椭圆中的焦点三角形(好)
椭圆焦点三角形的结论
椭圆焦点三角形的重要结论 已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，P 为椭圆上一点，θ=∠21PF F . 结论1：21PF F ∆的周长为c a 22+
结论2：P PF F y c b PF PF S ===∆2tan sin 2122121θθ
结论3：当点P 位于短轴端点时，（1）顶角21PF F ∠最大；（2）21PF F S ∆也取得最大值bc
结论4：θ
cos 122
21+=⋅b PF PF 结论5：21PF PF ⋅的取值范围：
（1）因为22
21212a PF PF PF PF =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⋅（当且仅当a PF PF ==21，即点P 位于短轴端点时等号成立.）所以21PF PF ⋅的最大值为2a . （2）因为22
21cos 12b b PF PF ≥+=⋅θ
（当且仅当 0=θ，1cos =θ，即点P 位于长轴端点时等号成立）.所以21PF PF ⋅的最小值为2b .
（3）],[2221a b PF PF ∈⋅（焦点三角形中],(2221a b PF PF ∈⋅） 结论6：椭圆的离心率β
αβαsin sin )sin(222121++=+===PF PF F F a c a c e 结论6：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PF F ，则离心率2cos 122θ
-≥e ，即)1,2[sin θ
∈e
另外：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PA A ，则离心率2cot 122θ
-≥e ，即
)1,2cot 1[2
θ-∈e。
椭圆的焦点三角形
F1
O
F2
x
做题感悟
1、在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成 的三角形叫焦点三角形，焦点三角形引出的问 题包含着三角形和椭圆的问题. 2、利用椭圆定义，正、余弦定理及三角形面 积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的 关系. 3、在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整 体来处理
当堂检验答案 1、2 3 2、48 3、49 4、16
2
2
2
2
椭圆的定义： PF1 PF2 2a(2a F1F2 )
椭圆的标准方程及图像 焦点在x轴
y
焦点在y轴
x2 a2
y2 b2
1
P
F1 0F2xy来自 a2x2 b2
1
F2
M
o x
F1
快速问答： 1、椭圆中的三角形是 由哪些点作为顶点构成？ 2、研究三角形一 般研究哪些元素?
F1
O
F2
x
1、讨论焦点三角形的周长.
y
2、讨论焦点三角形的面积. （已知椭圆标准方程及
P
焦点三角形的一个角）
F1
O
F2
x
变式练习：已知两定点F1(-1,0)，F2 (1, 0), 动点P满足 PF1 PF2 2 F1F2 . (1)求点P的轨迹方程； y
(2)若F1F2P 60，求PF2F1的面积.
椭圆焦点三角形的面积 与周长
知识储备
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA;b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
b2 c2 a2
c2 a2 b2
a2 b2 c2
cosA=
;cosB=
椭圆中的焦点三角形(总结非常好)
椭圆焦点三角形的性质班级_______________学号_______________姓名_______________任务一课前小测，知识回顾1.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A π=，2a =，求,b c .2.△ABC 的内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，4b c +=.(1)若23B π=，求c ；(2)设B θ=，试用θ表示c .3.(教材习题)如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是________.4.(教材习题)已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作直线AB ，交椭圆于A ,B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则△1AF B 的周长为________.思考与总结:①你能说出椭圆焦点三角形，焦点弦的定义吗？②通过题3、题4的解答，你能说说“椭圆焦点三角形的元素”与“椭圆的几何性质”间的一些关系吗？任务二抽丝剥茧，试题分析5.(2020顺德二模第19题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F =，设点P 为椭圆C 上一点,123F PF π∠=，且△12F PF (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左右顶点为1A ,2A ，称以12A A 为直径的圆为椭圆C 的“伴随圆”.设直线1l ,2l 为过点1F 的两条互相垂直的直线，设1l 交椭圆于Q ,T 两点，2l 交椭圆C 的“伴随圆”于M ,N 两点，当QT 取到最小值时，求四边形QMTN 的面积.