波利亚解题思想研究
波利亚解题理论在小学数学中的应用研究
波利亚解题理论在小学数学中的应用研究作者：刘海潇来源：《河南教育·基教版》2024年第05期在笔者进行的一项“学生应用题解题错因分析”问卷调查中，近百名数学教师明确表示：学生的审题技巧、理解分析能力、逻辑思维能力、运算能力、反思验证习惯，是提升学生解题能力的重要条件。
而笔者所关注的波利亚解题理论正是强调数学问题的思考过程，关注学生数学阅读能力的培育、数学思维的发展、解题习惯的培养和解题能力的提升。
在小学数学解题教学中实践与探究波利亚解题理论，不仅可以将知识构建和技能运用有效地整合起来，而且对提升学生解题能力有重要的引领作用。
立足于波利亚解题理论，通过对小学近500名学生的调查问卷分析，“解题错因”可以概括为以下五点。
第一，审题不严，问题不明，理解出现偏差。
许多学生在审题时一目十行地浏览一遍，不能精准找到解决问题的必要条件;遇到文字材料丰富的生活情境题目时，不注意深度挖掘关键信息，不能反复推敲揭示数量关系的关键词句，不能把复杂的问题转化为熟悉的问题，导致对题意的理解出现偏差，无法实现正确解题。
第二，关系不清，思维错位，解题思路混乱。
在实际教学中，一些教师只强调怎样解题，习惯越俎代庖，直接给学生指出题目中的关键信息和解题思路，忽視了对学生自主阅读、审题技巧、思考概括等能力的培养，导致学生表面上似乎很快理清了数量关系，能快速得出准确答案。
但在独立解题过程中，就会出现数量关系混淆、概念模糊不清、思维重点错位、解题思路混乱等现象。
第三，思维定式，不懂变通，思考问题片面。
许多学生的思维以具体形象思维为主，习惯从正面思考问题、寻找解题方案，遇到信息量大、条件复杂的问题时，就出现思维定式、不善变通，致使思考问题片面，解题思路混乱。
第四，算理不明，算法不清，运算能力欠缺。
有的学生在运算时不能透彻地理解算理、明确算法，对运算的意义和价值认识过于狭隘，造成知其然不知其所以然的尴尬局面。
第五，反思验证，意识薄弱，解题习惯有待提高。
波利亚解题思想研究
作为一个数学教育家，波利亚的主要贡
献集中体现在《怎样解题》(1945年)、 《数学与似真推理》(1954年)、《数学 的发现》(1962年)三部世界名著上，涉 及“解题理论”、“解题教学”、“教 师培训”三个领域．波利亚对数学解题 理论的建设主要是通过“怎样解题”表 来实现的。著名数学家互尔登在瑞士苏 黎世大学的会议致词中说过：“每个大 学生、每个学者、特别是每个教师都应 该读这本引人入胜的书”(1952年2月2
执行计划
把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式 子表述出来； 修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案； 解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
你能拟定其它解题方案吗? 你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它 的方法吗? 你能找到什么方法检验你的结果吗?
数学究竟是由什么组成的？
解题是数学的特点
• “夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法， 必设一题．” ——杨 辉 • “从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思 考，他们需要进行数学式的思维．” ——美国数学科学委员会(1989) • 学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和 较高水平的人切磋(做有一定难度的题)，棋力(数 学水平)才有长进．此外，还需揣摩成局(学习定 理的证明或著名问题的解法)，领会其精髓(深刻 的数学思想) ——单墫
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍 解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的 圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
基于波利亚数学解题思想的解题教学——以圆锥曲线的“最值问题”为例
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀基于波利亚数学解题思想的解题教学以圆锥曲线的 最值问题 为例◉哈尔滨师范大学㊀刘思宁㊀吴丽华㊀㊀摘要:本文中以高考中圆锥曲线的 最值问题 为例,探析波利亚解题思想在数学解题教学中的应用,寻找能够启发学生数学思维的解题教学方法．关键词:波利亚;解题教学;圆锥曲线㊀㊀圆锥曲线是高中数学的重要内容,也是高考数学重点考查的内容．这部分内容对于学生来说比较吃力,故本文中以圆锥曲线的 定值㊁最值问题 为例,探析波利亚解题思想在圆锥曲线解题教学中的应用．１波利亚的解题理论一个好的解法是如何想出来的? 这是大部分学生在完成数学作业中一直困惑的问题．波利亚[１]在«怎样解题»中的每一个问题就像是解决问题思维过程的慢镜头动作 ,也像是我们解决问题时内心的独白．第１步:理解题意[２]．理解问题的含义是波利亚 如何解决问题表 的第一步,即检查问题．学生应该熟悉问题,并回忆起相关的知识,以找到未知的数量㊁已知的数据和条件,并用数学符号表达条件给出的信息．第２步:拟定方案．拟定方案是问题解决的中心环节,关键是要找到已知条件和所求问题之间的密切关联,从而形成一个可行的解题方案．学生要根据头脑中原有的数学知识结构找到与所求问题之间的桥梁．第３步:执行方案．方案拟定完成,这个阶段学生要做的是认真写下解题过程,确保条件充分使用,在解决过程中准确无误,思路清晰．第４步:回顾．回顾是检查问题解决活动的过程,也是问题解决活动中一个重要也很容易被忽视的环节．我们得出的解决问题的方法,要经得起 特殊 的检验,哪怕有特殊个体出现也适用才行,因为,我们找到的解决方法需要能重复使用,甚至能解决其他领域的问题．解答完后还需要复盘,找到可以改进的地方．２解题教学方法探析笔者试图将解题教学策略应用在圆锥曲线的综合问题中,以近年来圆锥曲线常考的问题,如轨迹方程,圆锥曲线有关的最值问题为例．图１例题㊀如图１,已知点F (１,０)为抛物线y ２＝４x 的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得әA B C 的重心G 在x 轴上,直线A C 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧．记әA F G ,әC Q G 的面积分别为S １,S ２．求S １S ２的最小值．解题分析:第１步:理解题目．教师:未知是什么?学生:S １S ２的最小值．教师:已知是什么?学生:焦点F (１,０);抛物线方程y ２＝４x ;әA B C 的重心G 在x 轴上;Q 在点F 的右侧．