读后感

读《数学简史》有感

数学，很多人闻之色变。的确，中国式的应试教育让很多人对数学充满了畏惧，认为数学就是高智商人，才玩得转的学科，其实不然。数学的美丽，并不是我们做的那些所谓难题能够体现的，数学并没有我们想象中的那样，如洪水猛兽，而是像一个神秘的花园，需要我们在其中细细观赏，慢慢品味，看得花儿的艳丽，嗅得花儿的芬芳。

数学史是我们认识数学，学习数学，研究数学的一块敲门砖。它可以帮助我们弄清数学的概念，数学思想的发展过程，让我们对数学概貌有整体的把握和了解。

所谓有需求，才会有发展。数的概念就是产生于计数的需要。而古人对周围环境的各种物体形状的长期观察中形成几何图形的概念，如从拉紧的绳子中产生了直线的概念，对太阳，对月亮的观察，产生了圆和弓形的概念等等。

令人骄傲的是，我们中国数学在人类文明发展的初期，处于领先位置。早在五六千年前，中国就有了数学符号。作为殷商时期的文化特征，甲骨文是中华文明中最古老的有记录的文字。从对已发掘的甲骨文中，我们惊喜的发现，几千年前，老祖宗们就已经对数学有了一定的认识及研究。而商代的数字系统甚至比同一时期的古巴比伦和古埃及更为先进，更为科学。真是不看不知道，一看吓一跳，常被人挂在嘴边装深沉的几句文言文“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”里的八卦，和今天我们熟知的二进制有着惊人的一致。观看八卦图，可以发现，八卦是有方位的，它是古代中国的坐标系，已沿用了几千年，流传至今。真的很奇妙，阴阳八卦里的数学思想真不由得令人拍案叫绝啊。除此之外，很多数学思想在我国早已萌芽，最著名的一例是“田忌赛马”的故事。想必大家对这个故事早已耳熟能详了。田忌的谋士孙膑是著名的军事家，他给田忌出了一个绝妙的应对方案：用上马对齐王的中马；用用中马对齐王的下马，田忌反而以2:1取胜。在这里反应了总体最优的数学思想。更不用说九九歌，也就是我们现在使用的乘法口诀了，那的确是中华人民智慧的结晶，让人不得不佩服。

原来总是听老师在课堂上提到“万物皆数”，现在我终于知道这句话的由来了，是来自毕氏。毕达哥拉斯学派重视研究数的理论而著称，但他们所说的数仅指整数和分数。毕氏本人的原话不得而知，但其学派一位晚期成员费洛罗斯明确说：“人们所知道的一切事物都包含数。因此没有数就不可能表达也不可能理解任何事物。”这就是人称的“万物皆数”。事实上，毕氏的理论不完全是正确的。一位善于思考的年轻人希帕斯就发现了一个新数。他发现如若正方形边长为1时，那么它的对角线长不是当时主流认为的整数和分数，而是一个新数——无理数根号2。他的这一发现动摇了毕氏学派“万物皆数”的哲学基础，跟坚持哥白尼“日心说”的布鲁诺一样，不能被当时奉行“万物皆数”的毕氏学派所容忍，与被烧死的哥白尼不同，希帕斯是被投入大海葬身鱼腹。这就是数学史上发现无理数的惨案，并且由此引发了第一次数学危机。

最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。

第一次数学危机告诉我们，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是真正可靠的。

第二次数学危机发生在十七世纪。早期微积分基础的逻辑混乱，随着传统与变革的思想冲突，以及新的数学分支的庞杂与混乱，微积分基础的困难越来越显得突出，在历史上就形成了所谓的“第二次数学危机”。这第二次危机，明显更为复杂，解决它，所花时间也很长，但幸运的是，不管难题如何艰巨，靠着众多人的智慧我们还是把它解决了，让数学发展到了一个新的高度。18世纪对微积分基础的争论和基础概念的演化，为19世纪彻底解决微积分基础积累了丰富的经验和思路准备。19世纪对数学分析理论基础进行了系统化和严格论证的批判性运动。结果产生了极限理论，分析算术化，实数理论等重大成果，最终确定了数学分析现代体系，为数学分析奠定了严格的基础，第二次数学危机基本解决。

这次危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个科技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题，大大推进了工业革命的发展。就微积分自身而言，经过本次危机的“洗礼”，其自身得到了不断的系统化，完整化，扩展出了不同的分支，成为了18世纪数学世界的“霸主”。

同时，第二次数学危机也促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。

前两次的数学危机都促进了数学的发展，那第三次呢？当然也不例外，但道路更加曲折，到现在也只是缓和，并没有真正解决。

19世纪70年代，康托尔创立了著名的集合论，不久，这一开创性的成果就被广大数学家所接受，并成为现在数学的基础。但英国逻辑学家罗素提出了一个“悖论”却指出，作为现代数学基础的集合论存在漏洞！这一发现直接导致了第三次数学危机。

罗素把集合分成两种。第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M ∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。无论如何都是矛盾的。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己理发的人理发，并且，只给村里这样的人理发。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己理发？"如果他不给自己理发，那么他按原则就该为自己理发；如果他给自己理发，那么他就不符合他的原则。矛盾显而易见。

从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。

这三次危机，都使得数学有了一定的发展，在处理危机的过程中，诞生了很多有着重要意义的的定理及思想方法。未来肯定会爆发第四次数学危机，那时候又会给数学带来什么样的机遇呢？我们一起期待着。

有人说看数学简史肯定很无聊，因为都是些定理，公式的由来和证明，看着没有什么乐趣，其实不然。在数学简史中有很多有趣的小故事，让你开怀大笑，也有名人的格言，发人深省。伟大的雅典数学家欧几里得学习勤奋，治学严谨，遗憾的是，他只留下了两则轶事：一则说，托勒密国王学习几何困难时，问他：“学习几何又没有捷径”，他回答道“几何无王者之道”。二则说，有一学生开始学习第一个命题，就问学了几何学后将得到什么利益？欧氏对家奴说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”可以见得，欧氏主张循序渐进，刻苦学习，求知无坦途，套机取巧都不行，而急功近利的学习态度更是要不得。