电子在氢原子中的几率分布
14.10量子物理之氢原子的电子云图和概率密度等值面图
对于4d态电子，当m = 0时， 概率密度分为上下双峰，上下 还有两包，左右还有四双包。 彩色电子云图分上下左右八片， 上下的中间两片比较鲜艳。 概率密度的等值面是六个曲面，上下 四个是封闭曲面，中间两个是环面。
对于4d态电子，当m = ±1时，概 率密度分为对称的四峰和四包。 彩色电子云图分为四角对称的八片。 概率密度的等值面是 上下四个分立的环面。
对于4f态电子，当m =±2时，概率 密度分为上下左右四峰和左右两包。 彩色电子云图分上下左右 六片，上下四片比较鲜艳。 概率密度的等值面是三个曲面，上下 两个是封闭曲面，中间一个是环面。
对于4f态电子，当m = ±2时， 概率密度分为对称的四峰，与m = ±1的3d态电子类似。 彩色电子云图分为四角对称的四片。 概率密度的等值面是上下两个分 立的环面，其形状与3d态(m = ±1)电子的概率密度形状相似。
MATLAB可视化 大学物理学
第十四章结束 湖南大学物电院 子，当磁量子数m = 0时，概 率密度曲面形成上下双峰，峰顶比较圆。 上下两片电子云是双峰的投影， 等值线分别围绕着两个峰。 概率密度的等值面是两个分立的闭合曲 面，由此可知：上下两片电子云是分立。
对于2p态电子，当m = ±1时，概 率密度曲面分为左右双峰。 在彩色电子云图中，左右 两片电子云是双峰的投影。 概率密度的等值面是中间空心的环面， 左右两片电子云是绕z轴联成一体的。
对于4p态电子，当m = 0时，概率密度 除了上下双峰之外，还有四个波包， 比m = 0的3p态电子多两个波包。 彩色电子云图分为上下六片，相 邻的波峰和波包是分开的，等值 线分别围绕着各自的波峰和波包。 概率密度的等值面是上 下六个分立的闭合曲面。
对于4p态电子，当m = ±1时，概 率密度分为左右双峰和四个波包， 比m = ±1的4p态电子多一对波包。 彩色电子云图分为左右对称的六片。 概率密度的等值面是三个 空心的环面，环面层层相 套，三个环面是相似的。
半导体物理氢原子中电子的分布几率
4.6.2 电子的角向几率分布 在θ→θ+dθ，φ→φ+dφ立体角内找到电子的几
率
R无论何值，在（θφ）附近立体角dΩ中找到 电子的几率密度为 l,ml ,
l,ml
d
0 l,ml ,nd
R Y r0 n,l l,ml
无论θ、φ如何，电子在r→r+dr中的几率密度为： ρn，l 几率dωnl=ρnl·dr ρnl－径向几率密度
nl r dr
nlml d 0
2 R 2 2 2 r 2 sindrdd
0
nl (r)dr
2
d
0
0
|
Rnl (r)Ylm
( ,)
|2
r2
s in drd
Rnl 2 (r)r 2dr
2
d
0
0
|
Ylm
(
,
)
|2
s in d
Rnl2 (r)r2dr
n,l
r
dn,l
dr
Rn,l 2 * r 2
例，求氢原子中1s态电子的径向几率密度及极值
R1,0 r
3
a2 0
r
2 e a0
1,0 r
R nl r
r 2
2
r
a e3 2
r a0
0
2
4
a03
2r
r 2e a0
③l=1
m=0
Y2 10
3
4
cos2
θ=0 │Y10│2=3/4π 最大（z轴） θ=π/2 │Y10│2=0 最小
4.7 正常塞曼效应
§3-3氢原子量子理论电子的概率分布
电子的概率分布
一、电子概率的径向分布
d体积元内的概率应表示为
nlm
nlm
d
Rnl (r)Ylm ( ,) 2 r 2 sindrdd
Rnl (r) 2 r 2dr Ylm ( ,) 2 sindd
在半径为r到r+dr的球壳内发现电子的概率为
wnl (r)dr
π 0
2π 0
(r)]
0
（r为最概然半径 ）
可以证明，对于n-l-1 = 0 , n 1, 2,
这与玻尔理论中各能级所对应的圆形轨道半径公
式完全一致 。
二、电子概率的角度分布
立体角d = sin d d内发现电子的概率为
wlm (,)d
0
Rnl
(r)Ylm (,)
2 r 2dr sin
d
d
Ylm (,) 2 sin d d = Ylm (,) 2 d
式中wlm (, )是电子出现在相应立体角内的概率
密度，称为电子概率的角度分布函数。
3
在上式中，由于
Ylm(,) 2 Nl2m[Plm (cos)]2 e-im eim Nl2m[Plm (cos)]2
与无关,所以角度分 布函数wlm(,)是以z轴
Rnl (r)
2 r 2dr Ylm ( ,)
2
s in d d
Rn2l (r )r 2dr
式中wnl (r) Rn2l (r)r2 是电子出现在相应球壳内的概
率密度，称为电子概率的径向分布函数。
1
一些低量子数的径向概率分布曲线
2
对分布函数的一阶导数等于零求得
d dr
wnl
(r)
d dr
氢原子的能级与光谱.
