2.2基本不等式求最值方法(解析)

基本不等式中常见的方法求最值

一、例题选讲 题型一、消参法

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例1、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8

【解析】解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3

x

－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1

y －3＋6≥2

(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1

y －3

，即y ＝4

时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1

y －3

的最小值为8.

解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3

x

－6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋1

3

x －6＋6≥2

⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6

＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6

，即x ＝37

时

取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1

y －3的最小值为8.

例2、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且11121

a b b =+++，则2a b +的最小值为 ．

【解析】由已知等式得2

22122a b ab a b b ++=+++，从而21

2b b a b

-+=，

2

1222b b a b b b -++=+131222b b

=++1122≥+=

题型二、双换元

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系

例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1

x －y

的最小值为________．

【答案】3＋22

4

【解析】设⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋3y ＝m ，

x －y ＝n .

解得⎩⎨⎧

x ＝m ＋3n

4

，y ＝m －n

4.

所以x ＋y ＝

m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1

n

，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝m

n ，即m ＝2n 时取等号．

例4、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且11

121

a b b =+++，则2a b +的最小值为

． 【解析】12,2

11

m n a b m a b n b n --⎧

+==

⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得 所以111,m n +=332222m n a b +=+-，

因为33113()()22222222m n m n m n m n n m

+=++=++≥

所以332222m n a b +=+-≥

题型三、1的代换

1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。

例5、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b

b a a 4

21222+++的最小值为 ． 【答案】.11

【解析】思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解．

1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++b

a

a b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=，即⎪⎩

⎪⎨⎧

==3231b a 时取“=”，所以b b a a 421222+++的最小值为.11

例6、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4

y x y

+的最小值是 ． 【答案】8

【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=， 所以

4()444y y x y y x

x y x y x y ⨯++=+=+

+4448≥=+=，当且仅当4y x x y =

，即2y x =，又1x y +=，即12,33

x y =

=，等号成立，即4y

x y +取得最小值8.

题型四、齐次化

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。

例7、(2019通州、海门、启东期末）已知实数a>b>0，且a ＋b ＝2，则3a －b

a 2＋2a

b －3b 2的最小值为________．

【答案】

3＋5

4

思路分析2 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件a ＋b ＝2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．

解析：(化齐次式法)：因为a ＋b ＝2，所以3a －b a 2＋2ab －3b 2＝（a ＋b ）（3a －b ）2（a 2＋2ab －3b 2）＝32＋2（－ab ＋2b 2）a 2＋2ab －3b 2

＝3

2＋

2（2－a

b ）

（a b ）2＋2·a b －3，令u ＝2－a b ，因为a ＋b ＝2，a>b>0，所以2－b>b>0，故0

b ＝2－2－b b ＝

3－2b ∈(－∞，1)，则3a －b a 2＋2ab －3b 2＝32＋2u u 2－6u ＋5＝32

＋2

u ＋5u

－6 当u ∈(0，1)时，u ＋5u －6>0，此时3a －b a 2＋2ab －3b 2>3

2

；