中要的数学几何定理

余弦定理性质

对于任意三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积： 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质

(注：a*b 、a*c 就是a 乘b 、a 乘c 。a^2、b^2、c^2就是a 的平方，b 的平方，c 的平方。)

a^2=b^2+c^2-2*b*c*Cos A

b^2=a^2+c^2-2*a*c*Cos B

c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C

Cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab

Cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac

Cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

设⊿ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的角分别是A 、B 、C ，则

有

a ＝

b ·cosC ＋

c ·cosB ，

b ＝

c ·cosA ＋a ·cosC ，

c ＝a ·cosB ＋b ·cosA 。

注：以“a ＝b ·cosC ＋c ·cosB”为例，b 、c 在a 上的射影分别为b ·cosC 、

c ·cosB ，故名射影定理。

证明1：设点A 在直线BC 上的射影为点D ，则AB 、AC 在直线BC 上的射影分别为BD 、CD ，且

BD=c ·cosB ，CD=b ·cosC ，∴a=BD+CD=b ·cosC ＋c ·cosB .同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA ，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a ·cosB ＋b ·cosA .同理可证其它的。

正切定理 2/)tan(2

/)tan(βαβα-+=-+b a b

a

正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （2R 在同一个三

角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）

这一定理对于任意三角形ABC ，都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

R 为三角形外接圆半径

切割线定理

∵PT 切⊙O 于点T ，PBA 是⊙O 的割线

∴PT^2=PA·PB （切割线定理）

推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：

∵PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）

由上可知:PT^2=PA·PB=PC·PD

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则

PT^2=PA·PB

证明：连接A T, BT

∵∠PTB=∠PA T(弦切角定理)

∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT^2=PB·PA

一.三角形面积公式：

1.海伦公式:

设P=(a+b+c)/2

S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)

解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三

角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

2.

S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB=abc/(4R)[R

为外接圆半径]

3.S△ABC=ah/2

二. 正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;（条件同上）

(3)相关结论:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

c/sinC＝c/sinD=BD=2R

⑷设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

几何语言：

若弦AB、CD交于点P

则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：

若AB是直径，CD垂直AB于点P，

则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）

圆幂定理：

一点P对半径

R的圆O的幂定义

如下：OP^2-R^2

所以圆内的点

的幂为负数，圆外

的点的幂为正数，

圆上的点的幂为

零。

圆幂定理是对

相交弦定理、切割

线定理及割线定

理（切割线定理推

论）以及它们推论

统一归纳的结果。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

进一步升华（推论）：

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。（这就是“圆幂”的由来）

西姆松定理

过三角形外接圆上异于三角形顶点的

任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。