氢原子的能级与光谱·爱因斯坦1905年提出光量子的概念后，不受名人重视，甚至到1913年德国最著名的四位物理学家(包括普朗克)还把爱因斯坦的光量子概念说成是“迷失了方向”。
可是，当时年仅28岁的玻尔，却创造性地把量子概念用到了当时人们持怀疑的卢瑟福原子结构模型，解释了近30年的光谱之谜。
§1 氢原子的能级与光谱一、玻尔的氢原子理论(一)玻尔的基本假设1.定态假设：原子只可能处于一系列不连续的能量状态E1, E2, E3,…。
处于这些状态的原子是稳定的，电子虽作加速运动，但不辐射电磁波。
2.频率条件：原子从某一定态跃迁至另一定态时，则发射(或吸收)光子，其频率满足玻尔在此把普朗克常数引入了原子领域。
(二)玻尔的氢原子理论 1.电子在原子核电场中的运动(1)基本情况：核不动；圆轨道；非相对论。
(2) 用经典力学规律计算电子绕核的运动·电子受力：·能量：得f f = - 14πε0 ( )Ze 2r 21 ε0 ( ) Ze2 r = m ( )υ2r1 2E = m υ2 - 1 4πε0 ( ) Ze2 r E = -Ze 28πε0r2.轨道角动量量子化条件玻尔假定：在所有圆轨道中，只有电子的角动量满足下式的轨道才是可能的。
玻尔引进了角动量的量子化。
3.轨道和速度 ·r n = n 2r 1 ,(玻尔半径) r 1= 0.529 Å· υn= υ1/n ，4πε0h 2 r 1 = ( me 2 )( ) 1 Z 4πε0hυ1 = Ze 2)可见, 随n↑⇒r n↑，υn↓4.能级---能量量子化将r n代入前面E式中，有n = 1,2,3,…)R：里德伯常数(见后)基态能量：E1= -13.6 eV可见，随n↑⇒E n↑，∆E n↓*玻尔的理论是半经典的量子论：对于电子绕核的运动，用经典理论处理；对于电子轨道半径，则用量子条件处理。
量子力学-氢原子和类氢离子
角动量及其算符(1)
9
二、角动量的本征值与本征函数（2）
角动量及其算符(2)
x r sin cos 在球坐标下， y r sin sin z r cos ˆ 则 l x i(sin cot cos ), ˆ l y i( cos cot sin ) ˆ l z i 形式简洁
( 2) ( 3)
对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）则有： 将（1） 式两边分 别对 x y z 求偏导数 得： 将（2） 式两边分 别对 x y z 求偏导数 得：
r sin cos x r sin sin s y r cos z
d lm ( ) （1－cos ) P (cos ) m l d (cos ) 1 m ( ) exp(im ) 2
2 2 2 d | Y ( , ) | sin d 1 lm 0 0
4
|m| 2
m
一、氢原子(3)
2、氢原子能级图
6
一、氢原子波函数(5)
3、氢原子的能级简并度(2)
En n ,
2
n 1, 2,3, ,
l 0,1, 2, ,( n 1); m l , l 1, , l 1, l ; 波函数 nlm ( r, , ) Rnl ( r )Ylm ( , ) n 2，l 0,1 当l 0 m 0； 当l 1 m 1,0, 1, ( nlm) (200),(210),(211),(21 1) E2 200 R20Y00； 210 R21Y10； 211 R21Y11；
概率密度和电子云
（一）概率密度和电子云 氢原子核外只有一个电子， 电子的位置虽不确定，但它具有 统计规律性。 ∣ψ1s∣2 表示氢原子1s电子在 核外空间某点(r,θ， )出现的概率 密度，离核越近概率密度越大。 为了形象地表示基态氢原子核外空间各处电 子出现的概率密度大小的分布情况，将空间各处 的∣ψ1s∣2值的大小用疏密程度不同的小黑点表 示出来。这种在单位体积内黑点数与∣ψ1s∣2成 正比的图形称为电子云(electron cloud)。
(a)
(b)
图 基态氢原子的电子云
应注意两点: 1.不要把电子云中的一个个小黑点看成一个 个电子，因为氢原子核外只有一个电子。 2.这里讲的是概率密度，不是概率。
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Байду номын сангаас
继续
（一）概率密度和电子云
(a)
(b)
图 基态氢原子的电子云
电子的概率密度经常用它的几何图形来直观 地表现。图（a）是基态氢原子的的立体图形， 图（b）是它的剖面图。 从图上看出，离核越近，电子云越密集，即 电子出现的概率密度愈大；离核愈远，电子云愈 稀疏，电子出现的概率密度愈小。 继续
（一）概率密度和电子云
量子力学自学辅导与参考答案
题库(含答案)2011级 尹如冰(一) 单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是A A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0.2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是B A 0 B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0.3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是C⨯1012-A 0 D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是DA.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）AA.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是B A 0B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0.7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为AA. 0.25⨯1018-J.B. 1.25⨯1018-J.C. 0.25⨯1016-J.D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为BA. 2μc .B.22μc. C. 222μc . D. 22μc . pton 效应证实了CA.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了A A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000 中运动，设粒子的状态由ψπ()sinx C xa= 描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4a.12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为DA.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx .13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A.ψ(,,)x y z dxdydz 2. B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2.14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c . C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是DA.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是CA.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.17.