2.2.1直线的参数方程
2.2.1平面向量基本定理概述.
张喜林制2.2.1 平面向量基本定理考点知识清单1．平面向量基本定理如果21e e 、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数,21a a 、使不共线的向量21e e 、叫做表示这一平面内所有向量的一组 记为 . 叫做向量a 关于基底,{1e }2e 的分解式． 2．直线l 的向量参数方程式A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对于l 上任意一点P ，存在实数t ，使=OP 3．线段中点的向量表达式A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，M 是线段AB 的中点，则=要点核心解读1．平面向量基本定理平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不平行的向量，那么对该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数,,21a a 使⋅+=2211e a e a a我们把不共线向量21e e 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为221121},{e a e a e e +⋅叫做向量a 关于基底,{1e }2e 的分解式．2．直线l 的向量参数方程式及线段的中点的向量表达式已知A 、B 是直线L 上任意两点，O 是l 外一点（如图2 -2 -1-1所示），求证：对直线L 上任一点P ，存在实数t ，使关于基底},{的分解式为（﹡）并且，满足（﹡）式的点P 一定在L 上．(1)证明如下：证明：设点P 在直线L 上，则由平行向量基本定理知，存在实数t ，使).(t t -==所以AP OA OP +=t t -+=.)1(OB t OA t +-=设点P 满足等式,)1(t t +-=则=-),t -得到,t =即P 在L 上． (2)由上面证明可知，对直线L 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式（﹡）；反之，对每一个数值t ，在直线L 上都有唯一的一个点P 与之对应，向量等式（﹡）叫做直线L 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．(3)在（﹡）中，令,21=t 点M 是AB 的中点，则这是线段AB 的中点的向量表达式，典例分类抛析考点1概念辨析问题[例2] 如图2-2-1-2，设O 是平行四边形ABCD 两对角的交点，下列向量组：;与①;与②;与③,与④其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是( )．①②.A ①③.B ①④.C ③④.D[试解] （做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 与①不共线，与②,//,-=共线， DC CA 与③不共线．OB OD OB OD OB OD 与④,//,-=共线，由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底 [答案] B[点拨] 关键是看向量组中向量是否共线．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（其中i ，j 是不共线的一组向量）( )．;75,221j i e j i e +=+-=① ;10,5321j e j i e +=+=α② ⋅-=-=j i e j i e 4321,3221③ .A ① .B ①③ .C ②③ .D ①②③考点2 向量的基底表示问题[例2] 在平行四边形ABCD 中，设,,b BD a AC ==试用a 、b 表示. [解析] 可以用转化法，也可用方程的思想求解， 解法一：设相交于点0，则有,2121,21b a ==== ∴ ,2121b a -=-=+=.2121b a BO OC OC BO BC +=+=+=解法二：设,,y x ==则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,,AC BC AB 且,y ==即⎩⎨⎧=-=+,,b x y a y x ),(21),(21b a x b a y -=+=∴ 即 .2121,2121b a b a +=-=[点拨] 本题事实上是平面向量基本定理的应用，由于.BD AC 、不共线．所以平面内的所有向量都可以用它们表示．以上两种解法，思想方法有所不同，解法一通过观察图形，直接寻求向量之间的关系；解法二则采用了方程思想，即直接用BC AB 、表示a 、b ，然后将BC AB 、看做是未知量，利用方程思想，解得、,BC 为使问题表达简单，采用了代换⋅==y BC x AB 、2．(1)如图2-2 -1 -3，已知梯形ABCD 中，//AB N M CD CD 、且,2AB .=分别是DC 、AB 的中点，设,,b a ==试以b a 、为基底表示.、、(2)设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使,31,31,31BM ===若==a , ,b 试用a ，b 将表示出来．考点3 直线的向量参数方程应用[例3] 如图2 -2 -1-4，设一直线上三点A 、B 、P 满足O ),1(-=/=λλ是平面上任一点，则( )．λλ++=10.A λλ-+=10.B λλ+-=1.C λλ--=10.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 本题可直接运用直线l 的向量参数方程式判断，由直线的向量参数方程式，若P 在直线AB 上（或P 、A 、B 共线），则一定存在实数t ，使得,)1(OB t OA t OP +-=注意（1-,1)=+t t 本题也可直接利用向量减法的几何意义，构造向量方程．从而解出.解法一：∵ A 、B 、P 三点共线,∴ 一定存在实数t ，使得=,)1(t t +-而t 满足,1)1(=+-t t 选项中只有++λ11:A 1111=++=+λλλλ符合， 解法二：由,λ=得),.(-=-λ⋅-=/++=∴)1(10λλλOBA[答案] A[点拨] 本题实质上是直线向量参数方程的变式．3．设OB OA 、不共线， P 点在AB 上，求证：OB OA OP μλ+=且⋅∈=+),(1R μλμλ 考点4证明几何问题[例4] 平面内有一个△ABC 和一点o(如图2-2 -1-5)，线段OA 、OB 、OC 的中点分别为E 、F 、G ，BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，设.,,c b a ===(1)试用a 、b 、c 表示向量;、⋅(2)证明线段GN FM EL 、、交于-点且互相平分．[解析] (1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量.GN FM EL 、(2)要证三条线段交于一点且互相平分，可考虑证明P 点到三条线段中点的向量相等．(1)如图2-2 -1-5．),(21,21c b a +==⋅-+=-=∴)(21a cb 同理⋅-+=-+=)(21),(21c b a b c a FM(2)证明：设线段EL 的中点为,1P 则).(41)0(211C b a L OE OP ++=+=设FM 、GN 的中点分别为,P 32、P 同理可求得).(41),(4132C b a OP C b a OP ++=++=,321OP OP OP ==∴即GN FM EL 、、交于一点，且互相平分． [点拨] 用向量法证明三线相交于一点且互相平分常用的方法是：在平面上找一点，证明这点到三条线段中点的向量相等，找点时，要考虑运算的简便性．4．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
数学人教B版教材目录(必修选修)
数学人教B版教材目录（必修选修）人教B版-----------------------------------必修1-----------------------------------第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图形（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点求函数零点2.4.2近似解的一种方法----二分法第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）-----------------------------------必修2-----------------------------------第一章立体几何初步1．1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1．2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2．2直线方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2．3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2．4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式-----------------------------------必修3-----------------------------------第一章算法初步1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1．2基本算法语句1.2.1赋值、输入、输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2．2用样本估计总体2.2.1用样本的频率估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2．3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3．1随机现象3.1.1随机事件3.1.2时间与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3．2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3．