2019-2020学年高中数学选修4-4人教版练习：第一讲二极坐标系Word版含解析

第一讲坐标系

二、极坐标

高效演练知能提升

A级基础巩固

一、选择题

1点P的直角坐标为(1,- 3),则它的极坐标是()

A.Q

B.(2,

C.^T)

D.(2'-竽)

解析：p= 2, tan B=—叮3,因为点P(1,- 3)在第四象限’

/ n

故取e=- 3,所以点P的极坐标为2,- n

答案：C

2. 将点的极坐标(n , —2n )化为直角坐标为()

A. ( n , 0)

B. ( n , 2 n )

C. (— n , 0)

D. (—2n , 0)

解析：x=兀cos(— 2 兀)=n , y=兀sin(— 2 兀)=0,

所以点的极坐标(n,—2兀)化为直角坐标为(n, 0).

答案：A

3. 设点P对应的复数为一3+ 3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()

A. 3 2,条

B. —3 2,右

解析：点P 的直角坐标是（一3, 3）,极坐标是3 2, 一卜 '4 丿

答案：A

4. 若 p = pH 0, & — 02= n,则点 M （ p ,①）与点 N （ p, 02）的位

置关系是（

）

A .关于极轴所在直线对称

B .关于极点对称

C .关于过极点与极轴垂直的直线对称

D .重合

解析：因为p = p M0, 01— 0= n,故点M , N 位于过极点的直 线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称.

答案：B 二、填空题

广 3 、 （ \

5. 在极坐标系中，已知点 A1, 4n J, B2, -4 J,贝“ A 、B 两点 间的距离为 _______ .

解析：由公式 |AB| = pl + p — 2 p i P2COS （ 01 — 02）,得 |AB| =

答案：5

6.已知A , B 两点的极坐标为6, n j, 8, fj,则线段AB 中 点的直角坐标为 ________ .

C. 3, 5 4n

D.r 3

,4n

3

n

所以A , B 两点的直角坐标是(3, 3 3), (— 4,— 4 3), (n (

7 n

7.在极坐标系中，0为极点，若A3, 3 J, B — 4,石J ，则厶AOB 的面积等于 ________ .

解析：点B 的极坐标可表示为g, n ，

n n n

则/AOB = 3—

6= 6 ,

1

1

兀

故 Sg AB = 2|0A| ・|OB|sinZAOB = q x 3X 4 s in 石=3. 答案：3

(7 n

「八2x ,

8.平面直角坐标系中，若点 P 3, 7经过伸缩变换＜ ,1

i 2， [y = 后的点为Q ,则极坐标系中，极坐标与 Q 的直角坐标相同的点到极 轴所在直线的距离等于 _____________ .

(7n X=x ,

解析：因为点P 3, 经过伸缩变换彳 1 后的点为

'2〉 ”=y Q6,则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所

(n

解析：因为A , B 两点的极坐标为6, 3)

8

, 4n 3，

所以线段AB 中点的直角坐标是

答案:

1 2’

1 2,

sin 7n=3. 在直线的距离等于6

答案：3 三、解答题

( 冗、 (

5n ' 9.在极坐标系中，如果A 2, z , B 2, n 为等边三角形ABC < 4

丿 < 4

丿

的两个顶点，求顶点 C 的极坐标(p> 0, 0< 0 < 2n ).

/ 、

n

n n □—

解：对于点 A 2 一 有 p= 2, 0= T ，所以 x =2cos "j = J 2,

i ' 4丿

4

4

n

y = 2sin 4 = 2,则 A( 2,

2).

x= p 6, 解得

ly= — 7

6

所以点C 的坐标为(6,— 6)或(—6, 6).

当x = 6, y =— 6,即点C 在第四象限时，

对于B 2,

5 n

有 p=

2, 0

=~4,

5 n 厂 所以 x = 2cos 4 =— 2, y = 2sin 5n 4 =— 2・ 所以 B( — 2，— 2).

设点C 的坐标为(x , y),由于△ABC 为等边三角形,

故 |AB| = |Bq = |AC|= 4.

所以

(x - 2) 2+(y - 2)

(x + 2) 2+(y + 2) 16, 16.

x =— 6,

或

y = 6.

有p= 2 3, tan 0= —1,所以尸2』3, 0 = 4n.

3

当x =— 6, y = 6,即点C 在第二象限时，有尸2 3, 0=厶兀.

( 7n 〔

3n

故点C 的极坐标为2民-4-或 2\3,〒.

<

4

丿i

4丿

10•如果对称点的极坐标定义如下：

当已知M( p, 0 )( p> 0, 0€ R)时，点M 关于极点0的对称点 M '

— p, 0 ).

例如，M 3, n 关于极点 0的对称点 M ，— 3, n ],就是说 I 3丿 I

3丿

r n 、 r n 、一

一

3, n +n 与—3, "3表示的就是同一点.已知

A 点的极坐标是

「 5n 、 一 6, 5^，分别在下列给定条件下，写出 A 点的极坐标： < 3丿

(1) P> 0,— n < 0< n ・ (2) p<0, 0< 0<2 n ・ (3) p<0,— 2n < 0<0・

即点A 与A‘关于极点O 对称. 由极坐标的定义知

解：如图所示, |OA =|OA '=6,/xOA ‘

2 n 5 n =

3 ,/x0A = 3 ,