已知波函数Cψ1=-+u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ21122=-+u x i E t u x iE t ()exp()()exp() ,ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp().其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数)19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)，A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c .D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t ipx dp =⎰12π的傅里叶变换式是 A. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12π ψ. C. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12π ψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是 A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5). C. (1)、(3)、(4)和(5). D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂ B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r tμ∂∂ C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t μ∂∂D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i μ∂∂23.几率流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.J=∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B.Ji=∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C.Ji=-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J=-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A.Jq=∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.B.Jiq=∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C.Jiq=-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.D.Jq=-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224na,B.πμ22228na,C.πμ222216na, D.πμ222232na.28. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222na, B.πμ22224na, C.πμ22228na, D.πμ222216na.29. 在一维无限深势阱U x x b x b(),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222nb,B.πμ2222nb, C.πμ22224nb, D.πμ22228nb.30. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x=0,B.x a=, C.x a=-, D.x a=2.31. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为 A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012 ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω.34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω . D.x =± μω.35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(ϕθlm Y . B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** Fd F d =⎰⎰.B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰.C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕ exp()im . B. )ex p(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D. )ex p(21r k i⋅π. 46.波函数)ex p()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L2的本征函数,不是 L z的本征函数. B. 不是 L 2的本征函数,是 L z的本征函数. C. 是 L2、 L z的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,. B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,.D.E E 323414,;,.52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A.21 , . B. ,1. C.212 ,. D.212 ,.53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -.D. 01232,;,-- .54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .55. 接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s. 56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k .59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252ωω,.60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c . B. 232121c c c +,232123c c c +.C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为A.ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω.C.92ω. D.ω 232123217321c c c c ++.62.对易关系[ ,()]pf x x 等于(f x ()为x 的任意函数) A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '(). D.-i f x ().63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .65. 