离散数学第一二章练习题

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离散数学第1,2章习题答案

第一章习题1．下列哪些语句是命题？(1) 黄山是在安徽省。

(2) 你会做这道题目吗？(3) 月球比地球大。

(4) 请关上窗户！(5) 如果1+2=5，我就去游泳。

(6) 只有6是偶数，3才能被2整除。

解：(1)，(3) ，(5) ，(6) 是命题，(2)，(4)分别是疑问句和命令句，它们不是命题。

2．给出下面命题的否定命题。

(1) 上海是一座城市。

解：该句的否定命题为：上海不是一座城市。

(2) 1+2=5并且2×3=6。

解：该句的否定命题为：1+2≠5或2×3≠6。

(3) 2是素数或3是偶数。

解：该句的否定命题为：2不是素数并且3不是偶数。

3．将下列命题符号化。

(1) 灯泡有故障或开关有故障。

解：P表示：灯泡有故障，Q表示：开关有故障，命题符号化为：P∨Q(2) 今天下大雨和3+3=6。

解：P表示：今天下大雨，Q表示：3+3=6，命题符号化为：P∧Q(3) 虽然天气炎热，老师坚持给我们上课。

解：P表示：天气炎热，Q表示：老师坚持给我们上课，命题符号化为：P∧Q(4) 他一边走路，一边看书。

解：P表示：他走路，Q表示：他看书，命题符号化为：P∧Q(5) 如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。

