(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)

基础篇
一、单变量部分
1、 求)0(1
>+
=x x
x y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1
<+=x x
x y 最大值-2
3、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值12
1
4、（添项）求)2(2
4
>-+=x x x y 最小值6
5、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值2
6、（取倒数或除分子）求)0(1
2
>+=
x x x y 最大值21
7、（换元法）求)1(132>-+=
x x
x
x y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值4
2
二、多变量部分
1、（凑系数或消元法）已知
041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值16
1 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求
y
x 9
4+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式
1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是
______),18[+∞_________
2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习
1. 已知x>0，y>0，且
18
2=+y
x 则xy 的最小值_______64_______ 2.
)0(13
2
4>++=k k
k y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，12
2
2
=+b a ，则21b a +的最大值为_________
4
2
3_________
4. 已知45<
x ，求函数5
4124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且
19
1=+y
x 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知
)0,0(23
2>>=+y x y
x 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=
的最小值______2
9
________ 8. 已知+
∈R y x ,且满足14
3=+y
x 则xy 的最大值________3_______
11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2
y xz
=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8
C 、最小值81
D 、最大值8
1
注:消y
12、设R y x ∈,则)41(12
222
y x
y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）
A 、ab b a 22
2>+ B 、ab b a 2≥+
C 、
ab
b a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，y
d
x b cy ax Q +⋅
+=则有（C ）
A 、P=Q
B 、Q P ≥
C 、Q P ≤
D 、P>Q
15、已知2
5
≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）
A 、有最大值
45 B 、有最小值4
5 C 、最大值1 D 、最小值1
16、建造一个容积为83
m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为
8
9 18、函数1
)(+=
x x
x f 的最大值是（C ）
A 、52
B 、2
1
C 、22
D 、1
19、已知正数x,y 满足14
1=+y
x 则xy 有（C ）
A 、最小值
16
1
B 、最大值16
C 、最小值16
D 、最大值16
1
20、若-4<x<1，则当2
22
22-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）
A 、-3
B 、-2
C 、-1
D 、0
21、若122=+y
x ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞
22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2
++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式y
x
273+的最小值是6
提高篇
一、函数与均值 1、)2(21>-+
=a a a m ,)0(212
2<⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系
_____m ≥n______________
2、 设x ≥0,x x P -+=22,2
)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q
3、已知函数()x a x f 2
1+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41
[)0,(+∞⋃-∞_
4、若对任意x>0,a x x x
≤++132恒成立，则a 的取值范围是
_______5
1
≥a ____________
5、函数x
x
x
y 2log 2log +=的值域
_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足
19
1=+b
a 则使c
b a ≥+恒成立的
c 的
取值范围是_D__
A 、]8,0(
B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)
1(≠>+=-a a a
x f x 的图象恒过定点P ，又点P
的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81
_____________ 8、已知函数()()),0(22
+∞∈++=
x x
a
x x x f
⑴当2
1
=a 时，求f(x)的最小值答案：22+
⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42
>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则b
a
33+的最小值为______6___________
11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则y
z
x z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、
89 B 、49 C 、2
9
D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）
A 、6
B 、9
C 、12
D 、18
13、R y x ∈,且x+y=5,则y
x
33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、318
14、设a>0,b>0,若3是a 3与b
3的等比中项，则
b
a 1
1+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4
1
15、函数)1,0(1≠>=-a a a
y x
的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0
（mn>0）上，则
n
m 1
1+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+1
1
恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）
A 、]2,(-∞
B 、),2[+∞
C 、),3[+∞
D 、]3,(-∞
17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直
线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则n
m 1
2+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、2
9
二、数列与均值
1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则
cd
b
a2）
（+
的
最小值是__4_
2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。

3、设}
{
n
a是正数等差数列，}
{
n
b是正数等比数列，且
1
1
b
a=，
21
21
b
a=，
则（D）
A、
11
11
b
a=B、
11
11
b
a>C、
11
11
b
a<D、
11
11
b
a≥
4、已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则
cd
b
a2)
(+
的最
小值是（D）
A、0
B、1
C、2
D、4
三、向量与均值
1、给定两个长度为1的平面向量
→
OA和
→
OB，它们的夹角为ο
120。