3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3．4概率的应用-----------------------------------必修4-----------------------------------第一章基本初等函(Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1．2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系1.2.4诱导公式1．3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2．1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与向量坐标运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线的条件2．3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2．4向量的应用2.4.1向量在集合中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3．2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3．3三角函数的积化和差与和差化积-----------------------------------必修5-----------------------------------第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2．2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的.第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2．2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2．3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程2.3.2抛物线的几何性质第三章导数及其应用3．1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何含义3．2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3．3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法与除法第四章框图,4.1流程图4.2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的.第二章锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程，由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常用函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数学特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理1.1.2相似三角形的性质1.1.3平行切割定理1.1.4锐角三角函数与射影定理1.2圆周角与弦切角1.2.1圆的切线1.2.2圆周角定理1.2.3弦切角定理1.3圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定第二章圆锥、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线2.2用内切球探索圆锥曲线的性质2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线2.2.3圆锥面及其内切球2.2.4圆锥曲线的统一定义-----------------------------------选修4-2-----------------------------------第一章二阶矩阵与平面图形的变换1.1二阶矩阵1.2二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.1二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.2矩阵变换1.2.3几类特殊的矩阵变换1.3二阶方阵的乘法1.3.1二阶方阵的乘法1.3.2矩阵乘法的运算律第二章逆矩阵及其应用2.1逆矩阵2.1.1逆矩阵的定义2.1.2逆矩阵的性质2.1.3用二阶行列式求逆矩阵2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.1二元一次方程组解的含义2.2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.3解的存在性与唯一性第三章变换的不变量3.1平面变换的不变量3.1.1特征值与特征向量3.1.2特征值与特征向量的求法3.1.3特征值的不变性n3.2A?的简单表示-----------------------------------选修4-4-----------------------------------第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆a,?1.4.2圆心在点?2?处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程2.3.3双曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程-----------------------------------选修4-5-----------------------------------第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.3.1，a某?b，≤c,，a某?b，≥c型不等式的解法1.3.2，某?a，+，某?b，≤c,，某?a，+，某?b，≥c型不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法1.5.1比较法1.5.2综合法和分析法1.5.3反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.1.1数学归纳法原理3.1.2数学归纳法应用举例3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明内努利不等式。
2.2.1直线的参数方程
②号。当
当
o 时，M为内分点； o且 1时，M为外分点；
y PM l
所求直线的参数方程为：
O
x
t
x= y=
x y
0 0
+tcos +tsin
(t为参数)
M(x,y)是直线上的任意一点.其中参数t的几何意义是 丛点P到M的位移,可以用有向线段PM的数量表示。
⑵如果已知直线L经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的
直线的参数方程为：
设直线上的任意一点M(x,y)
设直线上的任意一点M(x,y) PM=t
y PM l
Q
所求直线的参数方程为：
O
x
t
x=2+tcos300
y=
3+tsin
30
0
(t为参数)
M(x,y)是直线上的任意一点.其中参数t的几何意义是 丛点P到M的位移,可以用有向线段PM=t的数量表示。
3、教师引导学生推导直线的参数方程：
⑵如果已知直线L经过两个定点Q(1，1),P(4，3),
( 2 ) 如 何 用 e 和 M 0 的 坐 标 表 示 直 线 上 任 意 一 点 M 的 坐 标 ？
(1) e(co,ssin )
( 2 )M 0 M ( x ,y ) ( x 0 ,y 0 ) ( x x 0 ,y y 0 ) 又M0M//e 存在惟 t 一 R， 实 使 数 M 0 得 Mte
那么又如何描述直线L上任意点的位置呢？
设直线上uur的任意一点M(x,y
，
MP
所求直线的参数方程为：
y Q MP
l
N
AB
O
x
x=
1+4λ 1+λ
三维空间中直线的方程式
三维空间中直线的方程式在三维空间中，直线的方程可以用参数方程和一般方程两种形式表示。
参数方程是将直线上的每一个点都表示为一个参数所确定的向量，而一般方程则是通过直线上两个点的坐标来表示的。
1.参数方程：直线的参数方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)为直线上的已知点，而(a,b,c)为直线的方向向量，t为参数。
2.一般方程：首先，我们需要确定直线的方向向量。
假设直线上的两个点分别为P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，则直线的方向向量可以表示为V=PQ=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
然后，我们可以通过点P的坐标和方向向量V来推导直线的一般方程。
2.1.点向式：直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c其中(a,b,c)为方向向量V的分量。
2.2.对称式：直线的一般方程也可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c=t这里的t为参数。
2.3.常法式：直线的一般方程还可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C为方向向量V的分量，而D为常数。
对于两个不平行的直线，我们可以通过将它们的方向向量进行叉乘来求得它们的交点。
除了参数方程和一般方程，还有其他表示直线的方法，比如点法式、斜截式等。
这些方法都根据直线上已知点和方向向量的不同形式而有所不同。
需要注意的是，在使用直线的方程时，我们需要根据实际情况选择最适合的表达形式。
有时候参数方程更方便，可以直接通过改变参数t来表示直线上的任意一点；而一般方程则适合于求直线与其他平面或直线的交点等问题。
【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件2.2.1 直线的参数方程
为参数)
做一做3
经过点Q(1,2),P(3,7)的直线的参数方程为( )
A.