教师:条件是什么?学生:过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得әA B C 的重心G 在x 轴上,直线A C 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧．记әA F G ,әC Q G 的面积分别为S １,S ２．教师:是否满足条件?学生:满足条件．①根据三角形重心性质构建三角形面积之比;②通过相似三角形和三角形的性质将面积比转化为底边之比;③利用面积和纵坐标之间的关系,借助基本不等０６２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀式㊁最值求解方法㊁韦达定理,求得比值的最小值．教师:要确定条件是否充分?是否多余?是否矛盾?学生:条件应该是充分的．①已知点G 为三角形的重心,可得әA F G 和әC Q G 与әA B C 面积比值．设点A (x １,y １),B (x ２,y ２),C (x ３,y ３),这里y １＞０,将面积之比转化为边长之比,再由边长之比转化为坐标之比．②由三角形重心坐标公式,得y １＋y ２＋y ３＝０,将直线与椭圆方程联立,通过韦达定理进一步得出S １S ２．③根据最值知识点求解问题．点评:题目当中所蕴含的条件比较多,需要学生对其进行一一分析,体会条件与条件的关系．第２步:制定计划．教师:本题与以前做过的题目相类似吗?由此能联想到什么学生:有过类似的题目．能联想到三角形高线性质㊁焦点弦㊁最值的求解问题等．教师:解决此类问题有什么常用方法?学生:有几何问题代数化法,利用函数求最值等．教师:能以其他方法叙述这道题目吗?学生:①抛物线上三点A ,B ,C 形成三角形,三角形的重心在x 轴上;②根据重心的相关性质,将面积之比转化为点的纵坐标之比,得出S １S ２;③利用换元法简化算式,化简后结合函数的单调性求解．点评:结合题目给出的条件,从已知推未知,梳理思路,建立联系．第３步:执行计划．教师:上述解题思路是正确的吗?学生:是正确的．根据三角形重心,得出әA F G 和әC Q G 与әA B C 面积的关系,再转化为纵坐标之比;根据三角形重心坐标公式,找出纵坐标y １,y ２,y ３的关系进行转化;针对问题建立关于参数的函数式,利用函数单调性或者求极值的方法求最值,并结合换元法来简化计算．教师:能否证明它是正确的?学生:延长A G ,交线段B C 于点P ,由әA B C 的重心为点G ,可得A G ʒG P ＝２ʒ１,所以S әB G C ＝１３S әA B C ．同理,可得S әA G C ＝１３S әA B C ,S әC G Q ＝|C Q ||A C |S әA G C ．又因为|C Q ||A C |＝|y ３||y ３|＋y １,所以S әC G Q ＝S ２＝|y ３||y ３|＋y １S әA B C ３．又|A F ||A B |＝y １|y ２|＋y １,所以S әA F G ＝S １＝|A F ||A B | S әA B C ３＝y １|y ２|＋y １ S әA B C ３．故S １S ２＝y １|y ２|＋y １ |y ３|＋y １|y ３|．根据三角形重心坐标公式,可知y １＋y ２＋y ３＝０．因为直线A C 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧,所以只需点C 在点B 的右侧,即y ３＜y ２,y ３＝－y １－y ２．将过F 的直线A B 与抛物线方程联立,由韦达定理,得y １y ２＝－４,所以S １S ２＝y １|y ２|＋y １ |y ３|＋y １|y ３|＝２y ２１＋y １ y ２|y １＋y ２| (y １－y ２),化简,可得S １S ２＝２y ２１－４y ２１－y ２２＝２y １４－４y ２１y １４－１６．令y ２１＝t ,则有S １S ２＝２t ２－４t t ２－１６＝２＋３２－４t t ２－１６＝２－４ˑt －８t ２－１６．令t －８t ２－１６＝u ,对u 求导,得u ᶄ＝－t ２＋１６t －１６(t ２－１６)２．令u ᶄ＝０,根据条件可知t ＞４,所以t ＝８＋４３,可知所求的t 为u 的最大值点,此时S １S ２最小,将t ＝８＋４３代入可求得S １S ２的最小值等于１＋３２．点评:整个解题过程建立在数形结合的基础之上,这个过程需要学生有一定的运算能力,通过最值问题的求解提升学生的数学运算核心素养和推理论证能力．第４步:回顾．教师:此题主要考查了哪些知识点?解决最值问题可以从哪些变量入手?学生:三角形面积的比值的最小值问题,其中涉及了抛物线㊁直线方程㊁重心性质㊁韦达定理等基础知识,考查了运算求解与转换化归的思想．求函数最值常用配方法㊁单调性法㊁判别式法㊁基本不等式法㊁导数法和换元法等搭配使用．点评:本题所涉及的知识点较多,运用的方法也比较多元,计算量大,需要学生有很强的逻辑思维才能完成．通过此题的练习,学生在解圆锥曲线最值问题的求解方面会有很大突破．在解决问题的过程中,教师需要把握教学目标,巩固学生对已学知识的认知结构,丰富学生对问题的认知体验,培养学生解决问题的能力和兴趣．以波利亚[１]的«怎样解题»为依据,教师也应立足主题,充分发挥主题的价值,并运用到实际教学中．参考文献:[１]波利亚．怎样解题[M ]．涂泓,冯承天,译．上海:上海科技教育出版社,２００２．[２]周晨晨．浅谈波利亚四步解题法在数学解题中的应用 以一道高考圆锥曲线题为例[J ]．数学学习与研究,２０２０(５):１３３Ｇ１３４．Z１６。
基于波利亚“怎样解题表”的解题教学研究——以2019年高考题全国卷Ⅰ第19题教学为例
基于波利亚“怎样解题表”的解题教学研究——以2019年高考题全国卷Ⅰ第19题教学为例黎琳俐吴艳秋彭瑶（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州404120）摘要：数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏”，解题是学习数学的重要部分。
本文主要以2019年高考题全国卷Ⅰ第19题教学为例，探讨在解题教学中波利亚“怎样结题表”的具体应用，并提出三点思考：理解题目分为“熟悉题目”和“深入理解题目”，拟定方案和执行方案是关键，“回顾”包括检验结果和反思。
关键词：波利亚“怎样解题表”；解题教学；三点思考波利亚（George Polya,1887-1985），著名美籍匈牙利数学家。
主张数学教育的主要目的之一是发展学生的解决问题的能力，教会学生思考，不仅要理解题目的解答过程，还要理解这个解答的动机和步骤，在他的《怎样解题》（How to solve it ）这本书中，将他的解题思想用一张“怎样解题表”来呈现，对数学解题研究有着深远影响。
本文以2019年高考题全国卷Ⅰ第19题教学为例，探讨“怎样解题表”在高中数学解题教学中的具体应用。
