16.3.2 二次根式的加减乘除混合运算
16.3.2二次根式的加减乘除混合运算
50) 6
(2 7 5 2) 6
2 76 5 26 2 42 5 12 (2) (2 6 7 2 ) (7 2 2 6 )
(7 2） （2 6 )
2
2
=98-24 =74
拓展提高
解:(3) (3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
学习难点
1.理解有理化因式的含义,并能运用它进 行二次根式的有理化及化简二次根式. 2.灵活运用二次根式的加减乘除运算法 则化简二次根式并解决相关问题．
知识回顾
一.二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘除运算法则是什么?
a b ab （a 0, b 0）
a a （a 0, b 0） b b
2) ( 3 2)] 2) ( 3 2)]
2 32 2 4 6
拓展提高
七.二次根式的混合运算
(1)( 48 50) 6
(2)(2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
拓展提高
解:(1) ( 48
(2)在进行二次根式的乘除运算时,需要注意什么? 运算结果要:化成最简形式.
知识回顾
二.二次根式的加减法
(1)二次根式的加减运算法则是什么?
a c b c (a b) c
(2)二次根式的加减运算法则的依据是什么? 加减法则的依据是:乘法分配律.
探索学习
三.教你解题:
例1.计算:
(1) ( 7
x y x y
含有二次根式
x y
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二 次根式的非零代数式互为有理化因式.
16.3.2 二次根式的混合运算1
(1) 2 3 (2)2 3 (3) a 1
(4) x2 1
(5) 3 (6)5 2 3 5
一. 分母有理化常规基本法
练习 1 1 2 3 2 2 1 3 1
二.分解约简法
化简 x y (m n) x y
练习
x 2 xy y
x y
x y x y
例题3 如图,在面积为 的2a正方形
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二 次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x 互y为有理化因式.
再见
复习
计算
1 3 40 2 2 0.1;
5
2 2 9x 6 x 2x 1;
3
例2、计算
(1)(3 2 4 5)2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
例题4 解下列方程和不等式:
1 3 2 6x 2 2;
2 5x 6 3 3 5x.
16.3.2二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y
x y 的有理化因式是 x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
(1) 2 3 (2)2 3 (3) a 1 (4) x2 1 (5) 27 (6)5 2 3 5
1 10 4 ;
5 51
先将每一项 分母有理化.
2
人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
16.3《二次根式的加减》教案
-难点解析：学生需要学会从复杂的实际问题中抽象出二次根式，然后进行加减运算；
d.理解二次根式加减运算的顺序，避免计算错误；
-难点解析：学生在计算过程中可能会忽略运算顺序，导致最终结果错误；
e.熟练运用二次根式的加减法则，解决混合运算问题；
-难点解析：混合运算涉及多个步骤，学生需要清晰掌握每一步的运算规则。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调合并同类二次根式和二次根式加减的顺序这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题，如计算不同形状的面积或体积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过剪纸或模型来演示二次根式的基本原理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的加减》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算不规则形状的面积或体积的情况？”（如计算花园的面积、不规则玻璃的面积等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式加减的奥秘。
1.加强课堂引导，确保教学内容与实际应用紧密结合；
2.注重学生个体差异，提高课堂教学的针对性；
3.创设更多互动环节，激发学生的学习兴趣和积极性；
4.加强课后辅导，帮助学生巩固所学知识。
4.学生小组讨论中，我发现大部分学生能够积极参与，勇于表达自己的观点。但也有部分学生显得较为沉默，可能是因为他们对这个话题不够熟悉或者缺乏自信。在今后的教学中，我要关注这部分学生，鼓励他们多发言，增强他们的自信心。
16.3.2二次根式混合运算
（ A ）．
20
20
3 - 30
A．
B．
3 -3 30
3
3
2
2
3
3
C．3 30 D．2 30 3
3
练习2 计算：
（1） −2 7（ 7 − 1）
（2） ൫ 80 + 40) ÷ 5;
思考一分钟后找多个学友回答，其他学友补充
三、分层提高
环节一师友训练（10′）
练习3
（7 2 + 2 6）（
2 6 -7 2）；
= + −
2
2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(2 2) 2
8.
