附录1~1

I
d 4
32
IxIy I
d
Ix Iy
所以
Ix
Iy
d 4
64
y x
§1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一 、平行移轴公式
y
o
x
y
C
a
o
b
x
x, y ——任意一对坐标轴 C —— 截面形心 （a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的坐标。
y
yC
C
0 113 .80
形心主惯性轴 x0 , y0 分别由 x 轴和 y 轴绕 c 点 逆时针转 113.80 得出。
y
xc0
120
40
70
20
10
c
x
yc0 10
113.80
形心主惯形矩为
I x0
Ix
Iy 2
1 2
(Ix
I
y
)2
4I
2 xy
321104 mm4
I y0
Ix
Iy 2
1 2
(Ix
1 12
20
140 3
20
140
(80 46 .7 )2
I2 yC
1 12
100
20 3 100
20
( 46 .7 )2
zC
20
I y I yC b2 A
20 140
1
2
100
yC
zC
y
I
yC
I1 yC
I
2 yC
12.12106
m4
例题5: 试求图示图形对 z1和 z2 轴的惯性矩 Iz1和 Iz2。
4. 求形心主惯性矩的步骤
确定形心 的位置
x Ai xi , y Ai yi
Ai
Ai
选择一对通过 形心 且便于计算惯性矩（积）的坐标轴 x ，y, 计算 Ix , Iy , Ixy
Ix Ixi
Iy Iyi
IxyIxyi
确定形心主惯性轴的位置
20
tan1 (
2Ixy Ix Iy
yc 4R 3
I
z1
I
z0
A(R
yC)2
5R4
8
4R4 3
I
z2
I
z0
A(R
yC)2
5R4
8
4R4 3
z1
R
z0
z
R
z2
§1-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性矩和主惯性积
一 、 转轴公式
y
o
x
xoy 为过截面上的任 – 点建立的坐标系
y
y1
o
x1
x
x1oy1 为 xoy 转过 角后形成的新坐标系
Iy )2
4I
2 xy
57.4104 mm4
P350
作业 Ⅰ-1(b), Ⅰ-12(a), 15
思考第6题
ix
Ix A
例 题2：求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
y
h
C
x
b
解：
I y
x 2dA
A
h
dA = bdy
I
x
A
y2dA
h 2
h 2
by2dy
bh3 12
同理：
I
y
hb 3 12
y
dy
y
C
x
b
例 题3：求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
y
d
x
解：
截面对其圆心 O 的极惯性矩为
)
计算形心主惯性矩
I x0 I x I y 1
I y0
2
2
(
I
x
I
y )2
4
I
2 xy
70
20
10
例题6：计算所示图形的形心主惯性矩。
120
40
c
10
120 40 y
70
20
10
c
x
10
解：该图形形心 c 的位置已确定 。 过形心 c 选一对座标轴 x, y 轴，计算其惯性矩（积）。
120
所以 I = Ix + Iy
y
y dA
o
x
x
y
3. 截面对 x , y 轴的惯性积
dA
I xy A xy d A
y
o
x
x
Ip 2dA
A
I x
y 2dA
A
I y
x 2dA
A
I xy A xy d A
1）极惯性矩，惯性矩的数值恒为正； （2）惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。
逆時针转取为 + 号，
顺時针转取为 – 号
y
y1
o
x1
x
已知截面对坐标轴轴 x，y 轴的惯性矩和惯性积 求截面对 x1 ，y1 轴惯性矩和惯性积
转轴公式为：
I x1
来自百度文库Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos
2α
I xy
sin
2α
I y1
Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos 2α
I xy
sin 2α
I x1 y1
同理，得
I y 278.4104 mm4
120
40
y 20
15
10
20
70
25
c
35
10
I xy 0 15 2012010 0 (25) (35) 7010
97.3104 mm4
x
I xy I xc yc abA
2 I xy
tg 2α 0 ( Ix
Iy
) 1.093
I x I y 2α 0 在第三象限 2α 0 227.60
I xy A xy d A
（3）若 x , y 两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则 截面对 x , y 轴的惯性积一定等于零。
y
dx dx
dA
dA
y
y
x
矩形截面，圆形截面，工字形截面，梯形截面对包含 对称轴的一对坐标轴的惯性积一定等于零。
（4）截面对 x , y 轴的惯性半径为
iy
Iy A
附 录 1--1 截面的几何性质
§1-1 截面的静矩和形心位置
一、 定义
y
截面对 y , x 轴的静矩为：
dA
S y A xdA
y
S x A ydA
ox
x
静矩可正，可负，也可能等于零。
y
截面的形心 C 的坐标公式为：
x A xdA S y AA
y A ydA S x
A
A
y
y
o
dA
c
10 x
§1-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
一、定义
y
1. 截面对 o 点的极惯性矩为
Ip 2dA
A
dA
y
o
x
x
2. 截面对 x , y 轴的惯性矩
y
I x
y 2dA
A
I y
x 2dA
A
y
