悬臂梁 弹性力学

《弹性理论及其工程应用》课程三级项目说明书

学生姓名：李志鹏

专业班级： 10级工设一班

指导教师：周庆田

得分：

一、设计任务

使用matlab 软件对端部受集中载荷的悬臂梁进行数值分析

具体内容

1. 对悬臂梁进行应力及位移分析，并以云图形式给出结果。

2. 由图形结果确定梁最易折断部分。

1.首先讨论梁内应力分布。 其边界条件为: (σx )0x ==0; (τxy )h ±=y =0; (σy )h ±=y =0;

F= -⎰

+-h

h

dy xy τ

σx =

2

f

2y ∂∂ϕ=

xy c 1 (a) (f ϕ为应力函数）

双调和方程为：4

4x

f ∂∂ϕ+

2 2

2

4y

x f ∂∂∂ϕ+

4

4y f

∂∂ϕ=0 （b ）

通过对（a ）、（b ）两式积分可得：

)(2)(673622

2c y c x c y c x

f y +++=∂∂=

ϕσ （c ）

4322212232

1c x c x c y c y x f

xy ----=∂∂∂-=ϕτ （d ）

2.系数的确定

由上述边界条件及（c ）、（d ）可得： 07632

====c c c c ;

2

14

21h c c -= ; I

F

h F c -=-=3123δ ( 3

3

2h I δ=为截面对中性轴的截面二次矩【惯性矩】)

至此，所有常数均已求出，于是可得应力场：

I

Fxy x -

=σ

0=y σ

)(222

y h I

F xy

--=τ

3.然后讨论梁内位移分布

（1）应用应变位移关系及胡克定律，由应力场方程可得出：

)](2[)1(222x y h I

F E

G x v

y u EI

Fxy E y v

EI

Fxy

E x u xy xy y y x --+===∂∂+∂∂=-==∂∂-===∂∂ντγννσεσε

通过对上式积分得到位移表达式：

2

12

322

132)1(62)2(62C x C EI

Fxh EI Fx EI Fxy v C y C y EI F EI y Fx u +-+-+=++++-=ννν（p ）

常数321C C C ，，由阻止梁在Oxy 面内作刚体运动所必需的三个约束条件连确定，如在固定端（0,==y l x

处） 有：

00===∂∂v u y u } （q ）

代入式（p ）求得：

EI

Flh EI Fl C C EI Fl C )1(3,0,2233221ν++===

于是可得梁的位移场方程：

)]

)(1()(2

36[6)2()(222

233322x l h l y x l x EI F v EI Fy y x l EI F u -++-++=++

-=ννν在固定端)(l x =，由位移场方程可得：

GI

Fh EI Fh x v h y EI F x v EI

ly F v y l x l x l x 2)1()()]1(2[)(2220222

-=+-=∂∂+-=∂∂=

====νννν）（ 梁轴的竖向位移为：

)()

1(326)(23220

x l EI

Fh EI Fl EI x Fl EI Fx v y -+++-==ν 而端部挠度为：

GI

l Fh EI Fl EI l Fh EI Fl v y x 23)1(3)(23230

+=++===ν 上式等号右边的第一项，是我们熟悉的材料力学中所得

到的悬臂梁端部挠度的结果。第二项显然是切力对挠度的影响。而这部分与弯曲的影响之比为

2

22

232)2()2)(1(43233/2/l

h l h G l E h EI Fl GI l Fh ≈+==ν 所以当2h<

时，梁的挠度主要由于弯曲所引起的。由

此可见，材料力学中所得到的结果，对于细而长的梁是足够精确的。

二、设计过程（流程，代码）

1.流程

（1）确定悬臂梁各项参数

E=2.01e5 弹性模量,MPa v=0.3 泊松比 delta=10 梁厚度, mm h=15 梁半高, mm length=500 梁的跨度, mm F=30 集中载荷,N

I=2/3*delta*h^3; %截面惯性矩

（2）根据弹性力学公式编写代码

2.代码

clc

clear

disp('梁弹性平面弯曲场变量可视化')

E=2.01e5 %弹性模量,MPa

v=0.3 %泊松比

delta=10 %梁厚度, mm

h= 0.5 %梁半高, dm

length=10 %梁的跨度, dm

F=30 %集中载荷,N

I=2/3*delta*h^3; %截面惯性矩

Nx=10;Ny=20; %横纵方向离散数量

for i=1:Nx+1

x=0+length/Nx*(i-1); %横向离散

for j=1:Ny+1

y=-h+2*h/Ny*(j-1); %纵向离散

T(i,j)=-F*(h^2-y^2)/(2*I); %计算切应力

fx(i,j)=-F*x*y/I; %计算x方向应力

ux(i,j)=F/(E*I)*(length^2-x^2)+(2+v)*F*y^3/(6*E*I); %计算位移ux