解：P表示：天下大雨，Q表示：他乘公共汽车上班，命题符号化为：P→Q(6) 只有天下大雨，他才乘公共汽车上班。

解：P表示：天下大雨，Q表示：他乘公共汽车上班，命题符号化为：Q→P(7) 2＋2＝4当且仅当雪是白色的。

解：P表示：2＋2＝4，Q表示：雪是白色的，命题符号化为：P↔Q4．判断下列各蕴涵式是真是假。

(1) 若一周有八天，则3+2=5。

解：P表示：一周有八天，Q表示：3+2=5，命题符号化为：P→Q由于P为假，Q为真，P→Q为真，故该命题为真命题。

(2) 若一周有七天，则3+2≠5。

解：P表示：一周有七天，Q表示：3+2≠5，命题符号化为：P→Q由于P为真，Q为假，P→Q为假，故该命题为假命题。

离散数学习题

第1章命题逻辑一、单项选择题1. 下列命题公式等值的是( )BBAAQPQQPQB AABAAQPQP),()D(),()C() (),()B(,)A(∧∨⌝∨∨⌝∨→→→⌝→→∨⌝∧⌝2. 设命题公式G：)(RQP∧→⌝,则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是( )0,0,1)D(0,1,0)C(1,0,0)B(0,0,0)A(3. 命题公式QQP→∨)(为( )(A) 矛盾式(B) 仅可满足式(C) 重言式(D) 合取范式4 命题公式)(QP→⌝的主析取范式是( )．(A) QP⌝∧(B) QP∧⌝(C) QP∨⌝(D) QP⌝∨5. 前提条件PQP,⌝→的有效结论是( )．(A) P(B) ⌝P(C) Q(D)⌝Q6. 设P：我将去市里，Q：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )QPQPQPPQ⌝∨⌝↔→→)D()C()B()A(二、填空题1. 设命题公式G：P→⌝(Q→P)，则使公式G为假的真值指派是2. 设P：我们划船，G：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为3. 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是4. 若命题变元P，Q，R赋值为(1,0,1)，则命题公式G＝)())((QPRQP∨⌝↔→∧的真值是5. 命题公式P→⌝(P∧Q)的类型是．6. 设A，B为任意命题公式，C为重言式，若C⇔∧，那么A∧CBA↔是式(重言式、矛盾式或可满B足式)三、解答化简计算题1.判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！(4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2.作命题公式)P∨∧→→的真值表，并判断该公式的类Q)((P)(PQ型．3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P∨⌝Q)→(P∧Q)的成真赋值．(2) 设命题变元P,Q,R的真值指派为(0,1,1),求命题公式∨P→R→⌝↔的真值．∧P⌝(()Q)((QR))4. 化简下式命题公式)⌝∧P∧∨Q⌝∧(P))Q((P5. 求命题公式))⌝∧→的主合取范式.Q→P∧P)(P((Q6. 求命题公式R→∧⌝⌝)((的真值．→(∧))QP∨PRQ∨↔RP7. 求命题公式)→∧→⌝的主析取范式，并求该命题公P⌝(Q)(PQ式的成假赋值．8. 将命题公式)⌝∧⌝化为只含∨和⌝的尽可能简单的⌝∧RQP→(P等值式．9. 求命题公式)∨⌝∧的真值表.P⌝∧)((QPQ四、证明题1. 证明S∧∧→)∨⌝)⌝(()(RQRS∧QP⌝P⌝∨⇒2. 构造推理证明：QR→→())((⇒S→)RPSQ→P∧∧3. 证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等值．4. 证明命题公式)R→与QP→∧)(有相同的主析取范∨)((QRP→Q式．命题逻辑习题参考答案一、1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. B二、1. 1,0；1,1 2. )(Q P ∧⌝或Q P ⌝∨⌝ 3. (P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )4. 05. 非永真式的可满足式6. 重言三、1. (1) 是命题，真值为1. (2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题. (5)是命题.1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2. 命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表 P Q P →Q Q P ∧ P Q P ∨∧)())(()(P Q P Q P ∨∧→→ 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 1 1原式为可满足式.3. (1) (P ∨⌝Q )→(P ∧Q )⇔(⌝P ∧Q )∨(P ∧Q )⇔(⌝P ∨P )∧Q ⇔Q可见(P ∨⌝Q )→(P ∧Q )的成真赋值为(0,1)，(1,1)．(2) ))()(()(Q R Q P R P →⌝∨⌝→⌝∧↔0))10()01(()10(⇔→∨→∧↔⇔4. ))()((P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧⇔)()()()(P P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧∧⇔0)(∨∧⇔Q PQ P ∧⇔5. ))()((Q P P Q P ∧⌝∧→→))()((Q P P Q P ∧⌝∧∨⌝∨⌝⇔)())(Q P P Q P Q P ∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝⇔)00(∧∨⌝⇔P)(Q Q P ⌝∧∨⌝⇔)()(Q P Q P ⌝∨⌝∧∨⌝⇔6. R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()(R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)(1⇔7. Q P Q P Q P Q P Q P ⌝∧⇔⌝∨⌝∧⌝∧⇔⌝→∧→⌝)()()()(因为成真赋值是（1，0），故成假赋值为（0，0），（0，1），（1，1）8. ))()()(R P Q P P R Q P ∨∧∨⌝⇔→⌝∧⌝∧⌝))()((R P Q P ∨⌝∨∨⌝⇔不唯一．9. 作真值表P Q P∧Q⌝P⌝Q⌝P∨⌝Q (P∧Q)∧(⌝P∨⌝Q)0 0 0 1 1 1 00 1 0 1 0 1 01 0 0 0 1 1 01 1 1 0 0 0 0四、证明题1.①⌝Q∨R P②⌝R P③⌝Q①，②析取三段论④P→Q P⑤P⌝③，④拒取式⑥P∨⌝S P⑦⌝S⑤，⑥析取三段论2.前提：QPRSQP,)),((→→→结论：SR→证明：①R附加前提②R→P前提引入③P①，②假言推理④P→(Q→S) 前提引入⑤Q→S③,④假言推理⑥Q前提引入⑦S⑤,⑥假言推理3. (P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∧⌝P∧Q)∨(Q∧⌝P∧Q)∨(⌝R∧⌝P∧Q)⇔(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q∧⌝R)⇔⌝P∧Q⇔⌝(P∨⌝Q)4.方法1．)()(QRQP→∨→⇔)()(QRQP∨⌝∨∨⌝⇔∨∧⌝⇔QRP)(QRP→∧)(因为两命题公式等值，由主合取范式的惟一性，可知两命题公式的主合取范式是相同．方法2．)()(QRQP→∨→⇔)()(QRQP∨⌝∨∨⌝RQPQRP⌝∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔RQPQRPQRP⌝∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔→∧)(因为它们的主合取范式相同，可知它们的主析取范式也相同．第2章谓词逻辑习题一、单项选择题1. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q2. 谓词公式∃xA (x )∧⌝∃xA (x )的类型是（）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A ),(B ),(C )任何类型3 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+∃∀y x y x(B) )0(=+∀∃y x x y (C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x 4 设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( )(A) ),()(y x A x xL →∀ (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀(C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 5. 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∃y ((x <y )→(x -y <0))，下面4个命题中为真的是( )(A) P 是真命题 (B) P 是谓词逻辑公式，但不是命题(C) P 是假命题 (D) P 不是谓词逻辑公式6. 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )(A) P (x ,y ) (B)R (x ,y ) (C)P (x ,y )∧R (x ,y ) (D) P (x ,y )∨Q (z )二、填空题1. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为.2. 设个体域D＝{a,b},公式))Gx→∀消去量词化为yHx∃(y,()(x3. 设N(x)：x是自然数，Z(y)；y是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为4. 谓词公式∀x(F(x)→G(x))∧⌝∀y(F(y)→G(y))的类型是．5. 设个体域{1,2},谓词P(1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q(2)=1，则∀x(P(x)∨Q(x))的真值是三、解答化简计算题1. 判别谓词公式),(x∃yF∀→∃的类型.∀x,)yx(yyxF2. 