第三章 流体运动学

即有： dQ1 dQ2
设 1 2 ，则 u1dA1 u2dA2 微小流束的连续性方程 恒定总流的连续性方程
积分得： Q1 Q2
也可表达为： V1 A1 V2 A2
适用条件：恒定、不可压缩的总流且没有支汇流。
若有支流：
Q1 Q2 Q3 Q1 Q3 Q2
Q1 Q2 Q3
Q1 Q3 Q2
前进
本章主要研究流体的运动规律
主要内容：
流体运动的描述 欧拉法的基本概念 连续性方程 流体微团运动分析
结束
流体运动的描述
1.拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过程 作为基础，综合所有质点的运动，构 图示 成整个液体的运动。 又称为质点系法(轨迹法）。 用于研究流体的波动和震荡等 2.欧拉法 ——以考察不同液体质点通过固定的空间 点的运动情况作为基础，综合所有空间点 图示 上的运动情况，构成整个液体的运动。 又称为流场法。 在研究工程流体力学时主要采用欧拉法
2．非恒定流
运动要素是时间和坐
标的函数，即
p = p(x,y,z,t) u = u(x,y,z,t)
如：水箱中的水位随着水 的泄出而不断下降的孔 口出流就是非恒定流 闸门突然关闭时出现的水击现象是非恒定流
迹线与流线
迹线——是指某液体质点在运动过程中，不同
时刻所流经的空间点所连成的线。
流线——是指某一瞬时，在流场中绘出的一
非均匀流——流线不是平行直线的流动。
特征：非均匀流中流场中相应点的流速大小
或方向或同时二者沿程改变，即沿流程方向
速度分布不均。（非均匀流又可分为急变流
和渐变流）
例：流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动
渐变流与急变流 非均匀流中如流动变化缓慢，流线的曲率很小接近平 行，过流断面上的压力基本上是静压分布者为渐变流 (gradually varied flow)，否则为急变流。
若给定a，b，c，即为某一质点的 运动轨迹线方程。
液体质点在任意时刻的速度。
返回
z
t时刻
M （x，y，z） O
x
y
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
dux ( x, y, z, t ) ax dt du y ( x, y, z, t ) ay dt du ( x, y, z, t ) az z dt
z
t （x，y，z） （t0）
O
M （a，b，c）
x
y
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
x x(a, b, c, t ) t t y y (a, b, c, t ) uy t t z z (a, b, c, t ) uz t t ux
( ux) Mx ux dx dydzdt uxdydzdt ( ux ) dxdydzdt x x
（3—25）
同理，y、z方向的净流出质量：
My
( ux) dxdydzdt y
（3—26） （3—27）
Mz
时间控制体的总净流出质量：
条光滑曲线，其上所有各点的速度向量都与该
曲线相切。
流线能反映瞬时的流动方向 恒定流与非恒定流的流线和迹线 流线性质 流线图
流线图
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二者区别：流线是某一瞬时处在流线上的无数流体质点的 运动情况；而迹线则是一个质点在一段时间内运动的轨迹。
恒定流中，流线形状不随时间改变，流线与迹 线重合。在非恒定流中，流线的形状随时间而改变，流线 与迹线不重合。
1
2
2
x
uy
1
z
方程一般式计算。
( u x ) 2 2t ， ( y x 2 ) 2 x， x x t
( u z ) ( 2tz ) 2t z z
此流动满足连续性条件。
( u x ) ( u y ) ( u z ) 将以上各项代人式(3—30)得：t x y z 0，
( ux ) ( uy ) ( uz ) dxdydzdt dxdydz x y z t ( ux ) ( uy ) ( uz ) 化简得： t x y z 0 或 div( u) 0 t
O
O
在均匀流，与流线正交的n方向上无加速度，所以有 Fn 0
即： pdA ( p dp) dA gdAdn cos 0
dp gdz 0
积分得：
z
g
p
C
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流管、微小流束、总流和过水断面
流管——由流线构成的 一个封闭的管状曲面
dA
微小流束——充满以流 管为边界的一束液流
流线的性质： 1. 一般情况下，流线与流线不能相交； 2. 对非恒定流，流线随时间而改变；
3. 在指定时刻，过流场内任一点均有一条流线，大量流线 组成了流线簇；
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均匀流与非均匀流
按质点运动要素是否随流程变化分为: 均匀流——流线是平行直线的流动，
特征：均匀流中各过水 断面上的流速分布图沿程 不变，过水断面是平面， 沿程各过水断面的形状和 大小都保持一样。例：等 直径直管中的液流或者断 面形状和水深不变的长直 渠道中的水流都是均匀流 。
（3—32）
，所以，
divu 0 （3—33） 连续性微分方程是1755年欧拉首先建立的，是质量守恒原 理的流体力学表达式(微分形式)。因此，是控制流体运动的
基本微分方程式。
1 (2 xy)， u (2tz ) ， t 试问 2 [例3—5] 已知速度场 u ( y x ) ， 流动是否满足连续性条件。 [解]：此流动为可压缩流体，非恒定流动，由连续性微分
c
[例3—6] 已知速度场 u x cx2 yz, u y y 2 z cx2 yz, u z 为常数。 其中 试求坐标 z 方程的速度分量 u z 。 [解]：流动为不可压缩流体空间流动 u y u x u y u z u x 2 yz 2cxyz 2cxyz z ( x y ) 2 yz y x 由不可压缩流体连续性微分式方程式（3—22）积分得：
（3—29）
（3—30） （3—31）
式(3—30)或式(3—31)是连续性微分方程的一般形式。 对于均质的不可压缩流体，密度 ＝常数，式(3—30)化简为： 按场论的定义，速度场的散度 不可压缩流体的连续性微分方程可表示为：
ux uy uz 0 x y z
u y u z u div(u ) x x y z
过水断面——与微 小流束或总流的流 线成正交的横断面
总流——在一定边界内 具有一定大小尺寸的实 际流动的水流，它是由 无数多个微小流束组成
过水断面的形状可以 是平面也可以是曲面。
