指数与指数函数

指数与指数函数

知识点

3.1.1 实数指数幂及其运算 3.1.2 指数函数

一、实数指数幂及其运算 （一）整数指数幂的表示

①正整数指数幂的定义：()n a

n a a a a n N *

=⋅⋅⋅⋅∈个 ②正整数指数幂运算法则： m n m n

a a a

+⋅=，

()n

m mn

a a =，

m n m n

a a a

-÷=( m ＞n ,a ≠0)，

()n

n n

ab a b =，

(0)n

n

n a a

b b b

⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

③零指数幂：()0

10a

a =≠

④负整数指数幂：1(0,)n

n

a a n N a -*

=

≠∈ （二）分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂：(0,,,1)m n m n

a a a m n N n *=>∈>

②正数的负分数指数幂：11

(0,,,1)m n

m

n

m

n

a

a m n N n a a -*=

=

>∈>

③0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义 （三）有理数指数幂的运算性质： ①(0,,)r

s

r s

a a a a r s Q +⋅=>∈

②()

(0,,)s

r rs a

a a r s Q =>∈

③()()0,0,r

r r

ab a b

a b r Q =>>∈

考点一：实数指数幂的运算性质 例1.下列各式中正确的是（ ）

A ．n n a ＝a （n ∈N*）

B ．（n a ）n

＝a （n ∈N*）

C ．

np

mp

a

＝n m

a

（n ，m ，p ∈N*）D ．n

m a

－

＝

m

n

a

1

（m ，n ∈N*，a ＞0）

考点二：指数式的运算

例2.化简下列各式（其中各字母均为正数） （1）

23

11113

2

2

6

5

()

a b a

b

a b -

--

-⋅⋅⋅⋅ （2）1211

213

33225(3)(4)6

a b a b a b ----⋅⋅-÷⋅

（3）20.520371037(2)0.1(2)392748

π--++-⋅+ （4）()4

1

1

300.7533

27(0.064)

()2160.018

---⎡⎤--+-++-⎣⎦

【反思归纳】根式运算或根式与指数式混合运算时，化简原则是：化根式为分数指数幂，化负指

数为正指数，化小数为分数等。对于计算结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 考点三：用分数指数幂表示根式

例3.用分数指数幂的形式表示下列各式( ) （1）a a

2

（2）322a a ∙ （3）a a

考点四：代数式的整体求值

例4.已知：32

12

1=+-a a ，求

2

12

1232

3-

-

--a

a a a

解决此类问题经常要用到下列公式：①a －b ＝（a －b ）（a ＋b ）；

②a ±2ab ＋b ＝（a ±b ）2； ③a ±b ＝（3a ±3b ）（32a ＋3ab ＋32b ）．

对应练习： 1．等式

2

2

4

＋－x x ＝2

24

4＋－x x 成立的充要条件是（ ）

A ．x ≠－2

B ．x ≥2或x ＜－2

C ．x ≥2

D ．x ＜－2 2.计算： （1）()

(

)

2

10

3

10.027217--

⎛⎫--+- ⎪⎝⎭

（2）()

()

3

11

2

1

2332

4140.1ab

a b

----⎛⎫⋅

⎪⎝⎭

3、用分数指数幂表示下列各式：

（1）43a a ⨯ （2）a

a a

（3）323)(ab a ⨯ （4）

3

2

2

a

a a

4、若32

121=+-x

x ，求

2

3

2

22

32

3-+-+--

x x x x 的值。 二、指数函数

（一）指数函数的定义

一般地，函数x

y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2

2

x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x

y π=

（5）2

y x = （6）2

4y x = （7）x

y x = （8）(1)x

y a =- （a ＞1，且2a ≠） 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1

2

2

23,,3,21x

x x y y x y y -=⋅===- 等

函数均不符合形式()01x

y a

a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数.

（二）指数函数的图像和性质（

重点）

注：指数函数1(01)x

x

y a y a a a ⎛⎫==>≠ ⎪⎝⎭

与且的图像关于y 轴对称。

（三）指数函数的底数与图像的关系

指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，

在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大