2013高考数学二轮复习资料专题09圆锥曲线教学案教师版

2013高考数学二轮复习精品资料专题09 圆锥曲线教学案（教师
版）
【2013考纲解读】
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.
2.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.
3. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.
4.了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. 【知识网络构建】
【重点知识整合】
2．双曲线
(1)双曲线的定义；
(2)两种标准方程：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点在x 轴上；y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，焦点
在y 轴上；
(3)双曲线方程的一般形式：mx 2
＋ny 2
＝1(mn <0)，其焦点位置有如下规律：当m >0，n <0时，焦点在x 轴上；当m <0，n >0时，焦点在y 轴上；
(4)双曲线的简单几何性质．
3．抛物线 (1)抛物线的定义； (2)抛物线的标准方程；
(3)抛物线方程的一般形式：焦点在x 轴上的抛物线方程可以用y 2
＝λx (λ≠0)表示；焦点在y 轴上的抛物线标准方程可以用x 2
＝λy (λ≠0)表示；
(4)抛物线的简单几何性质． 【高频考点突破】 考点一 椭圆
1．定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．
2．标准方程：焦点在x 轴上：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)；
焦点在y 轴上：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)；
焦点不确定：mx 2
＋ny 2
＝1(m >0，n >0)． 3．离心率：e ＝c a
＝
1－
b a
2
<1.
4．过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b
2
a
.
例1、过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2.椭圆与x 轴交于两点
A (a,0)、
B (－a,0)．过点
C 的直线l 与椭圆交于另一点
D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直
线BD 交于点Q .
(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP ·OQ 为定值．
所以D 点坐标为(837，－1
7)．
故|CD |＝
837
－02
＋－17
－1
2
＝167
.
【变式探究】若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12
)作圆x 2＋y 2
＝1的切线，切
点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
【方法技巧】
1．涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题
(1)求椭圆标准方程或离心率要注意a 、b 、c 三者之间关系； (2)要善于借助于图形分析问题；
(3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用，尤其是配方法的使用．
2．直线与椭圆的位置关系问题
(1)判断方法：利用Δ>0，Δ＝0，Δ<0可解决； (2)弦长问题：|AB |＝1＋k
2
x 1－x 2
2
＝
1＋
1
k
2
y 1－y 22
；
(3)中点弦问题：用点差法较简单. 考点二 双曲线
1．定义式：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|) 2．标准方程：
焦点在x 轴上：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
焦点在y 轴上：y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
焦点不明确：mx 2
＋ny 2
＝1(mn <0)． 3．离心率与渐近线问题： (1)焦点到渐近线的距离为b . (2)e ＝c a
＝
1＋
b a
2
>1，
注意：若a >b >0，则1<e <2， 若a ＝b >0，则e ＝2， 若b >a >0，则e > 2.
(3)焦点在x 轴上，渐近线的斜率k ＝±b a
， 焦点在y 轴上，渐近线的斜率k ＝±a b
.
(4)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)．
例2、已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在
抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.x2
36
－
y2
108
＝1 B.
x2
9
－
y2
27
＝1
C.
x2
108
－
y2
36
＝1 D.
x2
27
－
y2
9
＝1
【变式探究】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B 两点，|AB|
为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ( )
A. 2
B. 3
C．2 D．3
【方法技巧】
1．使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上．
2．对于双曲线的离心率与渐近线的关系．若已知渐近线而不明确焦点位置，那么离心率一定有两解．
3．直线与双曲线的交点比椭圆复杂，要注意结合图形分析．尤其是直线与双曲线有且只有一个交点⇔Δ＝0或l平行于渐近线．
考点三抛物线
1．定义式：|PF|＝d.
2．根据焦点及开口确定标准方程．注意p>0时才有几何意义，即焦点到准线的距离．3．直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，交抛物线于A、B两点，则有：
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦公式：|AB|＝x1＋x2＋p＝2p
sin2θ
.
(3)x 1x 2＝p 2
4
，y 1y 2＝－p 2
.
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切． (5)1|AF |＋1|BF |＝2p
. 例3、如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2
＝4y 相切于点A .
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
【变式探究】已知F 是抛物线y 2
＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )
A.3
4 B ．1 C.5
4
D.74
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为： 12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54
. 答案：C
【方法技巧】
1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p 的值．注意定义转化．
2．直线与抛物线有且只有一个交点时，不一定有Δ＝0，还有 可能直线平行于抛物线的对称轴．
3．研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析． 【难点探究】
难点一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2
－6x ＋5＝0相切，
