结构力学——力法对称性的利用学习资料

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结构力学-力法中对称性的利用

对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
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是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b）基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1，另一驵为两个成反对称的未知力Y2（图8-23a）。新的未知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0

力法(对称结构的计算)(上课)

6m
81 207 103.5 103.5 103.5
kNm kNm 198 198 396
23kN/m
EI
EI EI
M K kN· m 135
等代结构
6m
135
135
198
等代结构的计算
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
P2
X1=1
13 31 23 32 0
X2
X3
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
M1
一般荷载
X2=1 X2 X3=1
M2
M3
部分副系数为0，力法方程降阶
§5-5 对称结构的计算
支座、刚度都对称的结构. 1、结构的对称性：对称结构是几何形状、
EI EI EI 对称轴 EI EI EI2 对称轴
P1
m ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ EI1
P
l/2 EI2
q 对称轴
P1
EI1 a/2
l/2
a/2
2、荷载的对称性：对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。
16
在各种节点情形下 c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
C P 2EI P P C 2EI P
C P P EI 2EI P EI P

结构力学-力法-对称性应用-去一半计算

例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
转到下一节
M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1）解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。（2）任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。（3）按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky

1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2

3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)

对称性在结构力学中的应用

对称性在结构力学中的应用土木工程系土木5班徐亚飞20080420529 在工程实际中，有很多结构具有对称性，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。

现在业已学完了结构力学，现就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。

所谓结构的对称性，需要满足以下两个方面的要求：（1）结构的几何形状和支撑情况对某一轴线对称；（2）杆件截面和材料的性质也对此轴对称。

结构上力的对称性有正对称和反对称两种类型，非对称的力都可以化为正对称力与反对称力的叠加。

一、对称性在求解结构内力中的应用因为对称结构在对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。

因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。

据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。

取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。

二、对称性在体系自由振动中的应用我们知道，结构的频率、主振型及主振型的正交性是结构本身的固有特性，与外界因素无关。

只要结构本身和质量分布都是对称的，其振型或为正对称，或为反对称，因此，我们可以选取半边结构计算其相应的自振频率。

但其只能应用于两个自由度的振动体系，且自振频率小的为第一振型，较大的为第二振型。

运用对称性求解结构的自振频率，避免了求解复杂的频率方程，使得计算大大简化。

三、对称性在结构稳定性分析中的应用结构的稳定性分析，就是为了确定在新的平衡形式的荷载，即临界荷载。

通常的解法是假设新的平衡形式，运用静力平衡法或能量法通过稳定方程求的临界荷载，进而确定新的平衡形式。

但，对于对称的体系，其新的平衡形式不是正对称的就是反对称的。

因此，我们就可以利用对称性，取半边结构进行分析。

但此法只能应用于只有两个自由度的体系的结构稳定性分析。

力法的对称性

法2:1)将刚架上的荷载分组
正对称荷载下的计算: 2) 正对称荷载下的计算: δ11=144/EI 1P =1350/EI x1 = - 1P /δ11 = -9.935 δ 左侧受拉) MAB =33.75 kNm (左侧受拉) 右侧受拉) MAB中 =-28.125kNm (右侧受拉)
反对称荷载下的计算: 3) 反对称荷载下的计算: δ22=704/3EI 2P =-2240/EI x2 = - 2P /δ22 = 9.545 δ 上侧受拉) MBC =-1.82 kNm (上侧受拉) 下侧受拉) MBC` = 1.82 kNm (下侧受拉) 右侧受拉) MBA =-3.64 kNm (右侧受拉)
考虑对称性后: 考虑对称性后: δ13= δ31 = δ23= δ32= 0 代入式( ),得代入式(a),得: δ11x1+δ12x2+1P=0 δ δ21x1+δ22x2+2P=0 δ δ33x3+3P=0 (b) 原方程分解成两相互独立的方程. 互独立的方程.
二,荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 正对称荷载作用下: 正对称荷载作用下:只有正对称的多余力
x`2=x`1+x x1= x`1+x /2 x2= x/2
一,了解力法的基本思路以及力法基本未知量,基了解力法的基本思路以及力法基本未知量, 本体系(基本结构),基本方程的概念. ),基本方程的概念本体系(基本结构),基本方程的概念. 弄清力法的基本原理. 二,弄清力法的基本原理.深刻理解力法典型方程的物理意义. 的物理意义. 熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 三,熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 掌握结构在支座移动时的内力和位移计算以及力法对称性的利用. 对称性的利用. 力法计算步骤: 四,力法计算步骤: 确定结构的力法基本未知量及基本体系, 1)确定结构的力法基本未知量及基本体系,建立力法方程; 力法方程; 作基本结构分别在各因素下的内力( 2)作基本结构分别在各因素下的内力(图); 计算力法方程中的系数和自由项; 3)计算力法方程中的系数和自由项; 解力法方程,求出多余未知力; 4)解力法方程,求出多余未知力; 叠加做结构内力图; 5)叠加做结构内力图; 校核. 6)校核.

