多面体与球的内切和外接常见类型归纳

多面体与球的内切和外接常见类型归纳

在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何

体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教

学中有关这方面的习题加以总结和归类如下:

・正四面体与球

如图所示，设正四面体的棱长为a, r为内切球的半径，R为外接球的半径。则高SE=、岸a,斜高SD= £a , OE=r=SE-SO ,

SD=BD,BD=SE-OE,贝U

在

直角OEB中0E2+ EB2 = BD2 = (SE- OE)2

S

又

A

B

C

r=^a。R=SO=OB=^a

12 4

特征分析:

1・由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。

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2. R=3r.「=卷R=a。

12 4

此结论可以记忆。

例题一。1、一个四面体的所有棱长都为72，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（

分析：借助结论，R=<=£乐負所以s=g=3J

2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积

之比是(

)

分析：借助R=3r ，答案为9: 1。

、特殊三棱锥与球

四个面都是直角三角形的三棱锥。

SA 丄面ABC , ABC 为直角三角形，BC 丄AB

因为SA 丄AC ，SB 丄BC ，球心落在 SC 的中点处。所以R=SC

。

2

三.正方体与球。

C

1.正方体的外接球

即正方体的8个定点都在球面上。 R W 。

2

关键找出截面图:ABCD 为正方体 的体对角面。设正方体的边长为 a ,

贝y AB= 72 a, BD=2R ,

AD=a ,

2. 正方体的内切球。 (1)与正方体的各面相

切。如图：ABCD 为正方 体的平行侧面的正方形。

R=a

2

(2)与正方体的各棱相切。

如图：大圆是正方形 ABCD 的外接圆。

AB=CD=a ,

3. 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征

是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把 三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。

例题：1。正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这 个球的表面积是

解析：显然，球是正方体的外接球，a=2,则R=¥2 = 73 , S=12兀。

2.—个球与棱长为1的正方体的12条棱都相切，则球的体积

解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R ==¥I ==¥

3.将棱长为1的正方体削成体积最大的球，则球的体积为

解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的 R=- , V= 4兀。

2

3

4. P 、A 、B 、C 、是球0面上的四个点，

俄各面都相切。

PA 、PB 、PC 两两垂

直，且PA=PB=PC=1，则球的体积是

解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正

方体的外接球，所以R= — , V=^

2 2

四、正棱柱与球

1.正三棱柱外接球。

2.正四棱柱外接球。

道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定 理求得。

例题：1。已知一个半径为42的球中有一个各条棱长都相等的内 接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 解析：如上图，OA=72i ,OD=a , AD=^a ,

2

3

可求 a = 6, V=54 73.

2.正四棱柱ABCD-A i B i C i D i 的各个顶点都

有最 _____ 值，为 解析：截面如图：ABCD 为正四棱柱的体对 角面OD=R ，设AD=a ，底面正方形的边长 为 b ，则有 DC= 42 b ,贝y R 2= ( a/2) 2+ (应 b/2) 2

如图所示：过A 点作AD 垂直BC,D 为三角形ABC 的中心，D i 同样得 到。则球心0必落在DD 1的中点上。 利用三角形 OAD 为直角三角形，

OA=R,可求出R.

在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积

S=4ba<72(a2 +2b2)=472R2。

五、长方体与球

1.长方体的外接球。

截面图如右图：实质构造直角三角形，

联系半径与长方体的长宽高。半径为

体对角线的一半。

2.在长方体以一个顶点为交点的三条

棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的

三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体

的外接球，再求解。

例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是3, 4, 5,则它的外接球的表面积是

解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长

方体的外接球，所以

R=^, S=5^。

2