一、“怎样解题表”波利亚曾说过：“解题的价值不是答案本身，而是弄清是怎样想到这个解法的？”“怎样解题表”中将解题过程分理解题目，拟定方案，执行方案和回顾，现在笔者将其概括罗列出来（见表1）。
表1怎样解题一、理解题目二、拟定方案三、执行方案未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？画一张图，引入适当的符号.①你以前见过它吗？你知道一道与它有关的题目吗？②你知道一条可能有用的定理吗？③观察未知量！并尽量想出一道题目和你的题目有关而且以前解过.④你能重新叙述这道题目吗？回到定义上去.⑤如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目.⑥你能解出这道题目的一部分吗？⑦你用到全部的条件了吗？你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？①执行你的解题方案，检查每一个步骤.②你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能否证明它是正确的？基金项目：重庆市高等教育教学改革研究项目（项目编号193192），重庆三峡学院高等教育研究项目（项目编号：GJ201908）。
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用《普通高中课程标准（2017版）》中的课程目标提到在高中阶段要通过高中数学课程的学习，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。
因此，高中数学教学十分重视学生解题能力的培养。
但传统的解题教学往往是模仿典型例题做变式训练，在这样的解题教学方式下，学生能通过大量地做题提高解题能力，却缺乏一个解题思维的培养过程。
著名的数学教育家波利亚在他所著的《怎样解题》中，针对人们解题思维的过程提出解题的四个步骤是：弄清问题→拟定计划→实施计划→回顾。
解题能力的培养并非让学生打“题海战术”，而是通过解题思维的培养以达到解题能力提高的目的。
本文以一道高考立体几何题为例，谈谈如何利用波利亚的解题思想培养学生的解题能力。
“学贵有疑”，回顾上述例题运用“怎样解题表”进行解题的过程，可见引导学生提出问题进行分析，探究解决问题的方法，有助于培养学生良好的思维习惯。
解题的第一步必须先弄清题目，“怎样解题表”通过分析题目的已知条件，将已知条件拆分并从中挖掘出其隐含的信息。
实际上，无论这些隐含信息是否在解题中用得上，这一过程对于学生分析问题的能力都是有很大帮助的。
第二步，在弄清问题的基础上，努力利用这些已知的信息与未知之间建立联系，若找不出直接的联系，就对原问题做出必要的变更或修改后，引进相应的辅助问题，从而拟定解决问题的计划。
在进行了第一、二步后，第三步的实施计划就显得较为简单了，根据拟定好的解题计划写出解题过程即可。
最后回顾题目，对解题过程进行反思、总结，教师应注意启发学生开阔思路，发散思维，学会多角度分析和多种解法。
波利亚认为，中学数学教育的根本目的是“教会年轻人思考”。
故在解题教学中，教师应从“扶”到“放”，循序渐进引导学生自主探究，使学生的思维受到良好的训练。
波利亚的《怎样解题》[word版]
![波利亚的《怎样解题》[word版]](https://img.taocdn.com/s3/m/b81648d6162ded630b1c59eef8c75fbfc67d945e.png)
波利亚的《怎样解题》[word版]乔治·波利亚是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师．波利亚在数学教育领域最突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。
波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》。
波利亚的四步解题法：
1.彻底理解问题
2.形成解决思路
3.执行
4.总结
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。
2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。
如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。
3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可
凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。
解读波利亚解题思想培养创造性思维
给一点发明的尝试。对于一个想以数学作为终身职业 题为目的的”。如， 你知道与它有关的问题吗？ 你能不
的学生来说， 为了在数学上取得真正的成就， 就得掌 能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题？ 你是
握合情推理； 对于一般学生来说， 他也必须学习和体 否见过形式稍微有不同样的题目？ 你能不能想出一个
模式。在这里， 我们可以引导学生弄清问题， 审清题
３． 炼就学生的 质 疑 思维 能 力 ， 是培 养 学 生创 造 性
意， 深入观察， 发现题中所显示的规律只是一种迷人 思维的重点。波利亚致力于培养学生的独立探索能
的假象， 并不能帮助解题 ， 突 破 这种 定 势 的干 扰 ， 最 终 力。从教育心理学角度 看 ，“怎 样解 题 表 ”的确 是 十 分
思维的关键。波利亚 反复 呼 吁 ： 只要 我 们 能承 认 数 学 探索法”的主要特点就是变更问题， 诱发灵感。在波利
创 造 过 程 中 需 要 合 情 推 理 、需 要 猜 想 的 话 ， 数 学 教 学 亚看来， 解题过程就是不断变更问题的过程。事实上，
中 就 必 须 有 猜 想 的 地 位 ， 必 须 为 发 明 做 准 备 ， 或 至 少 “怎样解题表”中许 多问 题 和 建议 都 是“直接 以 变 化问
但这可能是知识经验所产生的负迁移。这种思维定势 生猜想。这样随着猜想 的 不 断深 入 ， 学 生的 创 造 性动
的 干 扰 表 现 为 思 维 的 呆 板 性 ， 而 深 刻 地 观 察 、细 致 的 机 被 有 效 地 激 发 出 来 ， 创 造 性 思 维 得 到 了 较 好 的 培
分析， 克服了这种思维弊端， 形成自己有创见的思维 养。
验合情推理， 这是他未 来生 活 的 需要 。在 我 们的 数 学 更 容 易 着 手 的 有 关 问 题 ， 一 个 更 普 遍 的 题 、一 个 更 特
波利亚解题思想论文
波利亚解题思想论文摘要：所谓解题的反思策略是指在解题完成以后解题者对自身思维过程进行重新认识和体验的一种策略。
波利亚将解题反思作为他解题四步走中的一步，犹可见其重要性，而在现实教学中，教师往往忽视这一步，使得学生的解题技能很难取得大的突破。
一、关于解题策略关于解题策略的概念，目前学术界尚没有统一界定，他们从不同的研究角度对解题策略进行了不同的界定。