������ = ������
2+3������ , 1+������ 1+7������ (λ = 1+������
为参数,λ≠-1)
B.
������ = ������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ = 1+������ 1−3������ , 1+������ 2−7������ (λ 1+������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ 1+������
������������ ,则直线 ������������
为参数,λ≠-1).
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究一直线的参数方程与参数的几何意义
对于一般的参数方程 ,其中的参数可能不具有一定的几何意义 ,但是 直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点 M0(x0,y0)、 倾斜角 ������ = ������0 + ������cos������, 为 α 的直线 l 的参数方程都可以写成 ������ = ������ + ������sin������ (t 为参数),其 0 中直线上的动点 M(x,y)到定点 M0 的距离等于参数 t 的绝对值.当点 M 在点 M0 的上方时,t>0;当点 M 在点 M0 的下方时,t<0;当点 M 与点 M0 重合时,t=0.很多与线段长度有关的问题,我们可以考虑应用直线 参数方程中 t 的几何意义去求解.
§2
直线和圆锥曲线的参数方程
3 3 4 倾斜角为 α，则 tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5.又点 P(1，1)在直线 4 x＝1＋5t， l 上，所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 3 y＝1＋ t 5 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN| ＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
QM → 动点 M 分有向线段QP的数量比 MP
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2.圆的参数方程 (1)圆心在原点、 半径为 r 为参数).
x＝rcos α， y＝rsin α 的圆的参数方程_____________( α
OP与x轴正方向的夹角 参数 α 的几何意义是_________________________.
x＝t， 得到参数方程 y＝2t＋1
t (t 为参数)；如果令 x＝2，可得到
t x＝ ， 参数方程 2 (t 为参数) y＝t＋1
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这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义，但是在 实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点 M 做匀 速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1，1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数 方程.点 M (t 为参数).
【思维导图】
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【知能要点】
1.直线的参数方程.
2.直线的参数方程的应用.
3.圆的参数方程及应用.
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高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
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2.1
直线的参数方程
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首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
2.2.1直线的参数方程
直线参数方程的应用学习目标：1． 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2． 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3． 利用直线的参数方程求线段的长，求距离与中点有关等问题； 教学重点1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程； 2．直线的参数方程中参数t 的几何意义． 教学难点1．直线的参数方程中参数t 的几何意义；2．直线参数方程中参数t 的几何意义的初步应用． 课前检测：1.直线的参数方程：过点()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 。
2.参数的几何意义：直线的参数方程中参数t 的几何意义是： 。
3.设直线l 经过点()5,10M ，倾斜角为（1）求直线l 的参数方程；（2）求直线l 和直线 的交点与点0M 的距离。
例题讲解：例1：已知直线l 经过点()1,1P ，倾斜角为6πα=（1）写出直线l 的参数方程（2）设l 与圆422=+y x 相交于B A ,两点，求点P 到B A ,两点的距离之积；（3）求直线l 被圆422=+y x 所截得的弦长例题小结：数轴上任意两点1x ，2x之间的距离是12x x -点间的距离刚好等于A ，B两点对应的参数之差的绝对值12AB t t =-=练习：已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB|.例2：在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22226，现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐表系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=.（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求过点()0,1-M 且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 交于B A ,两点，求||AB 及|||M |MB A +.例3．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，且与抛物线2y x =交于A ，B 两点．求线段AB 中点Q 的坐标．练习：经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆22+1164x y =于A ，B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．方法总结：利用直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的位置关系提供了简便的方法.一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0,1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，l 与C 相交有两个交点；2、 当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A 和B 的坐标.3、 定点P 0(00,y x )是弦AB 中点⇔ t 1+t 2=04、 l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；|P 0A|·|P 0B|= |t 1·t 2|；弦AB 中点M 点对应的参数为221t t +；| P 0M |=221t t +基础知识测试： 1.直线⎩⎨⎧+-=+=t21y t x (t 为参数)与椭圆8222=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( )A 22 B334 C 2 D 362.直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )A |t 1+t 2|B |t 1|＋|t 2|C |t 1－t 2| D221t t +3.直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=t211212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=4.过点P(6, 27)的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t2726y tx (t 为参数)与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点， 则点P 到A,B 距离之积为 .5.已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|；(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|x。
第2章2.1~2.2 直线与圆的参数方程
§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程 2.2 圆的参数方程1.直线的参数方程(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)① 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM→的数量来表示. (2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1). 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M 分有向线段QP →的数量比QM MP .当λ＞0时，M 为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时，点M 与Q 重合. 2.圆的参数方程(1)圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数).参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角.(2)去掉圆与x 轴负半轴交点，圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2(k 为参数)参数k 的几何意义是直线AP 的斜率.【思维导图】【知能要点】 1.直线的参数方程. 2.直线的参数方程的应用. 3.圆的参数方程及应用.题型一 直线的参数方程直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (α为参数)中，α，x 0，y 0都是常数，对于同一直线，选取的参数不同，会得到不同的参数方程.对于直线普通方程y ＝2x ＋1，如果令x ＝t ，可得到参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t ＋1 (t 为参数)；如果令x ＝t2，可得到参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t ＋1(t 为参数).这样的参数方程中的t 不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，点M 从A 点(1，1)开始运动，求点M 的轨迹的参数方程.点M 的轨迹的参数方程可以直接写为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数).【例1】 设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________. 