韩信点兵便是其中之一。
秦朝末年的时候，战火四起，楚汉相争。
在一次战斗中，韩信率1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗，韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人排成一排整队，结果多出2名：接着韩信又命令士兵5人排成一排整队，结果多出3名：他又命令上兵7人排成一排整队，结果又多出2名。
于是韩信马上说道：“ 我军有1073名见弟，追兵不过区区500人，我们一定能够打败敌人。
”韩信是如何快速计算士兵人数的呢？其实在一千多年前的《孙子算经》中，就有这道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”明代数学家程大位还用诗歌概括了这一算法，他写道：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
这样的问题，有人称为“韩信点兵”，也叫“中国剩余定理”。
那我们现在来解这道题：第1步：先列出满足其中一个条件的数（一般从小到大），即除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…；第2步：再列出满足其中第二个条件的数，即除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，….；第3步：归纳前面第3步首先出现的公共数是8.8就是满足除以3余2，除以5余3的最小的那个数。
3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×n(n=0，1，2，…)。
列出这一串数是8，23，38，…；第4步：再列出满足其中第三个条件的数，即除以7余2的数2，9，16，23，30，…；第5步：归纳第3步第4步得到的数列。
就得出符合题目条件的最小数是23；事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个。
中国剩余定理与韩信点兵
中国剩余定理与韩信点兵例1：一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，这个两位数是多少？分析解答：用一个两位数除58余2，除73余3，除85余1，那么58-2=56，73-3=7 0，85-1=84能被这个两位数整除，这个两位数一定是56、70和84的公约数。
由可可见，56、70、84的两位数公约数是27=14，可见这个两位数是14。
例2：有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是多少？分析解答：因为除以3余数是1的数是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…除以4余数是3的数是3，7，11，15，19，23，27，31…所以，同时符合除以3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，…这些数除以12余数均为7。
例3：学习委员收买练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组2.61元，第二组3.19元，第三组2.61元，第四组3.48元，又知道每本练习本价格都超过1角，全班共有_____人。
分析解答：根据题意得319-261=练习本单价第二、一组人数之差，348-319=练习本单价第四、二组人数之差。
即练习本单价第二、一组人数之差=58，练习本单价第四、二组人数之差=29，所以，练习本单价是58与29的公约数，这样，练习本的单价是29分，即0.29元。
因此，全班人数是[注]这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件，将小数化成整数来考虑，为解决问题提供了方便。
这里也可直接找261、319和348的公约数，但比较困难。
上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示。
拓展训练营：1、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个。
这盒乒乓球至少有多少个?2、求被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数。
3、一盒围棋子，三只三只数多二只，五只五只数多四只，七只七只数多六只，若此盒围棋子的个数在200到300之间，问有多少围棋子?4、求一数，使其被4除余2，被6除余4，被9除余8。
韩信点兵-中国剩余定理
韩信点兵-中国剩余定理汉⾼祖刘邦曾问⼤将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦⼀眼说：“你顶多能带⼗万兵吧！”汉⾼祖⼼中有三分不悦，⼼想：你竟敢⼩看我！“那你呢？”韩信傲⽓⼗⾜地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦⼼中⼜添了三分不⾼兴，勉强说：“将军如此⼤才，我很佩服。
现在，我有⼀个⼩⼩的问题向将军请教，凭将军的⼤才，答起来⼀定不费吹灰之⼒的。
”韩信满不在乎地说：“可以可以。
”刘邦狡黠地⼀笑，传令叫来⼀⼩队⼠兵隔墙站队，刘邦发令：“每三⼈站成⼀排。
”队站好后，⼩队长进来报告：“最后⼀排只有⼆⼈。
”“刘邦⼜传令：“每五⼈站成⼀排。
”⼩队长报告：“最后⼀排只有三⼈。
”刘邦再传令：“每七⼈站成⼀排。
”⼩队长报告：“最后⼀排只有⼆⼈。
”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队⼠兵有多少⼈？”韩信脱⼝⽽出：“⼆⼗三⼈。