本人结合前人研究，认为解题策略实质上是关于如何解题的一系列程序性知识，其内涵是指：在解题过程中，解题者为了达到有效解题的目的，而采用的规则、方法、技巧及调控方法的总和，它能根据解题情境中的各种变量、变量间的关系及其变化，对解题活动和方法的选择与使用进行调控。
它具有如下特点：1.操作性和监控性。
2.外显性和内隐性。
3.主动性和迁移性。
二、波利亚解题策略的分析目前对解题策略的概念没有统一界定，因而对解题策略的分类也是百家争鸣。
本人从波利亚的著作《怎样解题》中分析出几点策略，下面将结合具体的例题作简要阐释。
1、精细加工策略。
指把新信息与学生头脑中的旧信息联系起来，寻求字面意义背后的深层次意义，或者增加新信息的意义，从而帮助学生更好地理解题目的策略。
（1）首先，精细加工策略可以帮助学生理清题中的已知量、已知条件和未知量。
例：为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯。
已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品。
甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个。
乙店一律按原价的80℅销售。
现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元。
分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；解题分析：首先，找出题目所求是：两个函数关系式，其中已知量是：路灯每个5000元，已知条件是：甲厂家不超过100个就按原价付款，超过100个则每超过一个价格减少10元，但不低于3500元；乙厂家一律按原价80%销售。
波利亚解题思想的应用研究
未 知量，或者 它不够充分， 或者多余， 或者矛盾等 等 ．因此拿到 一个较为复杂 的题目时， 应尽可能多
的弄清上述各要点，对题目有一个宏观的了解．
例 1 若集合 M = {y | y = x,x 为实数 } , N = {y | y = x2 ,x 为实数 } ,则( )
A． M ∩N = φ C． M ∩N = R
学 史上产生了深 远的影响． 尤其是他所 著的《怎样 解 题》一书更堪 称为解题教 学的经典之 作，被各国
数 学教育工作者 广泛应用于 教学研究． 本文将举例
阐述波利亚的解题思想在中等数学解题中的应用． 波 利亚在《 怎样解题》 一书中指出 ：第一， 弄
清 题意，即审 题；第二，拟 订方案，即 找出已知数 据 与未知量之 间的联系，构 思解题思路 ；第三，执
B． M ∩N = N D． M ∩N = M .
分 析：容易错选 C ，原因在于 没有弄清已知量
M , N 的含 义．分析题目可知， M , N 不是定义域而 是值域，故 M 应为实数集，而 N 为非负实数集，所
Байду номын сангаас
以正确的答案应该是 B．可见没有弄清题意就贸然下 手，往往做无用之功．
2 拟订方案 在 对 题 目宏 观 理解 的 基 础上 就 要 执行 下 一 步
例 2已知 ( z x)2 4( x y)( y z) = 0 ,求证 x, y, z 成等差数列．
分 析：很多 人拿到题目 后，从一元 二次方程 的 根 的判别式上 去考虑，构造 出以下的方 程来解题： t2 + ( z x)t + ( x y)( y z) = 0 ．因为判别式 = ( z x) 4( x y)( y z) = 0 ，所 以该方程有两个相等 的 根 ，即： x y = y z ． 从而 x, y,z 成等 差数列． 当 然 ，这不失为 解题的一种有 效方法．但 是若从简单 考 虑 ， 这就 不 是 理想 的 解法 了 ． 本题 如 果 将 x y, y z 分 别 记 为 a,b ． 那 么 题 目 就 转 化 为 (a + b)2 = 4ab , 即 (a b)2 = 0 ， 从 而 a = b ． 即 ： x y = y z ，从而 x, y,z 成 等差数列 ．这样仅用 最 基 本的知识就 解决了问题． 与第二种方 法相比，前 者 构造方程的 解法恰与“简 单求解”的 初衷相反， 将简单的问题复杂化了． 2.2 注重共性、通法、一 般化和特殊化
波利亚“解题理论”及启示
检 验 回顾 是 解 题 的魅 力 所 在 。这 一 步 相 当 于 我 们 平 日解 题 所 说 的 “ 算 ” 但 比单 纯 的验 算 内容 更 丰 富 ， 义 更 深 邃 。 验 ， 意 它 不 只是 简单 地 核 对 答 案 ， 断解 题 是 否 正 确 ， 而 找 出 错 误 判 进 并 予 以 纠 正 ， 是 要用 多种 方法 ， 不 同的 角 度 去 获 得 正 确 的 而 从 结 果 ， 要 的 是 对 解题 结果 或方 法 进 行 迁 移 思 考 ， 结 解 题 经 重 总 验 ， 大 解 题 成果 。 如 波利 亚 所 说 ：这是 领 会 方 法 的最 佳 时 扩 正 “ 机”“ ， 当解 题 者 完 成 了 他 的 任务 。 且 他 的 体 验 在 头 脑 中 还 是 而 新 鲜 的 时候 ， 回 顾他 所 做 的一 切 ， 能 有 利 于 探 索 他 刚 才 克 去 可 服 困难 的实 质 。 可 以对 自己 提 出许 多有 用 的 问题 ： 键 在 哪 他 关 里 ？ 要 的 困难 是什 么 ？ 么地 方 我 们 可 以 完 成 得更 好 些 ？ 重 什 我 为 什 么没 有 觉 察 到 这 一 点 ？ 看 出这 一 点 ． 必 须 具 备 那 些 知 要 我 识 ？ 该 从 什 么角 度 去 考 虑 ？ 里 有 没 有值 得 学 习 的诀 窍 可 供 应 这
下 次 遇到 类 似 问 题 时 应用 ？ ” ２波 利 亚 “ 题 理 论 ” 数 学 教 学 的启 示 ． 解 对 ２１ 助 “ 题 理 论 ”培 养 学生 良好 的 解题 习惯 ［。 ．借 解 ， ２ １ 在 数 学 学 习 中 ，学 生 的 各 种 数 学 能 力 最 终 体 现 在 他 的 解
题 能力 上 ， 良好 的解 题 习惯 是 走 向成 功 的桥 梁 。那 么 ， 何 而 如 培养 学 生 良好 的 解 题 习惯 呢？ 我 认 为 可从 以下 几 点 做 起 。 ２１ 应 培 养 良好 的 审题 习惯 。 ．１ ． 学 生 解 题 出错 或 解 题 感 到 困 难 ，通 常都 是 由 于 不认 真 审 题或 审题 不 清 ， 弄 清 题 意 造 成 的 ， 当 一 部 分 学 生在 拿 到 题 未 相 目后 ， 匆浏 览 完 题 目后 就 急 于 解 题 ， 到解 不 下 去 才 回 头 重 匆 直 读题 目， 现竟 是 由于 粗 心 看错 了题 目条 件 。 培 养 良好 的 审 发 要 题 的 习惯 ， 可分 以下 几 步 走 ： 一 ， 读 题 目 ， 第 通 明确 题 意 ； 二 ， 第 注意 挖 掘 隐 含 条 件 ； 三 ， 审 边 记 ， 做 边 审 。 第 边 边 ２１２ 意 培 养一 题 多 解 ， 题 多 变 的 思 维 习 惯 。 ．－ 注 一 题 多 解 就 是 对 同 一 道 题 目分 别从 不 同 角 度 对 问 题进 行 分析 ， 解 。这 培 养 了学 生 综 合 运 用 数 学 知 识 分 析 问题 、 决 求 解
