求圆锥曲线离心率的几种方法

关于椭圆离心率

设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。

解法1:利用曲线范围 设P(x,y ）,又知,则

将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得

解法2:利用二次方程有实根

由椭圆定义知

又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此

∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()

||||()

解法３:利用三角函数有界性 记

||sin ||sin ||

sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos

PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222

122

βααβ

αβαβαβαβ

==

︒⇒++=+====+=+-=

-又，，则有

解法4:利用焦半径 由焦半径公式得

||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222222222

2

2

2

2

2

22

2

22224220=+=-+=+++-+=+==

-≠±≤<，又由，所以有

即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即

解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得

42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||

解法6:巧用图形得几何特性 由，知点Ｐ在以为直径得圆上。

又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ 故有

演练

一、直接求出或求出a与ｂ得比值,以求解。

在椭圆中,,

1、已知椭圆得长轴长就是短轴长得2倍,则椭圆得离心率等于

_＿＿＿＿

2、已知椭圆两条准线间得距离就是焦距得２倍,则其离心率为

_____３、若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆得离心率为

＿___

4、已知矩形ＡBＣD,AＢ=4,BC＝3,则以Ａ、Ｂ为焦点,且过C、D两点得椭圆得离心率为

＿__

5、若椭圆短轴端点为满足,则椭圆得离心率为

＿＿_

6、、已知则当ｍｎ取得最小值时,椭圆得得离心率为

_＿＿_

７、椭圆得焦点为,,两条准线与轴得交点分别为,若,则该椭圆离心率得取值范围就是____＿＿_＿_

8、已知F１为椭圆得左焦点,Ａ、B分别为椭圆得右顶点与上顶点，P为椭圆上得点,当ＰF1⊥F1A,PO∥AB(Ｏ为椭圆中心)时,椭圆得离心率为＿__＿_______

9、P就是椭圆＋=1（a>b＞0)上一点,就是椭圆得左右焦点,已知椭圆得离心

率为＿＿＿__

10、已知就是椭圆得两个焦点,P就是椭圆上一点,若，则椭圆得离

心率为

____＿＿_

１1、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴得弦长为，焦点到相应准线得距离为1,则该椭圆得离心率为

_＿＿_＿__

二、构造得齐次式,解出

1.已知椭圆得焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆得离心率就是____

２.以椭圆得右焦点F２为圆心作圆，使该圆过椭圆得中心并且与椭圆交于M、Ｎ两点,椭圆得左焦点为F1,直线ＭF１与圆相切，则椭圆得离心率就是____＿

３.以椭圆得一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆得中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣ＭF∣=∣MO∣,则椭圆得离心率就是_＿__＿

4.设椭圆得两个焦点分别为F1、、F2,过F２作椭圆长轴得垂线交椭圆于

点P，若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆得离心率就是____＿５.已知Ｆ１、F2就是椭圆得两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直得直线交椭圆于A、Ｂ两点,若△ABF2就是正三角形,则这个椭圆得离心率就是

_＿_＿_

三、寻找特殊图形中得不等关系或解三角形。

1.已知、就是椭圆得两个焦点，满足得点总在椭圆内部,则椭圆离心率得取值范围就是

_______

2.已知就是椭圆得两个焦点，P就是椭圆上一点,且,椭圆离心率e得

取值范围为

＿___＿_＿

3．已知就是椭圆得两个焦点，P就是椭圆上一点，且，椭圆离心率e 得取值范围为

＿＿____

４.设椭圆(ａ>b>０)得两焦点为F1、Ｆ2,若椭圆上存在一点Ｑ，使∠F

１QF2=12０º,椭圆离心率e得取值范围为

___＿_＿＿

5.在中,,.若以为焦点得椭圆经过点,则该椭圆得离心率

____

6.设分别就是椭圆()得左、右焦点,若在其右准线上存在使线段得中

垂线过点,则椭圆离心率得取值范围就是

____＿_-