”刘邦⼤惊，⼼中的不快已增⾄⼗分，⼼想：“此⼈本事太⼤，我得想法找个岔⼦把他杀掉，免⽣后患。
”⼀⾯则佯装笑脸夸了⼏句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“⾂幼得黄⽯公传授《孙⼦算经》，这孙⼦乃⿁⾕⼦的弟⼦，算经中载有此题之算法，⼝诀是： 三⼈同⾏七⼗稀， 五树梅花开⼀枝， 七⼦团圆正⽉半， 除百零五便得知。
” 刘邦出的这道题，可⽤现代语⾔这样表述： “⼀个正整数，被3除时余2，被5除时余3，被7除时余2，如果这数不超过100，求这个数。
” 《孙⼦算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩⼆，则置⼀百四⼗；五五数之剩三，置六⼗三；七七数之剩⼆，置三⼗；并之得⼆百三⼗三，以⼆百⼀⼗减之，即得。
凡三三数之剩⼀，则置七⼗；五五数之剩⼀，则置⼆⼗⼀；七七数之剩⼀，则置⼗五，⼀百六以上，以⼀百五减之，即得。
”⽤现代语⾔说明这个解法就是： ⾸先找出能被5与7整除⽽被3除余1的数70，被3与7整除⽽被5除余1的数21，被3与5整除⽽被7除余1的数15。
所求数被3除余2，则取数70×2＝140，140是被5与7整除⽽被3除余2的数。
中国剩余定理——韩信点兵
中国剩余定理——韩信点兵民间传说着一则故事韩信点兵。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是神仙下凡、神机妙算。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为韩信点兵.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为中国剩余定理，这是由中国人首先提出的.①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23.它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，.除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，.它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，.一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12整数，整数可以取0，1，2，，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把除以3余2，除以4余1两个条件合并成除以12余5一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：当某数被3除余1对，即写上70（因为70是5和7的倍数，是3的倍数多1），余2时即写702＝140，这140仍是5和7的倍数，是3的倍数余2。
第六章第一节 韩信点兵与中国剩余定理
第六章 游戏中的数学逻辑第一节 韩信点兵与中国剩余定理一、“韩信点兵”和《孙子算经》1、“韩信点兵”的故事这里面有什么秘密呢？2、《孙子算经》中的题目我国古代数学名著《孙子算经》中，有“物不知数”的题目：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？答案是23，那么，这个23 是如何求得的呢？二、问题的解答1、换个问题入手1）同类问题今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？2）筛法启发我们想到，要解原问题，只要从上边筛选下的数中，继续挑出“用4 除余3”的数：11，23，⋯再挑“用5 除余4”的数，⋯一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果，并且看起来，解，还不是唯一的，可能有无穷多个解。
3）公倍数法那么，除了刚才的筛法外，还有没有巧妙的解法？我们考察上边两个方程的特点，发现，两个“带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。
于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为0 了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？于每个方程两边都加上1，成为。
这说明，x +1既是2 的倍数，又是3 的倍数，因此，它是2 与3的公倍数。
如果用[2，3]表示2 和3 的最小公倍数，那么，因为公倍数都是最小公倍数的倍数，就有：x +1 = k [2,3], k =1,2,3,4, ⋯。
注意到[2，3]=6，所以“只有前两个条件的简化题目”的解为即 x = 6k −1,k =1,2,3,4,…有无穷多个解，即 x = 5,11,17,23, … 与前一解法结果相同。
的。
三、中国剩余定理1221.32x n x x n =+⎧⎨=+⎩中的1212(1)13(1)x n x n +=+⎧⎨+=+⎩。
韩信点兵与中国剩余定理(2-2)
化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就 是化繁为简。
一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质， 那么简化就“不失一般性”。
学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能 力。
寻找规律的思想
把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。
来就综合考虑两者，则就是要解联立方
程组
x x
2n1 3n2