波利亚的解题理论
波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。
这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。
综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。
波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。
波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表200多篇论文和许多专著。
他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。
由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。
《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。
这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。
著名数学家范。
德。
瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。
这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。
二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。
他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。
波利亚解题思想观下一道数学高考题的探究
它 们 的 夹角 与结 论 有 关 吗 ？从 题 目信 息 看 这 两 者 应 该 不 影 响题 目 的 结 论 ， 么 我 们 还 等 什 么 ？ 赶 紧 借 用 特 那 殊 位置 ， 殊长度尝试一下． 特 建 立 如 图 ２直 角 坐 标 系 ， 由题 意 知 ， 在 射 线 Ｂ （Ｍ Ｐ Ｄ， ） 所夹 的区域 内． 一ｚ ＋ ｙ 转 化 为 求 Ｐ 的 坐 标 ， ｏ百
２０ 年 第 ２ ０８ 期
数 学 教 育 研 究
・ ７ ５ ・
波 利 亚解 题 思 想观 下 一道 数学 高 考题 的探 究
毛 良忠 （ 省平湖市 浙江 新华爱ｌ高 心 级中 学 名 著 “ 样 解 题 ” ， 我 们 详 尽 怎 中 给 介 绍 了问 题 的探 究 途 径．本 文 试 通 过 一 道 高 考 的 解 题
重 新 观 察 问 题 学 生 提 出 了 这 样 两 个 疑 问 （ ） Ａ， １Ｏ ＯＢ 的 长 度 与 结 论 有 关 吗 ？ （ ） ２ ＯＡ ． ＯＢ 的 位 置 或 者 说
图 当 在 坐 标 系 中 又 表 示 什 么 ？
长 线 围 成 的 区 域 内 （ 含 不
边 界 ） 动 ，且 运 一－ ｒ
通 过 一 系 列 念 头 的 再 思 考 ， 们 体 味 到 念 头 的 关 我 键所在 ， 突破 口所 在 ． 如果 这 些 问 题 思 考 后 仍 感 觉 困 难 重 重 ， 们 必 须 寻 找 某 些 其 他 的适 当 接 触 点 ． 且 探 索 我 并 问 题 的 各个 方 面 ． 经 过 一 番 的 思 考 后 学 生 仍 然 不 得 再 其 解 ， 们 不 得 不 变 化 、 换 、 改 该 问 题．波 利 亚 我 变 修 的— — 你能 否 重 述 这 个 问 题 ？ 例 如 普 遍 化 、 殊 化 、 特 应 用 类 比 、 去 一 部 分 条 件 等 等 ， 住 目标 ， 新 阅读 题 舍 盯 重 目 ， 否 寻 找 问题 的 突 破 口 ， 我 们 又 有 一 种 “ 能 使 山穷 水 尽 疑无路 ， 暗花明又～村” 柳 的感 觉 ．
波利亚解题思想在小学数学教学中的应用探析
2017.10小学数学新课标将“问题解决”作为一项能力目标，并要求学生能够运用数学知识来解决数学实际问题。
波利亚是著名的数学家，他提出的“问题解决”数学教育思想，将“问题解决”作为一门学科，并引导学生从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等方面来获得数学解题能力。
为此，接下来笔者将着重从“问题解决”思维培养上来进行探究和分析。
一、波利亚数学解题思维的一般方法波利亚解题思想在小学数学教学中的应用探析浙江诸暨市大唐镇柱山小学杨刚【摘要】波利亚在《怎样解题：数学思维的新方法》中提出“问题解决”的思维过程，将“问题解决”作为数学教育的重要内容。
小学数学是基于问题解决的学科，利用“问题解决”教学思路来探讨小学生自主解答、解题方法多样性问题，更有助于引导小学生从“问题”中探究解题能力。
【关键词】小学数学波利亚解题思想问题解决XIAOXUE JIAOXUE YANJIU 得一些必要的英语课外情景读物，能够降低他们在课堂中学习的难度。
6.通过英语考试构建情境一般农村小学的英语考试都是通过闭卷的方式。
教育界认为教的地位较为重要，学的地位居中，而考试的地位居次，但是在教育的实际中，教师们普遍“为考而教”，学生从开始接触英语就是“为考而学”，英语学习成了一件苦差事。
我认为，小学阶段的英语教学应当真正以学生为中心，关注每一个学生，注重培养学生的英语语言能力而非考试能力，在这个认识的基础上，可以适当地对考试的方式进行微调，如采用以情景现场为基本出发点的口试和笔试相结合。
三、创设英语教学情境的意义和难点从数量上分析，农村小学占据着基础教育教学的大部分，因此要解决情境创设的问题，就应当从农村小学的教学实际为切入口，才能取得实效。
具体来说，创设英语教学情景的意义在于：1.创设英语教学情境有助于农村地区的小学英语教育“脱贫”在中国，农村地区的小学英语教育属于弱势群体，但受其教育的学生在全国小学生中占多数。
因此，要想从整体上提高小学英语水平，就应当从最基层的农村地区寻找到切实符合农村教育的规律和优势，形成一套有效的方法，并推广到其他的农村小学。
波利亚“解题理论”及启示
波利亚“解题理论”及启⽰2019-10-23摘要：波利亚的“解题理论”体现了他对解题⽅法及解题思维过程的深刻研究，它对于培养学⽣良好的解题习惯，培养学⽣创造性思维，推动数学素质教育都有着重要的启⽰作⽤。
关键词：波利亚解题思想学习习惯创新意识解题是数学的核⼼，是创造性思维⽅法学研究中不可缺的课题，中外许多学者在解题理论和解题训练，特别是创造性解题训练⽅⾯都作出许多贡献，其中最为突出的代表就要数波利亚了。