指出谓词公式)(xQyPx∀中∀x和∃x的辖xR→∧∃x∧(,))x))(S)((x(域，并指出该公式的约束变元和自由变元以及约束出现次数和自由出现次数．3. 求谓词公式))PQx∧→x∀的真值．(R(())f(a其中P：4>3，Q（x）：x>1，R（x）：x≤2．f（-3）=1，f（1）=5，f（5）= -3．a：5．个体域D=（-3，1，5）．4.说明公式))xP∀xyG→(∀是逻辑有效式(永真式)．→x∃()y(,)(xxP5. 通过等值演算说明下列等值式成立：PxxxPQ∃→⇔∀→x∃)()()))(xQ(x(x6. 求谓词公式),,(xyyGxxF∃∧∀的前束范式.→∀yzH)(,,(xy(z))四、证明题1. 试利用代换实例证明谓词公式xyzGxF∀∃∀→∀x→,)())((xF(x)z是逻辑有效式(永真式)．2. 构造推理证明))xxQxxP∀∃．→∀⇒xP→(()()(Q(x)x（提示：))xA∨xxBx∀x∨∀⇒∀.))(()(()xB(xA谓词逻辑习题参考答案一、1. C ；2.. B ；3 A ；4. B ；5. A 6. D二、1. A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) 2. (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))3.))()(())()((x N x Z x x Z x N x ⌝∧∃∧→∀ 4. 永假式 5. 1三、1.设I 为任意一个解释，D 为I 的个体域. 若在解释I 下，该公式的前件为0，无论),(y x xF y ∃∀如何取值，),(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃为1；若在解释I 下，该公式的前件为1，则,0D x ∈∃使得),(y x yF ∀为1，它蕴含着),(,0y x F D y '∈'∀为1),(y x xF '∃⇒为1，由y '的任意性，必有),(y x xF y ∃∀为1，于是),(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃为1. 所以，),(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃是永真式．2. ∀x 的辖域为：P (x )→Q (x ,y )∧∃xR (x )∃x 的辖域为：R (x )x 既是约束变元，也是自由变元，约束出现3次，自由出现1次．y是自由变元，自由出现1次． 3. ))(())((a f R x Q P x ∧→∀=))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=4. 已知1)()(⇔∨⌝∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔→→P Q P P Q P P Q P因为))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是)(P Q P →→的代换实例，可知))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式．或))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∨⌝∃∨⌝∀⇔x P y x yG x xP5. ⇔→∃))()((x Q x P x )()((x Q x P x ∨⌝∃))()(x xQ x P x ∃∨⌝∃⇔)()(x xQ x xP ∃∨⌝∀⇔)()(x xQ x xP ∃→∀⇔6. ),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀→∀),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀∨⌝∀⇔),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ∃∧∀∨⌝∃⇔)),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ∃∧∀∨⌝∃⇔)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧∨⌝∃∀∃⇔(或)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧→∃∀∃⇔)四、1.谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ∀→∃∀→∀ 是命题公式)(P Q P →→的代换实例．因为命题公式⇔∨⌝∨⌝⇔→→P Q P P Q P )(1是永真式，故))(),(()(x xF z x zG y x xF ∀→∃∀→∀是逻辑有效式．2.前提：)()(x xQ x xP ∀→∃．结论：)()(x xQ x xP ∀→∃．证 ① )()(x xQ x xP ∀→∃ 前提引入② )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T ①,蕴含等值式③ )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T ②,量词否定④ ))()((x Q x P x ∨⌝∀⑤ ))()((x Q x P x →∀ T ④,蕴含等值式第3章集合及其运算一、单项选择题1. 设a 是集合A 的元素，则以下正确的是( )A a A a A a a a ∈⊆⊆⊆}){D ()C (}){B (}){A (2. 设集合A ={1,2,3,4},B ＝{2,4,6,9}，那么集合A ，B 的对称差A ⊕B＝( )(A) {1,3} (B) {2,4,6} (C) {1,3,6,9} (D) {1,2,3,4,6,9}3. 设集合A ＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是( )(A) 1∈A (B) {{4,5}}⊂A(C) {1,2,3}⊆A (D) ∅∈A4. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有( ) (A) A ＝B (B) A ≠B (C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B(D) 当C =U 时, 有A ≠B5. 设集合A ＝{∅，a }，则P (A )＝ ( )}},{},{},{,){D (}}}},{,{},{},{,){C (}},{},{},){{B (}},{},{,){A (a a A a a a a a a ∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅6. 设A ={1，2，3}，B ={2，3，4，5}，C ={2，3}，则（A ∪B ）⊕C 为（）(A) {1，2} (B) {2，3} (C) {1，4，5} (D) {1，2，3}二、填空题1.设A , B 代表集合，命题A -B =∅⇔A=B 的真值为．2. 设A , B 为任意集合，命题A -B =∅⇔A⊆B 的真值为．3. 设集合A ={∅,{a }}，则A 的幂集P (A )=4. 设集合A ={{a ,b },c }, B ={c ,d }, 那么A －B ＝5. 设集合A ＝{1,2,3,4}，B ={a ，b ，c }，则∣A ×B ∣＝三、解答化简计算题1. 试作以下二题：(1) 设有序对＜2x +y ,6＞=＜5,x +y ＞,求x ,y ；(2)设集合A ＝{1,2},求A ×P (A ).2. 设集合A ＝{a ,b ,c },B ={b ,d ,e }，求B ⋂A ，A ⋃B ，A －B ，B ⊕A ．3. 化简集合表达式：((A ⋃B ⋃C )⋂(A ⋃B ))－((B ⋃(B －C ))－A )4. 判断下列哪些运算结果是对的？哪些是错的？请将错误的运算结果更正过来．(1) ∅=∅⋂∅}{ (2) ∅=∅⋃∅}{(3) }{}}{,{}{∅=∅∅⋂∅ (4) }}{,{}{}}{,{∅∅=∅-∅∅（5）A B B A =⋃-)( （6）A B B A =-⋃)(（7）A A A =⊕ （8）∅=-⋂A B A )(5.易,0.5,8,掌握,2-2 设全集E ＝(a ,b ,c ,d ,e ,f ), A ={a ,d }，B ={a ,b ,e }，C ={b ,d }，求下列集合：(1) C B A ~)(⋃⋂； (2))()(A P A A ⋃⊕.6. 设},{},,,{},,{},,,,,{42=521=41=54321=C B A E求 (A ⋂B )⋃~C ，P (A )－P (B )，A ⊕B ．四、证明题1. 设A ，B ，C 为三个集合，证明若C ⊆A ．则(A ⋂B )⋃C ⊆A ⋂(B ⋃C )2. 试证明对任意集合A ，B ，C ，如果B A ⊆且D C ⊆，则C BD A -⊆- 3. 设A ，B ，C 为任意集合，证明：)()()(C B C A C B A ---=--集合练习题参考答案一、1. B 2. C 3. B 4. C 5. D 6. C 二、1. 0 2. 1 3. }}}{,{}},{{},{,{a a ∅∅∅ 4. {{a ,b }} 5.12三、解答化简题1. (1) 由有序对定义，解方程⎩⎨⎧=+=+652y x y x 解得x=－1，y=7．(4分)（2）P （A ）={∅,{1},{2}{1,2}}A ⨯P (A )={<1,∅>,<2,∅>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}>,<1,{1,2}>,<2,{1,2}>}2. B ⋂A ＝{b } A ⋃B ={a ,b ,c ,d ,e } A －B ={a ,c } B ⊕A ={a ,b ,c ,d ,e }－{b }={a ,c ,d ,e }3. ((A ⋃B ⋃C )⋂(A ⋃B ))－((B ⋃(B －C ))－A )＝(A ⋃B )－(B －A ) =(A ⋃B )⋂(～B ⋃A ) =A ⋃(B ⋂～B )=A ⋃∅=A4. (1) 对． (2) 错．应为}{∅． (3) 对． (4) 错．应为{}{∅}（5）错．应为B A ⋃ （6）错．应为B A -(或B A ~⋂或A －AB )（7）错．应为∅，即∅=⋂-⋃=⊕A A A A A A （8）对． 5. (1) },,,{},,,{}{~)(f e c a f e c a a C B A =⋃=⋃⋂ (2)∅=⋂-⋃=⊕)()()(A A A A A A . }},{},{},{,{)(d a d a A P ∅=.