且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x 25－y 24＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 23－y 2
6＝1 D.x 26－y 2
3
＝1
【变式探究】(1)已知点P 为双曲线x 216－y 2
9＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦
点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )
A.58
B.45
C.43
D.34
(2)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为
2
2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．
【答案】(1)B (2)x 216＋y 2
8
＝1
【解析】 (1)根据三角形面积公式把S △IPF 1＝S △IPF 2＋
λS △IF 1F 2转化为焦点三角形边之间的关系．根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，得|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝2λc ，则
λ＝a c ＝4
5
.注意内心是三角形内切圆的圆心，到三角形各边的距离相等．
(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
因为离心率为22，所以2
2
＝
1－b 2
a
2， 解得b 2a 2＝12
，即a 2＝2b 2
.
又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋
||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝2
2，
所以椭圆方程为x 216＋y 2
8＝1.
难点二 圆锥曲线的几何性质
例2、已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2
－y 24
＝1有公共的焦点，C 2的一条
渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )
A ．a 2＝132
B ．a 2
＝13
C ．b 2＝12
D ．b 2
＝2
【变式探究】已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线
与双曲线一个交点为P ，且∠
PF 1F 2＝π6
，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y ＝±2x
【解析】 根据已知|PF 1|
＝2·b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2·b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，b
a
＝ 2.
难点三 直线与圆锥曲线的位置关系
例3、设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A (0,2)，右焦点F 与点B (2，2)的距离为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在经过点(0，－2)的直线l ，使直线l 与椭圆相交于不同的两点M ，N 满足|AM →
|＝|AN →
|？若存在，求直线l 的倾斜角α；若不存在，请说明理由．
(2)由题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2(k ≠0)，由|AM |＝|AN |知点A 在线段MN 的垂直平
分线上，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －2，x 212＋y
24
＝1消去y 得x 2＋3(kx －2)2＝12，即可得方程(1＋3k 2)x 2
－12kx ＝
0，(*)
由k ≠0得方程(*)的Δ＝(－12k )2＝144k 2
>0，即方程(*)有两个不相等的实数根． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 1，x 2是方程(*)的两个不等的实根，故有x 1＋x 2＝12k
1＋3k
2.
从而有x 0＝
x 1＋x 2
2＝6k 1＋3k 2，y 0＝kx 0－2＝6k 2－21＋3k 2
1＋3k
2
＝－2
1＋3k
2. 于是，可得线段MN 的中点P 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪
⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.
又由于k ≠0，因此直线AP 的斜率为k 1＝－2
1＋3k 2－26k 1＋3k 2
＝－2－21＋3k
2
6k
.
由AP ⊥MN ，得
－2－21＋3k
2
6k
×k ＝－1，即2＋2＋6k 2
＝6，解得k ＝±
33，即tan α＝±3
3
.又0≤α<π，故α＝π6或α＝5π6.综上可知存在直线l 满足题意，其倾斜角为α＝π
6
或
α＝
5π6
. 【点评】 本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，然后再研
究直线与圆锥曲线的位置关系．在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据两点间距离公式得到点M ，N 的坐标满足的关系式，即x 2
1＋(y 1－2)2
＝x 2
2＋(y 2－2)2
，即(x 1＋
x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2－4)(y 1－y 2)＝0，由于点M ，N 在直线上，y 1＝kx 1－2，y 2＝kx 2－2，代
入(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2－4)(y 1－y 2)＝0，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(kx 1＋kx 2－8)(kx 1－kx 2)＝0，直线斜率存在，则x 1≠x 2，所以(x 1＋x 2)＋k [k (x 1＋x 2)－8]＝0，然后根据韦达定理整体代入即可求出k 值．
【变式探究】如图所示，设P 是圆x 2
＋y 2
＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4
5
|PD |.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的长度．
【规律技巧】
1．离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．
2．抛物线y 2
＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .同样可得抛物线y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py 类似的
性质．
3．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝1＋
1
k 2
|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2等，根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后
的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入． 【历届高考真题】 【2012年高考试题】
1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：2
2
221x y a b
-=（a,b ＞0）的
左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂
直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是
A.
233 B 。