对易关系[, ]L yx 等于 A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - . 69. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x . C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]LL xz等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 71. 对易关系[ , ]LL zy等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]LL z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z . B. -i L z. C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i py. B. i p y . C.-i L y . D. i L y. 76. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i Lx . D. i L x . 77.对易式[ , ]Lx y 等于 A.0. B. -i z . C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于A. FG. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是 A.( )( )∆∆F G k 2224≥. B. ( )( )∆∆F G k 2224≥.C. ( )( )∆∆FG k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ .C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ .B.( )( ) ∆∆L L L x y22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆FG L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s.B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz e n s 22222. B. -μ224222z e n s . C.-μze n s 2222 . D. -μz e ns 24222 .86. 在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为 A.22222229,2aa μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , , C.323222222πμπμ a a ,, D.524222222πμπμ a a, . 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a .89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.90.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i pf x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符yxL i L L ˆˆˆ±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.z L ˆ . B.2 L z . C.-2 L z. D.z L ˆ -. 94.接上题, 则[ , ]LL z+等于 A. L +. B. L z . C. -+ L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]LL z-等于 A. L -. B. L z . C. -- L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.98.对易关系式[ , ]FGH 等于 A.[ , ] [ , ]FH G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]FG H . D. [ , ] [ , ]F H G F G H -. 99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'e x p (21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x . 101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++0//02222b a b b a a .C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a . D.00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q表象中的矩阵元的表示是 A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂.B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()*∂∂.D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212pp ∂∂μωμ -. D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A. ±1.B. 0.C. ±i .D. 1±i . 110.接上题, F 的归一化本征态分别为A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C.12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,.111.幺正矩阵的定义式为A.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-.112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/ax ip =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]aa +=-1. D. [ , ]a a i +=. 114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n nn mn nm m()()()''0200++-∑. B. E H H E E n nn mnnmm()()()'''0200++-∑.C.E H H E E n nn mn m nm()()()'''0200++-∑. D.E H H E E n nn mnmnm()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn nm m'()()200-∑. B.''()()H EE mnnmm200-∑.C.''()()H EE mnm n m 200-∑. D. H E E mnm nm '()()200-∑. 117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn n mm m '()()()000-∑ψ. B. ''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ.C. ''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ.D. H E E mn mn m m '()()()000-∑ψ.118.