结构力学第五章力法

12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题：（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。（3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次撤除支杆1后体系成为瞬变不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2

结构力学_力法(二)对称性的利用

P P
荷载？还是一般性荷载?
P
对称荷载
l l l
M
l
P
P
P
反对称荷载
l l l l
M
EI=C
EI=C
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向反对称的荷载。任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对称荷载均为原荷载值的一半。
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向反对称的荷载。下面这些荷载是对称？反对称
M 1图
M 2图
M 3图
进一步考虑荷载的对称、反对称性
⑴对称荷载作用下 ⑵反对称荷载作用下
P/2
Mp对称
P/2
P/2
Mp反对称
1 p 0 X 1 0 2 p 0 X 2 0
P/2
对称结构在对称荷载作用下，只产生对称的内力、变形和位移，反对称的内力、变形和位移为零。对称结构在反对称荷载作用下，只产生反称的内力、变形和位移，对称的内力、变形和位移为零。

力法习题课及对称性的利用.ppt

4
40 •
21
0.5 40 k
0.25 15 k
51.19
106
2P
1 EI
1 2
6 45 •
21
0.25 40 k
(5 / 12) 15 k
111.43 106
»
50..0053XX11
0.03X 2 51.19 5.7 X 2 111.43
0 0
X1 X2
10.02 19.5
例：绘制图示结构的内力图。
EI
EI
EI 2EI EI
6m
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
6m
6m
81
81 81 103.5 101320.0537.5 M
kNm kNm K kN·m
135 135
135
198 131999868
23kN/m
EI
6m
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
等代结构
6m
等代结构的计算 24
无弯矩状态的判定：在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
（3）绘制弯矩图
M X1M 1 X2 M 2 M P
85.13
X1 85.13 kN
X
2
95.48
kN
66.75
95.48
10.3
9m
12
例6：图示结构支座 B发生支座沉降，已知 c1 0.002 cm2 m 0，.003
杆AC制造时长了 0.001m，杆BCD制造时作成了半径为
解： 200 m的圆弧曲线，试求截面 D的角D位移。

西南交通大学考研结构力学最新课件位移法中对称性的利用

7-7 对称性的利用1位移法中对称性的利用关键是半结构的选取（1）对称荷载1Z 2Z 12Z Z =?12Z Z =−1Z 位移法中对称性的利用关键是半结构的选取Z 14在对称轴上的结点B 和A 均无转角及水平线位移，但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB 不发生挠曲。