故)()(A P A A ⋃⊕＝}},{},{},{,{d a d a ∅ 6. (A ⋂B )⋃~C ={1}⋃}5,3,1{}5,3,1{=}},{},{{}},{},{},{,{}},{},{},{,{)()(411=4242-4141=-φφC P A PA⊕B =(A⋃B)－（A⋂B）=}5,4,2{}5,4,2,1{=-}1{四、证明题1. 已知xC∀⊆,A∈⋂∨⇔⋃(∈)x∈⋂CAxABxBC∈∧(⇔)∈∨Cx∈BxAx∨∈x∈∧⇔A∈∨∈x(C)(x)BCx∈∈x⋃∨⋂∧A⇒∈∈⇔B(C(xA)BxC)即)⋂A⋃⊆⋂B⋃(CC)(AB2. 由于C⇔~⊆⊆，DC~D又有BA⊆，所以⊆⋂~⋂DCA~B即C-．⊆A-DB3. )A⋂CC⋂B---A=⋂~)~(~C(B(C))(⋂A⋃C=⋂~B(~))(CA⋂CB⋂⋂A⋂⋃=(~))~(C~C＝C)~~(⋂⋂⋂=⋂= C)(BBAC~A~(-)BA-第3章二元关系练习题一、单项选择题1. 设集合A ＝{0,b },B ={1,b ,3},则A ⋃B 上的恒等关系是 ( ).(A) {<0,0>,<1,1>,<3,3>} (B){<0,0>,<1,1>,,<3,3>}(C) {<1,1>,,<3,3>} (D) {<0,1>,<1,b >,<3,0>} 2. 已知集合A ＝{a ,b ,c }上的二元关系R 的关系矩阵M R ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001011010，那么R ＝( )，(A) {<a ,b >,,,<a ,c >} (B) {<a ,b >,,,<c ,b >} (C) {<a ,b >,<a ,a >,,<c ,a >} (D) {<a ,b >,,,<c ,a >} 3. 设集合A ={1,2,3,4}, A 上的二元关系R 的关系矩阵为M R ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000001011001则关系R 的表达式是( )(A) {<1,1>,<1,4>,<2,1>,<2,3>} (B) {<1,1>,<1,2>,<1,4>,<2,3>} (C) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,4>} (D) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<4,1>}4. 设A ={a ，b ，c }，R ={<a ，a >，}，则R 具有性质（） (A) 自反的 (B) 反自反的 (C) 反对称的 (D) 等价的5. 设R 是集合A 上的二元关系，I A 是A 上的恒等关系，如果R ⊂I A ，则下面四个命题中为真的是（）(A) R 不是自反的 (B) R 不是传递的 (C) R 不是对称的 (D) R不是反对称的二、填空题1. 设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )=2. 如果关系R 是传递的，则R ∙R ⊆ ．3. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,那么R －1＝4. 设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为 M R＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101，那么R 的关系图为．5. 设A ={1,2,3,4}，A 上的二元关系}3,{Z ∈-><=y x y x R ,其中Z 是整数集合．试用列举法那么R＝．三、解答化简计算题1. 设集合A ＝{a ,b ,c ,d }，在A 上定义二元关系R ＝{<a ,a >,<a ,d >,,,<c ,b >,<c ,c >,<d ,a >,<d ,d >} R 是否为等价关系，说明理由.2. 设R 是实数集，R 上的二元关系S 为 S ＝{<x ,y >∣x ,y ∈R ∧x =y }试问二元关系S 具有哪些性质？简单说明理由．3. 设A ＝{1,2},B ={a ,b },试问从A 到B 的二元关系有多少个?4. 设集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6}上的偏序关系R 如下： R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<0,5>,<0,6>,<4,6>,<2,5>,<3,5>}⋃I A 做偏序集<A ,R >的哈斯图，并求B ={0,2,3}的极大元、极小元、最大元和最小元．5. 设集合A ={0,1,2,3,4}，定义A 上的二元关系R 为： R ＝{<x ,y >⎪x ,y ∈A ∧(x =y ∨x +y ∈A )}试写出二元关系R 的集合表达式，并指出R 具有的性质．6. 已知集合A 上的二元关系R 的关系图如图4－1，试写出R 的集合表达式和R 的关系矩阵．并指出R 所有的性质．7. 设集合A ＝{1,2,3,4}, B ＝{2,4,6} 从A 到B 的二元关系R 定义为R ＝},{N k k xy B y A x y x ∈∧=∧∈∧∈><试求R 的集合表达式和关系矩阵M R .8. 设R 1是A 1＝{1,2}到A 2＝(a ,b ,c )的二元关系，R 2是A 2到A 3＝{βα,}的二元关系，R 1= {<1,a >,<1,b >,<2,c >}, R 2={<a ,β>,} 试用关系矩阵求R 1∙R 2的集合表达式.9. 设集合X ＝{a ,b ,c ,d },X 上的二元关系R 的关系图如图4－2所示．试写出R 的表达式和关系矩阵．10. 设集合S ＝{1,2,3,4},定义S 上的二元关系 })(,,{2y x S y x S y x y x R >∧∈-∧∈><=},,{是素数yx S y x y x T ∧∈><=试求R ，T 的元素表达式，并计算R ∙T ．四、证明题1. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系．2. 设R 是集合A 上的二元关系，试证明R 是自反的当且仅当R I A ⊆．3. 假设R 是非空集合A 上的等价关系，证明R 的逆关系R －1也是A 上的等价关系．0 ∙ ∙2 1∙ 图4－ 1a db c图4－2二元关系习题参考答案一、1. B 2. D 3. A 4. C 5. A二、1. R ⋂S 2. R 3. {<6,3>,<8,4> }4. 如图4－3．5. }1,4,4,1{><><⋃A I三、1. R 含有<a ,a >,,<c ,c >,<d ,d >, 是自反的；R 含有<a ,a >,,<c ,c >,<d ,d >,<a ,d >,<d ,a >,,<c ,b >, 是对称的；对R z x R z y R y x >∈⇒<>∈<>∈<∀,,,,，是传递的.故R 是A 上的等价关系.2. S 具有自反性，显然<x ,x >∈S ； S 具有对称性，∀<x ,y >∈S ，有x =y ，则<y ,x >∈S ； S 具有反对称性，∀<x ,y >,<y ,x >∈S ，有x =y ； S 具有传递性，∀<x ,y >,<y ,z >∈S ,因为x =y =z ，故<x ,z >∈S ．3. 二元关系共有16个．4. A ＝{0,1,2,3,4,5,6}, B ={0，2，3}，哈斯图如图4－4．B 的极大元：2，3, B 的极小元：0 B 的最大元：无 B 的最小元：05. 由题设，R ＝I A ⋃{<0,1>,<1,0>,<0,2>,<2,0>,<0,3>,<3,0>,<0,4>,<4,0>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>}易知，R 具有自反性和对称性．6. }0,2,2,0,2,2,0,0{><><><><=R⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101000101RMR 有对称性和传递性．7. R ＝{<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,6>,<4,4>}M R =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01100111111 a c b 图4－3 6∙ 5∙∙4 3∙ 2∙ ∙10∙ 图4－48. ,100111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R M⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0010102R M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∙10001121R R M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0010001010 },1{21><=∙βR R9. R ＝{<a ,a >,<a ,c >,,<d ,d >}⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000001000101R M 10. }2,4,3,4,2,3,1,2{><><><><=R}2,4,1,3,1,2{><><><=T }1,4,1,3{><><=⋅T R四、证明题1. .① S R x x S x x R x x A x ⋂>∈⇒<>∈<>∈<∈∀,,,,,，所以S R ⋂有自反性；②,,A y x ∈∀因为R ，S 是反对称的，yx x y y x S x y S y x R x y R y x S x y R x y S y x R y x S R x y S R y x =⇔=∧=⇒>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔⋂><∧⋂><),,(),,(),,(),,(,, 所以，R ⋂S 有反对称性．③ A z y x ∈∀,,，因为R ，S 是传递的， S R z y S R y x ⋂>∈<∧⋂>∈<,,S z y R z y S y x R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,, S z y S y x R z y R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,, S R z x S z x R z x ⋂>∈⇔<>∈<∧>∈⇒<,,,所以，S R ⋂有传递性．总之，R 是偏序关系. 2. 先证必要性．假设R I A ⊆/，则必存在x ∈A ,使得<x ,x >∈I A ,且<x ,x >∉R ,这与R 是自反的相矛盾．所以R I A ⊆．再证充分性．设R I A ⊆，则对,,,A I x x A x >∈<∈∀因为R I A ⊆，所以R x x >∈<,．因此R 是自反的．