2
=( 3+ 2+ 3
− 2)
=4 6
2
( 3 + 2 − 3 + 2)
五、巩固反馈
环节二教师评价（1′）
大家评一评：这节课
谁是最佳师友！
• 作业设计
必做：教科书第15页第4，6，7题；
选做：教科书第15页第8，9题．
现，师生互动的学习方式，并在学习中渗透观察、类比归纳
的数学学习思想。
15.1.1
二次根式的混合运算
一、交流预习
环节一教师提问（2′）
计算下列各题，并注明每个步骤的依据：
1
（1） 3 48 - 9 + 3 12 ；（2）
（ 48 + 20）-（ 12 - 5）
3
1
3 48 -9 +3 12 =12 3 -3 3 +6 3 =15 3
第二步的依据是：二次根式化简，合并被
开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；
16.3.2 二次根式的混合运算-人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册16.3.2 二次根式的混合运算同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．计算：（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将括号内化为最简二次根式，合并，再计算除法即可．【详解】故选B．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．3．化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分子分母同时乘以即可求解．【详解】解：．故选B．【点睛】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．4．估计的值在（ ）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【答案】B【分析】先根据二次根式的混合计算法则计算原式，然后对所得的结果进行估算即可得到答案．【详解】解：，∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，正确根据二次根式的相关计算法则求出原式的结果是解题的关键．5．与的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．以上都不对【答案】A【分析】根据与的积为1，可得出与互为倒数，再选择即可．【详解】解：，与互为倒数，【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题时要注意观察式子的形式，灵活借助平方差公式进行运算．6．已知，，则的值为（）A．-32B．32C．D．【答案】C【分析】直接将原式变形，结合因式分解、二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．【详解】解：∵，，∴＝ab（a﹣b）＝（4+2）（4﹣2）（4+24+2）＝（16﹣20）×4＝﹣16．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用因式分解是解题关键．7．计算：的结果是（）A．B．6C．D．【答案】C【分析】利用平方差公式及积的乘方的法则对式子进行运算，从而可求解．【详解】解：=====【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．二、填空题：8．计算：＝_____．【答案】【分析】利用二次根式的乘法法则和加减运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．9．计算：______．【答案】##【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及二次根式的混合运算法则．10．化简：_____．【答案】【分析】先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简．【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键．11．比较大小_____．【分析】利用作差法进行比较即可，如a-b＞0，则a＞b．【详解】解：作差法可得：，∵与0的大小并不能直接观察得出，∴利用平方法比较与的大小，∵，又∵，∴，则，∴即＜0，∴，得出：，故答案为：．【点睛】本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．12．已知，，则的值为_________．【答案】【分析】先把二次根式进行化简，然后把，，代入计算，即可得到答案.【详解】解：=，∵，，∴原式=；故答案为：.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.13．已知，，则ab＝_____；a2+b2＝_____．【答案】 1 14【分析】先求出a+b、ab，再利用平方差公式、完全平方公式计算即可．【详解】解：∵，，∴a+b＝2+2﹣＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1．∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2＝14．故答案为：1，14．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．三、解答题：14．计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．……第一步……第二步……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】一；运用完全平方公式错误，去括号错误；；注意二次根式的化简要彻底（答案不唯一，合理即可）【分析】直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：任务一：根据题意可得第一步错误，错误的原因是运用完全平方公式错误，去括号错误；故答案为：一；运用完全平方公式错误，去括号错误；任务二：；任务三：除上述错误外，二次根式的化简要彻底．【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．15．