6
2
23 【答案】B
【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-+=0,b y a x b x c
b y 得点
Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=++=0
,b y a x b x c
b y 得点P ),(a
c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b
c
a x
b
c b c y --=-，令0=y ，得)1(22
b a
c x +=，所以c b a c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以
2
6
=
e 。

故选B 2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162
=的准线交于,A B 两点，43AB =C 的实轴长为（ ）
()A 2 ()B 2 ()C 4
()D 8
3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P
为直线32
a
x =
上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34
()
D 4
5
【答案】C
【解析】因为12PF F ∆是底角为30
的等腰三角形，则有
P
F F F 212=,，因为
02130=∠F PF ，所以
0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==
，即c c c a =⨯=-22
1
23，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.
4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）
A 、2
B 、3、4 D 、5
5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心学率为32.双曲
线2
2
1x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为
（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164
x y += （D ）22
1205x y +
= 【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为
23，所以23==a c e ，224
3
a c =，222243
b a a
c -==
，所以224
1
a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+b x a x ，即14542
22222==+b x b x b x ，所以b x b x 5
2,5422±==，22
54b y =，b y 5
2±
=，则第一象限的交点坐标为)5
2,
5
2(b b ，所以四边形的面积为
165165
2
52
42==⨯⨯b b b ，所以52
=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D.
6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：22x a -2
2y b
=1的焦距为10 ，点P （2,1）
在C 的渐近线上，则C 的方程为
A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220
y =1 D.220x -280y =1
7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A. 5
B. 42
C.3
D.5 【答案】Ａ．
【解析】由抛物线方程x y 122
=易知其焦点坐标为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5=
b ，从而可得渐进线方程为x y 2
5
±
=，即025=-±y x ，所以54
5|
0235|=+⨯-⨯±=
d ，故选Ａ．
8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）
()
A 22 ()
B 2 ()
C 322
()D 22
9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为
A 216x +212y =1
B 212x +28y =1
C 28x +24y =1
D 212x +24
y =1 【答案】C
【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x
轴上，且42
-=-c
a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a
b ，所以椭圆的方程为14
82
2=+y x ，选C. 10.【2012高考真题全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=
(A)
14 （B ）35 (C)34 (D)4
5
11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。

若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为
12.【2012高考真题四川理15】椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于
点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。

【答案】3
【解析】当直线x m =过右焦点时FAB ∆的周长最大，1m ∴=； 将1x =带入解得32y =±
；所以13
2322
FAB S ∆=⨯⨯=. 13.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，
水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
14.【2012高考真题重庆理14】过抛物线2
2y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25
,,12
AB AF BF =
<则AF = .
15.【2012高考真题辽宁理15】已知P ，Q 为抛物线2
2x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。

16.【2012高考真题江西理13】椭圆 )0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、
右焦点分别是F 1，F 2。

若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.
【答案】
5
5
【解析】椭圆的顶点)0,(),0,(A B a A -,焦点坐标为)0,(),0,(21c F c F -，所以
c a B F c a AF +=-=11,，c F F 221=,又因为1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，所以有
222))((4c a c a c a c -=+-=，即225a c =，所以c a 5=，离心率为5
5
==
a c e . 17.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
214
x y m m -=+的
离心率为5，则m 的值为 ▲ ．
18.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)
x y a b a b
+=>>
的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和3
e ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i ）若126
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
【答案】解：（1）由题设知，222==
c
a b c e a
+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 2222222222222222
111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b
+=⇒+⇒+⇒⇒，∴22
=1c a -。

由点32e ⎛ ⎝⎭
，在椭圆上，得
2
2
2224222244
331311144=0=214e c a a a a a b a a
-⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒ ∴椭圆的方程为2
212
x y +=。

（i ）由①②得，21221m m AF BF +-=2216
m m +得2m =2。

∵注意到0m >，∴2m 。

∴直线1AF 的斜率为12m （
ii
）
证
明
：
∵
1
AF ∥
2
BF ，∴
2
11
BF PB PF AF =，即
21211111
11BF PB PF BF AF PB
PF AF PF AF +++=+⇒=。

∴1
1112
=
AF PF BF AF BF +。

由点B 在椭圆上知，1222BF BF +=，∴()
1
1212
=
22AF PF BF AF BF +。

同理。

()
2
2112
=
22BF PF AF AF BF +。

∴()()
122
1221121212
2+=
222222AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++
由①②得，)212221=
2
m AF BF m +++，2
21
=2
m
AF BF m ++，
∴1223+=22=222
PF PF -。