乔治·波利亚（1887―1985）美籍匈⽛利⼈，20世纪杰出的数学家，年轻时期于布达佩斯、维也纳、格廷根、巴黎等地攻读数学、物理、哲学。
1912年于布达佩斯⼤学获哲学博⼠学位，1914年在苏黎世著名的瑞⼠联邦理⼯学院任教，1940年移居美国，⾃1942年起⼀直担任美国斯坦福⼤学教授。
波利亚⼗分热⼼教育，重视从⼩培养学⽣的理解能⼒和解题能⼒。
他致⼒于解题研究，为了回答“⼀个好的解法是如何想出来的”这⼀令⼈困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究结果写成《怎样解题》⼀书。
1.波利亚“解题表”的主要思想《怎样解题》的中⼼思想即谈解题过程中怎样诱发灵感，具体核⼼部分就是他分解解题的思维过程得到的“怎样解题表”，这张表给出了⼀个完整的解题过程⼀般包含的四⼤步骤［１］。
1.1弄清问题。
弄清问题即审题，是解题的基础。
因为只有正确理解了题意，才能正确地树⽴解题的思维⽅法，找出解题途径。
在这⼀步，解题者必须了解问题的⽂字叙述，弄清题⽬的已知条件是什么，未知条件是什么，题⽬要求的是什么。
然后通过观察、分析、画图等把⽂字、图形、符号等发出的信息正确的接收下来，把条件的各个部分分开，充分挖掘题设的内涵，判清题型，审清问题。
1.2拟订计划。
拟订计划即探索解题的途径，这是解题的关键环节。
当我们审清了问题之后，熟悉的问题有⼀定的解题套路，不需要太多的思考，⽽对于不熟悉的题⽬，千万不要急于动笔演算，⽽是要在头脑中从整体上设计好⼀个解题思路，稍进⼀步的问题，需要有⼀点变化。
波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用-教育文档
波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用一、波利亚的数学解题思想简介波利亚认为：“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。
”在数学学科中，波利亚认为能力就是指学生解决问题的才智，这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性的创造精神。
他发现，在数学上要想获得重大的成就或发现，就应该注重平时的解题。
因此，波利亚曾指出：“中学数学教学的首要任务就是要加强解题的训练。
”而这种“解题”并不同于“题海战术”，波利亚主张在解题教学中要善于选择一道有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过这一道题，就如同通过一道大门进入一个暂新的天地。
他所提出的“怎样解题”表只是“题海游泳术”的纲领，他认为解题应该作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
、二、波利亚解题表简介波利亚的解题思想集中体现在解题表上，该解题表主要分为四个部分，分别为理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思。
具体的步骤及问题如下表：三、一元一次方程实际问题教学的重要性方程是贯穿中学数学教学的一条重要纽带，而一元一次方程作为最基础的方程，是教学的重点，也是教学的难点。
掌握一元一次方程应用题解题方法是中学生学好方程的关键，也是学好数学的一个关键环节，能使学生在更深层次上理解数学，进而学好数学。
刚刚从小学升入初中的学生，通过对应用题的学习，对数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方法和技能的获得都将起到重大的作用。
一元一次方程的应用是让学生通过审题，根据应用题的现实意义，找出等量关系，列出有关方程。
一元一次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数、几何的基础知识与基本技能，解决实际问题起到启蒙作用，对其他学科的学习也将起到积极的促进作用。
在提高学生解决问题能力，培养学生对数学的兴趣等方面有独特的意义。
如何能让学生对一元一次方程实际问题形成一种规范的解题思路，培养学生良好的解题习惯，拓展学生的解题思维呢本文以实例为载体，以波利亚的解题思想为理论基础对该问题进行了研究。
波利亚“怎样解题表”的研读与实践
波利亚“怎样解题表”的研读与实践乔治·波利亚（George Polya，1887—1985）是20世纪杰出的数学家、伟大的数学教育家、享有国际盛誉的数学方法论大师。
波利亚十分重视解题在数学教学中的作用，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他对解题的思维过程进行了多年的专门研究和实践，其解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中，该书的核心是分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题表”。
这张包括“弄清问题”“拟订计划”“实现计划”和“回顾”四部分内容。
弄清问题是为好念头的出现作准备；拟订计划是试图引发它；在引发之后,我们实现它；回顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它。
所有这一切，使得数学解题的研究摆脱了就题论题的狭窄天地，进入到规律探索的较高层次。
从解题论的观点看，这实际上是既提出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题。
一、波利亚的“怎样解题”表第一步：你必须弄清问题。
（弄清问题）(1)已知是什么？未知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？(2)画张图，将已知标上。
(3)引入适当的符号。
(4)把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？第二步：找出已知与未知的联系(如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。
你应该最终得出一个求解的计划)。
(制订计划)(1)你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？(2)你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？(3)看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
(4)这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？(5)回到定义去。
(6)你能否解决问题的一部分？如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。
波利亚解题思想
波利亚解题思想