o
x
dA x
Ip 2dA
A
I x
y 2dA
A
I y
x 2dA
A
2 x2 y2
a
o
b
xC
x
已知截面对形心轴 xC ，yC 的惯性矩和惯性积 求截面对与形心轴平行的 x ，y 轴惯性矩和惯性积
y
yC
a
o
则平行移轴公式为
C
xC
b
x
I x I xc a2 A
I y I yc b2 A
I xy I xcyc abA
二、组合截面的惯性矩 惯性积 Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
Ix
2
Iy
sin
2α
I xy
cos
2α
显然：
I x1 I y1 I x I y
二、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin
2α
I xy
cos
2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯性轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时， 则称为形心主惯性轴。
形心主惯性矩—— 截面对形心主惯性轴的惯性矩。
1. 主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角
则有
Ix
2
I
y
sin
2α
0
I xy
cos
2α
0
0
由此
tg 2α 0
2 I xy Ix Iy
1
取 x 轴和 y 轴分别与截面
120
的底边和左边缘重合。 2
o
80
10 x
n
x
Ai xi
i1 n
Ai
A1 x1 A1
A2 x2 A2
i1
y
A1 y1 A1
A2 y2 A2
120
y 10
1 x1
y1
o
2 y2
10
x2
x
80
矩形 1 A1 10 120 1200 mm2
x1 5mm
y1 60mm
矩形 2
A2 10 70 700 mm2
x2
10
70 2
45 mm
y2 5mm
120
y 10
1 x1
y1
o
2 y2
10
x2
x
80
所以
x A1 x1 A 2 x 2 20 mm A1 A2
y
A1 y1 A1
A2 y2 A2
40 mm
y 10
120
40
o 20
80
n
S y Ai xi i 1
n
Sx
i1
Ai
yi
其中： Ai —— 第 i个简单截面面积
(xi yi) —— 第 i个简单截面的形心坐标
计算组合截面形心坐标的公式如下：
n
Ai xi
x
i1 n
Ai
i1
n
y
i1
Ai
yi
n
Ai
i1
例题1：试确定图示截面心 C 的位置。
解：
y 10
将截面分为 1，2 两个矩形。
惯性积。
组合截面的惯性矩、惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
n
I xy I xyi i1
20 140
例 题4：求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
20
1 2
100
解：将截面分成两个矩形截面。
20 140
zC
20
yC
1
y
2
100
截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作 y 轴 。
yc 4R 3
CR
z1 z0 z
R
z2
yc 4R 3
z1
R
z0
z
R
z2
解：半圆形的形心轴为 z0 如图
yC
4R
3
yc 4R 3
z1
R
z0
z
R
z2
半圆形对 z 轴的惯性矩为
I
z
1 2
D4
64
I z I z0 A yc2
I z0 I z A yC2
yC
4R
3
I
z
1 2
D4
64
I z0 I z A yC2
x
x
x
Sy Ax
Sx Ay
Sy Ax
Sx Ay
y
y
y
o
dA
c
x
x
x
（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 （2）截面对形心轴的静矩等于零。
二、 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于 该截面对于同一轴的静矩。
组合截面静矩的计算公式为
40
y 20
15
10
20
25
70
c
x
35
10
I x I xc a2 A
I y I yc b2 A
I xy I xc yc abA
120
40
y 20
15
10
20
25
70
c
x
35
10
I
x
[1 12
120103
152
120
10]
[1 12
10
703
10
70
(25)2]
100.4104 mm4
zC
20
20 140
yC
1
y
2
100
A1 20 140 A2 100 20
Z1 80 Z2 0
zC
20
20 140
yC
1
zC
y
2
100
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z 2 A2
46.7mm
zC
20
I y I yC b2 A
20 140
1
2
100
yC
zC
y
I1 yC
求出后，就确定了主惯性轴的位置。
2. 主惯性矩的计算公式
I x0 I x I y 1
I y0
2
2
(
I
x
I
y
)2
4
I
2 xy
过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴。 截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值。
Imax = Ix0
Imin = Iy0
3. 截面的对称轴一定是形心主惯性轴
a
o
b
xC
x
xc , yc —— 过截面的形心 C 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
y
yC
C
a
o
b
xC
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
y
yC
C