∴12PF PF +是定值。

19.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C ：22
22+1x y a b
=(a ＞b ＞
0)的离心率为12
，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，
B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．
(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12
x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝12
x 0．
∵A ，B 在椭圆上， ∴22
02
2
0+12333
43
4422
+14
3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒=
=-⨯=-⨯=-⎨-+⎪=⎪⎩．
设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣32x m +(m ≠0)，
代入椭圆：22
22+143
333032
x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨
⎪+⎪⎩＝-．
20.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）
设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且， 可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01
||||y y m
=
. ① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2
2
2 1 (0,1)y x m m m
+=>≠且.
因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以
当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为2(1,0)m -，2(1,0)m -； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为2(0,1)m -，2(0,
1)m -.
故存在2m =2
2
12
y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.
解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ，
因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以2222
112222
22,
,
m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得
212121212()()
()()
y y y y m x x x x -+=--+. ④
又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即
112
112
2y y y x x x +=+. P
O
x
y
N Q
图2 (01)m << H P
O x
y
N Q
图3 (1)m >
H
图1 O D x
y A M 第21题解答图
于是由④式可得2
1121212112121
2()()12()()2
PQ PH
y y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=-
--+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH k k ⋅=-，即212
m -=-，又0m >，得2m =，
【2011高考试题】
1. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，1
2
）
作圆2
2
+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
2. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，
焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为22。

过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。

3.(2011年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线2
2y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为
4 (2011年高考四川卷理科14)双曲线
22
x y =1P 46436
-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 .
5. (2011年高考全国卷理科15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 2
9
x - 227y =1的左、右焦点，点
A
∈C ，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = .
【答案】6 【解析】
12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得
11228
24
AF F M AF MF === 又12236AF AF -=⨯= 26AF ∴=
6.(2011年高考安徽卷理科21)（本小题满分13分）
设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2
=上运动，点Q 满足BQ QA λ=，
经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P 的轨迹方程。

【解析】：由QM MP λ=知Q,M,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(,)P x y ，
(,)Q x y 0，(,)M x x 2，则()x y y x λ220-=-，即
()()y x y x x y λλλ2220=--=1+- ①
8. (2011年高考广东卷理科19)设圆C 与两圆
222
254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切.
（1）求C 的圆心轨迹L 的方程. （2）已知点3545
()555
M F ，，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.
【解析】（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知
2222|(5)(5)|4,x y x y ++--+=
化简得L 的方程为2
2 1.4
x y -=
10.(2011年高考陕西卷理科17)（本小题满分12分）
如图，设P 是圆珠笔2
2
25x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为P D 上一点，且4
5
MD PD =
（Ⅰ）当P 的在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的长度。

【解析】：（Ⅰ）设M 的坐标为(,),x y P ，P 的坐标为(,),p p x y
由已知得,
5
,4
p p x x y y =⎧⎪
⎨=⎪⎩P 在圆上，2
2
5()25,4
x y ∴+=即C 的方程为2212516x y +
=
11.(2011年高考重庆卷理科20)（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）
如图（20），椭圆的中心为原点O ，离心率2
2
e =，一条准线的方程为22x =。