思考与总结：①题5条件中有很多△12F PF 的信息，由这些出发，你能得到什么？这些对第(1)问求椭圆C 的标准方程有帮助吗？②第(2)问表面上“高深莫测”，请耐心一点，逐句分析，你能得到哪些基本信息？请一一写出来！③你能想到什么方法求QT 的最小值？任务三方法感悟，素养提升6.(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．312-B ．2C ．312-D 17.(2019全国卷Ⅲ)设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________.8.(2019全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为()11,0F -,()21,0F ,过2F 的直线与C 交于,A B 两点,若222AF F B =,1AB BF =,则C 的方程为()A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=思考与总结：①若△12PF F 为焦点三角形，你能否用它的元素表示椭圆的离心率？②通过上述问题的解答，请谈谈这节课你的收获.任务四课外探索，巩固练习9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F c =，设点P 为椭圆C 上一点，设12F PF θ∠=，12PF F α∠=，21PF F β∠=.(1)求证：△12F PF 的面积为2sin 1cos b θθ+；(2)求证：21cos b PF a c α=-，22cos b PF a c β=-；(3)设直线1PF 交椭圆C 于另一点Q ，求证：22222cos ab PQ a c α=-，211112a PF QF b +=.5.(2011全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且△2ABF 的周长为16，那么C 的方程为_____________.10.(2013山东卷)椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.求椭圆C 的方程.11.(2013全国卷Ⅱ)设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠= ,则C 的离心率为（）A ．36B ．13C ．12D ．3312.(2010全国卷)设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列.(1)求E 的离心率;(2)略.13.(2019全国卷Ⅱ)已知1F ,2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点.(1)若△2POF 为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.。
椭圆中的焦点三角形
椭圆中的焦点三角形
由于椭圆是一种特殊的形状，它有两个焦点，以及另一种特殊的名字叫“焦点三角形”，以下是椭圆中的焦点三角形的相关知识：
椭圆的焦点三角形是指三角形的对边平分线，与两个椭圆的焦点相交所构成的三角形。
因此，无论是三个角，三条边，还是三条边的长度，椭圆的焦点三角形的都是有确定的。
焦点三角形的角度一般都是120°，而且这三个角相等，依据勾股定理，可以推算出两个
焦点三角形边长，这是一个有趣而又有用的知识点。
椭圆的焦点三角形具有一下特点：三个角为120°，角平分线的所有端点都在两个焦
点的位置上，这样的三角形称为焦点三角形，并且边AB、AC、BC的平方和等于EC（A，B，C是三角形的顶点，E是椭圆的焦点）。
焦点三角形在几何学中也有重要作用，比如它能
够用于求解椭圆曲线，从而绘制出不同的椭圆图形，和使用焦点三角形来求解其他复杂图形。
椭圆中的焦点三角形在学校中也会经常出现，因为幼儿学校到中学等学校都会学习几
何知识，并且会介绍焦点三角形，让老师和学生们了解这个有趣的几何概念。
同时，椭圆
的焦点三角形也会被用于有关视角分析，物体投射和照明计算等，为科技和先进工程所应用。
总而言之，椭圆中的焦点三角形具有很多有趣又爱思考的东西，从小学到大学，都可
以学习它，而且可以应用到许多方面，为我们的生活和科技工程的发展提供更多的便利，
让自然科学得以变得更加伟大。
椭圆中焦点三角形的性质及应用
椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。
性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。
由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。
已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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椭圆专题三 椭圆中焦点三角形问题(含答案)
椭圆专题三 椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。
证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。
1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的 垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。
椭圆中的焦点三角形探究
D.