沿x 方向加一均匀外电场ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为 A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε. B. H d dx x q x =-++ 2222212μμωε.C. H d dx x q x =-+- 2222212μμωε.D. H d dx x q x =-+- 22222212μμωε. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是A.H E E mk km'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<.C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场ε中,则该体系的哈密顿为A.ε ⋅+=D I L H2ˆˆ2. B. ε ⋅+-=D IL H 2ˆˆ2. C. ε ⋅-=D I L H 2ˆˆ2. D. ε ⋅--=D IL H 2ˆˆ2. 121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm n m mm H E E =+-∑()()()()''0000.B.ψψψn n mn n m mm H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn n mn m n mm H E E =+-∑()()()()''0000.D.ψψψn n nm m n m m H E E =+-∑()()()()''0000. 122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 的几率为 A.22' )'ex p('1⎰tmk mkdt t i H ω .B.20 ' )'ex p('⎰t mk mkdt t i H ω.C.22')' ex p(1⎰t mk mkdt t i Hω.D.2' )'ex p(⎰tmk mkdt t i Hω.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]SS yx等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσxz等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ. 128.单电子的自旋角动量平方算符 S2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 .129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z表象中矩阵表示为 A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. C. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i y=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S z =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110.C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 134. , J J 12是角动量算符, J J J =+12,则[ ,] J J 212等于A. J 1.B. -J 1. C. 1 . D. 0 .135.接上题, [ ,] J J z 12等于A. i J J x y( )11+. B.i J z 1. C. J z 1. D. 0. 136.接134题, ]ˆ,ˆ[12z J J 等于A. i JJ xy( )11+. B.i J z1. C. J z1. D. 0. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为A.0, .B. 0,- .C.22,. D. 22,-. 138.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B. a b 22,.C.a b 2222/,/.D. a a b b a b 222222/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为A. 0.B. )(222b a - .C. )22/()(2222b a b a +- . D. .140.在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 的可测值分别为A. ,-.B. /,2.C. /,/22-.D. ,/-2. 141.接上题,测量s z 的值为 /,/22-的几率分别为A.3212/,/.B.1/2,1/2.C.3/4,1/4.D.1/4, 3/4. 142.接140题,s z 的平均值为A. /2.B. /4.C.- /4.D.- /2. 143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.(二) 填空题pton 效应证实了 。
电子双缝衍射的蒙特卡罗模拟
电子双缝衍射的蒙特卡罗模拟物理1501 1509030115 崔汪明摘要：本实验通过蒙特卡罗模拟的方法模拟出了电子双缝衍射的物理实验现象，并通过控制变量法逐个研究了实验变量(电子加速电压、双缝的宽度、间距，缝与屏的距离)对电子衍射图像的影响，总结出其原因。
同时还采用蒙特卡罗方法模拟出了氢原子的电子云图。
通过在网上查阅资料，在ＭＡＴＬＡＢ中编写程序，研究图像最后再结合理论知识分析结果完成了这次的设计性实验。
一、前言蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，又称随机抽样法、统计实验法或随机模拟法。
蒙特卡罗方法的基本思想是：为了求解数学、物理、工程技术或生产管理等方面的问题，首先建立一个与求解有关的概率模型或随机过程，使它的参数等于所求问题的解，然后通过对模型或过程的观察或抽样实验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。
蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，很少受几何条件限制，收敛速度与问题的维数无关。
在许多工程、通讯、金融等技术问题中，所研究的控制过程往往不可避免地伴有随机因素，若要从理论上很好地揭示实际规律，必须把这些因素考虑进去。
理想化的方法是在相同条件下进行大量重复实验，采集实验数据，再对数据进行统计分析，得出其规律。
但是这样需要耗费大量的人力、物力、财力，尤其当一个实验周期很长或是一个破坏性实验时，通过实验采集数据几乎无法进行，此时蒙特卡罗方法就是最简单、经济、实用的方法。
因此，蒙特卡罗模拟广泛应用在粒子输运问题、统计物理、典型数学问题、真空技术、激光技术、医学、生物、探矿等方面。
蒙特卡罗方法研究的问题大致可分为两种类型，一种是问题本身是随机的，另一种本身属于确定性问题，但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系，因而也可用随机模拟方法解决，如计算多重积分、求解积分方程、微分方程、非线性方程组、求矩阵的逆等。
基础化学第8版-自测题及课后习题解答-第9章
第九章原子结构和元素周期律首页难题解析学生自测题学生自测答案章后习题解答难题解析例9-1 什么是原子轨道？原子轨道是什么样子？析原子轨道不是像月球绕地球运动或地球绕太阳运动的那种圆形或椭圆形的运动轨迹，因为原子核外的电子具有波粒二象性，不可能同时有确定的位置和速度，也就无法按照一定方向行进。
