高等数学模拟试题与解析

高等数学模拟试题与解

析

work Information Technology Company.2020YEAR

专转本高等数学模拟试题二

一. 选择题：

*1. 设函数f x x x x ()[)=-+∈+∞2442，，，g x ()是f x ()的反函数，则（ ） A. g x x ()=-2 B. g x x ()=+2 C. g x x ()=--2 D. g x x ()=-+2 令y f x x x x ==-+=-()()22442 ⇒-=

⇒=

+x y x y 22，反函数为y x =+2，选B

*2. 若x 0是f x ()的极值点，则（ ） A. f x '()0必定存在，且f x '()00=

B. f x '()0必定存在，但f x '()0不一定等于零

C. f x '()0可能不存在

D. f x '()0必定不存在

应选C 。例：y x =在x =0处取得极小值，但该函数在x =0处不可导，而f '()0不存在

*3. 设有直线x y z

043

==-，则该直线必定（ ）

A. 过原点且垂直于x 轴

B. 过原点且平行于x 轴

C. 不过原点，但垂直于x 轴

D. 不过原点，且不平行于x 轴

直线显然过（0，0，0）点，方向向量为{}

l =-043，，，x 轴的正向方向向

量为{}

v =100，，， l v l v ⋅=⨯+⨯+-⨯=⇒⊥1040300()，故直线与x 轴垂

直，故应选A 。

*4. 幂级数a x n n

n =∞

∑0

在点x =2处收敛，则级数()-=∞

∑10

n n n a （ ）

A. 绝对收敛

B. 条件收敛

C. 发散

D. 收敛性与a n 有关

a x n n

n =∞

∑0

在点x =2处收敛，推得对∀∈-x 022()，，a x n n

n 00

=∞

∑绝对收敛，特别对

x 01=-有a x a n n n

n n n =∞=∞

∑∑=-0

1()绝对收敛，故应选A 。

5. 对微分方程y y y e x '''++=-32，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是（ ）

A. y Ae x *=-

B. y Ax B e x *()=+-

C. y Axe x *=-

D. y Ax e x *=-2

二. 填空题： *6. x x x x

x

→+∞

++-=lim /332

1_________________.

x x x x x x x x

x →+∞

→+∞++-=++-=lim /lim /()33231211111

1

7. 设y e x

x

=+12

，则y '=_________________. *8. 设F x e dt n t x

x ()

()-=⎰22

，则F x n ()()=_________________.

解：F

x F

x e dt xe e n n t

x

x x x ()

()

()(())'()'--===-⎰122

2

2

F x F x xe e e x e e x e e e n n x x x x x

x x x

()()()(())'()'==-=+-=+--122224422

2

2

2

2

*9. dx

x x

e 11

2+=⎰ln _________________. 解dx

x x d x x

x e e e 11121111222+=++=+⎰⎰ln (ln )ln ln =-=-232231()

10. 设z x y =++1

2122ln()，则dz ()11，=_________________.

*11. 已知{}{}

a b ==-121211，，，，，，则过点M 0111()，，且同时平行于向

量

a 和

b 的平面的方程为_________________.

面的法向量为

n a b i j k

i j k =⨯=-=+-12121135

平面的方程为311510()()()x y z -+---=即3510x y z +-+=

12. 微分方程dy

dx y e x +=32的通解是_________________.

*13. 幂级数()x n

n

n -=∞

∑1920

的收敛区间是_________________. 解：令u x x n n n ()()=-192，u x x n n n +++=-122

1

19()()

n n n n n n n n

u x u x x x x →∞+→∞++=-⋅-=-lim

lim ()()()()

()122122199119 由

()x -<1912

解得，-<<24x ，于是收敛区间是()-24， 14. 设 a i j k =++2，则与 a 同方向的单位向量

a 0=_________________.

*15. 交换二次积分I dx f x y dy x x

=⎰⎰()，201的次序得I =_________________.

解：积分区域如图所示：D ：y x y y ≤≤≤≤，01，于是

I dx f x y dy dy f x y dx y

y x

x

==⎰⎰

⎰⎰()()，，0

1

1

2