F1PF2
的内切圆的半径
r
有可能为
2 3
答案：A,C
练习题
练习 1.如图，在 ACB 中， ACB 90 ， AC 4, BC 3 ，
点 D 在边 BC 上，以 A,D 为焦点，经过点 B,C 作椭圆 c，现以
线段 AD 为 x 轴，AD 中点 O 为原点，建立直角坐标系 xoy ，
则椭圆 c 的方程为___________
4.求证：以| PF1 |为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切.
5.延长
PF1、PF2
分别交椭圆于点
M,N，则
| |
PF1 F1M
| |
| |
PF2 F2 N
| |
是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
6.类比探究双曲线中的焦点三角形的性质.
数学问题探究方法
1.善于从细微的问题入手进行深入探究； 2.能够根据探究问题厘清探究的逻辑顺序； 3.能够综合应用所学知识进行探究； 4.要有创新精神，敢于提出自己独到的见解。
面积探究：
问题
3：已知椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)
的两个焦点为 F1, F2 ,P
为
椭圆上一定点，且 F1PF2 ，试探求 F1PF2 1
|
|
PF1
|
s
in
1 2
b2
2
sin c
2 os2
cos
2
b2 tan
2
2
面积探究：
例 3.点
P 是椭圆
2 33
33
33
33
边角关系探究
（2）当点 P 在椭圆上且在圆 x2 y2 3 内时，F1PF2 90， 此时 PF1F2 是钝角三角形；当 P 在过焦点且垂直于 F1F2
椭圆中的焦点三角形案例分析
《椭圆中的焦点三角形》的案例分析（一）：复习引入：1：椭圆的定义（二）：基础训练及例题问题(一)利用焦点三角形求轨迹方程例1：在△ABC 中，已知B,C 坐标分别为(-3,0)和(3,0)，且△ABC 周长为16，则顶点A 的轨迹方程。
变题1：在△ABC 中，已知B,C 坐标分别为(-3,0)和(3,0)，AB,AC 边上中线长为15，则此三角形重心G 的轨迹方程。
变题2：（93年全国高考卷）若△ABC 面积为1，tan ∠ABC=21, tan ∠ACB=2-建立适当坐标系，求以B,C 为焦点并且过点A 的椭圆方程【设计说明】结合高考，逐层深入。
其实变题1，2还是要回归例题1中焦点三角形的边的关系实行求解。
问题(二)焦点三角形的性质例2122y x 的2个焦点，若A 、B 是椭圆过焦点F 1的弦，则B A C(1)求△AF 1F 2，△ABF 2的周长。
(2)求21AF AF ⋅最大值？(3)求∠F 1AF 2的最值？（4） 若∠F 1AF 2为钝角时，求点A 横坐标的范围（2000年全国高考卷）（5）△AF 1F 2面积的最大值。
（6）设∠F 1AF 2为θ，求21F AF S ∆的面积【设计说明】把不等式、三角、面积等等知识实行融会贯通，让学生形成一个整体的认知结构，实现新旧知识的贯通。
（三） 巩固练习（一）必做题（1）（2005年全国高考卷）设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（2）动圆与定圆x 2+y 2+4y-32=0内切且过定圆内的一个定点A （0，2），求动圆圆心P 的轨迹方程。
（3）已知M 为椭圆上一点，F 1、F 2为2个焦点，且∠MF 1F 2=600, ∠MF 2F 1=300，则椭圆的离心率为 。
（4）已知F 1，F 2为椭圆14922=+y x 的2个焦点，M （1，1）为椭圆内一定点，A 为椭圆上任意一点，求AM AF +1的最大值。
椭圆焦点三角形结论
椭圆焦点三角形结论好啦，今天咱们来聊聊一个有点儿高深但又不失有趣的话题——椭圆焦点三角形。
听名字可能让人有点头大，但别急，咱们慢慢说，保证让你既能理解，还能笑着记住！首先呢，椭圆这东西，你就想象成一个有点胖的圆形，圆的两边稍微被挤压了一下，变成了椭圆。
你看着它不那么规整，但它依旧很美。
好啦，椭圆的焦点是什么呢？其实也不难理解，焦点就是椭圆里最重要的两个“神秘点”，它们就像是椭圆的“心脏”，决定了这个椭圆的各种特性。
就好比你追一个明星，明星的焦点是什么？就是他站在哪个地方最能吸引所有人的目光嘛，椭圆的焦点也是一样，所有的重点都放在那里。
好，话说回来，焦点三角形是什么呢？其实说白了，椭圆焦点三角形就是这样一个几何图形：你在椭圆上随便选一个点，然后把这个点和椭圆的两个焦点连起来，组成一组三角形。
是不是觉得有点抽象？没关系，想象一下，两个焦点是两个亲密无间的好朋友，而椭圆上的点是第三个加入的伙伴，他们一起围成一个三角形，彼此间有着不可分割的联系。
你可能会想，这个三角形有什么特别的吗？哦，别急，重点来了！有一个惊人的结论：这个三角形的面积，竟然跟椭圆的形状、大小、甚至是你选的那个点的具体位置没有太大关系！它的面积始终是一样的，换句话说，不管你把椭圆的焦点连起来，面积都固定不变，真的是“千变万化”的情况里面，唯一不变的就是三角形的面积。