解析 由|PM 0|＝2知t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3，1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1. 答案 ±1【反思感悟】 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.1.已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1，1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5，4)和点N (－2，6)的距离.解 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1，1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数). 因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上. 由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.因为点N 不在直线l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN |＝（1＋2）2＋（1－6）2＝34.【例2】 已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积.解(1)直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 是参数).(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2.以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4， 整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0.①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.【反思感悟】 本题P 到A 、B 两点的距离就是参数方程中t 的两个值，可以充分利用参数的几何意义.2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(1)分别求t ＝0，2，－2时对应的点M (x ，y )； (2)求直线l 的倾斜角；(3)求直线l 上的点M (－33，0)对应的参数t ，并说明t 的几何意义.解(1)由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)知当t ＝0，2，－2时，分别对应直线l 上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1).(2)法一 化直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)为普通方程为y －2＝33(x ＋3)，其中k ＝tan α＝33，0≤α<π. ∴直线l 的倾斜角α＝π6.法二由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，这是过点M 0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求. (3)由上述可知直线l 的单位方向向量 e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4， 且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方).题型二 直线参数方程的应用利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.【例3】 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋12y 2＝1交于点M ，N ，求|PM |·|PN |的最小值及相应的α的值. 解设直线为⎩⎨⎧x ＝102＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线并整理得(1＋11sin 2α)t 2＋(10cos α)t ＋32＝0. 则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝321＋11sin 2 α.所以当sin 2 α＝1时，即α＝π2，|PM |·|PN |的最小值为18，此时α＝π2.【反思感悟】 利用直线的参数方程中参数的几何意义，将最值问题转化为三角函数的值域，利用三角函数的有界性解决.3.已知曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求曲线上一点P 到直线⎩⎨⎧x ＝2－3t ，y ＝2＋2t(t 为参数)的最短距离. 解 P (3cos θ，2sin θ)直线：2x ＋3y －10＝0 d ＝|6cos θ＋6sin θ－10|13＝|62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10|1362sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10∈[－62－10，62－10]∴|62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10|13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－6213，10＋6213 ∴d min ＝10－6213.【例4】 如图所示，过不在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任一点P 作两条直线l 1，l 2分别交椭圆于A ，B 和C ，D 四点，若l 1，l 2的倾斜角为α，β且满足α＋β＝π.求证：A ，B ，C ，D 四点共圆. 证明 设P (x 0，y 0)，直线l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)，直线l 2：⎩⎨⎧x ＝x 0＋p cos β，y ＝y 0＋p sin β (p 为参数)，分别代入椭圆方程得(b 2cos 2 α＋a 2sin 2 α)t 2＋2(b 2x 0cos α＋a 2y 0sin α)t ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0； (b 2cos 2 β＋a 2sin 2 β)p 2＋2(b 2x 0cos β＋a 2y 0sin β)p ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0.∵α＋β＝π，∴cos 2 α＝cos 2 β，sin 2 α＝sin 2 β，∴t 1t 2＝p 1p 2，即|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |.由平面几何知识知，A ，B ，C ，D 四点共圆. 【反思感悟】 本题利用平面几何知识，要证四点A ，B ，C ，D 共圆，只需证|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |，又转化为距离问题，利用参数的几何意义计算即可.4.直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点. (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长； (3)求|P 0A |和|P 0B |的长； (4)求交点A ，B 的坐标.解 ∵直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6， 所以可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2，代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9， ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 3. (2)设过P 0的切线为P 0T ，切点为T ， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.(3)解方程t 2－43t ＋9＝0，得t 1＝33，t 2＝3， ∴|P 0A |＝33，|P 0B |＝ 3.(4)将t 1＝33，t 2＝3代入直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2，得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，332，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 题型三 圆的参数方程及其应用如果取半径绕原点O 逆时针旋转的转过的角度θ为参数，圆x 2＋y 2＝r 2对应的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.同理，圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2对应的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).圆的参数方程对于需要将圆上点的两个坐标分别表示，代入计算的问题比较方便. 【例5】 圆的直径AB 上有两点C 、D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值.分析 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立平面直角坐标系.将P 点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC |＋|PD |就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值.解 以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系.因为|AB |＝10，所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数).因为|AC |＝|BD |＝4，所以C ，D 两点的坐标为C (－1，0)，D (1，0).因为点P 在圆上，所以可设点P 的坐标为(5cos θ，5sin θ). 所以|PC |＋|PD |＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2 ＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos 2 θ.当cos θ＝0时，(|PC |＋|PD |)max ＝52＋52＝226. ∴|PC |＋|PD |的最大值为226.【反思感悟】 解题时将所求式子和图形联系起来，利用圆的参数方程表示P 点坐标，结合三角函数的值域进行计算.5.已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2. ∴x 2＋y 2的最大值为11＋62， 最小值为11－6 2.1.求直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t (t 为参数)和直线l 2：x －y －23＝0的交点P 的坐标，及点P 与Q (1，－5)的距离.解 将⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t 代入x －y －23＝0，得t ＝23，∴P (1＋23，1)，而Q (1，－5)， 得|PQ |＝（23）2＋62＝4 3.2.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.3.已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t (t 为参数).当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？