附录1~1

ix
Ix A
例 题2：求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
y
h
C
x
b
解：
I y
x 2dA
A
h
dA = bdy
I
x
A
y2dA
h 2
h 2
by2dy
bh3 12
同理：
I
y
hb 3 12
y
dy
y
C
x
b
例 题3：求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
y
d
x
解：
截面对其圆心 O 的极惯性矩为
I xy A xy d A
（3）若 x , y 两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则 截面对 x , y 轴的惯性积一定等于零。
y
dx dx
dA
dA
y
y
x
矩形截面，圆形截面，工字形截面，梯形截面对包含 对称轴的一对坐标轴的惯性积一定等于零。
（4）截面对 x , y 轴的惯性半径为
iy
Iy A
所以 I = Ix + Iy
y
y dA
o
x
x
y
3. 截面对 x , y 轴的惯性积
dA
I xy A xy d A
y
o
x
x
Ip 2dA
A
I x
y 2dA
A
I y
x 2dA
A
I xy A xy d A
1）极惯性矩，惯性矩的数值恒为正； （2）惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。
yc 4R 3
CR
z1 z0 z
R
z2
yc 4R 3
z1
R
z0
z
R
z2
解：半圆形的形心轴为 z0 如图
yC
4R
3
yc 4R 3
z1
R
z0
z
R
z2
半圆形对 z 轴的惯性矩为
I
z
1 2
D4
64
I z I z0 A yc2
I z0 I z A yC2
yC
4R
3
I
z
1 2
D4
64
I z0 I z A yC2
Iy )2
4I
2 xy
57.4104 mm4
P350
作业 Ⅰ-1(b), Ⅰ-12(a), 15
思考第6题
求出后，就确定了主惯性轴的位置。
2. 主惯性矩的计算公式
I x0 I x I y 1
I y0
2
2
(
I
x
I
y
)2
4
I
2 xy
过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴。 截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值。
Imax = Ix0
Imin = Iy0
3. 截面的对称轴一定是形心主惯性轴
1
取 x 轴和 y 轴分别与截面
120
的底边和左边缘重合。 2
o
80
10 x
n
x
Ai xi
i1 n
Ai
A1 x1 A1
A2 x2 A2
i1
y
A1 y1 A1
A2 y2 A2
120
y 10
1 x1
y1
o
2 y2
10
x2
x
80
矩形 1 A1 10 120 1200 mm2
x1 5mm
惯性积。
组合截面的惯性矩、惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
n
I xy I xyi i1
20 140
例 题4：求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
20
1 2
100
解：将截面分成两个矩形截面。
20 140
zC
20
yC
1
y
2
100
截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作 y 轴 。
zC
20
20 140
yC
1
y
2
100
A1 20 140 A2 100 20
Z1 80 Z2 0
zC
20
20 140
yC
1
zC
y
2
100
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z 2 A2
46.7mm
zC
20
I y I yC b2 A
20 140
1
2
100
yC
zC
y
I1 yC
a
o
b
xC
x
xc , yc —— 过截面的形心 C 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
y
yC
C
a
o
b
xC
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
y
yC
C
40
y 20
15
10
20
25
70
c
x
35
10
I x I xc a2 A
I y I yc b2 A
I xy I xc yc abA
120
40
y 20
15
10
20
25
70
c
x
35
10
I
x
[1 12
120103
152
120
10]
[1 12
10
703
10
70
(25)2]
100.4104 mm4
y1 60mm
矩形 2
A2 10 70 700 mm2
x2
10
70 2
45 mm
y2 5mm
120
y 10
1 x1
y1
o
2 y2
10
x2
x
80
所以
x A1 x1 A 2 x 2 20 mm A1 A2
y
A1 y1 A1
A2 y2 A2
40 mm
y 10
120
40
o 20
80
0 113 .80
形心主惯性轴 x0 , y0 分别由 x 轴和 y 轴绕 c 点 逆时针转 113.80 得出。
y
xc0
120
40
70
20
10
c
x
yc0 10
113.80
形心主惯形矩为
I x0
Ix
Iy 2
1 2பைடு நூலகம்
(Ix
I
y
)2
4I
2 xy
321104 mm4
I y0
Ix
Iy 2
1 2
(Ix
附 录 1--1 截面的几何性质
§1-1 截面的静矩和形心位置
一、 定义
y
截面对 y , x 轴的静矩为：
dA
S y A xdA
y
S x A ydA
ox
x
静矩可正，可负，也可能等于零。
y
截面的形心 C 的坐标公式为：
x A xdA S y AA
y A ydA S x
A
A
y
y
o
dA
c
a
o
b
xC
x
已知截面对形心轴 xC ，yC 的惯性矩和惯性积 求截面对与形心轴平行的 x ，y 轴惯性矩和惯性积
y
yC
a
o
则平行移轴公式为
C
xC
b
x
I x I xc a2 A
I y I yc b2 A
I xy I xcyc abA
二、组合截面的惯性矩 惯性积 Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
x
x
x
Sy Ax
Sx Ay
Sy Ax
Sx Ay
y
y
y
o
dA
c
x
x
x
（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 （2）截面对形心轴的静矩等于零。
二、 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于 该截面对于同一轴的静矩。
组合截面静矩的计算公式为
10 x
§1-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
一、定义
y
1. 截面对 o 点的极惯性矩为
Ip 2dA
A
dA
y
o
x
x
2. 截面对 x , y 轴的惯性矩
y
I x
y 2dA
A
I y
x 2dA
A
y
o
x
dA x
Ip 2dA
A
I x
y 2dA
A
I y
x 2dA
A
2 x2 y2
)
计算形心主惯性矩
I x0 I x I y 1
I y0
2
2
(
I
x
I
y )2
4
I
2 xy
70
20
10
例题6：计算所示图形的形心主惯性矩。
120
40
c
10
120 40 y
70