是不是挺神奇的？就像是你去做一道数学题，做了各种各样的变换，结果一开始的结论居然不受影响，这就有点像什么呢？嗯，就像是你去打游戏，不管怎么换装备，最后你获得的经验值差不多，感觉就像是游戏系统的一种设定，规则就是这么严格。
搞得好像不管你怎么努力去破坏它，最后的结果都逃不过这道理。
这个结论的美妙之处在于，它突破了常规的直觉，告诉你：不管你怎么看，焦点三角形的面积依旧像是写好的程序一样死死地不变，带给你一种很奇妙的安全感。
可能你会问，为什么会有这样的结论呢？其实这得归功于椭圆独特的几何性质。
焦点三角形公式推导
焦点三角形公式推导在我们学习圆锥曲线的时候，焦点三角形可是个经常出现的“家伙”。
今天咱们就来好好推导一下焦点三角形的公式，瞧瞧它背后的小秘密。
先来说说啥是焦点三角形。
在圆锥曲线中，比如椭圆或者双曲线，以两个焦点和曲线上一点构成的三角形就叫焦点三角形。
咱以椭圆为例来推导这个公式。
假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），两个焦点分别是$F_1$，$F_2$，椭圆上一点是$P$。
在推导之前，咱们先回忆一下椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴$2a$。
那在焦点三角形$PF_1F_2$中，根据余弦定理可得：$|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta$其中，$\theta$是$\angle F_1PF_2$。
因为$|PF_1| + |PF_2| = 2a$，所以$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 + 2|PF_1||PF_2| = 4a^2$将其变形可得：$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = 4a^2 - 2|PF_1||PF_2|$把这个式子代入上面的余弦定理式子中：$4c^2 = 4a^2 - 2|PF_1||PF_2| - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta$整理一下就得到：$|PF_1||PF_2| = \frac{2b^2}{1 + \cos\theta}$这就是焦点三角形在椭圆中的一个重要公式啦。
那双曲线中的焦点三角形公式又是咋样的呢？其实推导过程和椭圆有点类似。
假设双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，两个焦点还是$F_1$，$F_2$，双曲线上一点是$P$。
同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于实轴$2a$，即$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。
椭圆焦点三角形(解析版)
椭圆焦点三角形(解析版)椭圆焦点三角形(解析版)在数学几何学中，椭圆焦点三角形是一个有趣且有着独特性质的三角形。
本文将介绍椭圆焦点三角形的定义、性质以及相关定理证明。
定义椭圆焦点三角形是指一个三角形的三个顶点分别位于给定椭圆的两个焦点和一个点上的三角形。
性质1. 椭圆焦点三角形的三边和三个内角有特定的关系设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，三角形的三个顶点分别为A、B、C。
那么有以下性质成立：① AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2②∠F1AF2 + ∠F1BF2 + ∠F1CF2 = 360°2. 椭圆焦点三角形的内角和有一定范围设椭圆的离心率为e，且e < 1。
那么椭圆焦点三角形的内角和满足以下条件：π / 2 < ∠A + ∠B + ∠C < 3π / 2定理证明定理1：椭圆焦点三角形的三边与三个内角的关系假设AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = 2a，并且AF1 < AF2 < BF1 < BF2 < CF1 < CF2。
由于椭圆的几何性质可知，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2a + 2a + 2a = 6a。
根据三角形内角和的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = π，其中∠A = ∠F1AF2，∠B = ∠F1BF2，∠C = ∠F1CF2。
由于∠A、∠B、∠C都在同一个三角形内，所以∠A + ∠B + ∠C = π。