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流量和断面平均流速
流量——单位时间内通过某一过水断面的液体体积， 常用单位m3/s，以符号Q表示。
dA
udA dQ
u z yz 2 f ( x, y)
有无数个，最简单的情况取 f ( x, y) 0, 即 u z yz 2
f ( x, y) 是
x, y的任意函数。满足连续性微分方程的 u z 可能
连续性方程式
在恒定总流中，取一微小流束， 依质量守恒定律：
dA1 u1
u2 dA2
1u1dA1dt 2u2dA2dt
( ux) ( uy ) ( uz ) Mx My Mz dxdydzdt y z x
（3—28）
uz dxdydz z
dt 流体是连续介质，质点间无空隙，根据质量守恒原理， 时间控制体的总净流出质量必等于控制体内由于密度变化而减 少的质量，即：
u
Q dQ udA
Q A
图示
断面平均流速——是一个想像的流速，如果过水断 面上各点的流速都相等并等于V，此时所通过的流量 与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等， 则该流速V称为断面平均流速。
V
udA
A
A
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A
Q udA
即为旋转抛物体的体积
旋转抛物面
A
V A Q 即为柱体的体积
均匀流与非均匀流划分在流管中的划分
均匀流、非均匀流划分
均匀流 渐变流 非均匀流 均匀流 急变流 非均匀流 均匀流
均 匀 流
非均匀流 急变流
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均匀流、渐变流过水断面的重要特性
均匀流是流线为彼此平行的直线，应具有以下特性： •过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变； •同一流线上不同的流速应相等，从而各过水断面上的 流速分布相同，断面平均流速相等；
图3—18变直径水管
[例3—8] 输水管道经三通管分流(图3—19)．已知管径d1 100 ＝d2＝200mm， d 3 mm．断面平均流速 ＝3mv／ ， ＝2m 1 v／s。试求断面的平均流速 2 s v2 。 v3 [解] 流入和流出三通管的流量应相等，
udA
A
A
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第三节
连续性方程
连续性方程是流体力学基本方程之一，是质量守恒原理的 流体力学表达式。
一、连续性微分方程
在流场中取微小直角六面体空间为控制体， 正交的三个边长dx，dy，dz，分别平行于x，y， z坐标轴(图3—16)。控制体是流场中划定的空间， 图3—16 形状、位置固定不变，流体可不受影响地通过。 dt时间x方向流出与流入控制体的质量差，即x方向净流出质 量为：
断面平均流速V
V
udA
A
A
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表征液体运动的物理量，如 水流的分类流速、加速度、动水压强等 恒定流 按运动要素是否随时间变化
水库
图示
非恒定流
一元流 按运动要素随空间坐标的变化 二元流
h 三元流 水库 t0时刻 t1时刻
图示
均匀流 按流线是否为彼此平行的直线 非均匀流 急变流
图示
B
渐变流
图示
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欧拉法的若干基本概念
•恒定流动和非恒定流动 •迹线与流线 •均匀流与非均匀流 •流管、微小流束、总流和过水断面
•流量和断面平均流速
•水流的分类
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一、恒定流(steady flow)和非Βιβλιοθήκη Baidu定流 (unsteady flow) 1． 恒定流
在流场中，流体质点的一切运动要素都不随时间
改变而只是坐标的函数，这种流动为恒定流
•均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律 与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点的 测压管水头为一常数；
推论：均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总 压力的计算方法相同。
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p+dp dA
dn
(z
p ) C1 g 1
p
α
z
z dz
(z
p ) C2 g 2
若x，y，z为常数，t为变数， 若t 为常数， x，y，z为变数， 若针对一个具体的质点，x，y ，z ，t均为 变数，且有 x（t），y （t） ，z （t） ，
质点通过流场中任意点的加速度
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A
Q udA
即为旋转抛物体的体积
旋转抛物面
A
V A Q 即为柱体的体积
断面平均流速V
V
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（3—35） （3—36）
[例3—7] 变直径水管(图3—18)，已知粗管段直径 d1＝200mm， 断面平均流速度v1＝0．8m／s，细管直径d 2 ＝100mm。试求细管 段的断面平均流速。 [解] 由液体总流连续性方程式(3—33)
v1 A1 v2 A2
A1 d1 2 v 2 v1 ( ) 3.2m / s A2 d 2
u p 表示为 0 ，流体运动与时间无 t t t
关。即p = p(x,y,z)
u = u(x,y,z)
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如：离心式水泵，如果其转
速一定，则吸水管中流体的
运动就是恒定流；
恒位水箱出水口的稳定泄流
也是恒定流。 恒定流动的流场中任何点的 流动参量不随时间改变，但 不同点的流动参量可以不同。
渐变流——沿程逐渐改变的流动。
特征：流线之间的夹角很小即流 线几乎是平行的，同时流线的曲率 半径又很大（即流线几乎是直线）， 其极限是均匀流，过水断面可看作 是平面。渐变流的加速度很小，惯 性力也很小，可以忽略不计。
急变流——沿程急剧改变的流动。
特征：流线间夹角很大或曲率半径较小或二者兼而有之， 流线是曲线，过水断面不是一个平面。急变流的加速度较大， 因而惯性力不可忽略。