大学物理动量守恒
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冲量的大小等于动量增量 冲量的方向是动量增量的方向
通过求动量增量获 得冲量的情况。
(4) 求平均冲力 在碰撞打击(宏观)、散射(微观)一类问题中： 力的作用时间很短或力随时间变化很快，无法
知其细节，可通过求动量增量获得冲量，进而获
得作用力—平均冲力的情况。 平均冲力的大小计算如下：
1 t2 F Fdt t t1
点火后 N >(M+m)g
y向合力为零
y向合力不为零
•y向动量不守恒 系统动量不守恒！
[例3]如图，车在光滑水平面上运动。已知m、l、v0， 人逆车运动方向从车头经 t 到达车尾。 求：（1）若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； （2）车的运动路程； （3）若人以变速率运动， 上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M x 动量守恒。 取如图坐标得
结
t2 I ＝ Fdt
t1
I
F dt＝ P
I＝P－P0
n P＝ mi vi 恒 矢 量
i 1
•动量守恒定律
作
业
习题册： 32-42
V=(
VM对地
M
l
m
(m对M)
0
y
x
m ) cos M+m 0
该式中速度均 为相对地面 为何此处不是x =0cos ?
(2)在过程中的任一时刻t都有 m x (t) – M Vx(t)= 0 末 末 两边对 t积分 m初 x(t)dt - M初 Vx(t)dt =0
得 md - MD = 0 将d代入得 m
D=( M+m
) lcos
式中d =lcos-D, 为何不是d =lcos
讨论：系统动量是否守恒？ (1)由结果看 系统初动量为零， 系统末动量不为零，如图 (2)由守恒条件看
VM对地
M
l
m
(m对M)
0
y
x
系统末动量
p末 MV
m弹末
点火前 地面支持力 N =(M+m)g
重力 (M+m)g
mu s vdt (v 0 )dt 0 0 M m m v0 t l M m
t t
o
x
l
v
2-4 功 动能 动能定理
一、功与功率 1、功 功是力和它所作用质点位移的点积。 （1）元功（对微小过程，可当成恒力、直线运动）
d A F d r d A F cos d r
二、质点的动能定理 1、问题：
一质量为m 的物体在合外力F的作用下，
dA F dr dv dr F dr m dr mdv ＝mv dv dt dt
由A点运动到B点，其速度的大小由v1变 成v2。求合外力对物体所作的功与物体动 能之间的关系。
mv dv mvdv
v2 v1
F dr
mv dv
1 2 1 2 A mv2 mv1 2 2
定义：动能Ek= mv2/2 单位：J 量纲：ML2T－2 2、质点的动能定理： 合外力对质点所作的功等 于质点动能的增量。
补充:
r d r ( xi y j zk ) (dxi dy j dzk ) 1 2 2 2 xdx ydy zdz d ( x y z ) 2 1 2 d (r ) rdr 2
若(F )x = 0，则 p末x = p初x，即动量的x方向分量守恒 若 (F )y = 0，则 p末y = p初y，即动量的y方向分量守恒
的作用，近似认为系统的动量是守恒的。像碰撞、打击、
· 用守恒定律作题，注意分析:
过程、系统、条件
动量守恒台球
动量守恒实验
[例2]如图大炮质量M，炮弹质量m，炮筒长l ，仰角
( M m)v0 Mv m(u v )
o
l
v
( M m )v0 Mv m( u v )
该式中速度均 为相对地面
m m l （ 1） v v 0 u v0 Mm Mm t m l m （2） s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm m m v0 u u （ 3） v v 0 Mm M
2 1
1、内容:
2、 说明： （1）动量守恒定律只适用于惯性系。 （2）动量守恒定律是关于自然界一切过程的最基本的 定律之一。 它适用于： 宏观粒子系统；电磁场；微观粒子系统 , 更普遍的动量守恒定律并不依赖牛顿定律。
