方差与相关系数;难点

E X
第十讲 期望与方差 1 x 已知：E ( X ) x e dx
2

0

0
x e
2
x
dx
t x 1

2
2


0
t e dt
2 t
3
D( X ) E X 2 4.方差性质 1.定理（1、2） D a X b ＝ a 2D(X ) 证明 DaX b E aX b E aX b 2
以上概念显示：方差均 方差都非负；方差是二 阶中心距。
2.方差计算 由方差定义：D( X ) E{X E( X ) } E[ g( X )]
2
例如，若X 是离散变量，则: D( X ) E[ g ( X )] xi E ( X ) p( xi )
2 i 1

只将变量变函数，就得 函数期望值， 二维一维形相似，两次 求和二重积。 常数不变系数提，可加 可减独立积
第十讲 方差与相关系数
一、方差与标准差
1.几个概念： (1)离差：将变量与期望之 差X EX称为变量的离差
(2)方差：称X的离差平方的数学期望 为X的方差，记作D( X ) 即：D( X ) E[( X EX ) 2 ]. (3)标准差：称X的方差的算术平方根为 X的标准差，又称 均方差。记作 ( X )或。即 D( X )，D( X ) 2 ( X )
a 2 ab b 2 (a b) 2 (b a ) 2 D( X ) E X E( X ) 3 4 12 例题10-1-3
2 2
例题10-1-2

设 随 机 变 量 X 服 从 指 数 分 布 X ~ e ， 求 其 方 差 与 标 准 差
e x , 解 其密度函数为 f x 0, x 0; 其它.




2 2 D( X ) E X 2 E( X ) 1

第十讲 期望与方差
设随机变量 X ~ U [ a , b ] ，求方差 D(X )。 1 , a x b; 解 其密度函数为 f x b a 其 它. 0, 2 2 2 b b x x a b 2 a ab b E( X ) dx dx . E X a a ba ba 2 3
2 证明： D( X ) E X E( X ) EX
D( X ) E ( X 2 ) E ( X )
2
2
2 XE( X ) E( X )
2

E( X 2 ) 2E( X ) E( X ) E( X ) E( X 2 ) E( X )
i
若( X , Y )是二维连续随机变量,则D( X ) E{[ X E ( X )]2 }

x E ( X )
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2
f X ( x)dx


x E ( X )


2
f ( x, y )dxdy
同理，求D(Y )
由于方差就是二阶中心矩，所以，方差计算还有更方便 更常用的利用均值计算方差的公式:
1 1 2 E ( X ) 2 2
2

2

2
2


E aX b aE( X ) b E aX E( X ) 2
2
E a X E( X )
2

2

a2 E
X E( X ) a D( X )
2
第十讲 期望与方差
2
实 际 上 ， D ( X ) u 2 v 2 v 12 E ( X 2 ) E 2 ( X )
方差离差方期望，方期望减期望方。
3.例题讲解 例题10-1-1 设随机变量 X ~ P ，求方差 D(X )。 m 解 PX m e m 0, 1, 2,. 已知：E ( X )

m!
m 1 m k k m 1 e k 1 E X 2 m 2 e e m m 1! m! m 1 k! k 0 m 0 k 1 k e e e e 1 k 1 k 1! k 0 k!
第十讲 期望与方差
若X 是连续变量，则D( X ) E[ g ( X )]
2

若X 是二维离散变量，则: D( X ) E[ g ( X )]
2 i j
x E ( X )
2
f ( x)dx
xi E ( X ) PX ( xi ) xi E ( X ) p( xi , y j )
2
2
推论： 1 .D (C ) 0， 2） D ( X b ) D ( X ),3 ) D ( a X ) a 2 D ( X )
定理3
若X、Y独立，则D ( X Y ) D( X ) D(Y )
第十讲 期望与方差
证明：D( X Y ) E[( X Y ) 2 ]－[ E ( X Y )]2 E ( X 2 Y 2 2 XY ) [ E ( X ) E (Y )]2 E ( X 2 ) E (Y 2 ) 2 E ( XY ) E 2 ( X ) E 2 (Y ) 2 E ( X ) E (Y )
第十讲 方差与相关系数
本次课讲授第三章的3.2-3.4；
下次课讲授4.1-4.5.
下周上课时交作业P39-42页
离散变量乘概率，无穷 求和期望值； 连续变量乘密度，无穷 积分期望值。 泊松二（项）np, 几何分布倒概率； 均匀一半a加 b，指数参数分之一。
重点：
方差与相关 系数；
难点：
方差与相关 系数。