2.2.1直线的参数方程

3
3
＝35，sin α＝45，
x＝2＋35t， ∴直线 l 的参数方程的标准形式为 y＝4t
5
(t 为参数)．(*)
∵直线 l 和抛物线相交，
∴将直线 l 的参数方程(*)代入抛物线方程 y2＝2x 中，
整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50>0.
设这个一元二次方程的两个根为 t1，t2，
x＝2＋4t， (1)y＝－1＋3t； (t 为参数)
x＝12＋ 22t，
(2)
y＝
23＋
2 2 t.
(t 为参数)
解析：(1)xy＝＝－2＋1＋4t，3t 不是直线参数方程的标准形式，参数方程即xy＝＝－2＋1＋45535t5，t. 令 t′＝5t， 得到标准形式的参数方程为xy＝＝－2＋1＋45t′35t′， (t′为参数)．
【解析】
（1）曲线 C 的直角坐标方程为
x2 4
y2 16
1。
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 y tan x 2 tan ，
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x 1
（2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得
(1 3cos2 )t 2 4(2 cos sin )t 8 0 ①
a2＋b2·t)．
已知直线的参数方程为
x＝1＋2t， y＝2＋t
(t 为参数)，
则该直线被圆 x2＋y2＝9 截得的弦长是多少？
【自主解答】
将参数方程
x＝1＋2t， y＝2＋t
(t为参数)转化为直线参数方程的
标准形式为
x＝1＋
2 5
t′，
y＝2＋
1 5
t′
(t′为参数)，
代入圆方程x2＋y2＝9，
由根与系数的关系得 t1＋t2＝185，t1t2＝－245.
由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得
| | |PM|＝
t1＋t2 2
＝1156.
(2)|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝58 73.
深度探究
1．下列参数方程中，哪些是直线的参数方程的标准形式？若是，求出直线经过的定点 坐标和倾斜角，若不是，转化为标准形式.
例题、如图所示，已知直线 l 过点 P(2，0)，斜率为4的直线 l 3
和抛物线 y2＝2x 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M， 求： (1)P，M 间的距离|PM|； (2)线段 AB 的长|AB|.
[解析] ∵直线 l 过点 P(2,0)，斜率为4，设直线 l 的倾斜角为α，则 tan α＝4，cos α
5 .
故直线被圆截得的弦长为125
5 .
(2018 年全国二 22) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程
为
x y
2 c os 4 s in
,
(为参数），直线
l
的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
,
(t为参数）
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率。
直线的参数方程
泰来县第三中学 张胜男
[学习目标] 1、掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义 (重点)． 2、能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题(重 点、难点)．
Baidu Nhomakorabea
[知识提炼·梳理]
1．直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α， ___y_＝_y_0_＋__ts_in__α___ (t 为参数)．
3 B．过点(－1,2)且倾斜角为π的直线
3 C．过点(1，－2)且倾斜角为23π的直线 D．过点(－1,2)且倾斜角为23π的直线
归纳升华
在直线参数方程的标准形式下，根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何 意义，有如下常用结论：
(1)直线上两点之间的距离可用 M1M2 |t1－t2|． (2)设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝t1＋2 t2(由此可求|M1M2| 及中点坐标) (3)定点 M0 是弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0；
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点（1，2）在 C 内，所以①有两个解，设
为 t1, t2 ，则 t1 t2 0 。又由①得：
t1
t2
4(2 cos sin ) 1 3cos2
，故
2cos
sin
0
，
于是直线 l 的斜率 k tan 2
经过点 A－3，－32，倾斜角为 α 的直线 l 与圆 x2＋y2＝25 相 交于 B、C 两点.
x＝1＋ 2t， 22
(2) y＝
3＋
2t
22
是直线参数方程的标准形式，
其中，起点坐标为
1， 2
3 2
，cos
α＝
22，sin
α＝
2， 2
倾斜角α＝π4.
归纳升华
把直线的参数方程
x＝x0＋at， y＝y0＋bt (t
为参数，a，b
为常
数且 a2 b2 1)化为标准形式：
x＝x0＋ a2a＋b2t′， y＝y0＋ a2b＋b2t′ ( 其 中 t′ 是 参 数 ， 且 t′ ＝
得1＋
2 5
t′2＋2＋
1 5
t′2＝9，
整理，有 5t′2＋8t′－4 5＝0.
由 82 4 5 (4 5) 0 可知，设方程的两个根为 t1, t2
由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－ 85，
t′1·t′2＝－4.
根据参数 t′的几何意义．
|t′1－t2′|＝
t′1＋t′22－4t′1t′2＝125
2．参数 t 的几何意义
t 表示直线 l 上以定点 M0 为起点，任意一点 M(x，y)为终点 的有向线段M→0M的长度，即|t|＝|M→0M|. ①当 t＞0 时，M→0M的方向向上；②当 t＜0 时，M→0M的方向 向下；③当 t＝0 时，点 M 与点 M0 重合.
x＝1－12t， 例 1．以 t 为参数的方程 y＝－2＋ 23t 表示( ) A．过点(1，－2)且倾斜角为π的直线
(1)求弦BC的长； (2)当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程； (3)当|BC|＝8时，求直线BC的方程； (4)当α变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程.
1．经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方 程一般写为xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα，(t 是参数)．
其中参数 t 具有明确的意义，在解题中注意应用． 2．直线的参数方程的形式有多种，其中参数 t 不都 具有明确的几何意义．