专题三 第2讲 数形结合思想
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因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝ 6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a， 所以|F2P|＝ 2a＝b，所以 c＝ a2＋b2＝ 3a， 所以 e＝ac＝ 3.故选 C. [答案] (1)B (2)C
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技法点拨
1．在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使 数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代 数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方 便．
焦点，O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足
为 P.若|PF1|＝ 6|OP|，则 C 的离心率为
()
A. 5
B．2
C. 3
D. 2
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[解析] (1)法一：如图，记点 A(0，－1)，
直线 y＝k(x＋1)恒过点 B(－1，0)，当 AB 垂直
于直线 y＝k(x＋1)时，点 A(0，－1)到直线 y＝
线，若两条切线的夹角是 60°，则点 P 的坐标是________． 解析：如图，由题意可知∠APB＝60°， 由切线性质可知∠OPB＝30°.在 Rt△ OBP 中，OP＝2OB＝2，又点 P 在直 线 x＋y－2 2＝0 上，所以不妨设点 P(x ， 2 2 － x) ， 则 OP ＝
x2＋（2 2－x）2＝2，即 x2＋(2 2－x)2＝4，整理得 x2 －2 2x＋2＝0，所以 x＝ 2，即点 P 的坐标为( 2， 2)． 答案：( 2， 2)
()
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[解析] 由 g(x)＝f(x)－|kx2－2x|＝0，得 f(x)＝|kx2－2x|， 易知 0 是函数 g(x)的 1 个零点．当 x≠0 时，方程可化为|kx－ 2|＝x12，，xx＜＞00.，由题意知该方程有 3 个不相等的实根．设 t(x) ＝x12，，xx＜＞00.，h(x)＝|kx－2|(x≠0)，则函数 t(x)的图象与函数 h(x)的图象有 3 个交点．当 k＜0 时，h(x)与 t(x)的图象如图(1)， 此时两函数图象有 3 个交点，符合题意；当 k＞0 时，h(x)与 t(x) 的图象如图(2)，当 h(x)＝|kx－2|的图象与 y＝x2 的图象相切时， k＝2 2，所以当 k＞2 2时，h(x)的图象与 t(x)的图象有 3 个交 点．综上所述，k＜0 或 k＞2 2.故选 D.
＝ 1＋k22＋k 1＝
1＋k＋2 1k，要使 d 最大，需 k>0 且 k＋1k最
小，∴当 k＝1 时，dmax＝ 2，故选 B.
返回
(2)如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P′， 连接 P′F2，由题意可知，四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且 △PP′F2 是直角三角形．
x 的图象不在 y＝a＝ 22的同一侧．所以 m 的最大值是3π4 .
故选 C. 答案：C
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应用 3 利用数形结合求解解析几何问题
返回
[例 3] (1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线 y＝k(x＋1)距
离的最大值为
()
A．1
B. 2
C. 3
D．2
(2)设 F1，F2 是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右
返回
[应用体验] 1．已知 f(x)＝|x|＋|x－1|，若 g(x)＝f(x)－a 的零点个数不为 0，
则 a 的最小值为________． 解析：原方程等价于 f(x)＝11－ ，20x≤，xx≤<10，，其图象如图所
2x－1，x>1， 示，要使 a＝f(x)有零点，则 a≥1，因此 a 的最小值为 1.
[答案] D
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技法点拨
1.本题以分段函数为背景，结合函数零点个数求参数的取 值范围，零点问题一般转化为两函数图象的交点问题，注意直 线与曲线相切的情况．
2．利用数形结合探究方程解的问题应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使 问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一 定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解； (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形 结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.
k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝ 2，故
选 B.