电子的运动并不是没有规律可循：我们不能知道某一刻电子在什么位置，但是我们能知道它出现在那个位置的可能性有多大。
为了表达这样的概率，人们发现了波函数。
波函数的几何图形就是原子轨道的形状。
答原子中的电子在核外空间出现的概率是通过波函数描述的，波函数的平方的意义是电子在核外空间出现的概率密度。
习惯上把这种描述电子运动的波函数称作原子轨道。
原子轨道的角度部分和径向部分可以用几何图形表现出来。
角度部分的几何图形是原子轨道的形状，如s轨道是球形的，p轨道是哑铃形的。
径向部分的图形是曲线，例如径向分布函数曲线的峰表现据原子核一定距离处电子概率的极大值。
例9-2 概率密度、概率、径向分布函数之间是些什么关系？析概率就是可能性。
电子在原子核外的整个无限区间出现的概率为1，在空间某一有限区域出现的概率必小于1。
这个空间区域电子概率的大小与空间区域的大小和概率密度有关，是这两个因素的总体体现。
答概率密度反映了电子在原子核外的某一点周围微小区域单位体积内出现的概率，概率密度与此微体积的乘积就是这个微区域的电子概律；把微体积扩大到无限空间，概率等于1。
如果把微小区域定义为离原子核一定距离的球形表面乘以表面上微壳层的厚度，那么概率密度函数乘以求表面积所得到的径向分布函数，表现了离原子核一定距离处电子概率的大小。
例9-3 为什么周期表中从左到右原子半径减小，从上到下原子半径增大？非金属元素的原子一般都比金属原子小吗？析原子半径的大小可以表现为电子出现的平均概率离原子核的远近，或者直接说电子离核的远近，它受核对电子吸引力大小的直接影响。
所以本题的关键是有效核电荷的变化规律。
电子在氢原子中的几率分布
m=± π/2 例 2. l=1, m=± 1 时 ， W1,±1(θ) = (3/8π)sin2 θ 。 在 θ = π/2时 ， 有最大值。 沿极轴方向（ 有最大值。 在θ = 0 沿极轴方向（z向）W1,±1 = 0。
Z
z
θ
y x z θ y 例3. l = 1, m = 0 时，W1,0(θ) = {3/4π} cos2θ。 正好与例2相反， 0时 最大； =π/2时 正好与例2相反，在θ = 0时，最大；在θ =π/2时， 等于零。 等于零。 x
（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布 1.氢原子的波函数 2. 径向几率分布
将上节给出的波函数取 Z=1, 当氢原子处于ψ (r,θ,ϕ 当氢原子处于ψnlm(r,θ,ϕ)时， 用电子折合质量， μ用电子折合质量，就得到 电子在(r,θ, (r,θ,ϕ 电子在(r,θ,ϕ)点附近体积元 氢原子的波函数： 氢原子的波函数： sinθ drdθ dτ = r2sinθ drdθdϕ 内的几率 对空间立体角积 分后得到在半径 W nlm ( r , θ , ϕ ) d τ r → r+dr 球壳内找到电子 = | ψ nlm ( r , θ , ϕ ) | 2 r 2 sin θ drd θ d ϕ 的几率
− 21 r a0
n=1 R10 = a 2/ 2 e−r / a0 3
0
n= 2
R20(r) =
21
( ) R (r) = ( ) ) )
1 3/ 2 2a0
(2 − a10 r)e re
Wnlm(r)dr = ∫ dϕ ∫ | Rnl (r)Ylm( ,ϕ) |2 r 2 sinθdrdθ θ
0 0
只与 R 有关 于是： 于是：
电场中氢原子的概率密度分布与电偶极矩
电场中氢原子的概率密度分布与电偶极矩氢原子是自然界中最重要的原子，它的概率密度分布和电偶极矩是有关离子化学领域的基础知识，探讨其关系尤为重要。
在电场中，氢原子概率密度分布与电偶极矩之间存在一定的联系。
本文以此为研究课题，深入探讨电场中氢原子的概率密度分布与电偶极矩之间的联系。
首先，以氢原子能级结构为准，简要介绍概率密度分布。
当一个原子处于外界电场中时，它的能级结构发生变化，其概率密度分布也随之改变。
由能级结构可以分析出原子的概率密度分布，例如氢原子中的1s, 2s, 2p等能级，其密度分布为规则的椭圆或圆形，其表示了原子在外界强电场中的能级结构，其计算公式为：$rho _{m}left( r right)= frac{2}{pi left( 2n+1 right)}cdot left[ left( cosleft( pi cdot z right) cdotfrac{d}{dz}frac{1}{z^{2n+2}} right)_{z=2r/n} right]$其中，$z$ 为距离原子质心的直径，$r$为原子质心到电场源之间的距离，$n$ 为原子总轨道的序数，$m$ 为轨道的顺序。
继而，介绍电偶极矩的参数及定义。
电偶极矩和极化能矩定义为：$alpha =frac{1}{2}left( mu _{zz}-mu _{perp } right)$和$beta =frac{1}{2}left( mu _{zz}+mu _{perp } right)$。
参数$alpha$和$beta$表示了原子核心和外层电子在电分布中的影响，其计算公式可表示为：$alpha=sum _{n}left( frac{2}{2n+1}right)frac{1}{Z-1/n}$， $beta=sum_{n}left[ frac{1}{2n+1}left( frac{1}{2Z+2n+3}-frac{1}{2Z+2n +1} right) right]$。
电子结构的排布规律
电子结构的排布规律电子结构是指物质中电子在原子或离子中按照一定的方式分布的规律。
电子的排布规律对于了解物质的性质和化学反应等有着至关重要的作用。
本文将探讨电子结构的排布规律，并介绍一些常见的排布模型。
一、能级理论能级理论是电子排布的基础理论，即根据原子核对电子的吸引力和不同能级上的电子容纳数目，定量描述电子结构。
对于单个原子而言，能级理论可以帮助我们预测和理解电子的排布规律。
根据能级理论，电子在原子内的排布顺序遵循以下规则：1. 泡利不相容原理：每个原子轨道最多容纳两个电子，并且这两个电子的自旋方向必须相反。
2. 惯性电子排布规律：原子轨道按照能量从低到高的顺序排布，电子首先填充低能级轨道。
3. 需电子排斥原理：当电子排布到一定程度时，由于电子间的排斥作用，较高能级轨道会有空位，电子更倾向于填充前面能级轨道的空位。
根据能级理论，我们可以推导出几种常见原子的电子排布模式。
二、鲍尔模型鲍尔模型是一种描述原子电子排布的简化模型，它根据能级理论，以能级壳层为基础，将电子按照规定的顺序填充到壳层中。
以氢原子为例，氢原子只有一个电子，按照鲍尔模型，这个电子将填充到第一层轨道中。
鲍尔模型还可以帮助我们理解和预测其他原子的电子排布。
以氧原子为例，氧原子有8个电子，按照鲍尔模型，前两个电子填充到第一层轨道中，剩下的6个电子填充到第二层轨道中。
三、斯拉特-约丹规则斯拉特-约丹规则是一种更为详细的电子排布规则，它根据能级理论和电子间的排斥作用，描述了电子在每个壳层内的排布顺序。
斯拉特-约丹规则的基本原则如下：1. 按照能量从低到高的顺序填充每个壳层内的轨道。
2. 对于相同能量的轨道，按照角量子数（l）的大小从小到大进行排布。
3. 若轨道具有相同角量子数，按照自旋量子数（m）的大小从小到大进行排布。
斯拉特-约丹规则可以帮助我们更准确地预测电子的排布顺序，进而了解物质的特性和化学反应。
这一规则在原子结构的研究和化学实验中有着广泛的应用。
氢原子的波函数的原理
氢原子的波函数的原理
氢原子的波函数反映的是电子在氢原子中的量子状态。
氢原子中只有一个质子和一个电子。
根据量子力学理论,电子作为量子微粒,其运动状态可以用波函数来描述。
氢原子电子的波函数具有以下特点:
1. 接受量子力学理论,波函数可以描述微观粒子的量子状态。
2. 氢原子波函数是氢原子量子数的量子力学解,反映电子的能量和角动量。
3. 波函数具有能量量化特征,电子只能占有某些离散能级状态。
4. 波函数中包含电子的概率分布,充分反映不确定性原理。
5. 波函数符合薛定谔方程,表明氢原子电子的物质波性。
6. 波函数决定了氢谱线的产生,说明了电子跃迁的概率。
