有限差分法的Matlab程序(椭圆型方程)

有限差分法的Matlab程序（椭圆型方程）

function FD_PDE(fun,gun,a,b,c,d)

% 用有限差分法求解矩形域上的Poisson方程

tol=10^(-6); % 误差界

N=1000; % 最大迭代次数

n=20; % x轴方向的网格数

m=20; % y轴方向的网格数

h=(b-a)/n; % x轴方向的步长

l=(d-c)/m; % y轴方向的步长

for i=1:n-1

x(i)=a+i*h;

end % 定义网格点坐标

for j=1:m-1

y(j)=c+j*l;

end % 定义网格点坐标

u=zeros(n-1,m-1); %对u赋初值

% 下面定义几个参数

r=h^2/l^2;

s=2*(1+r);

k=1;

% 应用Gauss-Seidel法求解差分方程

while k<=N

% 对靠近上边界的网格点进行处理

% 对左上角的网格点进行处理

z=(-h^2*fun(x(1),y(m-1))+gun(a,y(m-1))+r*gun(x(1),d)+r*u(1,m-2)+u(2,m-1))/s;

norm=abs(z-u(1,m-1));

u(1,m-1)=z;

% 对靠近上边界的除第一点和最后点外网格点进行处理

for i=2:n-2

z=(-h^2*fun(x(i),y(m-1))+r*gun(x(i),d)+r*u(i,m-2)+u(i+1,m-1)+u(i-1,m-1))/s;

if abs(u(i,m-1)-z)>norm;

norm=abs(u(i,m-1)-z);

end

u(i,m-1)=z;

end

% 对右上角的网格点进行处理

z=(-h^2*fun(x(n-1),y(m-1))+gun(b,y(m-1))+r*gun(x(n-1),d)+r*u(n-1,m-2)+u(n-2,m-1))/s;

if abs(u(n-1,m-1)-z)>norm

norm=abs(u(n-1,m-1)-z);

end

u(n-1,m-1)=z;

% 对不靠近上下边界的网格点进行处理

for j=m-2:-1:2

% 对靠近左边界的网格点进行处理

z=(-h^2*fun(x(1),y(j))+gun(a,y(j))+r*u(1,j+1)+r*u(1,j-1)+u(2,j))/s;

if abs(u(1,j)-z)>norm

norm=abs(u(1,j)-z);

end

u(1,j)=z;

% 对不靠近左右边界的网格点进行处理

for i=2:n-2

z=(-h^2*fun(x(i),y(j))+u(i-1,j)+r*u(i,j+1)+r*u(i,j-1)+u(i+1,j))/s;

if abs(u(i,j)-z)>norm

norm=abs(u(i,j)-z);

end

u(i,j)=z;

end

% 对靠近右边界的网格点进行处理

z=(-h^2*fun(x(n-1),y(j))+gun(b,y(j))+r*u(n-1,j+1)+r*u(n-1,j-1)+u(n-2,j))/s;

if abs(u(n-1,j)-z)>norm

norm=abs(u(n-1,j)-z);

end

u(n-1,j)=z;

end

% 对靠近下边界的网格点进行处理

% 对左下角的网格点进行处理

z=(-h^2*fun(x(1),y(1))+gun(a,y(1))+r*gun(x(1),c)+r*u(1,2)+u(2,1))/s;

if abs(u(1,1)-z)>norm

norm=abs(u(1,1)-z);

end

u(1,1)=z;

% 对靠近下边界的除第一点和最后点外网格点进行处理

for i=2:n-2

z=(-h^2*fun(x(i),y(1))+r*gun(x(i),c)+r*u(i,2)+u(i+1,1)+u(i-1,1))/s;

if abs(u(i,1)-z)>norm

norm=abs(u(i,1)-z);

end

u(i,1)=z;

end

% 对右下角的网格点进行处理

z=(-h^2*fun(x(n-1),y(1))+gun(b,y(1))+r*gun(x(n-1),c)+r*u(n-1,2)+u(n-2,1))/s; if abs(u(n-1,1)-z)>norm

norm=abs(u(n-1,1)-z);

end

u(n-1,1)=z;

% 结果输出

if norm<=tol

fid = fopen('FDresult.txt', 'wt');

fprintf(fid,'\n********用有限差分法求解矩形域上Poisson方程的输出结果********\n\n');

fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);

fprintf(fid,' x的值y的值u的值u的真实值|u-u(x,y)|\n');

for i=1:n-1

for j=1:m-1

fprintf(fid, '%8.3f %8.3f %14.8f %14.8f %14.8f\n',

[x(i),y(j),u(i,j),gun(x(i),y(j)),abs(u(i,j)-gun(x(i),y(j)))]);

end

end

fclose(fid);

break; % 用来结束while循环

end

k=k+1;

end

if k==N+1

fid = fopen('FDresult.txt', 'wt');

fprintf(fid,'超过最大迭代次数，求解失败！');

fclose(fid);

end