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程。

（Ⅱ）设动点P 满足2OP OM ON =+,其中M,N 是椭圆上的点。

直线OM 与ON 的斜率之积为1
2
-。

问：是否存在两个定点12F F 、，使得12PF PF +为定值。

若存在，求1
2F F 、的坐标；若不存在，说明理由。

解析：（Ⅰ）由2
2222a a e c c
==
=2222,2,2a c b a c ===-=， 故椭圆的标准方程为22
142
x y += （Ⅱ）设(),P x y ，()()1122,,,M x y N x y ,则由2OP OM ON =+得
()()()1122,,2,x y x y x y =+，即12122,2x x x y y y =+=+，
因为点M,N 在椭圆22142
x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+= 故(
)(
)
2
2
22
22
12121212244244x y x x x x y y y y +=+++++ (
)()()22
2
211
2
2121224242x y x
y x x y y =+++++
()12122042x x y y =++，
12．(2011年高考四川卷理科21) (本小题共l2分)
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．
(I)当|
CD | =
3
22
时，求直线l 的方程； (II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ •为定值.
解析：由已知可得椭圆方程为2
212
y x +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率. 则12122
222
22
2
12122242122(2)2101221222k y kx y y x x k k k x kx y k x x x y y k k ⎧
⎧
=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==
⎩⎪⎪+⎩
+⎩
2422
2
212122222
88889
()()22(2)(2)2
k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=
-++， l ∴的方程为21y x =-+.
13.(2011年高考全国卷理科21)已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:12
y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=
(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ， 证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.
（Ⅱ）法一：点P 2(1)2-
-，P 关于点O 的对称点为Q ，2
2
Q ∴， 2
2111
2211131(
1
121122261
()2AQ AP
y K K x x x +--====-------
，即90PAQ ∠=，
同理1PB BQ K K =-即90PBQ ∠=，∴ 180PAQ PBQ ∠+∠= A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.
【2010年高考试题】
1.（2010浙江理数）（8）设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=＞＞的左、右焦
点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±= 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，
答案：C
2.（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=＞＞的离心率为3
2，
过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2
3.（2010辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
23312 (D) 51
2
【答案】D
【解析】设双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，则F （c,0）,B(0,b)
直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=
b x a 垂直，所以1b b
c a
-=-，即b 2=ac 所以c 2-a 2=ac ,即e 2
-e -1=0,所以15e +=15
e -=（舍去）
4.（2010辽宁理数）(7)设抛物线y 2
=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3那么|PF|=
(A)43 (B)8 (C)83 (D) 16 【答案】B
【解析】抛物线的焦点F （2，0），直线AF 的方程为3(2)y x =--，所以点(2,43)A -、
(6,43)P ，从而|PF|=6+2=8
5.（2010天津理数）(5)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是
y=3x ,它的一个焦点在抛物线2
24y x =的准线上，则双曲线的方程为
（A ）
22136108x y -= （B ） 22
1927x y -=
（C ）
22110836x y -= （D ）22
1279
x y -=
6.（2010山东理数）(7)由曲线y=2x ,y=3
x 围成的封闭图形面积为
（A ）
112
(B)
14
(C)
13
(D)
712
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为123
0x -x )dx=
⎰（111
1-1=3412
⨯⨯,故选A 。

7.（2010安徽理数）5、双曲线方程为2
2
21x y -=，则它的右焦点坐标为
A 、2,02⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
B 、5⎫
⎪⎪⎝⎭
C 、6⎫
⎪⎪⎝⎭
D 、
)
3,0
【答案】C
【解析】双曲线的22
11,2a b ==
，2
32c =，62c =，所以右焦点为6,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. 8.（2010湖北理数）9.若直线y=x+b 与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是
A. 1,122⎡⎤-+⎣⎦
B. 122,122⎡⎤-+⎣⎦
C. 122,3⎡⎤-⎣⎦
D. 12,3⎡⎤-⎣⎦
9.（2010福建理数）7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(a>0)a
x y -=的中心和左焦
点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )
A ．[3-23,)+∞
B ．[323,)++∞
C ．7[-,)4+∞
D ．7[,)4
+∞ 【答案】B
【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以2
14a +=，即2
3a =，所以双曲
线方程为22
13x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得2
2
0001(3)3
x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以
2
000(2)OP FP x x y ⋅=++=00(2)x x ++2013x -=2
004213
x x +-，此二次函数对应的抛物
线的对称轴为03
4
x =-
，因为03x ≥，所以当03x =时，OP FP ⋅取得最小值4
32313
⨯+-=323+，故OP FP ⋅的取值范围是[323,)++∞，选B 。

10.（2010福建理数）2．以抛物线2
4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A ．2
2
x +y +2x=0 B ．2
2
x +y +x=0 C ．2
2
x +y -x=0
D ．22
x +y -2x=0
11.（2010浙江理数）（13）设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，点
(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为
_____________。

12.（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线2
:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)
M 且斜率为
3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则
p = ．
【答案】2
【解析】过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM MB =，∴M 为中点，∴1
BM AB 2
=
，3，0
BAE 30∠=，∴1
BE AB 2
=
，∴BM BE =，∴M 为抛物线的焦点，∴p =2.
13.（2010江西理数）15.点00()A x y ，在双曲线
22
1432
x y -=的右支上，若点A 到右焦
点的距离等于02x ，则0x =
【答案】 2
【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,
r
e d
=3r d ⇒=, 2
00023()2a x x x c
=-⇒=
15.（2010浙江理数）(21) （本题满分15分）已知m ＞1，直线2
:02m l x my --=，椭圆22
2:1x C y m
+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
则由2
2
28(1)804
m m m ∆=--=-+>，知28m <，
而22
12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 22
1(1
()82
m m =+-） 所以
21
082
m -< 即2
4m <
又因为1m >且0∆> 所以12m <<。

所以m 的取值范围是(1,2)。