解 椭圆方程为y 24＋x 2＝1，化直线参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55t ′，y ＝m ＋255t ′ (t ′为参数). 代入椭圆方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋255t ′2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫55t ′2＝4 ⇔8t ′2＋45mt ′＋5m 2－20＝0.当Δ＝80m 2－160m 2＋640＝640－80m 2>0， 即－22<m <22， 方程有两不等实根t ′1、t ′2，则弦长为|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2＝640－80m 28，依题意知640－80m 28＝6，解得m ＝±455.[P 30思考交流]1.经过两点Q (1，1)，P (4，3)的直线的参数方程.如果应用共线向量的充要条件来求，方程及参数的含义分别是什么？答 在直线PQ 上任取一点M (x ，y )，PM→＝(x －1，y －1)，QM →＝(x －4，y －3)，∵P 、Q 、M 三点共线，∴PM→∥QM →，∴PM →＝tQM →，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t （x －4），y －1＝t （y －3），化简为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－4t 1－t，y ＝1－3t 1－t，此即为过P 、Q 两点的直线的参数方程.参数t 的含义是有向线段PM→、QM →的比值.2.比较直线的参数方程与普通方程体会各自的优势.答 直线的普通方程直观地反映了变量x、y 之间的关系，方程是唯一的. 直线的参数方程中反映了变量x 、y 分别随参数的变化而变化的规律.方程是不唯一的，随参数的选取而有所不同.[P 33思考交流]给定参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α其中a 、b 是常数. 讨论下列问题：(1)如果r 是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？(2)如果α是常数，r 是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？答 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝r cos α，y －b ＝r sin α=====消掉参数α>(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 其中r 为常数，表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝r cos α，y －b ＝r sin α=====消掉参数t >x －a y －b ＝tan α.整理得x －tan α·y ＋b ·tan α－a ＝0，其中a 、b 、tan α为常数.方程为过点(a ，b )，斜率为1tan α的直线.【规律方法总结】1.利用直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为参数)中参数的几何意义，在解决直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离.2.直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t 没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算.一、选择题1.若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为( ) A.23 B.－23C.32D.－32 解析 k ＝y －2x －1＝－3t 2t ＝－32. 答案 D2.曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析 消去参数θ，将参数方程化为普通方程.曲线可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心为圆心(－1，2)，该点在直线y ＝－2x 上，故选B.答案 B3.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A.(3，－3)B.(－3，3)C.(3，－3)D.(3，－3)解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4， 中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－ 3. 答案 D4.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14B.214C. 2D.2 2解析 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2. 故选D.答案 D5.直线⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.π4或5π6C.π3或2π3D.－π6或－5π6 解析 直线方程为y ＝tan α·x ，圆为：(x －4)2＋y 2＝4，利用图形可知直线的倾斜角为π6或56π.答案 A二、填空题6.在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________. 解析 ∵x ＝2＋22t ，∴22t ＝x －2，代入y ＝1＋22t ，得y ＝x －1，即x －y －1＝0.答案 x －y －1＝07.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________. 解析 直线为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离d ＝12＝22，弦长d ＝2 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14. 答案 148.经过点P (1，0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点为M ，则M 的坐标为________.解析直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝35t (t 是参数)，代入抛物线方程得9t 2－20t －25＝0.∴中点M 的相应参数为t ＝12×209＝109.∴点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23 9.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 化极坐标方程为直角坐标方程，化参数方程为普通方程，联立直线l 和曲线C 的方程，求出交点A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式求解.由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t ，得y 2－x 2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322， 故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5. 答案 2 5三、解答题10.直线过点A (1，3)，且与向量(2，－4)共线.(1)写出该直线的参数方程；(2)求点P (－2，－1)到此直线的距离.解 (1)设直线上任意一点坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝(1，3)＋t (2，－4). ∴直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝3－4t . (2)将参数方程化为普通方程为2x ＋y －5＝0，则|－4－1－5|5＝25， ∴点P (－2，－1)到此直线的距离是2 5.11.经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B ，C 两点. (1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程；(3)当|BC |＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程.解 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入x 2＋y 2＝25，整理，得t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立.∴方程必有相异两实根t 1，t 2，且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554.(1)|BC |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝9（2cos α＋sin α）2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0，即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2.故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0.(3)∵|BC |＝9（2cos α＋sin α）2＋55＝8， ∴(2cos α＋sin α)2＝1，∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0.(4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)，∴点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32cos α（2cos α＋sin α），y ＝－32＋32sin α（2cos α＋sin α）(0≤α<π)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α＋12sin 2α，y ＋34＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α－12cos 2α.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋342＝4516.即点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－34为圆心，以354为半径的圆.。
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
M M （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) 0 y 设e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x 所以 x0 t cos , y y0 t sin 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
程中参数t的几何意义吗？
y M M0
又 e是单位向量， e 1 这就是t的几何 M 0M t e t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M
第2章 2.2 直线和圆的参数方程