7. 氢原子波函数奠定了量子力学理论的基础,开创了现代物理学。
综上,氢原子波函数揭示了电子的量子性质,是理解现代物理学的重要基石。
氢原子的量子理论作业含答案
氢原⼦的量⼦理论作业含答案第26章氢原⼦的量⼦理论习题 (初稿)⼀、填空题1. 氢原⼦的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθ?θ?=,请给出电⼦出现在~r r dr +球壳内的概率为＿_＿__＿_____，电⼦出现在(),θ?⽅向⽴体⾓d Ω内的概率为_____＿___＿_____。
2. 泡利不相容原理是指 _＿_＿_______＿＿＿，原⼦核外电⼦排布除遵循泡利不相容原理外,还应遵循的物理规律是 ___＿______ 。
3. 可以⽤⽤ 4 个量⼦数描述原⼦中电⼦的量⼦态，这 4 个量⼦数各称和取值范围怎样分别是:（1) （2) (3) (4) 。
4. 根据量⼦⼒学原理,如果不考虑电⼦⾃旋,对氢原⼦当ｎ确定后，对应的总量⼦态数⽬为_ ＿个，当n 和l 确定后,对应的总量⼦态数⽬为__ _＿个5. 给出以下两种元素的核外电⼦排布规律：钾(Z=1９）: 铜（Z=29）: ___ _＿6. 设有某原⼦核外的 3d 态电⼦，其可能的量⼦数有个,分别可表⽰为 ____＿_____________＿______＿__。
7. 电⼦⾃旋与其轨道运动的相互作⽤是何种性质的作⽤。
8. 类氢离⼦是指_＿___＿__＿__＿______＿，⾥德伯原⼦是指＿__＿______＿__＿＿_。
9. 在主量⼦数为n=２,⾃旋磁量⼦数为s=1/2的量⼦态中，能够填充的最⼤电⼦数是__＿_____。
10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现,⼀束处于s 态的原⼦射线在⾮均匀磁场中分裂为两束,对于这种分裂⽤电⼦轨道运动的⾓动量空间取向量⼦化难于解释,只能⽤____＿____来解释。
⼆、计算题11. 如果⽤13．0 eV 的电⼦轰击处于基态的氢原⼦,则: (１）氢原⼦能够被激发到的最⾼能级是多少?(2）氢原⼦由上⾯的最⾼能级跃迁到基态发出的光⼦可能波长为多少? （３）如果使处于基态的氢原⼦电离,⾄少要多⼤能量的电⼦轰击氢原⼦?12. 写出磷的电⼦排布,并求每个电⼦的轨道⾓动量。
量子力学：氢原子理论2
S N
P
e Pm L 2m B Fz Pmz z
m
应无偏转
• • •
轨道运动磁矩 不均匀磁场 (2l＋1)
基态银原子l＝0 L 0, LZ 0, PmZ 0
实验结果有两条偏转线。射线的偏转表明： 设自旋角量子数为S 即：
电子还应具有自旋角动量 写成 (2l＋1)
2
方程成立条件是两边同为一常数， 令：m
1 d 2 得： ml2 d 2
2 l
⑴
( )
1 2
e
iml
sin d 2 dR 2m 2 2 e (r ) 2 r sin ( E ) R dr dr 4 0 r
2 2
1 d d sin (sin ) ml2 d d
同一主壳层内有2n2个可能的量子态 简并度:
Z
l n 1 l 0
2 (2l 1) 2n 2
泡利不相容原理： 多电子的原子系统中，不可能有两个电子具 有相同的状态。也就是说，描述电子状态的两组 量子数（n1l1ml1ms1)和(n2l2ml2ms2)不完全相同的。 能量最小原理： 能量最小的状态是原子的最稳定的状态， 即原子的基态。电子在原子诸壳层中必须这样 分配，使得原子的能量为最小值。 电子的排布表达方法： 如：Z=18,氩 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 不正常，可容 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 5 Z=17 纳10个电子 Z=11 1s 2 2s 2 2 p 6 3s1 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 3d 6 4s 2 Z=26铁
L
l( l 1 )
l 0 ,1 ,2( n 1 )
量子力学专题氢原子
3. 几率密度随角度变化
对 r ( 0∞) 积分
Wnlm (r, , )d | nlm (r, , ) |2 r 2dr sindd
Wlm ( , )d
Rnl(r)已归一
| Ylm ( , ) |2
d
|
0
Rnl (r )r 2dr
电子在 (θ,) 附近立体角
d =
sin d d 内的几率
| Ylm ( , ) |2 d
8r a04
(a0 r )e 2r / a0
0r
a0
a0Wn l(r)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
Wn l (r) ~ r 的函数关系
[n，l]
[1，0]
Rn l (r) 的节点数 n r = n – – 1
[2，0]
[3，0]
[4，0]
03 6
9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
2. 径向几率分布
1.氢原子的波函数 将上节给出的波函数取 Z=1,
μ用电子折合质量，就得到 当氢原子处于ψnlm(r,θ,)时，
氢原子的波函数：
电子在(r,θ,)点附近体积元
n1
对空间立体角积
d = r2sin drdd 内的几率
R e 2 r / a0 10 a03/ 2
n2
分后得到在半径 r r+dr 球壳内找到电子
r
(r 2
r
)
Lˆ2 2r 2
Ze2 r
R(r)Ylm ( , )
ER(r)Ylm ( , )
并令 R(r) = u(r) / r 代入上式得u(r)的方程
径向部分：
d 2u dr 2
氢原子
波函数的非奇异性要求:
l (l 1) , l 0,1,2,3,
而且
l | m |
径向波函数满足:
1 d 2 dR 2 2 l (l 1) (r ) { 2 }R 0 2 dr dr r r r
其中
2
2me E 2
e2 , 2 4 0 me
2
( ) 满足的方程为:
d 2 2 d
它的通解为:
Ae
im
Be
im
m
2
波函数在空间中各点须是单值的, 所以必须有: ( 2 ) ( ) 那么只能取 取它的一个特解, 由归一化条件, 这样,
m 0,1,2,
m ceim
z
z
z
x
2 Y00
2 Y10
x
x
Y11
2
1 4
3 cos 4
3 sin 8
2
z r cos
x r sin cos
角动量量子化
玻尔理论中曾假设:
L n , n 1,2,3,
后来的量子力学证明这个假设是有些问题的. 在经典物理中, 质点的角动量为 把力学量视为算符, 则有:
3 i Y11 ( , ) sin e 8 3 i Y1,1 ( , ) sin e 8
Ylm ( , )
径向的波函数 也只举例说明一下.
Rnl ( r )
1 3 / 2 r / a0 R10 (r ) ( ) 2e a0 1 3/ 2 r r / a0 R20 (r ) ( ) ( 2 )e 2a0 a0 1 3 / 2 r r / 2a0 R21 (r ) ( ) e 2a0 3a0
薛定谔方程求解氢原子
一、氢原子的薛定谔方程
电子在原子核的库仑场中运动：
U Ze2
4 0r
定态薛定谔方程：
[ 2 2
e2
]
(r )
E
(r )
2 4 0r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
l 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数 来自于薛定谔方程求解
过程条件限制的必然结果！ ~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
L l l 1
名字s.p.d. f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n
个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角