计算：(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（2）首先利用平方差公式以及完全平方公式化简求出即可；（3）首先运算乘法和化简，以及进行零次幂的运算，最后再进行合并，即可求解；（4）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（5）首先绝对值运算，负指数幂运算，利用平方差公式进行化简，再进行合并，即可求解；（6）首先运算乘法和化简，再进行合并，最后进行除法运算，即可求解．【详解】（1）解：原式==；（2）解：原式==；（3）解：原式===；（4）解：原式===；（5）解：原式====；（6）解：原式===．【点睛】此题考查实数的运算，二次根式的混合运算，负指数幂、零次幂的运算，正确应用乘法公式是解题关键．16．先化简．再求代数式的值，其中【答案】，【分析】先运用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把x的值代入计算即可求解．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查分式化简求值，二次根式化简，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．17．已知，求的值．【答案】【分析】先化简，然后计算的值，再根据完全平方公式变形求得代数式的值．【详解】解：∵∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．已知，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意xy=3，分两种情况讨论，当x和y都大于0时，当x和y都小于0时，然后分别化简计算即可.【详解】解：当x＞0，y＞0时，=2=；当x＜0，y＜0时，=-2=-；综上所述本题答案应为：C.【点睛】二次根式的化简求值是本题的考点，分类讨论是解题的关键.2．对于任意的正数m，n定义运算※为：，计算的结果为（ ）A．2﹣4B．3C．2D．20【答案】B【分析】根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．3．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】欲求S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH=HC2=16cm2，SLMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，进而解决此题．正方形【详解】解：如图：由题意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，∴HC=4cm，LM=LF=cm．∴S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF=HL•LF+MC•ME=HL•LF+MC•LF=（HL+MC）•LF=（HC-LM）•LF==cm2．故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．二、填空题：4．设实数的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝_____．【答案】##【分析】根据题意先估算的大小，求得的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：∵实数的整数部分为a，小数部分为b，，∴；（2a+b）（2a﹣b）＝．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，平方差公式，求得的值是解题的关键．5．观察下列三个等式：①；②；③；针对上述各等式反映的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式________________．【答案】【分析】利用数字之间的变化规律：，，…进而得出等式的规律，求解即可．【详解】解：可化为：，可化为：，可化为：，∴用n（n为正整数且n≥2）表示以上各等式所反映的规律为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数字变化的规律性问题，分式的规律性问题，二次根式的应用等知识，根据已知数据得出数字之间的关系是解题的关键．三、解答题：6．（1）在边长为cm的正方形的一角剪去一个边长为cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根据小明的思路求图1中阴影部分的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据阴影部分面积=边长为的正方形面积-边长为的正方形面积求解即可；（2）分别求出图2中长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式求解即可．【详解】解：（1）由题意得；（2）由题意得，图2中长方形的长为：，图2中长方形的宽为：，∴；【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，完全平方公式和平方差公式，正确得到阴影部分的面积与图1与图2中图形的关系是解题的关键．7．比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．【详解】解：（1），，∴＞，，，∴＞，，，∴=，故答案为：＞，＞，=；（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．8．已知且，求的值．【答案】【分析】根据完全平方公式可得，然后由题意及平方差公式可进行求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式及因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键．。
16.3.2二次根式的混合运算_课件.ppt
2.计算：
1
2 3 1
2
2 3 2 2 3
3 1
3 1
3 1
2 3 2 3 2 3 2 3
6 2 2
2 3 1
2
44 3 3
74 3
提高题
比较根式的大小.要求不用计算器计算。
6 14和 7 13
2
3 2
2
5 2 6 1 5 2 6 9
想一想：还有其他方法吗？
已知a 3 2 , b 3 2， 求a ab b 的值.
