平行四边形错题剖析

火眼金睛巧辩真伪

1、底高不对应

【例1】已知在□ABCD中，AB=6，点A到BC的距离为4，而到CD的距离为5，求四边

形ABCD的面积。

错解： 平行四边形的面积=底⨯高，∴ S=6×4=24.

剖析：A到CD边的距离才是AB边上的高，这里底高位置不对应。

正解：S=6×5=30.

点评：本题涉及平行四边形的面积，不能停留在对公式的简单套用，而要搞清底和与它对

应的高.

2、性质糊涂用

【例2】如图2，线段BD是平行四边形ABCD的对角线，E、F分别为BC、AD上任意一点，连结EF交BD于点P,判断PE=PF.

错解：对.

剖析：平行四边形的对角线互相平分，而此处线段EF不是平行四边形ABCD的对角线.

正解：错.

点评：本题主要考查同学们能否合理运用平行四边形性质的能力，如果添加AF=CE这

一条件，结果会怎么样呢？

3、审题不清楚

【例3】如图3，在□ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，则OE＝OF．为什么?

错解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，又∠1＝∠2（对顶角相等），OE ⊥

AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°可得△AOE ≌△COF (AAS)， ∴OE ＝OF ..

剖析：错解中默认了E 、O 、F 三点共线，而已知条件中并没有这个结论，因此E 、 O 、F 三点共线在证题过程中必须加以证明，否则就是错误的.

正解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠3＝∠4，AO ＝OC ，∵OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°

可得△AOE ≌△COF (AAS)， ∴OE ＝OF ..

或者： 证法2：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．

∵OE ⊥AD ，∴OE ⊥BC ．又OF ⊥BC ，

∴直线OE 与OF 重合，即E 、O 、F 三点共线．∴∠1＝∠2．

又∵OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°，

∴△AOE ≌△COF (AAS)，∴OE ＝OF ．

点评：平行四边形蕴含着很多特性，如：对边相等且平行，邻角互补、对角线平分、是中心对称图形等.

4、考虑不全面

【例4】如图4，在

ABCD 中，∠A 的平分线分BC 为3.5cm 和4.5cm 的两部分，求ABC

D 的周长 图4

错解：∵ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠BEA ，又AE 平分∠BAD ，∴∠D AE=∠BAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∴ABCD 的周长为[])5.45.3(5.3++×2=23cm 剖析：错在因为思维形成定势，忽略了在分成的两部分中，BE 可以为3.5也可以为4.5，因

此本题有两解。

正解：∵ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠BEA ，又AE 平分∠BAD ，∴∠D AE=∠BAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∴ABCD 的周长为[])5.45.3(5.3++×2=23cm 或[4.5+(4.5+3.5)]×2=25cm.

点评：本题涉及分类讨论思想，这是数学中重要思想.