3. (1) ∀x ∈A ，则<x ,x >∈R ，显然<x ,x >∈R －1，R －1具有自反性． (2) ∀x ，y ∈A ，如果<x ,y >∈R －1⇔<y ,x >∈R⇒<x ,y >∈R (R 是对称的)⇔<y ,x >∈R －1， R －1具有对称性．(3) ∀x ,y ,z ∈A ，如果<x ,y >∈R －1∧<y ,z >∈R 1⇔<y ,x >∈R ∧<z ,y >∈R ⇔<z ,y >∈R ∧<y ,x >∈R ⇒<z ,x >∈R （R 是传递的）⇔<x ,z >R －1，R 具有传递性．总之，R 是等价关系．第5章群练习题一、单项选择题1. 设A ＝Q ×Q ，其中Q 是有理数集，定义A 上的二元运算*为:),,(b a ∀,A y x ∈),(,),(),(),(b ay ax y x b a +=*,则(1,2)*(3,4)=())6,3)(D ()8,6)(C ()1,5)(B ()10,3)(A (-2. 下列集合和运算能构成群的是 ( )．(A) (M n (R ),+),其中M n (R )是定义在实数集上的n 阶矩阵，＋是普通加法 (B)(A ,+),其中A ＝{0,±1,±2,…,±n },+是普通加法 (C)({21,0,2},+),其中＋是普通加法(D) ({0,1,2,3},⊗),其中运算⊗是模4乘法3. 在自然数集N 上定义的二元运算*，满足结合律的是( )ba b a b a b a b a b a b a b a -=*=*2+=*-=*)D (},max{)C ()B ()A (4. 以下代数系统中，只是半群的为( )． (A) (Z ，︒)，其中Z 是整数集，∀a ,b ∈Z ,a ︒b =a +b －2 (B) (Z ，︒)，其中Z 是整数集，∀a ,b ∈Z ,a ︒b =b (C) (Z ，︒)，其中Z 是整数集，∀a ,b ∈Z ,a ︒b =a +b －ab(D) (R －{0}，︒)，其中R 是实数集，∀a ，b ∈R ,a ︒b =ab 5. 以下群中，是循环群的为( )． (A) (Z ，+)，其中Z 是整数集，+是数的加法 (B) (Q +，×)，其中Q +是正有理数集，×是数的乘法 (C) (Q ，+)，其中Q 是有理数集，+是数的加法(D) (P (A),⊕)，其中A ={a ,b },P (A)是A 的幂集，⊕是集合的对称差运算二、填空题 1. 设R 是实数集，∀a ,b ∈R ,定义二元运算*：a *b =a +b +ab ,已知0∈R 是其单位元，那么∀a ∈R ,但a ≠－1，则a 的逆元是 .2. 设(R *, )是代数系统，其中R *＝R －{0}，二元运算定义为abb a R b a =∈∀ ,,*,那么，a R a ,*∈∀的逆元是3. 设集合A ＝{1，2，3}，在A 上定义二元运算︒为：,,A b a ∈∀a ︒b =},min{b a ，则︒的运算表为︒ 1 2 3 1 2 34. 设S 是非空有限集合，P （S ）是S 的幂集，则代数系统存在单位元是三、解答化简计算题1. 设代数系统(R *, ︒)，其中R *是非0实数集，二元运算︒为：∀a ,b ∈R , a ︒b =ab. 试问︒是否满足交换律、结合律，并求单位元以及可逆元素的逆元.2. 验证H 2={e ,a 3}是6阶循环群G ={ e ,a 1,a 2,a 3,a 4, a 5}的子群．3. 验证代数系统(Z ,+)与(2Z ，+)同构．4. 设集合A ＝{1,2,3}，P (A )是A 的幂集合，⊕是集合的对称差运算．求运算⊕在P (A )上的单位元．∀x ∈P (A )，求x 关于运算⊕的逆元．并解方程{1,2}⊕y ={1}．四、证明题1. 设群(G ,*), 若∀a ∈G ,都有a 的逆元a －1=a ，则G 是交换群.2. 设R *=R －{0}，集合S 定义为},00{*R b a b a S ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 证明代数系统(S ，*)是群，其中*是矩阵的乘法运算．3. 在整数集合Z 上定义二元运算︒：∀x ,y ∈Z , x ︒y =x +y －2，已知<Z , ︒>是半群，证明<Z ，︒>是群．4. 证明群(R ，+)与(R +，∙)同构，其中+和∙分别是数的加法和乘法．(提示：考虑函数f (x )=e x )群练习题参考答案一、1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 二、1. 1+-a a 2.a1 3.4. ∅三、1. ∀a ,b ,c ∈R *, a ︒b =ab =ba =b ︒a ，可交换； (a ︒b )︒c =ab ︒c =abc =a (bc )=a ︒(bc )=a ︒(b ︒c )，可结合. 易见，单位元为1.对∀a ∈R *, a ︒a －1=aa －1=1=a －1a ＝a －1︒a ，故a 的逆元：aa 11=-2. (1) H 2⊂G ．易验证∀x ,y ∈H 2,有xy ∈H 2．且在H 2上满足结合律． e 是其单位元，(e )－1=e ，(a 3)－1=a 3．故H 2是G 的子群．3. ∀z ∈Z ，f (z )=2z ，有f ：Z →2Z ．∀z 1,z 2∈Z ，f (z 1+z 2)=2(z 1+z 2)= 2z 1+2z 2= f (z 1)+f (z 2) 所以，(Z ,+)与(2Z ，+)同态．又因为f (z )=2z 是双射函数，故(Z ,+)与(2Z ，+)同构． 4. ∀S ∈P (A)，S ⊕∅=∅⊕S =S ，故∅是单位元． ∀x ∈P (A)，x ⊕x =∅，故x 的逆元是它自己．因为(1,2)的逆元是{1,2}，故y ={1,2}⊕{1}={2}．四、1. 111,,)(,,,---==*=*∈*∈∀b b a a b a b a G b a G b a 由题设(3分) 于是有a b a b b a b a b a *====--------11111111)(*)()*()*(* 所以G 是一个交换群.2. 任取S 中的元素⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c y x b a00,00,00，其中a ,b ,x ,y ,c ,d ∈R *，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡byd axc yd xcb a dc y x b a byd axc d c by ax d c y x b a 0000*00)00*00(*000000*0000*)00*00(︒1 2 3 1 1 1 1 21 2 2 3123可见，*满足结合律，故(S ，*)是半群．取E =S ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，∀A ∈S ，有AE ＝EA ＝A ．E 为S 的单位元．∀X ∈S ，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x0，x ,y ∈R *，则存在⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001∈S ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x0*⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001*⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 00=E ，即X －1＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001．S 的每个元素都有逆元.故(S , *)是群． 3. 因为<Z ，︒>是半群，易见二元运算︒满足交换律．设幺元为e , ∀x ∈Z ，有x ︒e =x +e －2=x ，得到e =2∈Z ，幺元存在惟一；∀x ∈Z , x 的逆元记作x －1, x ︒x －1=x +x －1－2=2, 即x －1=4－x ∈Z ，即x 的逆元存在且惟一．所以，<Z ，︒>是群． 4.设f (x )=e x ，可知f ：R →R +．(1) ∈∀21,x x R ，)()(e e e )(21212121x f x f x x f x x x x ∙===++∈R +． 0和1分别是(R ，+)和(R +，∙)的单位元，有 f (0)=e 0=1对任意x ∈R ，x 关于+的逆元为－x ，而f (－x )＝e －x ＝)(11x f ex=．(2) f ：R →R +是双射函数．所以，(R ，+)与(R +，∙)同构．第6章格与布尔代数及环、域练习题一、单项选择题1.下列偏序集中是格的为( )2. 设布尔代数式c b a f ⋅+=，则f 的对偶式f *=( )(A) c b a ⋅+ (B) c b a ⋅+ (C) c b a +⋅ (D) c b a +⋅ 3. ( )是布尔代数． (A) 有余有界格 (B) 有余分配格 (C) 有界分配格 (D) 有余代数格 4. 设G 是非空集合，G 上二元运算︒和*，*对︒有左、右分配律，又满足( )，则(G ,︒,*)称为环．(A) (G ,*)是交换群，(G ,︒)是交换群 (B) (G ,*)是半群，(G ,︒)是半群(C) (G ,*)是群，(G ,︒)是群 (D) (G ,*)是半群，(G ,︒)是交换群二、填空题1. 设代数系统(L ，︒，*)，若(L ，︒)是，(L ，*)是半群，又二元运算*对︒满足分配律，则(L ，︒，*)是环.2. 布尔代数式))(()1(c a b a +⋅+⋅的对偶式是3.在布尔代数中，有b a b a a +=⋅+)(成立，则其对偶式一定成立．4. 若<G ,+,∙>是环，那么∀a ,b ∈G ，有则称<G ,+,∙>是交换环．三、解答化简计算题1. 设代数系统(Z ，+，×)，已知(Z ，×)是半群，验证(Z ，+，×)是环．2. 设(L ，*，︒)是有补格，∀a ,b ∈L ，化简表达式 (a *b )*(a '︒b ')(其中a ',b '分别是元素a ,b 的补元)3. 已知(L ，*，︒)是格，且二元运算*和︒满足分配律，∀a ,b ,c ∈L ，化简表达式 ((a *b )︒(a *c ))* ((a *b )︒(b *c ))4. 试作以下二题：(1)已知A ≠∅，则(P (A )，⋃，⋂，～，∅，A )是布尔代数，∀S ∈P (A )，求S 的补元，说明理由．（2）布尔代数(),,,+∙B ，其中}1,0{=B ，若B 上的三个变元的表达式c b c b a c b a E ++∙+=),,(求)1,1,0(E 的真值．四、证明题1. 设R 为实数集，证明(R ，＋)是交换群，(R ,×)是半群，且×对＋满足左、右分配律，即(R ，＋，×)是环．其中＋，×是普通加法和乘法．2. 