2 2
解二：a ab b
2 2
2 2
a 2ab b ab 2 (a b) ab
3 2 3 2 3 2 3 2
练习：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2） （ 3 3 3）
2 2 3
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
2
1
25 30 3 18 43 30 3
2 1 如何计算 ? 2 1
从例4的第（1）小题的 结果受到启发，把分子 与分母都乘以 ( 2 1) 就可以使分母变成1
2 1 ( 2 1)( 2 1) 2 1 ( 2 1)( 2 1)
人教版八年级下册16.3《二次根式的加减》课件(共33张PPT)
合作探究
问题2
形成知识
怎样计算
8 + 18
？
如果看不出 化，先看算式 3
3 2-
8 + 18 22
能否化简，我们不妨把问题简
能否化简．
2
2 =（ 3 - 1 ） 2 = 2
用分配 律合并
整式 加减
你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？ 将同类二次根式用分配律合并．
合作探究
算式
形成知识
8 + 1 8 与算式 3 22
合作探究 形成知识
例1
（ （ 1）
计算：
8+ 3）
8+ 48 +
6 ；
3） 18 = 4
（4 （ 2）
6 = 8
2 -3
6 +
6） 2
3 6
2 ．
解： （ 1） （
=
3+3
2；
思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 第二步的依据是：二次根式乘法法则； 第三步的依据是：二次根式化简．
（ 48 +
2 0 ）（ 12 -
5 ）= 4
3+2
5-2
3+
5 =2
3 +3 5
化成最简 二次根式
合并被开方 数相同的二 次根式
自主学习 复习引入
思考：二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
的结果是
B．
20 3
330 2 3
30 3
3 C．
16.3.2二次根式的混合运算
拓展：比较两个二次根式的大小采用的方法 方法一：利用作差法
2 1与 3 - 2
方法二：利用作商法
a 1 a 2 与 a 2 a 3
方法三：利用平方法
5 13与 7 11
方法四：利用分母有理化法
1 1 与 6 2 8 6
方法五：利用倒数法
2016 2015 与 2015 2014
(3)(2 x 4)( x 3)
(4)(a b b a ) (a b b a )
2 2
练习： 1.计算。
2.计算。
9 3 6 0 2 18 ( 3 2) (1 2 ) 2 3来自练习： 3.已知 a
1 ,b 5 2
2
1 ， 5 2
求
a b 7 的值。
探究一 二次根式的混合运算
二次根式混合运算顺序与整式混合运算一样： 先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算 括号里面的（或先去括号）。 在二次根式的运算中，有理数的运算律、多 项式乘法法则及乘法公式仍然适用。
例1 计算。
(1)( 48 50) 6
(2)(2 6 7 2 )(7 2 2 6 )
方法六：特殊值法
1 2 用“”连接 x, , x , x (0 x 1) x
方法七：定义法
比较 5 - a与 a - 6的大小。
3
2
4.已知 x 3 2, y 3 2 ， 求 x y xy 。
3 3
1 2 2 5.已知 a ，求 1 2a a a 2a 1 2 3 2 a 1 a a
的值。
6.计算（换元法）。
n2 n 4
2
n2 n 4
2
n2 n 4
2
n2 m 4
16.3.2二次根式的混合运算
16.3 二次根式的混合运算教学设计案例一、.教学目标【知识与技能】含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.二、教学重难点【教学重点】二次根式的乘除、乘方等运算规律；【教学难点】由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．三、教学方法引导发现法；类比法；尝试训练法四、教学过程设计（一）、创设情境、导入新课1.下列计算哪些正确，哪些不正确？325+=a b a b +=a b a b -=-()a a b a a b a+=+2.要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？（化为最简二次根式后，被开方数相同）(1)说出与 能合并的三个二次根式.(2)试举出一组能合并的二次根式. （板书课题16.3 二次根式的混合运算） （二）学习目标1.会进行二次根式的加减和简单的混合运算.2.能将结果写成最简二次根式的形式.3.能将整式运算的乘法公式（运算律）灵活应用于二次根式的运算中，从而简化解题步骤.（三）自学指导 1.计算： （1.注意运算顺序 2.运用运算律 ） 解：（整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适用.） 2.