因此，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 6a = 2π。
得到结论：AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2π，即AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2。
定理2：椭圆焦点三角形的内角和的范围由于e < 1，所以根据椭圆的性质可知，AF1 + AF2 > 2a， BF1 + BF2 > 2a， CF1 + CF2 > 2a。
椭圆中焦点三角形的面积公式
椭圆中焦点三角形的面积公式椭圆中的焦点三角形，是由椭圆的两个焦点和椭圆上的任意一点构成的三角形。
我们可以通过椭圆的长轴、短轴和焦距来推导出该三角形的面积公式。
首先，我们需要知道椭圆的两个焦点的坐标。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，椭圆的中心点为O，则左右焦点的坐标分别为(-c,0)和(c,0)。
接下来，设椭圆上任意一点的坐标为(x,y)，则该点到两个焦点的距离分别为：d1 = √((x+c)² + y²) 和d2 = √((x-c)² + y²)。
由于椭圆上的点满足椭圆方程，即(x²/a²) + (y²/b²) = 1，我们可以将其转化为：y = b√(1 - x²/a²)。
将上述两个方程代入三角形面积公式S = (1/2)×b×h，其中h为三角形的高，我们有：S = (1/2)×b×(2y) = b²√(1 - (x²/a²)) (①)根据椭圆的性质，我们可以发现椭圆的长轴与短轴满足a² = b² + c²，因此，将上述公式中的b代入为√(a² - c²)后，我们有：S = a²√(1 - (x²/a²)) - c²√(1 - (x²/a²)) = a²√(1 -(x²/a²))(1 - (c²/a²)) (②)上述公式(②) 即为椭圆中焦点三角形的面积公式。
注意到其中的(1 - (c²/a²))是一个小于1的系数，因此面积公式中的主要因素是椭圆的长轴和短轴，也就是椭圆的大小。
当椭圆是一个圆形时，也就是长轴等于短轴，面积公式中的系数即为1。
椭圆中焦点三角形的最大顶角
椭圆中焦点三角形的最大顶角
在椭圆中，焦点三角形是一个三角形，三个顶点分别是椭圆的两个焦
点和长轴的一个顶点。
对于给定的椭圆，其最大顶角取决于椭圆的离
心率和半焦距。
当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a>b>0。
此时焦点三角形的最大顶角为角 A，其正切值可以表示为：
tan(A) = b^2 (1 - e^4)/(a^2 e^2) （其中e为离心率）。
当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 (x^2/b^2) + (y^2/a^2) = 1 + e^2，此时同样可以计算最大顶角的正切值。
最大顶角的大小取决于离心率 e 的值。
当 e 越接近于 1（即越远离
原点），则角 A 越大。
另外，焦点三角形的面积也可以根据其边长和
焦距进行计算，进而得到最大面积。
需要注意的是，以上讨论基于了一些假设和前提条件，如焦点在 x 轴
或 y 轴上，以及椭圆方程的形式等。
在实际应用中，可能需要根据具
体问题进行调整和考虑。
椭圆焦点三角形内切圆圆心轨迹方程
椭圆焦点三角形内切圆圆心轨迹方程引言任务概述在平面几何中，椭圆焦点三角形是由一个椭圆的三个焦点和一个任意点构成的三角形。
本文将讨论椭圆焦点三角形内切圆的圆心轨迹方程。
通过推导和证明，我们将得到该方程。
背景知识在继续我们的讨论之前，让我们快速回顾一下椭圆和焦点三角形的一些基本概念：•椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和等于常数的点的轨迹。
在椭圆上，焦点到任意一点的距离之和是常数。
•椭圆的主轴是连接两个焦点的线段，并通过椭圆的中心。
椭圆的短轴是垂直于主轴并通过椭圆的中心的线段。
•椭圆的焦距是指焦点到椭圆的中心距离的一半。
•焦点三角形是由椭圆的三个焦点和一个任意点构成的三角形。
该三角形满足一个重要的性质：它的外接圆的圆心恰好是椭圆的中心。
目标本文的目标是推导椭圆焦点三角形内切圆圆心轨迹的方程。
通过分析椭圆焦点三角形和内切圆的性质，我们将得到该方程并进行证明。
推导与证明椭圆焦点三角形为了推导内切圆的圆心轨迹方程，我们首先需要了解椭圆焦点三角形的一些性质。
性质1：焦点三角形的外接圆的圆心是椭圆的中心。
根据焦点三角形的定义，它的三个顶点是椭圆的三个焦点。
由于椭圆的所有点到中心的距离相等，所以焦点三角形的外接圆的圆心必然是椭圆的中心。
性质2：焦点三角形的外接圆半径是椭圆的短轴的一半。
证明：考虑椭圆的焦点到椭圆的中心的距离，即焦距。