如图所
示，点C在以O为圆心的圆弧⌒A B 上变动。

若
→
→
→
+
=OB
y
OA
x
O C其中
R
y
x∈
,，则x+y最大值是_2___
提示：取模,见模就平方
2、若)1,
(x
a=
→
，)
3,2(x
b=
→
(x<0)那么
2
2→
→
→
→
+
⋅
b
a
b
a
的最小值是
________
4
2
-________
3、)2,1
(-
=
→
x
a，)
,4(y
b=
→
（x,y是正数）若
→
→
⊥b
a则xy的最大值是（A）
A、
2
1
B、
2
1
-C、1 D、-1
四、解析几何与均值
1.点(a,b)为第一象限点，且在圆8
)1
(
12
2=
+
+
+y
x）
（上，则ab最大值
是_____1________
2.直线ax+by+1=0,(a>0,b>0)平分圆0
1
2
8
2
2=
+
+
+
+y
x
y
x，则
b
a
4
1
+
B
C
的最小值为___16__
3、已知a,b 为正数，且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0相互垂直，则2a+3b 的最小值为________25________ 提示：变分式，乘“1”法
4、若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆01422
2
=+-++y x y x 的圆心，则ab 最大值是____
4
1___ 5、（上海高考）已知直线l 过点P （2,1）且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的最小值为4
6、（08海南）已知R m ∈，直线m y m mx l 4)1(2
=+-：和圆C ：
0164822=++-+y x y x
⑴求直线斜率范围]2
1,21[-
⑵直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为
2
1
的两段圆弧，为什么？不能 7、已知在AB C ∆中，ο
90ACB =∠，BC=3，AC=4,P 是AB 上的点，则点P 到AC ，BC 的距离最大值为_____3
8、已知直线l 过点P （2,1），且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求三角形OAB 面积最小值4
9、把长为12cm 的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形面积之和最小值为（D ）
A 、
23
3
2cm B 、42cm C 、223cm D 、232cm 10、若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆01422
2
=+-++y x y x 截得弦长为4，则
b
a 1
1+的最小值为（D ） A 、
41 B 、2
1
C 、2
D 、4 五、三角与均值
1、已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c 且
C
c
A b
B a sin 23cos cos =
+，c=2,角C 为锐角，则ABC ∆周长的取值范围
是(4,6]
2、在ABC ∆，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S ，且
S 2CB CA 3=⋅→
→
⑴求角C 的大小3
π
⑵若3=
c 求a+b 的取值范围]32,3(
3、在AB C ∆中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c 已知
0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C
⑴求角B 的大小
3
π
⑵若a+c=1,求b 的取值范围 12
1
<≤b
4、【2015高考山东，理16】设()2
sin cos cos 4f x x x x π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若
0,12A f a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
；
单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
（II ）ABC ∆
5、已知函数)()cos (sin cos 2)(R m m x x x x f ∈+-=，将)(x f y =的图像向左平移
4π个单位后得到)(x g y =的图像，且)(x g y =在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4,0π内的最大值为2.
（1）求实数m 的值；
（2）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为a,b,c,若1)4
3(=B g ，且a+c=2,
求ABC ∆的周长l 的取值范围。

[3,4)
6、（14新课标1理数）16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为
3 .
7、（2016山东）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
tan tan 2(tan tan ).cos cos A B
A B B A
+=
+（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC 的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1
2
8、（13全国新课标）AB C ∆在内角A ，B ，C 对边分别为a,b,c ，已知a=bcosC+csinB
(I) 求B 4
π
(II) 若b=2，求AB C ∆面积最大值 12+
注：均值不等式求最值
9、在AB C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3
2B π
=+C ，2=a ，则2
2
c b +的取值范围是（ D ） A.（3,6）
B.（3,6]
C.(2,4)
D.(2,4]
10、当2
0π
<<x 时，函数x x
x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4
均值不等式+余弦定理
11、在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且
3cos 3cos b C c B a -=，
则tan()B C -的最大值为
4
2
. 12、已知AB C ∆的三边长a,b,c 成等比数列，边长a,b,c 所对的角依次为A ，B ，
C 则sinB 范围
]2
3
0，（ 注：余弦找关系，均值求最值
13、已知AB C ∆，若sinB,sinA,sinC 成等差数列，则sinA 的取值范围是
]2
3
0，（
注：余弦找关系，均值求最值
14、在△ABC 中，已知B ＝π
3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，
则△ADC 的周长的最大值为____348+____．。