计算： （观察题目的特点是否能应用乘法公式）1132032a a a a -=-=523)2748)(3(63383)2(26327)1(÷-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-3)2748)(3(63383)2(26327)1(÷-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-3)2748)(3(63383)2(26327)1(÷-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-633683)2(⨯-⨯=原式3633-=333)63(-=-=223327)1(⨯⨯-=原式633683⨯-⨯=2923-=327348)3(÷-÷=原式327348÷-÷=134=-=)23(231-+））（（25232））（（+解：（整式运算的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.）（四）合作探究 展示评价1.完成p 14练习2.计算： 解：（1）原式 （2）原式 （五）总结归纳 整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适用.整式运算的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.（六）综合运用 拓展提升1.计算：（1） （2） 解：2.比较二次根式 的大小.解：22132=-（）原式（）（）123=-=225252323)2(）（原式+⨯⨯+=205129++=51229+=()()()122333322-+()()()222322-+()()222233=-82719=-=-642324=+--22=+513)151(3--2(3552)-55531533)1(⨯-⨯-=原式5535)3(32-⨯-=55183553533-=--=22252553253)2(）（）（原式+⨯⨯-=50103045+-=103095-=137146++和2(614)20284+=+ ，2(713)20291+=+，61407130+>+>，，（七）达标检测2.下列计算正确的是（ ） A. C 224=- D 2(3)3-=-（八）、总结反思1.会进行二次根式的加减和简单的混合运算，并能将结果写成（ 最简二次根式 ）的形式.2.会将整式运算的（ 乘法公式 ）灵活应用于二次根式的运算中.（十）、布置作业：教科书习题16.3第3，4，6题．五、板书16.3 二次根式的混合运算1、二次根式的加减和简单的混合运算顺序2、注意结果保留最简二次根式的形式.六、教学反思2028420291+<+，614713.∴+<+ 1.下列计算正确的是（ ） 2222A.1081081082-=-=-=()()()()()()222B.2322324322C.333D.565611+-=-⨯=-+⨯-=-+=+=a b a b a b 10220=B.632=⨯。
人教版数学八年级下册第十六章16.3.2二次根式的混合运算课件
二次根式的乘法法则是什么？
＋二次根＝式的混合运算顺序＝与实x数y类[(似x，＋即先y乘)方2－， 2xy]
将所求对称式进行适当变形，使之成为只含有x＋y，
＝1×[(2 3 ) －2×1]＝10. (2)(中考·包头)计算：
－ ＋( －1)0＝2
同学们，今天这节课，我们就一起来学习关于二次根式的混合运算的相关知识。
号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，
则 x 不可能是( C )
A. 3＋1
B. 3－1
C. 2 3
D. 1－ 3
【点拨】A.( 3＋1)－( 3＋1)＝0，故本选项不合题意；B.( 3＋
1)×( 3－1)＝2，故本选项不合题意；C.( 3＋1)与 2 3无论是相 加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
C. 6 到 7 之间
D. 7 到 8 之间
5. (2020·荆门)下列等式中成立的是( D )
A. (－3x2y)3＝－9x6y3
B. x2＝x＋2 12－x－2 12
C.
2÷
1＋ 2
13＝2＋
6
D. （x＋1）1（x＋2）＝x＋1 1－x＋1 2
6. 计算：
(1)(2019·泰州) 8－
1 2×
人教版数学八年级下册
第十六章
16.3.2 二次根式的混合运算
复习旧知
1.二次根式的乘法法则是什么？ 2.二次根式的除法法则是什么？ 3.怎样进行二次根式的加减运算？
导入新知
同学们，今天这节课，我们就一 起来学习关于二次根式的混合运算的 相关知识。
二次根式的混合运算
学习目标
1.含有二次根式的式子实行乘除运算和含有二 次根式的多项式乘法公式的应用．
新人教版初二下册数学 16.3二次根式的加减 教学课件PPT
解：(1)原式 =[（2 2 3）（2 2+3）]2018
=（ 1）2018
(2)原式 （[ 2 -
3）（2
3）]2017 （2
3）2
2
3 2
12017 （7+4 3） 3
巩固练习
3. 计算：
（1）（2 2 -1）2 （2）（ 2 - 3）（ 5 7）（ 2 3）
6.如果最简二次根式 3a与 8 可以17合并2a，那么要使式子
有意义，求4ax的2取x 值范围.
