第3章 地震作用计算-1

（3）若 1 ，r1 r2
x ( t ) ( c 1 c 2 t ) e t
临界阻尼状态——体系不振动
（4）若
1 ，r1 、r 2 为负实数
x ( t ) c 1 e r1 t c 2 e r 2 t
过阻尼状态——体系不振动 当 1时 临界阻尼系数：
单自由度体系无阻尼自由振动：
cx kx 0 mx
k m
2
kx 0 mx
k m
2 x x 0
x (t ) c1 cos t c2 sin t
, 初始速度
0 x ( 0) x
初始位移 则
x 0 x ( 0)
c1 x 0
r 2 2 r 2 0
自由振动：在没有外界激励的 情况下结构体系的运动
方程的解：
特征根
特征方程
r2 2 1
r1
2
1
（1）若
0
x (t ) c1 cos t c2 sin t
为共轭复数
无阻尼——简谐振动
（2）若
g ( )e (t ) sin (t )d |max Sa | x
0 t
称为加速度反应谱
地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比 相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应 与相应体系自振周期间的关系曲线
g dte t x
根据自由振动位移方程，可得
x(t )
D
sin D t
图 体系自由振动
3.方程的特解III —— 一般强迫振动
地震地面运动一般为不规则 往复运动 求解方法：
地面运动加速度时程曲线
将地面运动分解为很多个脉冲运动
t
时刻的地面运动脉冲
g ( ) d x
P g dt V dt x m
dt时刻的位移：
1P d (dt ) 2 0 2m
地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，将做自由振动。
自由振动初速度为
g dt V x
t
x (t ) e
0 x 0 x [ x 0 cos D t sin D t ] D
Sa(T)
ξ=ξ
0
T1
T2
T3
T4
T5
T
T1
2.方程的特解II——冲击强迫振动 地面冲击运动：
g x g ( ) x 0
对质点冲击力：
0 dt dt
g x m P 0
0 dt dt
图 地面冲击运动
质点加速度（0～dt）：
P g a x m
dt时刻的速度：
3.3 单自由度体系的地震反应
-----------------------单自由度体系的振动
f c cv cx
f r kx
f I ma mx
fI fc fr 0
cx kx 0 mx
——由结构内摩擦及结构周围介质（如空气水等）对结构运 动的阻碍造成
x(t )
g dte t x
D
sin D t
0 t g ( )d x dx(t) e(t ) sinD (t ) t D
地面运动脉冲引起的反应
叠加：体系在t时刻的地震反应为：
1 t x(t) dx(t) xg ( )e(t ) sin D (t )d 0 D 0
自由振动的振幅将不 断衰减，直至消失。
例题3-1 已知一水塔结构，可简化为单自由 度体系（见图）。
h
h
m 10000kg
k 1kN/cm
求该结构的自振周期。 解：直接由式
2 m T 2 k
并采用国际单位可得:
m 10000 T 2 2 1.99 s 3 2 k 1 10 / 10
0 x c2 0
(0) x x (t ) x (0) cos t sin t
x (t ) A sin(t )
A:振幅 ：初始相位角 ：
2 x 2 A x0 02
x (t ) A sin(t )
x0 tan 0 / x
0 1 ，r1 r 2
D 1 2
x (t ) e t ( c1 cos D t c 2 sin D t )
其中
欠阻尼状态——衰减振动
x(t)
1
1
0
0 1
t
图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动
阻尼比是结构的重要参数，变化范围在0.01-0.10之间，通 常取0.05。可通过对结构进行振动试验确定。
地震作用的计算方法
确定性方法
非确定性方法——随机振动分析
静态分析（最不利状态分析）
动力分析法（全过程时程分析）
静力法
反应谱理论
弹性全过程分析 弹塑性全过程分析
底部剪力法
振型分解反应谱法
三、结构动力计算简图及体系自由度 描述结构质量的两种方法 1. 连续化描述（分布质量） 2. 集中化描述（集中质量） 工程上常用
t
单自由度体系的地震反应：
杜哈美积分(Duhamel
Integral)
体系地震反应(通解)=自由振动(齐次解)+强迫振动(特解)
初位移、初速度引起 迅速衰减，可不考虑 地面运动 引起
单自由度体系的水平地震作用-反应谱法
一、水平地震作用的定义
质点所受惯性力
g (t ) (t )] F (t ) m[ x x
x(t ) c1 cos t c2 sin t
e cos t i sin t
（2）若 0 1 ，r1 r 2 为共轭复数
e
it
cos t i sin t
其中 D 1 2
欠阻尼状态——衰减振动
x (t ) e t (c1 cos D t c 2 sin D t )
gh
gh max
h
gh
gh |max | x
地面运动水平加速度的最大绝对值
图 静力法示意图