第2章 2.2 直线和圆的参数方程2.2 直线和圆的参数方程 2.2.1 直线的参数方程 2.2.2 圆的参数方程1.理解直线的参数方程.(难点)2.掌握圆的参数方程.(重点)[基础·初探]1.直线的参数方程(1)经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M |.(2)设直线过点M 0(x 0，y 0)，且与平面向量a ＝(l ，m )平行(或称直线与a 共线，其中l ，m 都不为0)，直线的参数方程的一般形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋lt y ＝y 0＋mtt ∈R.2.圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ0≤θ≤2π.特别地，若圆心在原点，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos θy ＝R sin θ.[思考·探究]1.若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？ 【提示】 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α ①y －1＝sin α ②(α为参数). ①2＋②2得x 2＋(y －1)2＝1，此即为所求普通方程. 【答案】 x 2＋(y －1)2＝14.若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直.∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k . 依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，∴k ＝－6.【答案】 －6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 类型一 直线的参数方程已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t y ＝2＋12t (t 为参数).(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义.【精彩点拨】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义，求得t .【尝试解答】 (1)由于直线l ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且倾斜角为π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量 e ＝(cos π6，sin π6)＝(32，12).∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方).1.一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数).[再练一题]1.设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6. 【导学号：62790011】(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2(t 为参数).(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋(3＋12t )2－16＝0.即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义，知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613. 类型二 圆的参数方程及应用设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θy ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4【精彩点拨】 求曲线C 的几何特征，化参数方程为普通方程(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，根据圆心到直线l 的距离与半径大小作出判定.【尝试解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010<3，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d <71010，故满足题意的点有2个.【答案】 B1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断.特别要注意变量的取值范围.[再练一题]2.已知直线x ＝y ，与曲线⎩⎨⎧x ＝1＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α.得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r ＝2， 则圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋(－1)2＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 22－(22)2＝14. 类型三 直线参数方程的简单应用已知直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝2＋t(t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？【精彩点拨】 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值.【尝试解答】 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′y ＝2＋15t ′(t ′为参数).代入圆方程x 2＋y 2＝9， 得(1＋25 t ′)2＋(2＋15t ′)2＝9， 整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0 由韦达定理，t ′1＋t ′2＝－85， t ′1·t ′2＝－4.根据参数t ′的几何意义. |t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝1255， 故直线被圆截得的弦长为1255. 在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义.[再练一题]3.若将条件改为“直线l 经过点A (1,2)，倾斜角为π3，圆x 2＋y 2＝9不变”，试求：(1)直线l 的参数方程；(2)直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积.【解】(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2y ＝2＋32t ，(t 为参数).(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2y ＝2＋32t ，代入x 2＋y 2＝9，得t 2＋(1＋23)t －4＝0，∴t 1t 2＝－4.由参数t 的几何意义，得直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积为|t 1t 2|＝4.[真题链接赏析](教材P 41习题2－2T 6)写出过点A (－1,2)，倾斜角为34π的直线的参数方程，并求该直线与圆x 2＋y 2＝8的交点.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【命题立意】 知识：曲线的参数方程与极坐标方程.能力：通过参数方程与极坐标方程的互化，考查转化与化归的数学思想方法.试题难度：中.【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上. 所以a ＝1. 我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
直线的参数方程怎么写
直线的参数方程怎么写直线是几何学中最基础的图形之一，它由无数个点组成，且这些点都在同一条直线上。
直线的方程是用来表示直线上的所有点的数学表达式。
在解析几何中，我们通常使用直线的一般方程、斜截式、点斜式和参数方程来描述和研究直线的性质。
本文将着重介绍直线的参数方程的基本概念和应用。
一、直线的一般定义直线是由无数个点组成的无穷集合，它是经过两个不同点的最短路径。
直线还有一些重要的性质，如无宽度、无曲率和无限延伸等。
二、直线的一般方程直线的一般方程通常表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数常数，且A和B不同时为0。
一般方程是直线的一种常用形式，它可以描述直线上的所有点。
然而，一般方程不够直观，不能直接得到直线的斜率和截距等重要信息。
三、直线的斜截式直线的斜截式是直线的另一种常见表达形式，它是以直线与y轴的交点和直线的斜率来表示的。
斜截式的一般形式是y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
斜截式可以更直观地反映直线的性质，如斜率和截距等。
四、直线的点斜式直线的点斜式是一种更加灵活和简洁的表达方式，它是以直线上的一个已知点和直线的斜率来表示的。
点斜式的一般形式是y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的已知点，m是直线的斜率。
点斜式可以直接得到直线的方程，且适用于非垂直于坐标轴的直线。
五、直线的参数方程直线的参数方程是一种用参数表示直线上的点的表达形式。
参数方程的一般形式是x = x₁ + at，y= y₁ + bt，其中(x₁, y₁)是直线上的一个已知点，a和b是参数，t是参数的取值范围。
参数方程实际上是将直线上的每一个点转化成了一个参数化的形式，可以方便地进行计算和描述。
直线的参数方程可以通过以下步骤来确定：1. 选择任意两个不同的点来确定直线的斜率。
2. 使用斜率和一个已知点来确定直线的点斜式方程。
3. 将点斜式方程转化成参数方程形式。
辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学2.2.1直线的参数方
2.2.1直线的参数方程【教学重点】理解直线参数方程的形式。
直线参数方程的应用。
【教学难点】直线参数方程的应用一.课前预习阅读教材P35—37，理解下列问题：1 将直线的普通方程化为参数方程过点M0(x0, y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)( sin cos 00为参数t t y y t x x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=αα直线的参数方程（标准形式）中参数t 的绝对值几何意义是：当t>0时，M M 0的方向向上 ；当t<0时，M M 0的方向向下；当t=0时，点M 与点0M 重合 ①设直线上的任意两点21P P 和 对应的参数分别为21t t 和，则｜｜21P P ＝12t t -（弦长公式）②位于直线上的三点P ，21P P 和所对应的参数分别为t, 21t t 和,若P 是线段21P P 中点，则有t ＝122t t +2.用向量法推导直线参数方程设直线l过点M0(x0, y0),且与向量e=（l，m）平行，则直线l的参数方程为二.课上学习直线的参数方程为x=5+3t,y=10-4t,（1）求直线的直角坐标方程；（2）化为参数方程的标准形式。
直线l1过点A(2，-4)，倾斜角为150度，求l1的参数方程；设直线l2；x-y+1=0, l2与l1的交点为B,求点B与点A的距离。
直线过点A（1，3），且与向量（2，-4）共线:写出该直线的参数方程；(2 ) 求点P(-2，-1)到此直线的距离。
x yOMMle三.课堂小结四、课后练习o o o o 135.D 45.C 60.B 30.A -)( 9 )( 221.222截得的弦长等于被圆为参数直线=+⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x t t y t x1059.D 529.C 5512.B 512.A)(22,3)( )( 2322.3的点的坐标是的距离等于上与点为参数直线-⎪⎩⎪⎨⎧+=--=P t t y t x)1,0()5,4.(D )2,1()4,3.(C )4,3.(B )5,4.(A 或或-----)( )( sin cos .421对应的参数值是的中点，则线段、的参数值分别为两点，它们对应、所表示的曲线上有为参数在参数方程M BC t t C B t t b y t a x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθ2.D 2.C 2.B 2.A 21212121t t t t t t t t +-+-到该直线的距离是，则点设直线的参数方程)6,3(421.5⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t y t x ？)( )( 60sin 330cos 2.1o o 等于的倾斜角为参数直线αt t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=。