xa
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴ 4a 2x 20 2x ,
xa
x5
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
课堂检测
能力提升题
已知a,b,c满足 a
a
a
aa
a
a
a
由上图，易得2a+3a=5a.
a
aa 你发现 了什么？
当a= 2 时，分别代入左右得 2 2 3 2=5 2 ;
当a= 3 时，分别代入左右得 2 3 3 3=5 3 ;......
探究新知
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被 开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
16.3二次根式的加减
二次根式的加减运算
导入新知
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能 根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
2
23
25
3 2
3 2 2 7 5
47
探究新知
知识点 1 二次根式可以合并的条件 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.
16.3.2二次根式的混合运算
问题解决
情感态度
教学
重、难点
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教具
电子白板
教学过程
（一）复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是：
（2）二次根式的乘除法法则是：
（3）二次根式的加减法法则是：
（4）写出已经学过的乘法公式：
2、计算：
（1） · · （2）
（3） (答案： ；2；3 - )
教师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．同时也对二次根式的四则运算进行了回顾。
（二）自主学习、合作探究
1、探究计算：
（1）（ ）× （2） （答案：4 +3 ；2- ）
举例：（x+y）Z=
教师引导分析：如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
（六）课堂小结
1、本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等混合运算
2、运算中要养成先观察，分析，在选择合适的方法进行计算。
作业
布置
推荐作业：P15习题：4案
总课时
本单元课时
主备人
复备人
课题
16.3.2二次根式的混合运算
课型
新授
授课时间
教学目标
知识技能
1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用。
2、体会复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算。
3、通过学习，让学生积极参与到对知识的分析和学习中，并体会成功的学习乐趣。
2、计算：
（1） （2） （答案：4+18 ；-4 ）
人教版八年级下册16.3.2二次根式的加减乘数混合运算(教案)
举例：
（1）重点讲解$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$和$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$的运算规律，通过具体例题使学生熟练掌握；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对二次根式混合运算的概念和运算顺序掌握得还不错，但在具体的运算过程中，尤其是化简二次根式时，还存在一些问题。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重对难点知识的讲解和练习。
在讲授新课的时候，我尽量用生动的例子和实际问题来引导学生，希望他们能够感受到二次根式混合运算在实际生活中的应用。从同学们的反应来看，这种方法还是比较有效的，他们能够积极参与课堂讨论，提出自己的看法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调混合运算的顺序和化简二次根式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式混合运算相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量和计算，演示二次根式混合运算在解决几何问题中的应用。
4.举例说明二次根式混合运算在生活中的应用。
教学内容涵盖以下例题：
（1）计算：$\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{12} \times \sqrt{2}$；
（2）计算：$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{8}}$；
然而，在讲解重点难点时，我发现有些同学对于如何化简二次根式还是感到困惑。比如，在计算$\sqrt{45} \div \sqrt{5}$时，部分同学不知道如何将分子和分母的平方根进行简化。这时，我及时调整了教学策略，通过举例和逐步引导，帮助他们理解了化简的方法。这也提醒我，在今后的教学中，要更加关注学生的接受程度，及时调整教学方法和节奏。
2019秋版数学八年级下册.16.3.第2课时.二次根式的混合运算..2