里博尔罗伊•拓贝利(Lebor Raighneorie Tuathaigh)，匈牙利发明家、天文学家。
为20世纪科学历史上的一位杰出人物，因其发表的有关波利亚(Bolyai)解题思想的论文而被全世界所公认。
在历史上，波利亚解题思想是一种通过将复杂问题分解和细分出解决方案来解决问题的思维模式。
所谓“波利亚”即指以“波利亚(Bolyai)解题思想”和类似的“定理证明”(theorem-proof)应用与解算的方法，此方法比此前的单一“元法”（方程求解）更全面有效；如今将之称为“符号加速解算法”(symbolic-acceleration algorithm) 。
首先，波利亚解题思想以新奇独特的方式定义了这种解算方法。
它要求人们以一种有系统地分析和归并的方式来解决复杂科学问题，结果及之后各种研究和实践应用，均获得了显著的成功。
与其他“元法解算”方式不同，它鼓励理论建模，使得我们能够在更加深刻和全面的层次上了解复杂问题的实质和发展过程。
此外，波利亚解题思想有助于我们培养系统交叉视角的思维方式，使用多种基础理论进行分析、总结和解决实际问题，提高人们思维能力、解决问题的效率和把握问题的准确性。
它的发展也为后世的解算理论和技术提供了强有力的支持，比如计算机程序设计、网络技术、信息安全、机器学习和大数据分析等，这些技术均得益于波利亚解题思想。
总之，波利亚解题思想改变了科学和技术研究方面的思维模式，为后来技术思维和科学解算方案提供了重要的参考。
波利亚解题思想中的灵感思维探究
已经撩开她那神秘的面纱 ，逐渐被世人承认为人类思维活动韵
一
由此 ，我们 能够得到什么启示呢？
从 现 代 教 育 学 、心 理 学 角 度 来 看 ；波 利 亚 的 “ 怎样 解 题 表 ” 然 开 朗 以 及 “ 穷 水 复 疑 无 路 ，柳 暗 花 明 又 一 村 ” 山 ，这 些 都 不 再 是 可 取 和有 效 的 ，利 用 这 张 表 ，教 师 可 以 行 之 有 效 地 指 导 学 生 是迷信 ，更不再是遥不可及的东西 ． 费马的直觉产生了费马大定 自学 ，发 展 学生 独 立 思 考 和 进 行 创造 性 活 动 的能 力 ．因 为 ，在 数
得 ： ＝１ ’ 一， ，ｙ＝１ 代入 圆的方程得 （ 一 ｙ＋４）＋（ ＋５ ， ） ：ｌ 由此得出 了所求的圆的方程．
教 师 这 时 接 着 问学 生 们 ：用 这 种 解 法 是 否 正 确 ？ 直 线 方 程
证 明的思考 过程 、基本公 式推导过程 的理解上来 ，使学生掌握 知识的来龙 去脉 ． （） ２ 讲解例题 的过程中 ，要 给学生做 出探索应用知识 网络交
数学 中的灵感思维是人们在数学 活动中 由于思想高度集 中 、 引发它 ；在引发之后 ，我 们实现它 ；回顾此过程和求解 的结果 ， ”波利亚所讲 的好 念头 ，就是指灵感． 情 绪 空 前 亢 进 而 突 然 领 悟 事 物 并 得 到 新 成 果 的 思 维 方 法 ，是 一 是试图更好地利用它． 种非逻辑思维形式．唯物主义认为灵感是客观存 在的一种精 神状 抽象思维 、形象思维一样 ，都属于人脑的高级反映形式 ． 学森 钱
解 析 ： ，卢，ｙ均 为 锐 角 的 条 件 告 诉 我 们 所 求 的 是 三 个 正
先生早 在 、 ８ １ ０年 就 指 出 ： “ 感 思 维 不 同 于 形 象 思 维 和 逻 辑 思 ＣＳ／Ｏ ｏ 的最大值 ９ 灵 ＯＯ Ｓ ｓ Ｃ
(完整版)波利亚的解题理论
波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。
这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。
综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。
波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。
波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表200多篇论文和许多专著。
他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。
由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。
《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。
这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。
著名数学家范。
德。
瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。
这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。
二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。
他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。
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问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍 解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的 圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
解题是数学的特点
• “夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法， 必设一题．” ——杨 辉 • “从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思 考，他们需要进行数学式的思维．” ——美国数学科学委员会(1989) • 学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和 较高水平的人切磋(做有一定难度的题)，棋力(数 学水平)才有长进．此外，还需揣摩成局(学习定 理的证明或著名问题的解法)，领会其精髓(深刻 的数学思想) ——单墫
• “问题是数学的心脏.” ——P．R．Halmos
• “最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新 世纪里数学家应当努力解决的问题.” ——Minkowski