（3）有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内
力相比较，外力远小于内力，这时可以略去外力对系统 爆炸等这类问题，一般都可以这样来处理。 （4）分动量守恒
功、动能、动能定理、势能、机械能、 功能原理、机械能守恒定律
2-3 动量 动量守恒定律 一、冲量 质点的动量定理
1、冲量（力的作用对时间的积累，矢量） 定义：
t2 I ＝ Fdt
t1
F F
方向：速度变化的方向 单位：N· s
0 t
说明 •冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；
t1
dt
t2
3、动量定理
dP F dt
动量定理的微分形式
Байду номын сангаас
dP Fdt
t2 P2 P1 I＝ Fdt
t1
P2 P1
dP
t2
t1
Fdt
动量定理的积 分形式
a)内容: 物体所受合外力的冲量等于物体的动 量的增量 ——质点动量定
理
b) 说明
t2 P2 P1 I＝ Fdt
1 ( P2 P 1) t
4. 动量定理的应用
例1、质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速
率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率 飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面 内，且它们与板面法线的夹角分别为45o 和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的 平均冲力的大小和方向。 解：取挡板和球为研究对象，由于作用时 间很短，忽略重力影响。选取坐标系，设 挡板对球的冲力为F 则有： y O
大学物理电子教案
2-3 动量 动量守恒定律 2-4 功 动能 动能定理
引言
牛顿第二定律是力的瞬时作用定律。 力持续作用的累积效应使质点的运动状态变化。 力的累积效应反映在两个方面： 1.力的时间累积效应
t2
t1
Fdt
r2
冲量、动量、动量定理、动量守恒定律 2. 力的空间累积效应
r1
F dr
Ix
0.1148
6.54
为 I 与x方向的夹角。
二、质点系的动量定理
1．质点系： 由有相互作用的质点组成的系统。
(以由两个质点组成的质点系为例)
· 内力： f1 = -f2 (内力成对出现)
· 外力： F1、F2 2．质点系的动量定理： 对m1和m2分别应用质点的动量定理： 对m1 初 (F1+f1)dt = p1末 - p1初 对m2
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
Fx 6.1N Fy 0.7N F F F 6.14N
2 x 2 y
I x 0.061Ns
I
2 x 2 y
I y 0.007Ns
2
I I 6.14 10 Ns
Iy
tg
思考： 1.什么力可改变系统的动量? 2.外力只能改变系统的动量吗? 内力 不改 变系 统的 动量
· 用质点系动量定理处理
问题可避开内力， 较为 方便。
演示
三、动量守恒定律
n 如果质点系的合外力为零，即 Fi外 0 则 i 1 n t Fi外 dt p末 p初＝0 p末 p初 p 恒量 t i 1
v2 30o 45o v1 n
v2 30o 45ox v1 n
I F dt mv 2 mv1
I x Fx dt mv 2 cos 30 ( mv 1 ) cos 45 Fx t
I y F y dt mv 2 sin 30 mv 1 sin 45 F y t
末 初 (F2+f2)dt
末
F1 m1 f1 m2 F2 f2
= p2末 - p2初 = p末 - p 初 或 I = P末- P初
· 两式相加有
末 初(F1+F2)dt
系统所受的合外力的冲量等于系统动量的增量！
推广到n个质点有：
t2
t1
n n n Fi外 dt mi vi 2 mi vi1 p末 p初 i 1 i 1 i 1
t1
（1）动量定理由牛顿定律推得，只适用于惯性系 .