设<S ,+,∙,,0,1>为一布尔代数，证明∀a ,b ∈S ，有b a b a a +=∙+)(；b a b a a ∙=+∙)((A)(B) (C) (D)格等代数系统习题参考答案一、 1. B 2. C 3. B 4. D二、1.交换群 2. ))(()0(c a b a ⋅+⋅+ 3. b a b a a ⋅=+⋅)( 4. a ∙b =b ∙a 三、1.只需验证(Z ，+)是交换群．易验证整数具有结合律，交换律． 0是加法的单位元．(4分)∀k ∈Z ，∃－k ∈Z ，有 k +(―k )=(―k )+k =0Z 中每个元素有逆元．故(Z ,+)是交换群．所以(Z ,+,×)是环．(8分)2. (a *b )*(a '︒b ')＝(a *b )* (a *b ) '=13. ((a *b )︒(a *c ))*((a *b )︒(b *c ))＝(a *b )︒ ( (a *c )* (b *c ))(分配律) =(a *b ) ︒((a *b )*c ) (幂等律) =a *b (吸收律)4. (1) 对任意S ，因为S ⋃(A －S )=(S ⋃A )⋂(S ⋃~S )=A ，S ⋂(A －S )=S ⋂(A ⋂~S )=∅故S 的补元为A －S ．（2）因为c b c b a c b a E ++∙+=),,(所以， E (0,1,1) =11110++∙+=1110++∙=0+1=1四、1. (1)∀x ,y ,z ∈R ,有(x +y )+z =x +(y +z ),满足加法 R 上满足加法结合律． (2) ∀x ,y ∈R ,有x +y =y +x ,满足加法R 上满足加法交换律．(3)R 中存在元素0，使得∀x ∈R ,有x +0 =0＋x , 加法单位元存在，为0． (4) ∀x ∈R , 存在－x ∈R ，使得x +(－x )=0，加法逆元存在，x －1=－x ．可见(R ,+)是交换群； (5) ∀x ,y ,z ∈R ,有(x ×y )×z =x ×(y ×z ),满足乘法结合律．可见(R ,×)是半群； (6) ∀x ,y ,z ∈R ,有(x +y )×z =x ×z +(y ×z ), z ×(x +y )=z ×x +z ×y , 满足左、右分配律．二元运算×对＋满足左右分配律．总之，(R ，＋，×>是环． 2. b a b a b a a a b a a +=+∙=+∙+=∙+)(1)()()( b a b a b a a a b a a ∙=∙+=∙+∙=+∙0)()(第７章图的基本概念一、单项选择题1. 设V ＝{a ,b ,c ,d },与V 能构成强连通图的边集E ＝( )(A) {<a ,b >,<a ,c >,<d ,a >,,<c ,d >} (B) {<a ,d >,,,,<d ,c >} (C) {<a ,c >,,,<d ,a >,<d ,c >} (D) {<a ,d >,,,<c ,d >,<d ,c >} 2. 有向完全图D ＝<V ,E >, 则图D 的边数是( )(A)2)1(-E E (B)2)1(-V V (C) ∣E ∣(∣E ∣－1) (D) ∣V ∣(∣V ∣－1)3. n 阶无向完全图K n 中的边数为（） (A)2)1(-n n (B)2)1(+n n (C) n (D)n (n +1)4. 给定无向图G 图5－1所示，下面给出的顶点集子集中，不是点割集的为（）(A) {b ,d } (B) {d } (C) {a ,c } (D) {g ,e } 5. 下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )(A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)二、填空题1.设有向图D ＝<V ,E >的邻接矩阵为A (D )=0110101000010110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么∣E ∣＝ . 2. 无向图G (如图5－2)的关联矩阵M (G )=3. 数列{2，3，3，4}不能构成无向简单图的度数列，此命题的真值为4. 在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和与第j 列元素之和分别为．5. 图G 如图5－3，那么图G 的割点是6. 有16条边，每个顶点都是2度顶点的无向图有个顶点．三、解答化简计算题 1. 设图G 如图5－4所示．已知通路(1) v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3(2) v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5 (3) v 2e 7 v 5e 6 v 2(4) v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5试回答它们各是简单通路、简单回路、初级通路还是初级回路．a gb d fc e 图5－ 1 v 2e 2 v 3 e 1 e 3 v 1 e 4 v 4 图5－2a bf ce d图5－3 v 1 e 1 e 5 v 2 e 6 v 5 e 2 e 7 e 4 e 8v 3 e 3 v 4 图5－42. 指出有向图D(如图5－5)中各图是强连通，单侧连通还是弱连通？3. 找出无向图G（如图5－6所示）中的一个点割集，三条边和四条边的边割集各一个．4. 已知有向图D(如图5－7)的邻接矩阵为A(D)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111111求从v2到v4长度为2和从v3到v3长度为2的通路条数，并将它们具体写出.5. 设图G＝<V，E>，其中V＝{a,b,c,d,e}, E={(a,b),(b,c),(c,d), (a,e)}试作出图G的图形，并指出图G是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由.6. 设简单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．四、证明题1. 若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．2 证明在任何有向完全图中，所有结点的入度平方之和等于所有结点的出度平方之和．(1)(2)(3)(4)(5)图5－5a bce d图5－6v4 v3v1 v2图5－7图的基本概念习题参考答案一、1. A 2. D 3. A 4. A 5. B二、1. 7 2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11001101101001 3. 1 4.结点v i 的出度与结点v j 的入度 5. a , f 6. 16 三、1. (1) 初级通路； (2) 简单回路； (3) 初级回路； (4) 简单通路．2. 强连通图为：图5－5的(1),(4),(5)；单侧连通图为：如图5－5的(1),(2),(4),(5)，或图5－5的(2)；弱连通图为：图5－5(1)～(5)，或图5－5的(3).．3. 点割集：{a ,c ,d }(不惟一) 三条边的边割集：{(b ,c ),(c ,e ),(c ,d )}(不惟一) 四条边的边割集：{(a ,b ),(a ,d ),(d ,e ),(c ,e )}(不惟一)4.. A 2(D )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2120020221201212从矩阵A 2(D )中a 24=2,a 33=2可知，从v 2到v 4长度为2的通路有2条. 它们是： v 2v 3v 4,和v 2v 1v 4, 从v 3到v 3长度为2的通路有2条. 它们是： v 3v 4v 3,和v 3v 2v 3,5. 图G 如图5－8.图G 中既无环，也无平行边，是简单图.图G 是连通图. G 中任意两点都连通. 6. 设图G 有x 个结点，有握手定理 2⨯1+2⨯2+3⨯4+3⨯（x -2-2-3）＝12⨯2271821243=-+=xx ＝9 图G 有9个结点．作图如图5－10四、1. 用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通．即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．ab ec d图5－8 图5－10第七章几种特殊图练习题一、单项选择题1. 以下命题真值为1的是( )(A) 无向完全图都是欧拉图 (B) 有n 个结点n －1条边的无向图都是树 (B) 无向完全图都是平面图 (D) 树的每条边都是割边 2. 有4个结点的非同构的无向树有 ( )个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 无向完全图K 4是（）（A ）欧拉图（B ）哈密顿图（C ）树（D ）非平面图 4. 以下各图中存在哈密顿回路的图是 ( )5. 设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． (A) e －v ＋2 (B)v ＋e －2 (C)e －v －2 (D) e ＋v ＋26. 无向图G 是欧拉图，当且仅当( )(A) G 中所有结点的度数全为偶数 (B) G 中所有结点的度数全为奇数 (C) G 连通且所有结点的度数全为偶数 (D) G 连通且所有结点的度数全为奇数 7. 设G 是有6个结点的无向完全图，从G 中删去( )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15二、填空题1. 无向连通图G 含有欧拉回路的充分必要条件是2. 设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ．3. 图G （如图6－1所示）带权图中最小生成树的权是4.在平面图>=<E V G ,中,则∑=ri i r 1)deg(＝ ,其中r i (i =1,2,…,r )是图G 的面．5. 设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和，则G 一定是哈密顿图．6. 设G 是连通平面图，v ,e ,r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ,e 和r 满足的关系式是三、解答化简计算题1. 设无向图G ＝<V ,E >, 那么图G 中∣V ∣与∣E ∣满足什么条件，图G 一定是树.2. 图G (如图6－2)能否一笔画出？说明理由. 若能画出，请写出一条通路或回路.3. 给定三个图如图6－3所示，试判断它们是否为欧拉图、哈密顿图、或平面图？并说明理由．(A) (B) (C) (D)∙2 2 3∙ 1 ∙7 9 2∙ 8 ∙ 6 图6－1v 5 d v 4 v 1 v 2 v 3 图6－2 e f n c a h g b。