1中的x. 2
18
那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法 外，还有没有更加巧妙的解法？
我们考察上边两个方程的特点，发现，两个 “带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。
于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为 0了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？
22
x 1 k [2,3,4,5,6,7,8,9] k 2520,k 1,2,3,L
即 x 2520k 1,k 1,2,3,L
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第 一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的 个数”总是正整数。
23
[思]： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余 m－ 1”的数。 ② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c 除余c－1”的数。
x x
3n1 5n2
2 3
(*)
x 7n3 2
我们先对前几页（*）式作两个方面的简化：一方面是每 次只考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整 除的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样 得到三组方程。
x x
3n1 5n2
1
(1);
x 7n3
y
y
3n1 5n2
韩信点兵数学竞赛题中国剩余定理
韩信点兵数学竞赛题中国剩余定理中国古代将领韩信是我国历史上著名的军事家，在战争中常常运用智谋胜敌。
他点兵数学竞赛题是一道以韩信命名的数学竞赛题，这个问题是一个典型的中国剩余定理的问题。
下面我们来详细解答这个问题。
1. 问题描述韩信点兵数学竞赛题描述：韩信带兵攻打赵国，他手下共有兵士三万人，分为三个团队。
第一天，第一队出兵了，但是他们出发之前被派去买饭了。
第二队出发了，但是他们也遇到了意外，少了一半人。
第三队没有遇到什么问题，全军出发。
结果三队同时到达目的地，没有人掉队。
问：韩信至少有多少兵？2. 分析这个问题的解决方法是使用中国剩余定理。
我们先将题目翻译成数学语言：设韩信的军队共有x人，第一队共有a人，第二队共有b 人，第三队共有c人。
已知：- x≡a(mod m1)- x≡b(mod m2)- x≡c(mod m3)其中，m1，m2和m3是三个正整数，说明模数不一样，我们需要使用中国剩余定理来解决。
3. 解决方法韩信点兵数学竞赛题的解决方法是使用中国剩余定理，步骤如下：1. 求出模数m1，m2和m3的最小公倍数M，即M=lcm(m1, m2, m3)。
2. 求出t1，t2和t3，使得M/m1=t1，M/m2=t2和M/m3=t3，即t1，t2和t3是M/m1，M/m2和M/m3的商数。
3. 分别求出M/m1，M/m2和M/m3关于m1，m2和m3的逆元r1，r2和r3，即r1*(M/m1)≡1(mod m1)，r2*(M/m2)≡1(mod m2)和r3*(M/m3)≡1(mod m3)。
4. 按照以下公式求解x：x≡a*t1*r1+b*t2*r2+c*t3*r3(mod M)4. 求解过程下面我们逐步求解韩信点兵数学竞赛题，求解过程如下：1. 求出模数m1，m2和m3的最小公倍数M，即M=lcm(3, 2, 1)=6。
2. 求出t1，t2和t3，使得M/m1=t1，M/m2=t2和M/m3=t3，即t1，t2和t3是2，3和6。
人教版高中选修(B版)3-12.2”韩信点兵“与中国剩余定理教学设计
人教版高中选修(B版)3-12.2”韩信点兵“与中国剩余定理教学设计一、教学内容分析1.1 教学目标•理解韩信点兵问题；•理解中国剩余定理；•掌握韩信点兵算法的具体步骤和实现；•了解中国剩余定理的应用背景和特点；•掌握中国剩余定理的基本原理和具体算法步骤；•能够应用中国剩余定理解决实际问题。
1.2 教学重点•掌握韩信点兵算法的具体步骤和实现；•掌握中国剩余定理的基本原理和具体算法步骤。
1.3 教学难点•了解中国剩余定理的应用背景和特点；•能够应用中国剩余定理解决实际问题。
1.4 教学内容韩信点兵•韩信点兵问题的引出；•韩信点兵的具体算法步骤和程序实现。
中国剩余定理•中国剩余定理的应用背景和特点；•中国剩余定理的基本原理和具体算法步骤；•中国剩余定理的应用实例分析。
二、教学设计2.1 教学组织形式本节课教学采用讲授、讨论和实例演练相结合的教学方式。
2.2 教学过程设计2.2.1 导入环节通过简单分析古代士兵统计人数的问题，导入韩信点兵作为本节课教学内容，引出本节课的教学重点和难点。
2.2.2 韩信点兵2.2.2.1 理论阐述通过白板讲解韩信点兵的具体算法步骤，强调算法的实用性，并解析算法在现实中的应用场景。
2.2.2.2 实例演练通过几个具体的实例，让学生实际体验韩信点兵的算法流程和应用实际，加深学生的理解和掌握程度。
2.2.3 中国剩余定理2.2.3.1 理论阐述通过白板讲解中国剩余定理的应用背景和特点，并详细解析中国剩余定理的基本原理和具体算法步骤。
2.2.3.2 实例演练通过几个典型的应用实例，让学生实际体验中国剩余定理的具体操作流程和解决问题的能力。
2.2.4 总结和归纳本节课内容讲解完毕后，总结本节课教学的重点和难点，巩固学生的知识点和解题思路。
2.3 教学手段本节课教学采用白板、投影仪和PPT课件等手段辅助教学。
