波利亚解题思想研究
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• “问题是数学的心脏.” ——P．R．Halmos
• “最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新 世纪里数学家应当努力解决的问题.” ——Minkowski
• 某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究 者个人的工作中所起的重要作用是不容否认的．只要一 门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而 问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．正如人类的 每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自 己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢 铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更广阔、 更自由的境界. ——希尔伯特 (1900)
C B F
拟定计划(核心)
考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍 有不同? 你是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅 助元素? 能否用不同的方法重新叙述它? 回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关 的问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是 否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
参考资料
• 波利亚著《怎样解题》(阎育苏译).北京:科 学出版社,1982年. • 波利亚著《数学的发现》第一卷,欧阳绛译, 北京:科学出版社,1982年.第二卷,刘远图等 译,北京:科学出版社,1987年. • 波利亚著《数学与猜想》(第一卷,李心灿等 译,第二卷,李克尧等译)北京:科学出版社 1984年.
解题是数学的特点
• “夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法， 必设一题．” ——杨 辉 • “从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思 考，他们需要进行数学式的思维．” ——美国数学科学委员会(1989) • 学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和 较高水平的人切磋(做有一定难度的题)，棋力(数 学水平)才有长进．此外，还需揣摩成局(学习定 理的证明或著名问题的解法)，领会其精髓(深刻 的数学思想) ——单墫
现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过 程看得见，摸得着。 变换,推广, 类比,作出新 的数学发现. 概括方法论 因素 , 建立数 学模型.
弄 清 题 意
拟 定 计 划
执 行 计 划
检 验 回 顾
波利亚的教育思想 数学教学的目的应当是提高学生的一般 素养：首先和主要的目标应当是教会青 年思考。 教什么样的思考?数学是什么?数学有什么 特点?对数学及其意义的认识决定性的作
波利亚及其解题理论
作为一个数学教育家，波利亚的主要贡
献集中体现在《怎样解题》(1945年)、 《数学与似真推理》(1954年)、《数学 的发现》(1962年)三部世界名著上，涉 及“解题理论”、“解题教学”、“教 师培训”三个领域．波利亚对数学解题 理论的建设主要是通过“怎样解题”表 来实Hale Waihona Puke Baidu的。著名数学家互尔登在瑞士苏 黎世大学的会议致词中说过：“每个大 学生、每个学者、特别是每个教师都应 该读这本引人入胜的书”(1952年2月2
12条解题要诀 ——单墫（解题研究）
1．要享受到解题的乐趣．对解题有浓厚的兴趣， 能有几分痴迷更好． 2．要有充足的信心． 3．要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力． 4．要做100道有质量的题目． 5．反复探索，大胆地跟着感觉走． 6．从简单的做起． 7．从不同的角度看问题． 8．学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想 法”． 9．设法创造条件，不断变更问题． 10．引入适当字母，向基本量靠拢． 11．力求简单自然，直剖核心． 12．注意总结．
解题是数学的特点
符合中学生特点的教法：
• “任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互 不相识．为什么？”
• 为了解决这个问题，为了叙述的方便，我们用六 个点表示六个人．如果两个人互相认识，就将相 应的两点用线连结起来．这种由点及一些连结点 的线组成的图形，就称为图．问题就成为： • “六个点的图中，一定有三个点两两相连(即构 成三角形)，或者有三个点互不相连.”
D E A
C B
学生比较容易发现AE=AD=BC
• 启发：已知条件是什么？平行四边形有什 么性质？要证明什么结论？你打算怎样实 现这个结论？（三角形全等？）哪两个三 角形，图中有吗？（没有）怎么办？（构 造）怎么构造？这些已知条件可以怎样利 用呢？……
D E A F B C
D E A F
C B
D E A
用。
教有目的的思考,教正规的演绎推理，也
教非正规的似真的合情推理。
弄清题意
未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满足条件是否
可能?要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分?或
者是多余的?或者是矛盾的? 画张图,并引入适当的符号； 把条件的各部分分开，并把它们写下来。 • 问题：如图，在平行四边形 ABCD中，EC⊥CD， ∠BAE=∠BCE，∠ABE=45°， 请找出与BE相等的一条线段， 并说明理由。
波利亚(1887.12.13-1985.9.7)
日 )．
波利亚及其解题理论
回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，
波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把
研究所得写成《怎样解题》一书。 核心是《怎样解题》表，他把寻找并发现解法的思维过程分解
为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍 解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的 圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
执行计划
把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式 子表述出来； 修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案； 解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
你能拟定其它解题方案吗? 你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它 的方法吗? 你能找到什么方法检验你的结果吗?