（2）动量定理在直角坐标系中的分量式
I x Fx dt mv2 x mv1 x
t
I y F y dt mv2 y mv1 y
t
I z Fz dt mv2 z mv1 z
t
（3）动量定理是过程量冲量和状态量动量的关系:
F
dr
0 90 , dA 0 90 180 , d A 0 90 F dr dA 0
（2）功是过程量，与路径有关。 （3）功和参考系的选择有关。 如图，摩擦力的功 从地面上看： 从m上看： A= - f s A = 0 A f m
故:
v dv vdv
说明： （1）功和动能都与参考系有关，动能定理只适用于 惯性系。 （2）动能定理说明： 功是质点动能变化的量度
过程量
状态量
（3）动能、动量都是表征物体运动状态的重要物 理量。 功 冲量 动能定理 动量定理 反映力的空间累计 反映力的时间累计
小
•冲量 •动量定理 •质点系的动量定理
S 地 面
（4）合力的功 = 分力的功的代数和
A Fi dr Fi dr Ai
i
（ 5） 功的计算
A
B
( L)
A
F d r
F Fx i Fy j Fz k d r dxi dyj dzk
A ＝ Fx dx Fy dy Fz dz
2、功率 (表示作功的快慢)
(1)
(2)
平均功率：
瞬时功率： A dA dr P lim F F v dt dt t 0 t
A P t
dA F dr
瞬时功率等于力与物体速度的点积。 功率的单位 （瓦特） 1W 1J s 1 1kW 103 W
F m
dr
（2）功 如质点沿路径 L由AB， 力F所做的功为
· B
路径L
A
B
A
B
A
B F d r F cos d r
A
( L)
A
F d r
A
F
·
m dr
说明： （1）功是标量，没有方向，但有正负。 例如元功 d A F cos d r
m
•过程量，改变物体机械运动状态的原因。
2、动量
定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量
P mv
•动量是矢量，大小为mv，方向就是速度的方向； •表征了物体的运动状态,是状态量 •单位： kg· m· s-1 牛顿第二定律的另外一种表示方法 dv d dP F ma m ( mv ) dt dt dt
，炮弹出口速度 0 (相对于炮车)，且水平地面光
滑。求：(1)炮车反冲速度V；(2)炮弹出口时，炮车 移动的距离D。
VM对地
M
m l
0
(m对M)
y
分析：
过程：点火炮弹出口
系统： m +M
x
条件：地面坐标系（惯性系）中水平合外力为零水
平分动量守恒
解： (1)取如图坐标 水平分动量守恒式 0 = m x +M(-V) 又 x = 0cos - V 代入守恒式
通过求动量增量获 得冲量的情况。
(4) 求平均冲力 在碰撞打击(宏观)、散射(微观)一类问题中： 力的作用时间很短或力随时间变化很快，无法
知其细节，可通过求动量增量获得冲量，进而获
得作用力—平均冲力的情况。 平均冲力的大小计算如下：
1 t2 F Fdt t t1
点火后 N >(M+m)g
y向合力为零
y向合力不为零
•y向动量不守恒 系统动量不守恒！
[例3]如图，车在光滑水平面上运动。已知m、l、v0， 人逆车运动方向从车头经 t 到达车尾。 求：（1）若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； （2）车的运动路程； （3）若人以变速率运动， 上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M x 动量守恒。 取如图坐标得
结
t2 I ＝ Fdt
t1
I
F dt＝ P
I＝P－P0
n P＝ mi vi 恒 矢 量
i 1
•动量守恒定律
作
业
习题册： 32-42
V=(
VM对地
M
l
m
(m对M)
0
y
x
m ) cos M+m 0
该式中速度均 为相对地面 为何此处不是x =0cos ?