三、教学效果评估通过课堂小测验和课后作业评估学生对韩信点兵和中国剩余定理的理解情况和掌握程度。
中国剩余定理
被７除1；15是3中国的这从此，中国例：一个住校生，家里每星期给他36元生活费。
该生每天实际只用生活费5元，某天他小姨到学校看他并给了50元钱，他用此钱买了两本喜爱的课外读物花10元，买学习用具花2元，放假回家后说明情况并给家长交回55元。
问：该生带几个星期的生活费？实际在校住几天？一共有多少钱？花去多少钱？用方法二解：列式（36×□＋50－10－2）÷5＝□……55元｛36×（5＋55-50＋10＋2）＋50－10－2｝÷（5×36）＝（36×22＋50－10－2）÷180＝830÷180 (110)答; 1，（110－50＋10＋2）÷36＝2，（括号内□内最小数）2，（110－55）÷5＝11，（括号外□内最小数）3 36×2＋50＝122，4，122－55＝67。
答：该生带2个星期的生活费，实际住校11天，一共有122元，花去67元。
2008.08.08先提醒大家过去曾经有过的一个经验.如果整数a除以整数b所得余数是1，那么，整数a的2倍、3倍、4倍、……、（b-1）倍除以整数b所得的余数就分别是1×2=2，1×3=3，1×4=4，…………1×（b-1）=b-1.例如，15÷7=2……余1，即2×15÷7=4 (2)3×15÷7=6 (3)4×15÷7=8 (4)5×15÷7=10 (5)6×15÷7=12 (6)还请大家注意一条经验.从某数a中连续减去若干个b后，求所得的要求小于数b的差数，实际上就是求数a除以数b所得的余数.例如，从758里连续减去若干个105后，求所得的要求小于105的差数，实际上就是求758除以105所得的余数.即758÷105=7 (23)下面我们就来研究“孙子问题”.在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数.”这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”.实际上，上面的问题我们可以这样来想：分别写出除数3、5、7的两两公倍数.如下表：我们在第一组数中选出合乎“除以7余2”的较小数——30；在第二组数中选出合乎“除以5余3”的较小数——63；在第三组数中选出合乎“除以3余2”的较小数——35.根据和的整除性，可知30+63+35=128一定是一个同时合乎“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数（为什么？），但是不一定是最小的.要得到合乎条件的最小数，只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使得差数小于这个最小公倍数就是了.3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105，因此，由于前面的经验二，可知128÷105=1 (23)这个余数23就是要求的合乎条件的最小数.有意义的是，虽然孙老先生的解法也是从对上表的思索得到的，但他的解法更具有一般性.亲爱的读者，你能猜想到孙子的一般解法吗？【规律】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数.孙子的解法是：先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当然,对于很小的数,可以直接死算).即15÷7=2 (1)21÷5=4 (1)70÷3=23 (1)再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被7、5、3除所得的余数的积连加，15×2+21×3+70×2=233. （将233处用i代替，用程序可以求出）最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.233÷105=2 (23)这个余数23就是合乎条件的最小数.以上三个步骤适合于解类似“孙子问题”的所有问题.【练习】1.韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.2.有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个？（用两种方法解）3.某数除以7余3，除以8余4，除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数.4.某数除以5余2，除以7余4，除以11余8.求适合条件的最小数.5.一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当然,对于很小的数,可以直接死算你看一下吧孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。
剩余定理
中国剩余定理【知识概要】在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。
据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7 报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，现在被称为“中国剩余定理”。
我们现在一起来学习解决这类问题的特殊方法。
逐步满足条件法：当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意利用利用余数的性质，要加上已满足条件中除数的倍数。
一个数除以2个或3个不同的数，得到的余数相同，可以求这几个除数的公倍数．然后再加上余数得出该数．有些时候也需要使用一些小技巧，把该数加几，最后通过求公倍数等步骤得出原数【典型例题】例1、小明的妈妈将一堆鸡蛋放到包装箱中，12个装一箱，还多1个；18个装一箱，还是多1个。
