椭圆中的焦点三角形(好)
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的 点 M 总 在 椭 圆 内 部 ， 则 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _
2021/3/27
CHENLI
11
考点4 有关面积的问题：
例4 P是 椭 圆 x52y421上 的 点 ， Fl， F2是 椭 圆 的 焦 点 ，
若 F1PF23,则 PF1F2的 面 积 等 于 _______。
1
2 m n
2 m n 2 m n m n
2b2
2b2
1 1
(m n)2
a2
2
( 当 且 仅 当 m n , 即 P 点 与 短 轴 端 点 重 合 时 " " 成 立 )
2021/3/27
CHENLI
7
变式: (2004湖南卷) F 1,F 2是 椭 圆 C:x82y421的 焦 点 , 在 C 上 满 足 P F 1 P F 2 的 点 P 的 个 数 为 _ _ _ _ _ _
则点P到x轴的距离为（ ）
A.9 B.9 7 C.9 D.9或9 7
5
7
4
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2021/3/27
CHENLI
14
性 质 四 ： 过 椭 圆 焦 点 的 所 有 弦 中 通 径 (垂 直 于 焦 点 的 弦 ) 最 短 ， 通 径 为 2b2。 a
2021/3/27
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15
(2007天 津 )设 椭 圆ax22by22 1(ab0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， A是 椭 圆 上 的 一 点 ， AF2F1F2， 原 点 O到 直 线 AF1的 距 离 为13OF1． （ Ⅰ ） 证 明 a 2b； （ Ⅱ ） 略
怎样改动，使上面不是一个错题？
一：P是椭圆 x2 5
y2 4
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1PF2
பைடு நூலகம்
6
，则PF1F2的面积等于_______。
二：P是椭圆 x2 4
y2
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1PF2
3
，则PF1F2的面积等于_______。
2021/3/27
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变式：
1（ . 2006四川） 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P1,P2,P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 则P1FP2FP7F _________
2.已 知 F 1、 F 2是 椭 圆 2 x5 2y921的 左 ,右 焦 点 ,点 P在 椭 圆 上 运 动 ,则 PF 1•PF 2的 最 大 值 是 _______
三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
2021/3/27
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考点1 有关周长和距离问题：
例1 (0 8 浙 江 )已 知 F 1 、 F 2为 椭 圆 2 x5 2y 9 21 的 两 个 焦 点 ,过 F 1 的 直 线
交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 ,若 F 2AF 2B1 2 ,则 A B_ _ _ _ _ _ _
若 F1、 F2是 椭 圆 x a2 2+b y2 2=1(a>b>0)的 两 个 焦 点 ， P是 椭 圆 上 一 点 ， 且 ∠ F1PF2=θ ， 求 椭 圆 的 面 积 。
解: 设 PF1 m，PF2 n， 由 余 弦 定 理 得 m 2 n 2 2 m n cos F1F2 2 4c 2①
2021/3/27
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考点2 有关角的问题：
例2
(2000全 国 )椭 圆x92y42 1的 焦 点 为 Fl、 F2， 点 P为 其 上 动 点 ， 当 FlPF2为 钝 角 时 ， 点 P横 坐 标 的 取 值 范 围 是________。
探究:椭圆
x2 9
y2 4
1 的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当
由椭圆定义得m n 2a②
由 ① 得 ： mn 2(a2 c2 ) 2b2
1 cos 1 cos
S F1PF2
1 mn sin
2
b2 sin 1 cos
b2 tan
2
Ex.1
变式（ : 04湖北） 已知椭圆x2 y2 16 9
1的左、右焦点分别是F1、F2，
点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，
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考点3 有关离心率的问题：
例3
已 知 椭 圆x2 a2
y2
b2
1(ab0)的 两 焦 点 分 别 为 F1,F2,
若 椭 圆 上 存 在 一 点 P,使 得 F1PF21200,求 椭 圆 的 离 心 率 e
的 取 值 范 围 。
由前面考点二的分析，你能得出cos F1PF2 与离心率e的关系吗？
昨日重现.mp3
考纲要求
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3.能解决直线与椭圆的位置关系等问题. 4.理解数形结合的思想. 5.了解椭圆的简单应用.
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定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰
F1PF2 为直角时，点P的横坐标是_______。
而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
2021/3/27
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性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2由锐角变成直角， 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成 锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，F1PF2达到最大。
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点 对椭圆两焦点所成张角中最大的角
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
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cos PF 12PF 22F 1F 22m 2n24c2
2PF 1 PF 2
2m n
(m n ) 2 2 m n 4 c 2 4 a 2 2 m n 4 c 2 4 b 2 2 m n2 b 2
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性质二：已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(ab0),两焦点分别
为 F1, F2 , 设焦点三角形 PF1F2 中 F1P2F,
则 co s12e2.