截取半结构时，可将杆AB 看作刚性杆而保留，并在结点B 、A 分别加上水平链杆支承。

EI =∞偶数跨对称结构1Z 2Z 3Z 结点转角为零（2）反对称荷载在对称轴上的截面C 没有竖向位移，但可有转角和水平位移。

2Z 1Z在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移,但有弯矩和弯曲变形。

可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半。

因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消。

对称轴上的结点A 和B 均有转角和侧移，但无竖向线位移，中央竖杆AB 发生挠曲变形。

在截取半结构计算时，除了取竖杆AB 刚度之半(EI /2)外，还应在A 处加一竖向链杆支承。

1Z 2Z 3Z 4Z 5Z 6Z81Z 2Z 3Z 最少未知量1Z 2Z M1Z 讨论：M1Z 01111=+P R Z r M M/2M PM1Z 2Z 3Z 2Z 1Z 3Z PM111Z 2Z 2Z 1Z 3Z 2Z 1Z 3Z12列出用位移法并利用对称性计算图示刚架的基本结构及典型方程。

（各杆的EI =常数）a a a a aq qm2a 例取半结构13mq qZ 1q典型方程：01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r Z 1q2Z 2Z典型方程：3434333=++P R Z r Z r r Z r Z R P 43344440++=2Z 1Z取半结构示例16mq qZ1Z117例1利用对称性简化图a 所示的对称结构，取出最简的计算简图、基本体系，并作出M 图。

1111=+P R Z r183511EI r =mkN R P ⋅−=301EIZ 5901=最简的基本体系及M 图PM Z M M +=11例219图示结构，设E I=常数，P=10kN，试画出刚架的M图。

课件：力法-解对称结构

南京工业大学力学部
结构力学教研室
二、非对称结构的简化计算
对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 M 图
及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以，取基本结构时应考虑这一因素。
q
A
X1
X2
X3
B
C
D
连续梁基本体系
南京工业大学力学部
结构力学教研室
X7
X3 X5
X8 X9
X1 X2
X6
X4
X1 EA→ ∞
降阶为两组，一组只含
M2
M3
有对称未知力，一组只对称未知力产生的弯矩图和变形曲含有反对称未知力。线是对称的，反对称未知力产生的
弯矩图和变形曲线是反对称的。
南京工业大学力学部
结构力学教研室
11 X1 12 X 2 1P 0
21 X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。
南京工业大学力学部
q
FP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FP1
FP1
对称轴对称荷载
结构力学教研室
对称结构的计算
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
FP a
FP/2 a a FP/2
FP/2 a a FP/2
FP1
FP2 F
FW
W
➢位于对称轴上的截面的位移 vC 0 ，内力 FNC=0，MC=0
C
FNC MC
FNC
EI
FP EI
FP EI
FP
FP FQC
EI C FP EI
等代结构
南京工业大学力学部

结构力学对称性应用

对称性应用在工程问题中，有很多结构都具有对称性。

我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。

现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。

结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。

而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。

另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。

在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。

在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。

如下图所示：对称性在求解结构内力中的应用：对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。

因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。

据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。

取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。

在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。

简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。

2、将未知力及荷载分组。

3、取半结构进行计算。

对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。

反对称正对称在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。

选取半结构的原则：1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效奇数跨对称结构：偶数跨对称结构：在用位移法求解超静定结构的时候，同样可以利用对称性简化计算。

分析可知，在正对称荷载时用位移法求解只有一个基本未知量；但在反对称荷载时若用位移法求解将有两个基本未知量，而用力法求解则只有一个未知量。

【结构力学课件】7 力法对称结构

§7-5 对称结构的计算
11 X 1 12 X 2 1n X n 1 P 0
21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0 力法基本方程 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP 0
X2 X3
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1 X2=1
0 0
X1 0 X2 0 X 0 3
X3 X 3 X3 X3
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
33 X 3 3 P 0
例1：P386习题7-3（a）
EI2 EI1 EI1 q q
=
X1
q
基本结构
一、弹性支座：
q q
基本体系
X1
q
q
q
基本体系
X1
q
基本体系
X1
11 X 1 1P 0
11 X 1 1P
q
X 1h EA
11 X1 1P
q
X1 k
h ( 11 ) X 1 1P 0 EA
X1
1 ( 11 ) X 1 1P 0 k
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1