数学究竟是由什么组成的？
解题是数学的特点
• 做习题并不只是在学完一个方法或一些知 识之后．知识、方法应当尽可能地通过问 题的形式引人．
解题是数学的特点
例1：一大学教授向中学生介绍图论
• 定义 图G=(V，E)，由顶点集V与一些连结V中两 个点的边的集E组成． • 定义 如果E由连结V中每两个点的边组成，那么G ＝(V，E)称为完全图． • 定义 如果图G1＝(V，E1)，G2＝(V，E2)具有相 同的顶点集V，并且E1∩E2＝ ，(V，E1∪E2)是 完全图，那么称G1为G2的补图． • 定理 在|V|≥6时，G=(V，E)或它的补图中必有 三角形．
• “最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新 世纪里数学家应当努力解决的问题.” ——Minkowski
• 某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究 者个人的工作中所起的重要作用是不容否认的．只要一 门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而 问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．正如人类的 每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自 己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢 铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更广阔、 更自由的境界. ——希尔伯特 (1900)
C B F
拟定计划(核心)
考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍 有不同? 你是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅 助元素? 能否用不同的方法重新叙述它? 回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关 的问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是 否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
参考资料
• 波利亚著《怎样解题》(阎育苏译).北京:科 学出版社,1982年. • 波利亚著《数学的发现》第一卷,欧阳绛译, 北京:科学出版社,1982年.第二卷,刘远图等 译,北京:科学出版社,1987年. • 波利亚著《数学与猜想》(第一卷,李心灿等 译,第二卷,李克尧等译)北京:科学出版社 1984年.
解题是数学的特点
• “夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法， 必设一题．” ——杨 辉 • “从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思 考，他们需要进行数学式的思维．” ——美国数学科学委员会(1989) • 学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和 较高水平的人切磋(做有一定难度的题)，棋力(数 学水平)才有长进．此外，还需揣摩成局(学习定 理的证明或著名问题的解法)，领会其精髓(深刻 的数学思想) ——单墫
现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过 程看得见，摸得着。 变换,推广, 类比,作出新 的数学发现. 概括方法论 因素 , 建立数 学模型.
弄 清 题 意
拟 定 计 划
执 行 计 划
检 验 回 顾
波利亚的教育思想 数学教学的目的应当是提高学生的一般 素养：首先和主要的目标应当是教会青 年思考。 教什么样的思考?数学是什么?数学有什么 特点?对数学及其意义的认识决定性的作
波利亚及其解题理论
作为一个数学教育家，波利亚的主要贡
献集中体现在《怎样解题》(1945年)、 《数学与似真推理》(1954年)、《数学 的发现》(1962年)三部世界名著上，涉 及“解题理论”、“解题教学”、“教 师培训”三个领域．波利亚对数学解题 理论的建设主要是通过“怎样解题”表 来实Hale Waihona Puke Baidu的。著名数学家互尔登在瑞士苏 黎世大学的会议致词中说过：“每个大 学生、每个学者、特别是每个教师都应 该读这本引人入胜的书”(1952年2月2
12条解题要诀 ——单墫（解题研究）
1．要享受到解题的乐趣．对解题有浓厚的兴趣， 能有几分痴迷更好． 2．要有充足的信心． 3．要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力． 4．要做100道有质量的题目． 5．反复探索，大胆地跟着感觉走． 6．从简单的做起． 7．从不同的角度看问题． 8．学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想 法”． 9．设法创造条件，不断变更问题． 10．引入适当字母，向基本量靠拢． 11．力求简单自然，直剖核心． 12．注意总结．
解题是数学的特点
符合中学生特点的教法：
• “任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互 不相识．为什么？”
• 为了解决这个问题，为了叙述的方便，我们用六 个点表示六个人．如果两个人互相认识，就将相 应的两点用线连结起来．这种由点及一些连结点 的线组成的图形，就称为图．问题就成为： • “六个点的图中，一定有三个点两两相连(即构 成三角形)，或者有三个点互不相连.”
D E A
C B
学生比较容易发现AE=AD=BC
• 启发：已知条件是什么？平行四边形有什 么性质？要证明什么结论？你打算怎样实 现这个结论？（三角形全等？）哪两个三 角形，图中有吗？（没有）怎么办？（构 造）怎么构造？这些已知条件可以怎样利 用呢？……
D E A F B C
D E A F
C B
D E A
用。
教有目的的思考,教正规的演绎推理，也
教非正规的似真的合情推理。
弄清题意
未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满足条件是否
可能?要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分?或
者是多余的?或者是矛盾的? 画张图,并引入适当的符号； 把条件的各部分分开，并把它们写下来。 • 问题：如图，在平行四边形 ABCD中，EC⊥CD， ∠BAE=∠BCE，∠ABE=45°， 请找出与BE相等的一条线段， 并说明理由。
波利亚(1887.12.13-1985.9.7)
日 )．
波利亚及其解题理论
回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，
波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把
研究所得写成《怎样解题》一书。 核心是《怎样解题》表，他把寻找并发现解法的思维过程分解
为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍 解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的 圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
执行计划
把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式 子表述出来； 修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案； 解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
你能拟定其它解题方案吗? 你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它 的方法吗? 你能找到什么方法检验你的结果吗?
数学究竟是由什么组成的？
解题是数学的特点
• 做习题并不只是在学完一个方法或一些知 识之后．知识、方法应当尽可能地通过问 题的形式引人．
解题是数学的特点
例1：一大学教授向中学生介绍图论
• 定义 图G=(V，E)，由顶点集V与一些连结V中两 个点的边的集E组成． • 定义 如果E由连结V中每两个点的边组成，那么G ＝(V，E)称为完全图． • 定义 如果图G1＝(V，E1)，G2＝(V，E2)具有相 同的顶点集V，并且E1∩E2＝ ，(V，E1∪E2)是 完全图，那么称G1为G2的补图． • 定理 在|V|≥6时，G=(V，E)或它的补图中必有 三角形．