离散数学第一学期习题及答案

第一章部分习题及参考答案1 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)2．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。

并且，如果3是无理数，则2也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”3．用真值表判断下列公式的类型：（1）(p→q) →(⌝q→⌝p)（2）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（3）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)4.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)5.用等值演算法证明下面等值式：(1)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(2)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)6.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)7.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(1)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(2)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q8.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r9.在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p参考答案:1.（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0 (4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔12.p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

离散数学-习题集

离散数学-习题集《离散数学》习题集第⼀部分判断题⼀、第⼀章—集合1、（）已知集合A的元素个数为10，则集合A的幂集的基=102。

2、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。

2、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。

3、( ) 已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B={Ф}。

4、（）已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B=Ф。

5、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。

6、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。

7、（）已知集合A的元素个数为n，则A×A的幂集的元素个数为n2。

8、（）已知两个集合A、B，则A-B是由属于B但不属于A的元素构成的集合。

⼆、第⼆章—⼆元关系1、（）若R是A上的⼆元关系，I A是A上的恒等关系，则当且仅当I A∈R时，R是A上的⾃反关系。

2、（√）若R是集合A上的⼆元关系，且当（a，b）∈R且（a，c）∈R时，就有（b，c）∈R，则R是A 上的可传递关系。

3、（）设A是集合，A1、A2、．．．A n都是A的⾮空⼦集，令S={A1，A2，．．．,A n}，则如果S是集合A的⼀个划分，那么S⼀定是集合A的⼀个完全覆盖；反之亦然。

5、（）R是⾮空集合A上的等价⼆元关系，则A关于R的商集A/R是集合A的⼀个划分，但不是A的⼀个完全覆盖。

6、（）已知集合A有4元素，易知集合A共有24个互不相同的⼦集合，所以在集合A上⼀共可定义24个互不相同的⼆元关系。

7、（）若R1和R2都是集合A上的可传递⼆元关系，则R1∪R2也是A上的传递关系。

8、（）设R是有限的⾮空集合A上的偏序关系，则A必有极⼤（⼩）元和最⼤（⼩）元。

9、（）若R1和R2都是集合A上的相容关系，则R1∩R2也是A上的相容关系。

10、（）若R1和R2都是集合A的可传递⼆元关系，则R1∩R2也是A上的传递关系。

离散数学第1-4章习题答案new

离散数学习题解答第一章命题逻辑习题1.1（P2）1 、a. 是命题b. 是命题c.是命题d .是命题e .是命题f .不是命题疑问句2 、a. A: 我是大学生。

b. B: 你是我的玫瑰花。

c. P: 明天是个艳阳天。

d. Q: 3+2>8。

e.R: 我喜欢离散数学这门课。

f.不是命题。

3、解：三个真命题如：8是偶数;2+8>5；太阳从东边升起；三个假命题如：3+2>8；雪是黑色的；太阳从西边升起；三个非命题如：请勿抽烟！; 春天多美好; 我正在说慌；习题 1.2（P5）1、 a. 复合命题设P :李子是酸的。

Q:李子是甜的。

则命题可表示为P∧Q。

b 简单命题设P: 张一和陈一是好朋友。

2、设P: 天下雨。

Q: 我不去游泳。

R: 我有时间。

a. P→Q。

b. P∧⌝R。

c.⌝Q↔R。

3、 a. 设P: 6是偶数。

Q: 8是奇数。

否定命题表示为:⌝P∨⌝Q。

b. 设P:北京的春天会刮沙尘暴。

否定命题表示为:⌝P 。

4、 a. 设P:王燕学过英语。

Q:王燕学过法语。

命题表示为: （⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q） QP⊕。

b. 设P:王成在教室看书。

Q:王成在图书馆看书。

命题表示为: （⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q）。

5、（⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q）。

习题 1.3（P9）1、 a. 不是命题公式。

b．是命题公式。

c. 不是命题公式。

d. 是命题公式。

2、 a.b.c.3、 a.由表可知命题公式P∨P的真值均为真，所以此公式为重言式。

b.由表可知命题公式P∧c.由表可知命题公式P→（P∨Q）的真值均为真，所以此公式为重言式。

d.由表可知命题公式P→P）的真值均为真，所以此公式为重言式。

e.4 、5、从上述真值表可看出合取和析取是可结合的，条件和双条件不是可结合的。

习题1.4 （P13）⌝(⌝P）⇔P→P1、 a. P→⇔⌝P∨P⇔1 因为公式与1等价，所以此公式是重言式。

b.⌝（P∧Q）↔（⌝P∨⌝Q）⇔（⌝（P∧Q）→（⌝P∨⌝Q））∧（（⌝P∨⌝Q）→⌝（P∧Q））⇔（（P∧Q）∨⌝（P∧Q））∧（（P∧Q）∨⌝（P∧Q））⇔1∧1⇔1 因为公式与1等价，所以此公式是重言式。

离散数学第1,2章习题答案

第一章习题1．下列哪些语句是命题？(1) 黄山是在安徽省。

(2) 你会做这道题目吗？(3) 月球比地球大。

(4) 请关上窗户！(5) 如果1+2=5，我就去游泳。

(6) 只有6是偶数，3才能被2整除。

解：(1)，(3) ，(5) ，(6) 是命题，(2)，(4)分别是疑问句和命令句，它们不是命题。

2．给出下面命题的否定命题。

(1) 上海是一座城市。

解：该句的否定命题为：上海不是一座城市。

(2) 1+2=5并且2×3=6。

解：该句的否定命题为：1+2≠5或2×3≠6。

(3) 2是素数或3是偶数。

解：该句的否定命题为：2不是素数并且3不是偶数。

3．将下列命题符号化。

(1) 灯泡有故障或开关有故障。

解：P表示：灯泡有故障，Q表示：开关有故障，命题符号化为：P∨Q(2) 今天下大雨和3+3=6。

解：P表示：今天下大雨，Q表示：3+3=6，命题符号化为：P∧Q(3) 虽然天气炎热，老师坚持给我们上课。

解：P表示：天气炎热，Q表示：老师坚持给我们上课，命题符号化为：P∧Q(4) 他一边走路，一边看书。

解：P表示：他走路，Q表示：他看书，命题符号化为：P∧Q(5) 如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。