法二：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线 y＝k(x
＋ 1) 的 距 离
d
＝
|k·0＋（－1）·（－1）＋k| k2＋1
百度文库
＝
|k＋1| k2＋1
＝
k2＋k2＋2k＋ 1 1＝ 1＋k22＋k 1.当 k＝0 时，d＝1；当 k≠0 时，d
－a)≤0 恒成立，则实数 m 的最大值为
()
π
π
A. 4
B. 2
3π C. 4
5π D. 4
返回
解析：在同一坐标系中，作出 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，
当
π m＝ 4 时，要使不等式恒成立，只有
a＝
22，
π 当 m＞ 4 时，在 x∈[0，m]上，必须要求 y＝sin x 和 y＝cos
返回
2．已知 O 为坐标原点，设 F1，F2 分别是双曲线 x2－y2＝1 的
左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，过点 F1 作∠F1PF2
的平分线的垂线，垂足为 H，则|OH|＝
()
A．1
B．2
C．4
D．12
返回
解析：如图所示，延长 F1H 交 PF2 于点 Q，由 PH 为∠F1PF2 的平分线及 PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|.
答案：1
返回
2．已知函数 f(x)＝|xx2|－，2xm≤xm＋，4m，x＞m，其中 m＞0.若存在 实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________． 解析：作出 f(x)的图象如图所示．
当 x＞m 时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2， 所以要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则有 4m－m2＜m， 即 m2－3m＞0.又 m＞0，解得 m＞3. 答案：(3，＋∞)
根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，
从而|QF2|＝2.
在△F1QF2 中，易知 OH 为中位线，则|OH|＝1.
故选 A.
答案：A
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[总结升华] 运用数形结合思想分析解决问题的 3 个原则
(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转 换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的 局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是 一种直观而浅显的说明；
借助形的直观性来阐明数之间的联系．以形助数常 用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆， 借助数式的结构特征，借助于解析几何方法
以数 助形
借助于数的精确性来阐明形的某些属性．以数助形 常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借 助于运算结果与几何定理的结合
返回
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到 “形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用 往往偏重于由“数”到“形”的转化．
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[应用体验]
1．已知 f(x)为奇函数，且当 x＞0 时，f(x)单调递增，f(1)＝0，
若 f(x－1)＞0，则 x 的取值范围为
()
A．{x|0＜x＜1 或 x＞2}
B．{x|x＜0 或 x＞2}
C．{x|x＜0 或 x＞3}
D．{x|x＜－1 或 x＞1}
解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝
2．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几 何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率； (2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑 点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离.
返回
[应用体验] 1．过直线 x＋y－2 2＝0 上一点 P 作圆 x2＋y2＝1 的两条切
第2讲 数形结合思想
Contents
1 应用1 利用数形结合思想研究函数的零点问题 2 应用2 利用数形结合思想解决不等式问题 3 应用3 利用数形结合求解解析几何问题
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数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数
与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用
包括以下两个方面：
以形 助数
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应用 1 利用数形结合思想研究函数的零 点问题
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[例 1] (2020·天津高考)已知函数 f(x)＝x－3，x，x≥x<00，. 若函 数 g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R )恰有 4 个零点，则 k 的取值范围
是 A.－∞，－12∪(2 2，＋∞) B.－∞，－12∪(0，2 2) C．(－∞，0)∪(0，2 2) D．(－∞，0)∪(2 2，＋∞)
－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递
增，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，
所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)＞0
可转化为－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.故
选A.
答案：A
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2．若存在实数 a，对任意的 x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cos x
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应用 2 利用数形结合思想解决不等式问题
返回
[例 2] (2020·北京高考)已知函数 f(x)＝2x－x－1，则不等
式 f(x)>0 的解集是
()
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出 h(x)＝2x，g(x)＝x ＋1 的图象如图．由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2)．
(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析， 又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进 行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难 行得通的；
返回
(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是 用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种 方法更为简单.
又 f(x)＞0 等价于 2x＞x＋1， 结合图象，可得 x＜0 或 x＞1. 故 f(x)＞0 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选 D.