动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微影响
1926年，海森堡解得氢原子的
能量 En,l为
En,l
13.6 n2
L 转动惯量I 角速度 mr2 mvr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏观一样，
方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些特定值跟l有关,可能 存在的方向为2l+1个！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的
轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角 动量L=0！所以不存在方向问题！对应 的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
L l l 1
工科无机化学中类氢原子电子云几率密度函数与D(r)的关系探讨
工科无机化学中类氢原子电子云几率密度函数与D（r）的关系探讨作者：徐梦姣赵建茹来源：《新教育时代·学生版》2017年第04期摘要：从广义的几率密度概念出发探讨和D（r）的物理意义。
笔者认为不仅而且和D （r）都具有电子出现的几率密度的含义，分别表示为空间几率密度、角度几率密度和径向几率密度。
用广义的几率密度概念可把和D（r）三者联系起来。
同时本文还讨论了三种常见的径向分布函数D（r）的表达式，其中D（r）=r2R2（r）最为简练。
关键词：类氢原子几率密度函数无机化学一、电子云几率密度根据M. Bern （玻恩）解释，处于态的电子在核外空间附近体积元内出现的几率为[1]：几率密度通常在无机化学中讨论的是实波函数，故。
欲在平面或三维空间描绘出的空间分布是很困难的。
对此常采取两种方式来克服这个困难。
第一种方式是绘出电子云的小黑点示意图、电子云等密度面图或电子云界面图。
这类图形可直观地表示出空间电子出现的几率密度（）的大致分布情况。
第二种方式是分别从径向分布和角向分布来讨论电子出现的几率密度分布。
从而产生电子云的径向分布函数D（r）和电子云的角度分布函数，根据这两个函数来绘制电子云径向分布图和电子云角度分布图，这不仅是可行的而且很有使用价值。
在核外空间，角度方向附近的微小立体角内电子出现的几率：由的归一化条件，并令得：由此式可以看出的物理意义可以解释为在核外空间角度方向附近单位立体角内电子出现几率。
将上式对Ω在整个空间积分，可得在全部空间出现电子的几率：在核外空间，距核为r的球面附近厚dr的薄球壳中，电子出现的几率。
根据归一化条件所以，得：可见D（r）的物理意义可理解为在核外空间距核为r的球面附近单位厚度的球壳内电子出现的几率。
若将此式对r从0到∞积分，即：。
为什么说和 D（r）都具有电子出现的几率密度的含义呢？按照概率论的观点，若某一状态间隔dA内的几率为，可写作：，即：，式中可以看作单位状态间隔内的几率，叫做几率密度[1]。
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r 2 e 2 r / a0
求最可几半径极值
1 81 3a0
31 r a
1 a0
r) e
1 2 3 a0 r
dW10 ( r ) 4 2 2 2 r / a0 3 ( 2r r )e dr a0 a0 8r ( a0 r )e 2 r / a0 0 r a0 4 a0
Z
z
y
x z y例3. =1, m = 0 时，W1,0() = {3/4π} cos2。 正好与例2相反，在 = 0时，最大；在 =π/2时， 等于零。 x
m = +2
m = +1
m=0
=2
m = -2
m = -1
Wlm ( , ) ：表示氢原子内电子在束缚定 角向分布函数 态 nlm (r ) 下，在 ( ,) 方向上单位立体角内出现的总 几率，与角 无关，但随角 而变化， 除电子在 S 态外。
由于没有交叉项，波函 数可以采用分离变量表 示为：
2 2 2 2 R r V ( r ) ET 2 ( ) 2 1 2
代入上式 并除以 (r) (R)
( r ) ( R )
2 1 2 2 1 2 V ET R r 2 ( ) 2 1 2
3. 几率密度随角度变化
对 r ( 0∞) 积分
Wnlm ( r , , )d | nlm ( r , , ) |2 r 2dr sindd
Wlm ( , )d
Rnl(r)已归一
| Ylm ( , ) |2 d | Rnl ( r )r 2dr
例1. =0, m=0，有 ： W00 = (1/4)，与 也无关，是 一个球对称分布。
z
y x
例2. =1, m=±1时，W1,±1(θ) =(3/8π)sin2 。在= π/2时， 有最大值。在=0沿极轴方向（z向）W1,±1= 0。
例3. =1, m=0 时， W1,0() = {3/4π} cos2。正好与例2相反， 在 = 0时，最大；在 =π/2时，等于零。
y 右图示出了各种 ,m态下，Wm() 关于 的函数关系，由于它与 角 无关，所以图形都是绕z轴旋转对称 的立体图形。 x
例 2. =1, m=± 1 时， W1,±1(θ) = (3/8π)sin2 。在 = π/2时， 有最大值。 在 = 0 沿极轴方向（z向）W1,±1 = 0。
[2 (r ) [ (r ) (
1 3/ 2 3 a0 2 3/ 2 2 a0 27 3 2 3/ 2 1 a0 81 15
W10 ( r ) R10 ( r )r 2
4 a0 3
考虑球谐函数 的归一化
4 3 a0
r ( r ) ]e r ] re
第二式是质心运动方程，描述 能量为(ET-E)的自由粒子的定态 Schrodinger方程，说明质心以能 量(ET-E) 作自由运动。
（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布
1.氢原子的波函数
将上节给出的波函数取 Z=1, 当氢原子处于ψ nlm(r,θ ,)时， μ 用电子折合质量，就得到 电子在(r,θ ,)点附近体积元 氢原子的波函数： d = r2sin drdd 内的几率 对空间立体角积 分后得到在半径 Wnlm ( r , , )d r r+dr 球壳内找到电子 | nlm ( r , , ) |2 r 2 si ndrdd 的几率
0
例 1. =0, m=0 ， 有 ： W00 = (1/4) ，与 也无关， 是一个球对称分布。
电子在 ( θ , ) 附近立体角 d = sin d d 内的几率
| Ylm ( , ) |2 d
(1)
N lm | Pl (cos ) |2 d
2 m
z
该几率与 角无关
电子坐标取值几率的角 向分布函数随角度 的 变化有明确的方向性： 分子中共价键的方向性
只与 R 有关 于是：
我们感兴趣的是 描述氢原子的内部状态的 第一个方程，它描述一个 质量为 的粒子在势能为 V(r) 的力场中的运动。这 是一个电子相对于核运动 的波函数 (r) 所满足的 方程，相对运动能量 E 就 是电子的能级。
只与
r 有关
2 2 ( r ) V ( r ) ( r ) E ( r ) r 2 2 2 R ( R ) ( ET E ) ( R ) 2 ( ) 1 2
0 0
2
1 3/ 2 1 2 a0 a0 3
21 r a
Rnl ( r )r 2dr d | Ylm ( , ) |2 sind
2 0 0
2
例如：对于基态
4 1 27 a0 1 a0 2 31 r a
0
n3
Rnl (r )r 2dr
2
2
R30 ( r ) R31 R31
21 r a0
2. 径向几率分布
n1
r / a0 R10 a 2 3/ 2 e
0
n2
R20 ( r ) R21
(r )
1 3/ 2 2 a0
( 2 a10 r )e re
0
Wnlm (r )dr d | Rnl ( r )Ylm ( , ) |2 r 2 sindrd