静力法明显的优点是简单，其缺点是完全没有反映地基和结构 的动力特征。静力法只对刚度较大，且较低矮的结构才是合适的 。一般认为对于自振周期小于0.5秒的结构按静力法计算地震作 用时，误差不会很大。 日本从20世纪20年代起始用静力法以来，为了表示场地、结 构动力特性等众多因素的影响，对静力法作过多次修正，乘以多 个系数，称之为震度法，并沿用至今。 我国鉴于当前路基和挡土墙、坝体等土木工程结构的动力观 测资料和自振特性的试验研究尚少，故对它们的抗震验算，仍采 用静力法计算地震作用。
max
求得地震作用后，即可按静力分析方法计算结构的最大位移反应 。
二、地震反应谱
F max k x max m 2 x max
t 0
k m
2
m | x g ( )e ( t ) sin (t )d |max =mSa
质点加速度最大绝对值
3.1 概 述 一、地震作用 作用：能引起结构内力、变形等反应的各种因素
直接作用 ——各种荷载：如重力、风载、土压力等
作用分类
间接作用 ——各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等
由于地面运动引起的对结构的动力作用称为地震作用。
与一般荷载不同，地震作用不仅与外来干扰作用的大小及其随
时间的变化规律有关，而且还与结构的动力特性，如结构的自振 频率、阻尼等有密切关系。 确定地震作用要比确定一般荷载复杂的多。
单自由度体系运动方程
Baidu Nhomakorabea
cx kx m g m x x
kx ) m( xg x ) (cx
m( x g x)
max
kx max cx
位移最大 地震作用
0 x
g ) F = m( x x
max
k x
桥梁结构抗震
Seismic Design for Bridge Structures 土木工程学院
2010.8
1
第三章 地震作用计算
Seismic Action Calculation
3. 1 概述 3.2 静力法 3.3 单自由度体系的地震反应 3.4 单自由度体系的水平地震作用-反应谱法 3.5 多自由度体系的地震反应 3.6 多自由度体系的水平地震作用-振型分解反应谱法 3.7 竖向地震作用计算 3.8 地震反应时程分析法的概念 3.9 结构自振频率的近似计算
采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）： 定出结构质量集中 位置（质心） 将区域主要质量集中在质心； 将次要质量合并到相邻主要质量的质 点上去；
集中化描述举例 a、水塔建筑 b、厂房
h
h
c、受集中质量的梁 m
主要质量：水箱部分 次要质量：塔柱部分 水箱全部质量 部分塔柱质量 集中到水箱质心
m>>m梁 m +αm梁
单自由度体系无阻尼自由振动：
cx kx 0 mx
令
x 0 x 2 x
2
假定：
k m
c 2 m
x De
rt
特征方程： r
2
2 r 2 0
特征根
r2 2 1
r1
二、结构地震反应
结构地震反应：由地震作用引起的结构内力、变形、位移及结构 运动速度与加速度等。 结构地震反应影响因素 地面运动 结构动力特性：自振周期，振型和阻尼 目前工程上，求解结构地震反应的方法分为两类： 等效荷载法：地震作用下结构的最大动荷载用等效的静荷载来表 示，然后对结构进行静力分析，校核结构的抗震能力。 直接动力分析法：对动力方程直接积分，求出随时间变化的结构 地震反应，又称“时程分析法”。
f r kx
fI fc fr 0
c k m 2 m
cx kx m g m x x
2 x 2 x g x x
二、运动方程的解 1.方程的齐次解——自由振动
2 x 2x 0 x 齐次方程：
初始条件: 初始位移 则
c1 x 0
x 0 x ( 0)
x 0 x 0 c2 D
t
, 初始速度
0 x ( 0) x
体系有阻尼 自由振动 的位移时程
x (t ) e
0 x 0 x [ x 0 cos D t sin D t ] D
单质点体系
d、多、高层建筑
e、烟囱
主要质量：楼盖部分
结构无主要质量部分
结构分成若干区域 集中到各区域质心
多质点体系
3.2 静力法 静力法始于意大利，发展于日本。结构抗 震定量计算由此开始。日本学者大森房吉是第 一个试图对结构在地震作用下提出完整计算理 论的人，结构抗震静力法的创始人。静力理论 大森房吉(Omori Fusakichi) 是假定结构为绝对的刚体，当受到地震作用时， 1868-1923 处于水平振动状态，因此在任何瞬间结构上各 x 点的加速度都相等，惯性力在结构上的分布与 质量分布成正比，结构所受到得地震力等于结 构自重乘以一个地震系数。 gh |max | x | | x 水平地震系数 k F W khW g x g
c r 2m
c cr
临界阻尼比（简称阻尼比）：
单自由度体系的地震反应 一、运动方程 作用在质点上的三种力：
惯性力 f I 、阻尼力 f c 、弹性恢复力 f r
＊惯性力 ＊阻尼力
g ) f I m( x x
f c cx
＊弹性恢复力 ——由结构弹性变形产生
2
1
特征方程： r
2
2 r 2 0
r2 2 1
特征根
r1 2 1
（1）若 0
x(t ) c1 cos t c2 sin t
无阻尼——简谐振动
x De rt
it
x D1e i t D2 e i t