【创新设计】2021-2022学年高一数学人教B版必修4学案：2.2.1 平面向量基本定理
2．2 向量的分解与向量的坐标运算 2．2.1 平面对量基本定理[学习目标] 1.理解平面对量基本定理及其意义.2.了解向量一组基底的含义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.把握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.4.会应用平面对量基本定理解决有关平面对量的综合问题．[学问链接]1．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答 通过观看，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 2．0能不能作为基底？答 由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底． 3．平面对量的基底唯一吗？答 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底． [预习导引]1．平面对量基本定理假如e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. 2．基底把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式． 3．直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上任意一点P ，存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式OP→＝(1－t )OA →＋tOB →叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．4．线段中点的向量表达式在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，若t＝12，则点P 是AB 的中点，且OP →＝12(OA →＋OB →)，这是线段AB 的中点的向量表达式.要点一 用基底表示向量例1 如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →，PM →表示出来． 解 NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．规律方法 (1)用基底表示平面对量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要留意解题途径的优化与组合．(2)将向量c 用a ，b 表示，常接受待定系数法，其基本思路是设c ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，然后得到关于x ，y 的方程组求解． 跟踪演练1如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →，ON →，MN →.解 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →，∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .要点二 平面对量基本定理的应用例2 如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．解 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ，使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面对量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，∴AP ∶PM ＝4∶1.规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．留意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应依据条件机敏应用，娴熟把握．跟踪演练2 如图，已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值． 解 (1)∵A 为BC 的中点，∴OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)∵OE →＝λOA →，∴CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b .∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →， 即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝⎛⎭⎫－2a ＋53b ， 即(λ＋2m －2)a ＋⎝⎛⎭⎫1－53m b ＝0.∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.1．已知O 、A 、B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，且P 为靠近A 点的线段AB 的一个三等分点，则OP →等于( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.14a ＋34b D.34a ＋14b 答案 B解析 ∵AP →＝13AB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b . 2．已知AD 为△ABC 的中线，则AD →等于( ) A.AB →＋AC → B.AB →－AC → C.12AB →－12AC → D.12AB →＋12AC → 答案 D解析 延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接CE ，BE ，则四边形ABEC 是平行四边形，则 AD →＝12AE →＝12(AB →＋AC →)＝12AB →＋12AC →.3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于________． 答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC → ＝14a ＋34b . 4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →.解 连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23×⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内全部向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．精确 理解平面对量基本定理(1)平面对量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面对量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础达标1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面对量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 答案D解析 选项A 、B 、C 中的向量都是共线向量，不能作为平面对量的基底． 2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底；②一个平面内有很多多对不共线向量可作为该平面全部向量的基底；③零向量不行作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 答案 B3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B 4.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析 当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0. 5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.∴p ＝－74m ＋138n .6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________. 答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .7.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN →与CM →相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎨⎧1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b .二、力量提升8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD →答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →等于( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 答案 B 解析如图，∠1＝∠2， ∴|CB ||CA |＝|BD ||DA |＝12， ∴BD →＝13BA →＝13(CA →－CB →)＝13(b －a )， ∴CD →＝CB →＋BD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，假如E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，假如O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b . 12．已知向量a ＝－e 1＋3e 2＋2e 3，b ＝4e 1－6e 2＋2e 3，c ＝－3e 1＋12e 2＋11e 3，问a 能否表示成a ＝λb ＋μc 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由． 解 由a ＝λb ＋μc 得－e 1＋3e 2＋2e 3＝(4λ－3μ)e 1＋(－6λ＋12μ)e 2＋(2λ＋11μ)e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ－3μ＝－1， ①－6λ＋12μ＝3， ②2λ＋11μ＝2. ③由①②联立解得⎩⎨⎧λ＝－110μ＝15，代入③也成立．∴a 能表示成a ＝λb ＋μc 的形式，即a ＝－110b ＋15c .三、探究与创新13．如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值． 解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ). 解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
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泰来县第三中学 张胜男
[学习目标] 1、掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义 (重点)． 2、能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题(重 点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α， ___y_＝_y_0_＋__ts_in__α___ (t 为参数)．
5 .