结构力学——力法对称性的利用26页文档

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结构力学——力法对称性的利用
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结构力学第20次课结构的对称性 2012- 5-17

结构力学第20次课力法6-5 位移法7-6结构的对称性 foxscarlet12012-5-17 《结构力学》第20次课第6章力法6-5P225与第7章位移法7-6P302内容6-5 7-6 对称性利用1 对称性（1）结构的对称性：对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都关于某轴对称。

（2）荷载的对称性：对称荷载反对称荷载任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载两部分。

2 取对称的基本体系计算：不论在何种外因作用下，对称结构应考虑采用对称的基本体系计算。

沿对称轴将梁切开，三对多余未知力中，弯矩X 1和轴力X 2是未知力，剪力X 3是未知力。

对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。

如果荷载对称，M P 对称，Δ3P =0，X 3=0，未知力为零；如果荷载反对称，M P 反对称，Δ1P =0， Δ2P =0， X 1= X 2 =0，未知力为零。

3 取等代结构计算对称结构的变形特点，针对切开对称轴处是刚结点。

注意，如果对称轴上是铰结点有所不同。

（1）对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。

（2）对称结构在反对称荷载作用下位于对称轴上的截面，竖向位移为零，水平位移和转角不为零。

① 奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构 §7-6 对称结构的计算奇数跨刚架受对称荷载A. 奇数跨结构（无中柱对称结构）F PF P(1) 对称荷载F P半边结构对称轴截面内力结构与荷载3 取等代结构计算1扩展练习奇数跨结构受对称荷载作用llqllAB例2. 图示结构EI = 常数。

对称性只有竖向荷载作用1X 3=3X 2X 1X 2=【例题】利用对称性计算图示结构,绘制弯矩图。

（EI=常l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/2l/2l/2l/2（a ）ldbFPFP4 无弯矩状态判定对称结构正对称荷载。

力法对称性

结构对称性的概念
（1）对称结构：几何尺寸、支承情况、刚度分布对称的结构。

（2）荷载的对称性，如图1
正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等,方向和作用点对称的荷载。

反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点对称，方向反对称的荷载。

（3）对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形，如图2
基本受力特点：
正对称荷载作用下，结构的内力和变形都是正对称的；
反对称荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的。

（4）特殊截面——对称轴通过的截面，如图3
对称结构，正对称荷载下，对称轴处切开，反对称的剪力为0，内力与位移分布均正对称；
对称结构，反对称荷载下，对称轴处切开，正对称的弯矩与轴力为0，内力与位移分布均反对称。

要使半结构能等效代替原结构的受力和变形状态。

关键在于被截开处应按原结构上的位移条件及相应的静力条件设置相应合适的支撑
例:用力法计算图示结构。

EI＝常数。

图1
图2
图3。

结构力学——力法对称性的利用资料讲解

X3 X3
X2
X2
FP
FP FP
X1 X1
FP
Δ1P 0
X1 0
X1 1 X3 1
X2 1
FP
对称结构在正对称荷载作用下，反对称未知量为零。其 FP 结构的内力和变形是对称的。
反对称荷载作用下:
X3 X3
X2
X2
Δ2P 0 Δ3P 0
FP
FP FP
X1 X1
FP X2 0 X3 0
q
q
C
C
q
q
C C
②反对称荷载作用下的半刚架
P
C
P
P
C
P
C
P
P
C
2.偶数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
P
P
C
P
C
P
P
C
P
P
C
C
② 反对称荷载作用下的半刚架
FP
FP
FP
FP
FP
A
EI
EI EI
EI
22
2
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
q
2a
a
a
qa2 8
M图
半边结构
X1＝1
M
图
1
qa2/2
结构力学——力法对称性的利用
（2）荷载的对称性
正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等,方向和作用点对称的荷载。
反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点对称，方向反对称的荷载。
P
P
P
P
对称荷载
反对称荷载
（3）对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形