（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
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变 式 : （ 0 9 江 西 ） 已 知 F 1 、 F 2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 ， 满 足 M F 1 M F 2 0
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考点4 有关面积的问题：
例4 P是 椭 圆 x52y421上 的 点 ， Fl， F2是 椭 圆 的 焦 点 ，
若 F1PF23,则 PF1F2的 面 积 等 于 _______。
1
2 m n
2 m n 2 m n m n
2b2
2b2
1 1
(m n)2
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( 当 且 仅 当 m n , 即 P 点 与 短 轴 端 点 重 合 时 " " 成 立 )
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变式: (2004湖南卷) F 1,F 2是 椭 圆 C:x82y421的 焦 点 , 在 C 上 满 足 P F 1 P F 2 的 点 P 的 个 数 为 _ _ _ _ _ _
则点P到x轴的距离为（ ）
A.9 B.9 7 C.9 D.9或9 7
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性 质 四 ： 过 椭 圆 焦 点 的 所 有 弦 中 通 径 (垂 直 于 焦 点 的 弦 ) 最 短 ， 通 径 为 2b2。 a
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(2007天 津 )设 椭 圆ax22by22 1(ab0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， A是 椭 圆 上 的 一 点 ， AF2F1F2， 原 点 O到 直 线 AF1的 距 离 为13OF1． （ Ⅰ ） 证 明 a 2b； （ Ⅱ ） 略
怎样改动，使上面不是一个错题？
一：P是椭圆 x2 5
y2 4
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1PF2
பைடு நூலகம்
6
，则PF1F2的面积等于_______。
二：P是椭圆 x2 4
y2
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1PF2
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，则PF1F2的面积等于_______。
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变式：
1（ . 2006四川） 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P1,P2,P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 则P1FP2FP7F _________
2.已 知 F 1、 F 2是 椭 圆 2 x5 2y921的 左 ,右 焦 点 ,点 P在 椭 圆 上 运 动 ,则 PF 1•PF 2的 最 大 值 是 _______
三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
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考点1 有关周长和距离问题：
例1 (0 8 浙 江 )已 知 F 1 、 F 2为 椭 圆 2 x5 2y 9 21 的 两 个 焦 点 ,过 F 1 的 直 线
交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 ,若 F 2AF 2B1 2 ,则 A B_ _ _ _ _ _ _
若 F1、 F2是 椭 圆 x a2 2+b y2 2=1(a>b>0)的 两 个 焦 点 ， P是 椭 圆 上 一 点 ， 且 ∠ F1PF2=θ ， 求 椭 圆 的 面 积 。
解: 设 PF1 m，PF2 n， 由 余 弦 定 理 得 m 2 n 2 2 m n cos F1F2 2 4c 2①
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考点2 有关角的问题：
例2
(2000全 国 )椭 圆x92y42 1的 焦 点 为 Fl、 F2， 点 P为 其 上 动 点 ， 当 FlPF2为 钝 角 时 ， 点 P横 坐 标 的 取 值 范 围 是________。
探究:椭圆
x2 9
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1 的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当
由椭圆定义得m n 2a②
由 ① 得 ： mn 2(a2 c2 ) 2b2
1 cos 1 cos
S F1PF2
1 mn sin
2
b2 sin 1 cos
b2 tan
2
Ex.1
变式（ : 04湖北） 已知椭圆x2 y2 16 9
1的左、右焦点分别是F1、F2，
点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，
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考点3 有关离心率的问题：
例3
已 知 椭 圆x2 a2
y2
b2
1(ab0)的 两 焦 点 分 别 为 F1,F2,
若 椭 圆 上 存 在 一 点 P,使 得 F1PF21200,求 椭 圆 的 离 心 率 e
的 取 值 范 围 。
由前面考点二的分析，你能得出cos F1PF2 与离心率e的关系吗？
昨日重现.mp3
考纲要求
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3.能解决直线与椭圆的位置关系等问题. 4.理解数形结合的思想. 5.了解椭圆的简单应用.
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2
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰
F1PF2 为直角时，点P的横坐标是_______。
而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
2021/3/27
CHENLI
5
性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2由锐角变成直角， 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成 锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，F1PF2达到最大。
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点 对椭圆两焦点所成张角中最大的角
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
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cos PF 12PF 22F 1F 22m 2n24c2
2PF 1 PF 2
2m n
(m n ) 2 2 m n 4 c 2 4 a 2 2 m n 4 c 2 4 b 2 2 m n2 b 2
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性质二：已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(ab0),两焦点分别
为 F1, F2 , 设焦点三角形 PF1F2 中 F1P2F,
则 co s12e2.
（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
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变 式 : （ 0 9 江 西 ） 已 知 F 1 、 F 2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 ， 满 足 M F 1 M F 2 0