这堆鸡蛋至少有多少个？练：图书室有一批新到的课外书，无论是分成5本一叠，还是分成8本一叠，最后都多出3本．这批新到的课外书至少有多少本？例2、王老师买来36支铅笔和40本练习本，平均奖给五(l)班的三好学生，结果铅笔多1支，练习本少2本。
五（1）班三好学生最多有多少人？练2、小明妈妈把33个桃子、48个苹果平均分给全家每个人，结果桃子少2个，苹果多3个，小明家有多少人？例3、把一堆桃子平均分给每只猴子，若每只猴子分了3个则余2个，若每只猴子分4个则余3个，若每只猴分6个则余5个。
这堆桃子至少有几个？练：有一批树苗，每捆5棵多1棵，每捆6棵多2棵，每捆7棵多3棵。
这批树苗至少有多少棵？例4、有一些糖果，平均分给3个小朋友多1块，平均分给4个小朋友多3块，平均分给5个小朋友少1块．这些糖果最少有多少块？练：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
03韩信点兵与中国剩余定理
23（ k 2 时）。
43
x x
3n1 5n2
1
(1);
x 7n3
y
y
3n1 5n2
1
(2);
y 7n3
z z
3n1 5n2
(3)
z 7n3 1
这里，（1），（2），（3）三式分别叫三个“单子因构件”，分
38
（3）式两边同减15变为
z z
15 15
3(n1 5(n2
5) 3)
z 15 7(n2 2)
z 15 k3[3,5, 7] k3 105 z 105k3 15, k3 0,1, 2,
于是得到
x 105k1 70 y 105k2 21 z 105k3 15
26
按上一问题中“公倍数法”处理问题旳 思绪：把方程两边同步加上或减去一种什么 样旳数，就能使三个等式旳右边分别是3，5， 7旳倍数，从而等式左边就是3，5，7旳公倍 数了。
这要经过反复旳试算去完毕。
27
一种试算旳措施
x x
3n1 5n2
2 3
x 7n3 2
(*)
28
从第三个等式入手，两边加5（或减2）则 得
（a,b,c是任意不小于1旳自然数） ③ 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除 都 余1”旳数。 ④ 求“用5，7，9，11 除都余2”旳数。 23
2．《孙子算经》中“有物不知其数” 问题旳解答
问题：今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？
24
1）筛法.
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2）
韩信点兵－中国剩余定理
韩信点兵－中国剩余定理-物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2.求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。
我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。
问：这队士兵至少有多少人？这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。
满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。
当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件。
我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。
因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。
当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
韩信点兵又称为中国剩余定理
韩信点兵又称为中国剩余定理
韩信点兵又称为中国剩余定理
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：。
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这就是《孙子算经》中“物不知其数” 一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是 23（ k 2 时）。
38
x 3n1 1 (1); x 5n2 x 7n 3
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
（1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70， 105，…）寻找被3除余1的数； （2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42， 63，…）寻找被5除余1的数； （3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30， 45，…）寻找被7除余1的数。
用等式两边减23来求解，有
x 23 3(n1 7) x 23 5(n2 4) x 23 7(n 3) 3 x 23 k [3,5, 7] k 105 x 105k 23, k 0,1, 2,3,
③ 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除 都余1”
的数。
④ 求“用5，7，9，11 除都余2”的数。
18
2．《孙子算经》中“有物不知其数” 问题的解答
问题:今有物不知其数，
三三数之剩2，
五五数之剩3，
七七数之剩2，
问物几何？
1）筛法.