(2)在过程中的任一时刻t都有 m x (t) – M Vx(t)= 0 末 末 两边对 t积分 m初 x(t)dt - M初 Vx(t)dt =0
得 md - MD = 0 将d代入得 m
D=( M+m
) lcos
式中d =lcos-D, 为何不是d =lcos
讨论：系统动量是否守恒？ (1)由结果看 系统初动量为零， 系统末动量不为零，如图 (2)由守恒条件看
VM对地
M
l
m
(m对M)
0
y
x
系统末动量
p末 MV
m弹末
点火前 地面支持力 N =(M+m)g
重力 (M+m)g
mu s vdt (v 0 )dt 0 0 M m m v0 t l M m
t t
o
x
l
v
2-4 功 动能 动能定理
一、功与功率 1、功 功是力和它所作用质点位移的点积。 （1）元功（对微小过程，可当成恒力、直线运动）
d A F d r d A F cos d r
二、质点的动能定理 1、问题：
一质量为m 的物体在合外力F的作用下，
dA F dr dv dr F dr m dr mdv ＝mv dv dt dt
由A点运动到B点，其速度的大小由v1变 成v2。求合外力对物体所作的功与物体动 能之间的关系。
mv dv mvdv
v2 v1
F dr
mv dv
1 2 1 2 A mv2 mv1 2 2
定义：动能Ek= mv2/2 单位：J 量纲：ML2T－2 2、质点的动能定理： 合外力对质点所作的功等 于质点动能的增量。
补充:
r d r ( xi y j zk ) (dxi dy j dzk ) 1 2 2 2 xdx ydy zdz d ( x y z ) 2 1 2 d (r ) rdr 2
若(F )x = 0，则 p末x = p初x，即动量的x方向分量守恒 若 (F )y = 0，则 p末y = p初y，即动量的y方向分量守恒
的作用，近似认为系统的动量是守恒的。像碰撞、打击、
· 用守恒定律作题，注意分析:
过程、系统、条件
动量守恒台球
动量守恒实验
[例2]如图大炮质量M，炮弹质量m，炮筒长l ，仰角
( M m)v0 Mv m(u v )
o
l
v
( M m )v0 Mv m( u v )
该式中速度均 为相对地面
m m l （ 1） v v 0 u v0 Mm Mm t m l m （2） s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm m m v0 u u （ 3） v v 0 Mm M
2 1
1、内容:
2、 说明： （1）动量守恒定律只适用于惯性系。 （2）动量守恒定律是关于自然界一切过程的最基本的 定律之一。 它适用于： 宏观粒子系统；电磁场；微观粒子系统 , 更普遍的动量守恒定律并不依赖牛顿定律。
（3）有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内
力相比较，外力远小于内力，这时可以略去外力对系统 爆炸等这类问题，一般都可以这样来处理。 （4）分动量守恒
功、动能、动能定理、势能、机械能、 功能原理、机械能守恒定律
2-3 动量 动量守恒定律 一、冲量 质点的动量定理
1、冲量（力的作用对时间的积累，矢量） 定义：
t2 I ＝ Fdt
t1
F F
方向：速度变化的方向 单位：N· s
0 t
说明 •冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；
t1
dt
t2
3、动量定理
dP F dt
动量定理的微分形式
Байду номын сангаас
dP Fdt
t2 P2 P1 I＝ Fdt
t1
P2 P1
dP
t2
t1
Fdt
动量定理的积 分形式
a)内容: 物体所受合外力的冲量等于物体的动 量的增量 ——质点动量定
理
b) 说明
t2 P2 P1 I＝ Fdt
1 ( P2 P 1) t
4. 动量定理的应用
例1、质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速
率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率 飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面 内，且它们与板面法线的夹角分别为45o 和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的 平均冲力的大小和方向。 解：取挡板和球为研究对象，由于作用时 间很短，忽略重力影响。选取坐标系，设 挡板对球的冲力为F 则有： y O
大学物理电子教案
2-3 动量 动量守恒定律 2-4 功 动能 动能定理
引言
牛顿第二定律是力的瞬时作用定律。 力持续作用的累积效应使质点的运动状态变化。 力的累积效应反映在两个方面： 1.力的时间累积效应