[答案] D
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技法点拨
利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧 若研究的方程(不等式)不能用代数法求解，但其与基本初 等函数有关，常将方程(不等式)问题转化为函数图象的交点或 图象的上下位置关系的问题，然后由图象的几何直观数形结合 求解.
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技法点拨
1．在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使 数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代 数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方 便．
焦点，O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足
为 P.若|PF1|＝ 6|OP|，则 C 的离心率为
()
A. 5
B．2
C. 3
D. 2
返回
[解析] (1)法一：如图，记点 A(0，－1)，
直线 y＝k(x＋1)恒过点 B(－1，0)，当 AB 垂直
于直线 y＝k(x＋1)时，点 A(0，－1)到直线 y＝
线，若两条切线的夹角是 60°，则点 P 的坐标是________． 解析：如图，由题意可知∠APB＝60°， 由切线性质可知∠OPB＝30°.在 Rt△ OBP 中，OP＝2OB＝2，又点 P 在直 线 x＋y－2 2＝0 上，所以不妨设点 P(x ， 2 2 － x) ， 则 OP ＝
x2＋（2 2－x）2＝2，即 x2＋(2 2－x)2＝4，整理得 x2 －2 2x＋2＝0，所以 x＝ 2，即点 P 的坐标为( 2， 2)． 答案：( 2， 2)
()
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[解析] 由 g(x)＝f(x)－|kx2－2x|＝0，得 f(x)＝|kx2－2x|， 易知 0 是函数 g(x)的 1 个零点．当 x≠0 时，方程可化为|kx－ 2|＝x12，，xx＜＞00.，由题意知该方程有 3 个不相等的实根．设 t(x) ＝x12，，xx＜＞00.，h(x)＝|kx－2|(x≠0)，则函数 t(x)的图象与函数 h(x)的图象有 3 个交点．当 k＜0 时，h(x)与 t(x)的图象如图(1)， 此时两函数图象有 3 个交点，符合题意；当 k＞0 时，h(x)与 t(x) 的图象如图(2)，当 h(x)＝|kx－2|的图象与 y＝x2 的图象相切时， k＝2 2，所以当 k＞2 2时，h(x)的图象与 t(x)的图象有 3 个交 点．综上所述，k＜0 或 k＞2 2.故选 D.
＝ 1＋k22＋k 1＝
1＋k＋2 1k，要使 d 最大，需 k>0 且 k＋1k最
小，∴当 k＝1 时，dmax＝ 2，故选 B.
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(2)如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P′， 连接 P′F2，由题意可知，四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且 △PP′F2 是直角三角形．
x 的图象不在 y＝a＝ 22的同一侧．所以 m 的最大值是3π4 .
故选 C. 答案：C
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应用 3 利用数形结合求解解析几何问题
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[例 3] (1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线 y＝k(x＋1)距
离的最大值为
()
A．1
B. 2
C. 3
D．2
(2)设 F1，F2 是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右
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[应用体验] 1．已知 f(x)＝|x|＋|x－1|，若 g(x)＝f(x)－a 的零点个数不为 0，
则 a 的最小值为________． 解析：原方程等价于 f(x)＝11－ ，20x≤，xx≤<10，，其图象如图所
2x－1，x>1， 示，要使 a＝f(x)有零点，则 a≥1，因此 a 的最小值为 1.
[答案] D
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技法点拨
1.本题以分段函数为背景，结合函数零点个数求参数的取 值范围，零点问题一般转化为两函数图象的交点问题，注意直 线与曲线相切的情况．
2．利用数形结合探究方程解的问题应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使 问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一 定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解； (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形 结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.
k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝ 2，故
选 B.