第2课时 二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点) 一、情境导入 如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？ 二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3. 解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算： (1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为()A．2－46B．2C．25 D．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1；第2个数，当n＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
人教版八年级下册 16.3.2 二次根式的混合运算 同步练习题(无答案)
16.3.2二次根式的混合运算课前预习:1.二次根式的混合运算与整式的混合运算一样，也是先算，再算，最后算加减，有括号应先算。
2. 在二次根式运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用，即()m a b c++=。
()()a b c d++=，()()a b a b+-=，()2a b±=。
课堂演练:1.下列运算正确的是( )A3= B.1=-C.2= D.=2.下列计算正确的是( )A．(55252319-+=-⨯=B.2225=+=C.((225=-=D. (1=3.计算( )A．6 B.C. 30D.4.计算=,2=。
5.已知2222a b a b ab=+=+=则。
6.计算:（1（2）(7.2132-⎛⎫--+⎪⎝⎭=。
81=。
9.如果()22,a a b+=+为有理数，那么a+b=。
10.已知2,2,a b==11=。
12.计算=。
13.的运算结果在整数和之间。
课后练习:14.计算:（1(；（2）(2÷15.1.732,⎛≈⎝求16.先化简再求值:2,1 11a aa aa a⎛⎫+÷=⎪--⎝⎭其中17已知221,1,(1);(2)a b ab a b==-求.23.已知221221a aaa a a-+=---求24.已知xy>0，化简二次根式的正确结果=。
25.计算:)(20120244⋅=。
26.当3x=则代数式268x x-+=。
27.化简二次根式:=。
28．已知.1122x yx y==+求的值。
29.2,=30先化简再求值:22214, 1.2442a a aaa a a a a---⎛⎫-÷=⎪++++⎝⎭其中。
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(2)(4x2－2xy)÷(－2xy)；
(3)(3a＋2b)(3a－2b)； (4)(2x＋1)2＋(2x－1)2. 二、新课教授 由于整式运算中的 x，y，a，b是字母，它的意义十分广泛 ，可 以代表一切，当然也可以代表二次根式 ，因此整式中的运算规律 也适用于二次根式，下2】计算： (1)( 2＋3)( 2－5)； (2)( 5＋ 3)( 5－ 3)； (3)( 3－ 2)2. 分析：第(1)题可类比多项式乘以多项式法则来计算，第(2)题把 5当作 a， 3当作 b，就可以类比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，第(3)题可类比(a－b)2＝a2－2ab＋ b2 来计算． 解：(1)( 2＋3)( 2－5)＝( 2)2＋3 2－5 2－15＝2＋3 2－5 2－15 ＝－13－2 2； (2)( 5＋ 3)( 5－ 3)＝( 5)2－( 3)2＝5－3＝2； (3)( 3－ 2)2＝( 3)2－2× 3× 2＋( 2)2＝5－2 6.
16.3
二次根式的加减
第2课时 二次根式的加减乘除混合运算
含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的 多项式乘法公式的应用．
重点 二次根式的加减乘除混合运算． 难点 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
一、复习导入
(学生活动)：请同学们完成下列各题．
计算： (1)(3x2＋2x＋2)·4x；
2．例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用．
三、巩固练习 教材第 14 页练习第 1，2 题． 【答案】第 1 题：(1) 6＋ 10；(2)4＋2 2；(3)11＋5 5；(4)4. 第 2 题：(1)9；(2)a－b；(3)7＋4 3；(4)22－4 10.
四、课堂小结
本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的乘除、乘方等运 算．
1．情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二 次根式算式的运算，培养学生继续探究的兴趣．
【例 1】计算： (1)( 8＋ 3)× 6； (2)(4 2－3 6)÷ 2 2. 分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以可直接用整式的运 算规律． 解：(1)( 8＋ 3)× 6＝ 8× 6＋ 3× 6 ＝ 48＋ 18＝4 3＋3 2； (2)(4 2－3 6)÷ 2 2 3 ＝4 2÷ 2 2－3 6÷ 2 2＝2－2 3.