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2）
31
对（1）式而言，这个数可以取70，对（2）式而言，这个
数可以取21，对（3）式而言，这个数可以取15。
x 3n1 1 (1); x 5n2 x 7n 3
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
X=6k-1, k=1,2,3,4,……
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六
数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九 数之剩8，问物几何？
15
②寻找规律
设问题中，需要求的数是 于是我们把被除数
x ，则 x 被2，3，4，
x 1 是
5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数少1， 4，5，6，7，8，9均整除。也就是说，
然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。
2
2.《孙子算经》中的题目
3
二．问题的解答
1．从另一个问题入手
问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数
之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之 剩8，问物几何？
1）筛法
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25，… （ 用2除余1）
33
（3）式两边同减15变为
z 15 3(n1 5) z 15 5(n2 3) z 15 7(n 2) 2
于是得到
z 15 k3 [3,5,7] k3 105 z 105k3 15, k3 0,1, 2,
5， 11， 17， 23， … （ 用3除余2） 11， 23，… （ 用4除余3）
再从中挑“用5除余4”的数，…
化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两
三个条件，这就是化繁为简。
一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问
题的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。
学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一 种重要的数学能力。
多了一个“k 0 要求。
” ，因这时 x
也是正数，合
这两组解是一样的，都是“23，23+105，
23+2×105，……”。
原因是82+23=105，故令k k 1， 第一组解就成为
x 105(k 1) 82 105k 105 82 105k 23
[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。
x 再加1，则 x 1就可被2，3，
2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数
x 1 k [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] k
即 x 2520 k 1,k 1, 2, 3,
2520, k
1, 2, 3,
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第 一个解是 2519 ；我们只取正数解，因为“物体的 个数”总是正整数。
17
[思 ] ： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余
m－ 1”的数。
② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c
除余c－1”的数。
（a,b,c是任意大于1的自然数）
4，…
x 2n1 1 中的x. x 3 n 2 2
12
把上边每个方程两边都加上1，成为
x 1 2(n1 1) x 1 3(n2 1)
这说明，
x 1
既是2的倍数，又是3的
倍数，因此，它是 2 与 3 的公倍数。由此想到
13
只有前两个条件的简化题目的解为： X+1=k g[2,3], k=1,2,3,4,……
这里，（1），（2），（3）三式分别叫三个“单子因构件”， 分别解得
x 105k1 70 y 105k2 21 z 105k3 15
每个单因子构件，都是用某一个数去除余1，用另两个数去除均 余0的情况。再据题目要求余数分别是2，3，2的情况，凑成
s 2x 3 y 2z
于是（1）式两边同减70变为这样：第二个等式右边仍是5 的倍数，第三个等式右边仍是7的倍数，而第一个等式右边 因为减的70是“用3除余1”的数，正好原来也多一个1，减 没了。第一个等式右边也成为了倍数，是3的倍数。
x 70 3(n1 23) x 70 5(n2 14) x 70 7(n 10) 3
l 1, 2,3
代入试算、分析，
x 2 7h 7(n3 h) (或h 1, 2,3)
最后发现，为达到目的（三个等式的右 边分别是3，5，7的倍数），最小的加
数是82（l=11,5+7l=82 时)（或最小的
减数是23，即当h=3时,2+7h=23)
用等式两边加82来求解，有 x 82 3(n1 28) x 82 k [3,5, 7] k 105 x 82 5(n2 17) x 82 7(n 12) x 105k 82, k 1, 2,3, 3
x 70 k1 [3,5, 7] k1 105 x 105k1 70, k1 0,1, 2,
（2）式两边同减21变为
y 21 3(n1 7) y 21 5(n2 4) y 21 7(n 3) 3 y 21 k2 [3,5, 7] k2 105 y 105k2 21, k2 0,1, 2,
x 105k1 70 y 105k2 21 z 105k3 15
34
现在重复一下：所得的x是被3除余1，
被5和7除余0的数；y是被5除余1，被3
和7除余0的数；z是被7除余1，被3和5
除余0的数。
35
那么，凑出
s 2x 3 y 2z
，
s 不就是我们需要求的数吗？
天津师范大学初等教育学院 李林波
1、“韩信点兵”的故事
韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一
行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5 人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下 最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排 队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。
x 3n1 1 (1); x 5n2 x 7n 3
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
x 3n1 1 (1); x 5n2 x 7n 3
于是我们要求的数是
s 2x 3 y 2z 2(105k1 70) 3(105k2 21) 2(1(2k1 3k2 2k3 ) 70 2 21 3 15 2 105k k 2, 1,0,1, 2,3,
36
因为，用3去除s时，除y及除z均余0
除3y及除2z均余0，
又除x余1 除2x余2，∴用3除s时余2。
用5去除s时，除x及除z均余0
除2x及除2z均余0，
又除y余1除3y余3，∴用5除s时余3。
用7去除s时，除x及除y均余0
除2x及除3y均余0，
37
又除z余1除2z余2， ∴用7除s时余2。
便转化成第二组解。
28
但是，这82和23来之不易；并且如果 题目中的余数变了，就得重新试算，所以 这方法缺少一般性，为使它具有一般性，
要做根本的修改。
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3）单因子构件凑成法
x 3n1 2 x 5n2 3 x 7n 2 3 (*)
我们先对（*）式作两个方面的简化：一方面是每次只 考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整除 的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样得 到三组方程。
8，23，… 23，… 由此得到，23是最小的一个解。
（用5除余3） （用7除余2）