t2
t1
Fdt
r2
冲量、动量、动量定理、动量守恒定律 2. 力的空间累积效应
r1
F dr
Ix
0.1148
6.54
为 I 与x方向的夹角。
二、质点系的动量定理
1．质点系： 由有相互作用的质点组成的系统。
(以由两个质点组成的质点系为例)
· 内力： f1 = -f2 (内力成对出现)
· 外力： F1、F2 2．质点系的动量定理： 对m1和m2分别应用质点的动量定理： 对m1 初 (F1+f1)dt = p1末 - p1初 对m2
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
Fx 6.1N Fy 0.7N F F F 6.14N
2 x 2 y
I x 0.061Ns
I
2 x 2 y
I y 0.007Ns
2
I I 6.14 10 Ns
Iy
tg
思考： 1.什么力可改变系统的动量? 2.外力只能改变系统的动量吗? 内力 不改 变系 统的 动量
· 用质点系动量定理处理
问题可避开内力， 较为 方便。
演示
三、动量守恒定律
n 如果质点系的合外力为零，即 Fi外 0 则 i 1 n t Fi外 dt p末 p初＝0 p末 p初 p 恒量 t i 1
v2 30o 45o v1 n
v2 30o 45ox v1 n
I F dt mv 2 mv1
I x Fx dt mv 2 cos 30 ( mv 1 ) cos 45 Fx t
I y F y dt mv 2 sin 30 mv 1 sin 45 F y t
末 初 (F2+f2)dt
末
F1 m1 f1 m2 F2 f2
= p2末 - p2初 = p末 - p 初 或 I = P末- P初
· 两式相加有
末 初(F1+F2)dt
系统所受的合外力的冲量等于系统动量的增量！
推广到n个质点有：
t2
t1
n n n Fi外 dt mi vi 2 mi vi1 p末 p初 i 1 i 1 i 1
t1
（1）动量定理由牛顿定律推得，只适用于惯性系 .
（2）动量定理在直角坐标系中的分量式
I x Fx dt mv2 x mv1 x
t
I y F y dt mv2 y mv1 y
t
I z Fz dt mv2 z mv1 z
t
（3）动量定理是过程量冲量和状态量动量的关系:
F
dr
0 90 , dA 0 90 180 , d A 0 90 F dr dA 0
（2）功是过程量，与路径有关。 （3）功和参考系的选择有关。 如图，摩擦力的功 从地面上看： 从m上看： A= - f s A = 0 A f m
故:
v dv vdv
说明： （1）功和动能都与参考系有关，动能定理只适用于 惯性系。 （2）动能定理说明： 功是质点动能变化的量度
过程量
状态量
（3）动能、动量都是表征物体运动状态的重要物 理量。 功 冲量 动能定理 动量定理 反映力的空间累计 反映力的时间累计
小
•冲量 •动量定理 •质点系的动量定理
S 地 面
（4）合力的功 = 分力的功的代数和
A Fi dr Fi dr Ai
i
（ 5） 功的计算
A
B
( L)
A
F d r
F Fx i Fy j Fz k d r dxi dyj dzk
A ＝ Fx dx Fy dy Fz dz
2、功率 (表示作功的快慢)
(1)
(2)
平均功率：
瞬时功率： A dA dr P lim F F v dt dt t 0 t
A P t
dA F dr
瞬时功率等于力与物体速度的点积。 功率的单位 （瓦特） 1W 1J s 1 1kW 103 W
F m
dr
（2）功 如质点沿路径 L由AB， 力F所做的功为
· B
路径L
A
B
A
B
A
B F d r F cos d r
A
( L)
A
F d r
A
F
·
m dr
说明： （1）功是标量，没有方向，但有正负。 例如元功 d A F cos d r
m
•过程量，改变物体机械运动状态的原因。
2、动量
定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量
P mv
•动量是矢量，大小为mv，方向就是速度的方向； •表征了物体的运动状态,是状态量 •单位： kg· m· s-1 牛顿第二定律的另外一种表示方法 dv d dP F ma m ( mv ) dt dt dt
，炮弹出口速度 0 (相对于炮车)，且水平地面光
滑。求：(1)炮车反冲速度V；(2)炮弹出口时，炮车 移动的距离D。
VM对地
M
m l
0
(m对M)
y
分析：
过程：点火炮弹出口
系统： m +M
x
条件：地面坐标系（惯性系）中水平合外力为零水
平分动量守恒
解： (1)取如图坐标 水平分动量守恒式 0 = m x +M(-V) 又 x = 0cos - V 代入守恒式