对于椭圆的长轴，我们将距离中心更远的焦点标记为”F1”，距离中心更近的焦点标记为”F2”。
对于椭圆的短轴，我们将距离中心更远的焦点标记为”F3”，距离中心更近的焦点标记为”F4”。
当我们构建焦点三角形时，我们可以确定三个特殊的角度：F1、F2和F3所形成的角是90度，F1、F2和F4所形成的角也是90度。
这是因为椭圆定义为两个焦点到任意点的距离之和等于常数。
根据此信息，我们可以看到椭圆的短轴和焦点三角形的外接圆的半径之间存在关系。
由于外接圆是焦点三角形的外接圆，它的圆心是椭圆的中心，所以外接圆与椭圆的焦点三角形共享同一中心。
辅导班焦点三角形椭圆
椭圆的焦点三角形问题由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作为焦点三角形 例1椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上任意一点 则PF l 中点Q 的轨迹是什么当椭圆确定时 尽管P 是动点但这个三角形有哪些定量？ 性质1 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，三角形1F P 2F 的底边 长 周长性质2 在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F 当且仅当动点P 为短轴端点时21PF F ∠最大例2 若椭圆13422=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使︒=∠9021PF F 存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。
例 3 椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，求P 的横坐标例4 椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围例 5 P 是椭圆1422=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若321π=∠PF F ，求21F PF ∆的面积性质3 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆.性质4在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22练习题1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点， 且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31C ．34D ．32 P。
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一：P是椭圆 x2 5
y2 4
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1PF2
6
，则PF1F2的面积等于_______。
二：P是椭圆 x2 4
y2
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1PF2
3
，则PF1F2的面积等于_______。
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1
2 m n
2 m n 2 m n m n
2b2
2b2
1 1
(m n)2
a2
2
( 当 且 仅 当 m n , 即 P 点 与 短 轴 端 点 重 合 时 " " 成 立 )
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变式: (2004湖南卷) F 1,F 2是 椭 圆 C:x82y421的 焦 点 , 在 C 上 满 足 P F 1 P F 2 的 点 P 的 个 数 为 _ _ _ _ _ _
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考点3 有关离心率的问题：
例3
已 知 椭 圆x2 a2
y2
b2
1(ab0)的 两 焦 点 分 别 为 F1,F2,
若 椭 圆 上 存 在 一 点 P,使 得 F1PF21200,求 椭 圆 的 离 心 率 e
的 取 值 范 围 。
由前面考点二的分析，你能得出cos F1PF2 与离心率e的关系吗？
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性质二：已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(ab0),两焦点分别
为 F1, F2 , 设焦点三角形 PF1F2 中 F1P2F,
则 co s12e2.
