概率论要点及部分问题

一．概念

1、极差(Range)为数据中的最大值减去最小值。

2、代表的是数据的“分散程度”的量还有：IQR，PIQR。分别称为四分位间距，和百分比的四分位间距。IQR=Q3-Q1. 这里：Q3和Q1分别是最大值、最小值和中位数之间的中位数。PIQR=IQR / Range

3、数据深度定义：样本中一个数据值的深度，是它的升秩和降秩两者中的最小值。

4、我们用深度的概念，可以规定怎样从样本中提炼出各种探索性总括值。中位数的深度是（n+1）/2。如果n是偶数，我们看到（n+1）/2有分数部分1/2；按常规，只要深度不是整数，我们就作内插。

5、四分位数的深度 = （[中位数的深度]+1）/ 2，0.25和0.75分位数，又分别称为下四分位数和上四分位数。

6、盒图的做法（1）：算出五数总括（有时也计算均值）(2)画一条水平线（也可以画竖线），两个端点的值 a, b(使之包含min, Max既可) , 在[a,b]中等分画出分点，标出单位。(3)：在水平线上方，在Q1 , Q3之间画一个矩形，长度为IQR, 在Md处画一条线，把矩形分成两部分。

(4)：将min, Max与上述矩形相连。（在适当的位置用 + 标出均值。）

7、判断异常值：当数据超出Q1 -1.5IQR或 Q3+1.5IQR时，常判作异常值，以 * 标出。（或者○标出。）若超出3IQR，称“太极端”（too extreme）。

二．例题

1、路遥先生的三卷本“平凡的世界”是我最喜欢的小说之一。按照任意的次序放在书架上，请问各卷自左至右，或者自右至左排成1，2，3卷的顺序的概率是多少？

2、出黑球的概率？（1）相同颜色的球可分辨（2）相同颜色的球不可分辨

3、袋子中有a个白球，b个黑球，等可能的不放回摸球。每个人摸出后藏好了。问第k个人摸

n个球等可能的放入N个盒子里，问至少两个球在同一个盒子里的概率？(N>n)注：N=365,不考虑闰年（生日），n=人数。

4、王蒙游戏 20张牌每个花色5张，从中等可能的抽10张，计数每个花色的张数。结果对应如下奖惩：5500（奖摄像机），5410（进口香烟一条），5311（机器人玩具）， 4411,4330 （进口烟一盒），4222（小海螺）以上分别为5个奖励等级，4321 （罚款2元）3331（罚款2元），3322 （罚款5元）以上两个罚款等级，其它：（不奖不罚）

5、彩票问题先从01～36个号码球中一个一个的摇出7个基本号，再从剩下的29个号码球中摇出一个特别号码，中奖等级如下：(1)特等奖：选中7个正选号 (2)一等奖：选中6个正选号+特选号（3）二等奖：选中6个正选号 (4)三等奖：选中5个正选号+特选号 (5)四：选中5个正选号，或： 4个正选号+特选号 (6)五：选中4个正选号，或： 3个正选号+特选号

6、标准的52张扑克牌取5张（不计牌的顺序）。1）牌的点数不重复；2）恰有一个对子；3）恰有两个对子；4）三带二；5）顺子；6）同花顺；7）四个花色都出现。

7、匹配问题：n个人等可能的取自己的帽子，问没有一个人取到自己帽子的概率？恰有k个人取到自己帽子的概率？

8、有一个由Monty主持的电视游戏栏目是这样的：Monty让参与人Volia在3扇完全一样的大门A,B,C中任选一扇，这3扇门中有两扇门后面分别有一个一分钱硬币，另一扇门后面有一个大咸鸭蛋，每扇门后有什么东西,主持人Monty事先已经知道,游戏开始了， Volia选定一扇门（如A门）后， Monty打开一扇放有硬币的门（如B门），接着告诉Volia可以再选择， Volia 想要咸鸭蛋，问题是Volia是保持原选择不动，还是换呢？

9、甲乙两人射击各一次。甲击中的概率为0.9，乙为0.8，而两人同时击中的概率是0.72，问击中目标的概率？

10、掷一颗骰子6次，至少得到一个6点；掷两颗骰子24次，至少得到一个双6点。问：上述两个概率拿个大？

11、数学家巴拿赫的左右衣袋里各装有一盒火柴，每次使用时任取两盒中的一盒，假设每盒各有n根，求他首次发现一盒空时，另一盒恰有r根的概率（r=1,2,…,n）.

12、某人在掷两枚硬币时，若能同时出现正面，则可得1分；反之则失0.25分。若有一人玩此游戏100回，问此人不胜不负（得0分）的概率多大？

提示：得0分意味着掷出反面的次数为掷出正面次数的4倍，即100次游戏中，掷出正面20次，反面80次。

13、某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起. (1)从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率.

(2)若取出产品是废品,求它是由甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?

14、对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%.每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%. 试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?

15、假设我们掷两次骰子,并定义事件 A={第一次掷得偶数}, B={第二次掷得奇数}, C={两次都掷得奇数或偶数}, 证明A,B,C两两独立, 但A,B,C不相互独立.

16、Simpson 悖论1 两个家庭，第一个家庭丈夫、妻子的收入都比第二家的高。为了一个公共事业，第二家的丈夫、妻子各拿出收入的50%，第一家的丈夫、妻子各拿出收入的5%，95%。为什么第二个家庭出的钱可能多？