• 某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究 者个人的工作中所起的重要作用是不容否认的．只要一 门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而 问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．正如人类的 每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自 己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢 铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更广阔、 更自由的境界. ——希尔伯特 (1900)
D E A
C B
学生比较容易发现AE=AD=BC
• 启发：已知条件是什么？平行四边形有什 么性质？要证明什么结论？你打算怎样实 现这个结论？（三角形全等？）哪两个三 角形，图中有吗？（没有）怎么办？（构 造）怎么构造？这些已知条件可以怎样利 用呢？……
D E A F B C
D E A F
C B
D E A
用。
教有目的的思考,教正规的演绎推理，也
教非正规的似真的合情推理。
弄清题意
未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满足条件是否
可能?要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分?或
者是多余的?或者是矛盾的? 画张图,并引入适当的符号； 把条件的各部分分开，并把它们写下来。 • 问题：如图，在平行四边形 ABCD中，EC⊥CD， ∠BAE=∠BCE，∠ABE=45°， 请找出与BE相等的一条线段， 并说明理由。
解题是数学的特点
符合中学生特点的教法：
• “任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互 不相识．为什么？”
• 为了解决这个问题，为了叙述的方便，我们用六 个点表示六个人．如果两个人互相认识，就将相 应的两点用线连结起来．这种由点及一些连结点 的线组成的图形，就称为图．问题就成为： • “六个点的图中，一定有三个点两两相连(即构 成三角形)，或者有三个点互不相连.”
波利亚及其解题理论
作为一个数学教育家，波利亚的主要贡
献集中体现在《怎样解题》(1945年)、 《数学与似真推理》(1954年)、《数学 的发现》(1962年)三部世界名著上，涉 及“解题理论”、“解题教学”、“教 师培训”三个领域．波利亚对数学解题 理论的建设主要是通过“怎样解题”表 来实现的。著名数学家互尔登在瑞士苏 黎世大学的会议致词中说过：“每个大 学生、每个学者、特别是每个教师都应 该读这本引人入胜的书”(1952年2月2
12条解题要诀 ——单墫（解题研究）
1．要享受到解题的乐趣．对解题有浓厚的兴趣， 能有几分痴迷更好． 2．要有充足的信心． 3．要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力． 4．要做100道有质量的题目． 5．反复探索，大胆地跟着感觉走． 6．从简单的做起． 7．从不同的角度看问题． 8．学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想 法”． 9．设法创造条件，不断变更问题． 10．引入适当字母，向基本量靠拢． 11．力求简单自然，直剖核心． 12．注意总结．
现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过 程看得见，摸得着。 变换,推广, 类比,作出新 的数学发现. 概括方法论 因素 , 建立数 学模型.
弄 清 题 意
拟 定 计 划
执 行 计 划ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
检 验 回 顾
波利亚的教育思想 数学教学的目的应当是提高学生的一般 素养：首先和主要的目标应当是教会青 年思考。 教什么样的思考?数学是什么?数学有什么 特点?对数学及其意义的认识决定性的作
解题是数学的特点
• 做习题并不只是在学完一个方法或一些知 识之后．知识、方法应当尽可能地通过问 题的形式引人．
解题是数学的特点
例1：一大学教授向中学生介绍图论
• 定义 图G=(V，E)，由顶点集V与一些连结V中两 个点的边的集E组成． • 定义 如果E由连结V中每两个点的边组成，那么G ＝(V，E)称为完全图． • 定义 如果图G1＝(V，E1)，G2＝(V，E2)具有相 同的顶点集V，并且E1∩E2＝ ，(V，E1∪E2)是 完全图，那么称G1为G2的补图． • 定理 在|V|≥6时，G=(V，E)或它的补图中必有 三角形．
波利亚(1887.12.13-1985.9.7)
日 )．
波利亚及其解题理论
回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，
波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把
研究所得写成《怎样解题》一书。 核心是《怎样解题》表，他把寻找并发现解法的思维过程分解
为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发
执行计划
把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式 子表述出来； 修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案； 解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
你能拟定其它解题方案吗? 你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它 的方法吗? 你能找到什么方法检验你的结果吗?
数学究竟是由什么组成的？
参考资料
• 波利亚著《怎样解题》(阎育苏译).北京:科 学出版社,1982年. • 波利亚著《数学的发现》第一卷,欧阳绛译, 北京:科学出版社,1982年.第二卷,刘远图等 译,北京:科学出版社,1987年. • 波利亚著《数学与猜想》(第一卷,李心灿等 译,第二卷,李克尧等译)北京:科学出版社 1984年.
C B F
拟定计划(核心)
考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍 有不同? 你是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅 助元素? 能否用不同的方法重新叙述它? 回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关 的问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是 否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?