（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
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变 式 : （ 0 9 江 西 ） 已 知 F 1 、 F 2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 ， 满 足 M F 1 M F 2 0
昨日重现.mp3
考纲要求
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3.能解决直线与椭圆的位置关系等问题. 4.理解数形结合的思想. 5.了解椭圆的简单应用.
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定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰
的 点 M 总 在 椭 圆 内 部 ， 则 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _
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考点4 有关面积的问题：
例4 P是 椭 圆 x52y421上 的 点 ， Fl， F2是 椭 圆 的 焦 点 ，
若 F1PF23,则 PF1F2的 面 积 等 于 _______。
三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
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考点1 有关周长和距离问题：
例1 (0 8 浙 江 )已 知 F 1 、 F 2为 椭 圆 2 x5 2y 9 21 的 两 个 焦 点 ,过 F 1 的 直 线
交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 ,若 F 2AF 2B1 2 ,则 A B_ _ _ _ _ _ _
F1PF2 为直角时，点P的横坐标是_______。
而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
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性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2由锐角变成直角， 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成 锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，F1PF2达到最大。
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点 对椭圆两焦点所成张角中最大的角
则点P到x轴的距离为（ ）
A.9 B.9 7 C.9 D.9或9 7
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7
4
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性 质 四 ： 过 椭 圆 焦 点 的 所 有 弦 中 通 径 (垂 直 于 焦 点 的 弦 ) 最 短 ， 通 径 为 2b2。 a
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(2007天 津 )设 椭 圆ax22by22 1(ab0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， A是 椭 圆 上 的 一 点 ， AF2F1F2， 原 点 O到 直 线 AF1的 距 离 为13OF1． （ Ⅰ ） 证 明 a 2b； （ Ⅱ ） 略
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
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cos PF 12PF 22F 1F 22m 2n24c2
2PF 1 PF 2
2m n
(m n ) 2 2 m n 4 c 2 4 a 2 2 m n 4 c 2 4 b 2 2 m n2 b 2
变式：
1（ . 2006四川） 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P1,P2,P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 则P1FP2FP7F _________
2.已 知 F 1、 F 2是 椭 圆 2 x5 2y921的 左 ,右 焦 点 ,点 P在 椭 圆 上 运 动 ,则 PF 1•PF 2的 最 大 值 是 _______
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考点2 有关角的问题：
例2
(2000全 国 )椭 圆x92y42 1的 焦 点 为 Fl、 F2， 点 P为 其 上 动 点 ， 当 FlPF2为 钝 角 时 ， 点 P横 坐 标 的 取 值 范 围 是________。
探究:椭圆
x2 9
y2 4
1 的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当
由椭圆定义得m n 2a②
由 ① 得 ： mn 2(a2 c2 ) 2b2
1 cos 1 cos
S F1PF2
1 mn sin
2
b2 sin 1 cos
b2 tan
2
Ex.1
变式（ : 04湖北） 已知椭圆x2 y2 16 9
1的左、右焦点分别是F1、F2，
点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，
若 F1、 F2是 椭 圆 x a2 2+b y2 2=1(a>b>0)的 两 个 焦 点 ， P是 椭 圆 上 一 点 ， 且 ∠ F1PF2=θ ， 求 椭 圆 的 面 积 。
解: 设 PF1 m，PF2 n， 由 余 弦 定 理 得 m 2 n 2 2 m n cos F1F2 2 4c 2①