故直线被圆截得的弦长为125
5 .
(2018 年全国二 22) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程
为
x y
2 c os 4 s in
,
(为参数），直线
l
的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
,
(t为参数）
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率。
(1)求弦BC的长； (2)当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程； (3)当|BC|＝8时，求直线BC的方程； (4)当α变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程.
1．经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方 程一般写为xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα，(t 是参数)．
其中参数 t 具有明确的意义，在解题中注意应用． 2．直线的参数方程的形式有多种，其中参数 t 不都 具有明确的几何意义．
3
3
＝35，sin α＝45，
x＝2＋35t， ∴直线 l 的参数方程的标准形式为 y＝4t
5
(t 为参数)．(*)
∵直线 l 和抛物线相交，
∴将直线 l 的参数方程(*)代入抛物线方程 y2＝2x 中，
整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50>0.
设这个一元二次方程的两个根为 t1，t2，
x＝2＋4t， (1)y＝－1＋3t； (t 为参数)
x＝12＋ 22t，
(2)
y＝
23＋
2 2 t.
(t 为参数)
解析：(1)xy＝＝－2＋1＋4t，3t 不是直线参数方程的标准形式，参数方程即xy＝＝－2＋1＋45535t5，t. 令 t′＝5t， 得到标准形式的参数方程为xy＝＝－2＋1＋45t′35t′， (t′为参数)．
由根与系数的关系得 t1＋t2＝185，t1t2＝－245.
由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得
| | |PM|＝
t1＋t2 2
＝1156.
(2)|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝58 73.
深度探究
1．下列参数方程中，哪些是直线的参数方程的标准形式？若是，求出直线经过的定点 坐标和倾斜角，若不是，转化为标准形式.
例题、如图所示，已知直线 l 过点 P(2，0)，斜率为4的直线 l 3
和抛物线 y2＝2x 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M， 求： (1)P，M 间的距离|PM|； (2)线段 AB 的长|AB|.
[解析] ∵直线 l 过点 P(2,0)，斜率为4，设直线 l 的倾斜角为α，则 tan α＝4，cos α
a2＋b2·t)．
已知直线的参数方程为
x＝1＋2t， y＝2＋t
(t 为参数)，
则该直线被圆 x2＋y2＝9 截得的弦长是多少？
【自主解答】
将参数方程
x＝1＋2t， y＝2＋t
(t为参数)转化为直线参数方程的
标准形式为
x＝1＋
2 5
t′，
y＝2＋
1 5
t′
(t′为参数)，
代入圆方程x2＋y2＝9，
得1＋
2 5
t′2＋2＋
1 5
t′2＝9，
整理，有 5t′2＋8t′－4 5＝0.
由 82 4 5 (4 5) 0 可知，设方程的两个根为 t1, t2
由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－ 85，
t′1·t′2＝－4.
根据参数 t′的几何意义．
|t′1－t2′|＝
t′1＋t′22－4t′1t′2＝125
x＝1＋ 2t， 22
(2) y＝
3＋
2t
22
是直线参数方程的标准形式，
其中，起点坐标为
1， 2
3 2
，cos
α＝
22，sin
α＝
2， 2
倾斜角α＝π4.
归纳升华
把直线的参数方程
x＝x0＋at， y＝y0＋bt (t
为参数，a，b
为常
数且 a2 b2 1)化为标准形式：
x＝x0＋ a2a＋b2t′， y＝y0＋ a2b＋b2t′ ( 其 中 t′ 是 参 数 ， 且 t′ ＝
2．参数 t 的几何意义
t 表示直线 l 上以定点 M0 为起点，任意一点 M(x，y)为终点 的有向线段M→0M的长度，即|t|＝|M→0M|. ①当 t＞0 时，M→0M的方向向上；②当 t＜0 时，M→0M的方向 向下；③当 t＝0 时，点 M 与点 M0 重合.
x＝1－12t， 例 1．以 t 为参数的方程 y＝－2＋ 23t 表示( ) A．过点(1，－2)且倾斜角为π的直线
3 B．过点(－1,2)且倾斜角为π的直线
3 C．过点(1，－2)且倾斜角为23π的直线 D．过点(－1,2)且倾斜角为23π的直线
归纳升华
在直线参数方程的标准形式下，根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何 意义，有如下常用结论：
(1)直线上两点之间的距离可用 M1M2 |t1－t2|． (2)设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝t1＋2 t2(由此可求|M1M2| 及中点坐标) (3)定点 M0 是弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0；
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点（1，2）在 C 内，所以①有两个解，设
为 t1, t2 ，则 t1 t2 0 。又由①得：
t1
t2
4(2 cos sin ) 1 3cos2
，故
2cos
sin
0
，
于是直线 l 的斜率 k tan 2
经过点 A－3，－32，倾斜角为 α 的直线 l 与圆 x2＋y2＝25 相 交于 B、C 两点.
【解析】
（1）曲线 C 的直角坐标方程为
xห้องสมุดไป่ตู้ 4
y2 16
1。
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 y tan x 2 tan ，
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x 1
（2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得
(1 3cos2 )t 2 4(2 cos sin )t 8 0 ①