法二：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线 y＝k(x
＋ 1) 的 距 离
d
＝
|k·0＋（－1）·（－1）＋k| k2＋1
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＝
|k＋1| k2＋1
＝
k2＋k2＋2k＋ 1 1＝ 1＋k22＋k 1.当 k＝0 时，d＝1；当 k≠0 时，d
－a)≤0 恒成立，则实数 m 的最大值为
()
π
π
A. 4
B. 2
3π C. 4
5π D. 4
返回
解析：在同一坐标系中，作出 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，
当
π m＝ 4 时，要使不等式恒成立，只有
a＝
22，
π 当 m＞ 4 时，在 x∈[0，m]上，必须要求 y＝sin x 和 y＝cos
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2．已知 O 为坐标原点，设 F1，F2 分别是双曲线 x2－y2＝1 的
左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，过点 F1 作∠F1PF2
的平分线的垂线，垂足为 H，则|OH|＝
()
A．1
B．2
C．4
D．12
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解析：如图所示，延长 F1H 交 PF2 于点 Q，由 PH 为∠F1PF2 的平分线及 PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|.
答案：1
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2．已知函数 f(x)＝|xx2|－，2xm≤xm＋，4m，x＞m，其中 m＞0.若存在 实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________． 解析：作出 f(x)的图象如图所示．
当 x＞m 时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2， 所以要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则有 4m－m2＜m， 即 m2－3m＞0.又 m＞0，解得 m＞3. 答案：(3，＋∞)
根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，
从而|QF2|＝2.
在△F1QF2 中，易知 OH 为中位线，则|OH|＝1.
故选 A.
答案：A
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[总结升华] 运用数形结合思想分析解决问题的 3 个原则
(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转 换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的 局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是 一种直观而浅显的说明；
借助形的直观性来阐明数之间的联系．以形助数常 用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆， 借助数式的结构特征，借助于解析几何方法
以数 助形
借助于数的精确性来阐明形的某些属性．以数助形 常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借 助于运算结果与几何定理的结合
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由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到 “形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用 往往偏重于由“数”到“形”的转化．
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[应用体验]
1．已知 f(x)为奇函数，且当 x＞0 时，f(x)单调递增，f(1)＝0，
若 f(x－1)＞0，则 x 的取值范围为
()
A．{x|0＜x＜1 或 x＞2}
B．{x|x＜0 或 x＞2}
C．{x|x＜0 或 x＞3}
D．{x|x＜－1 或 x＞1}
解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝
2．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几 何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率； (2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑 点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离.
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[应用体验] 1．过直线 x＋y－2 2＝0 上一点 P 作圆 x2＋y2＝1 的两条切
第2讲 数形结合思想
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1 应用1 利用数形结合思想研究函数的零点问题 2 应用2 利用数形结合思想解决不等式问题 3 应用3 利用数形结合求解解析几何问题
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数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数
与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用
包括以下两个方面：
以形 助数
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应用 1 利用数形结合思想研究函数的零 点问题
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[例 1] (2020·天津高考)已知函数 f(x)＝x－3，x，x≥x<00，. 若函 数 g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R )恰有 4 个零点，则 k 的取值范围
是 A.－∞，－12∪(2 2，＋∞) B.－∞，－12∪(0，2 2) C．(－∞，0)∪(0，2 2) D．(－∞，0)∪(2 2，＋∞)
－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递
增，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，
所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)＞0
可转化为－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.故
选A.
答案：A
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2．若存在实数 a，对任意的 x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cos x
返回
应用 2 利用数形结合思想解决不等式问题
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[例 2] (2020·北京高考)已知函数 f(x)＝2x－x－1，则不等
式 f(x)>0 的解集是
()
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出 h(x)＝2x，g(x)＝x ＋1 的图象如图．由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2)．
(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析， 又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进 行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难 行得通的；
返回
(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是 用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种 方法更为简单.
又 f(x)＞0 等价于 2x＞x＋1， 结合图象，可得 x＜0 或 x＞1. 故 f(x)＞0 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选 D.
[答案] D
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技法点拨
利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧 若研究的方程(不等式)不能用代数法求解，但其与基本初 等函数有关，常将方程(不等式)问题转化为函数图象的交点或 图象的上下位置关系的问题，然后由图象的几何直观数形结合 求解.