解：P表示：天下大雨，Q表示：他乘公共汽车上班，命题符号化为：P→Q(6) 只有天下大雨，他才乘公共汽车上班。

解：P表示：天下大雨，Q表示：他乘公共汽车上班，命题符号化为：Q→P(7) 2＋2＝4当且仅当雪是白色的。

解：P表示：2＋2＝4，Q表示：雪是白色的，命题符号化为：P↔Q4．判断下列各蕴涵式是真是假。

(1) 若一周有八天，则3+2=5。

解：P表示：一周有八天，Q表示：3+2=5，命题符号化为：P→Q由于P为假，Q为真，P→Q为真，故该命题为真命题。

(2) 若一周有七天，则3+2≠5。

解：P表示：一周有七天，Q表示：3+2≠5，命题符号化为：P→Q由于P为真，Q为假，P→Q为假，故该命题为假命题。

离散数学第二版罗熊课后答案

离散数学第二版罗熊课后答案第1章绪论 1 ．试述数据、数据库、数据库系统、数据库管理系统的概念。

答：( l ）数据（ Data ) ：叙述事物的符号记录称作数据。

数据的种类存有数字、文字、图形、图像、声音、正文等。

数据与其语义就是不可分的。

解析在现代计算机系统中数据的概念就是广义的。

早期的计算机系统主要用作科学计算，处置的数据就是整数、实数、浮点数等传统数学中的数据。

现代计算机能够存储和处置的对象十分广为，则表示这些对象的数据也越来越繁杂。

数据与其语义就是不可分的。

500 这个数字可以表示一件物品的价格是 500 元，也可以表示一个学术会议参加的人数有 500 人，还可以表示一袋奶粉重 500 克。

( 2 ）数据库（ DataBase ，缩写 DB ) ：数据库就是长期储存在计算机内的、存有非政府的、可以共享资源的数据子集。

数据库中的数据按一定的数据模型非政府、叙述和储存，具备较小的冗余度、较低的数据独立性和易扩展性，并可向各种用户共享资源。

( 3 ）数据库系统（ DataBas 。

Sytem ，缩写 DBS ) ：数据库系统就是所指在计算机系统中导入数据库后的系统形成，通常由数据库、数据库管理系统（及其开发工具）、应用领域系统、数据库管理员形成。

解析数据库系统和数据库就是两个概念。

数据库系统就是一个人一机系统，数据库就是数据库系统的一个组成部分。

但是在日常工作中人们常常把数据库系统缩写为数据库。

期望读者能从人们讲话或文章的上下文中区分“数据库系统”和“数据库”，不要引发混为一谈。

( 4 ）数据库管理系统（ DataBase Management sytem ，简称 DBMs ) ：数据库管理系统是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，用于科学地组织和存储数据、高效地获取和维护数据。

DBMS 的主要功能包含数据定义功能、数据压低功能、数据库的运转管理功能、数据库的创建和保护功能。

解析 DBMS 就是一个大型的繁杂的软件系统，就是计算机中的基础软件。

离散数学第1-2章参考答案-命题逻辑谓词逻辑

Page 49 第17题解：〔1〕令①P：李明学习努力；②Q：李明成绩好；③R：李明不热衷于玩扑克；〔2〕条件符号化，即①P→Q：假如李明学习努力，那么他成绩好；②R→P：假如李明不热衷于玩扑克，那么他就努力学习；〔3〕所求结论符号化，即①¬Q→¬R：李明成绩不好，所以李明热衷于玩扑克；〔4〕证明：原命题符号化为P→Q，R→P ¬Q→¬R；①P→Q P规那么；②R→P P规那么；③R→Q T规那么①②；④Q∨¬R T规那么③；⑤¬Q→¬R T规那么④；〔5〕得证。

Page 50 第32题〔2〕解： P∨(¬P→(Q∨(¬Q→R)))；⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))；⇔P∨Q∨R；①主合取范式为：P∨Q∨R；因为 P∨Q∨R ⇔∏M0 ⇔∑m1,2,3,4,5,6,7；②主析取范式为：∨(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧¬R)∨(¬P∧Q∧R)∨(P∧¬Q∧¬R)∨(P∧¬Q∧R)∨(P∧Q∧¬R)∨(P∧Q∧R)；Page 50 第32题〔4〕解： (P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧¬S)；⇔ ((P∧¬Q∧R)∧(S∨¬S))∨((¬P∧Q∧¬S)∧(R∨¬R))；⇔(P∧¬Q∧R∧S)∨(P∧¬Q∧R∧¬S)∨(¬P∧Q∧R∧¬S)∨(¬P∧Q∧¬R∧¬S)；①主析取范式为：(¬P∧Q∧¬R∧¬S)∨(¬P∧Q∧R∧¬S)∨(P∧¬Q∧R∧¬S)∨(P∧¬Q∧R∧S) ⇔∑m4,6,10,11⇔∏M0,1,2,3,5,7,8,9,12,13,14,15；②主合取范式为：(¬P∨¬Q∨¬R∨¬S)∧(¬P∨¬Q∨¬R∨S)∧(¬P∨¬Q∨R∨¬S) ∧(¬P∨¬Q∨R∨S)∧(¬P∨Q∨¬R∨S)∧(¬P∨Q∨R∨S)∧(P∨¬Q∨¬R∨¬S) ∧(P∨¬Q∨¬R∨S)∧(P∨Q∨¬R∨¬S)∧(P∨Q∨¬R∨S)∧(P∨Q∨R∨¬S)∧(P∨Q∨R∨S)；Page 50 第32题〔6〕解： (P→Q)→(P∨R)；⇔¬(¬P∨Q)∨(P∨R)；⇔(P∧¬Q)∨(P∨R)；⇔(P∨R)∧(P∨¬Q∨R)；⇔ ((P∨R)∨(¬Q∧Q))∧(P∨¬Q∨R)；⇔(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨¬Q∨R)；⇔(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨R)；①主合取范式为：(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨R)；⇔∏M0,2；⇔∑m1,3,4,5,6,7；①主合取范式为：(¬P∨¬Q∨R)∧(¬P∨Q∨R)∧(P∨¬Q∨¬R)∧(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨¬R)∧(P∨Q∨R)；Page 51 第37题〔2〕解： P→Q P→(P∧Q)①P P规那么〔附加前提〕；②P→Q P规那么；③Q T规那么①，②，I；④P∧Q T规那么①，③，I；⑤P→(P∧Q) CP规那么；Page 51 第37题〔4〕解： (P∨Q)→R ⇒ (P∧Q)→R①P∧Q P规那么〔附加前提〕；②P T规那么①，I；③P∨Q T规那么②，I；④(P∨Q)→R P规那么；⑤R T规那么③，④，I；⑥(P∧Q)→R CP规那么；Page 51 第38题〔3〕解：﹁(P→Q)→﹁(R∨S),((Q→P)∨﹁R),R ⇒ P↔Q①﹁(P↔Q) P规那么〔假设前提〕；②﹁((P→Q)∧(Q→P)) T规那么①，I；③R P规那么；④((Q→P)∨﹁R) P规那么；⑤R→(Q→P) T规那么④，I；⑥(Q→P) T规那么③⑤，I；⑦R∨S T规那么③，I；⑧﹁(P→Q)→﹁(R∨S) P规那么；⑨(R∨S)→(P→Q) T规那么⑧，I；⑩(P→Q) T规那么⑦⑨，I；⑪(P→Q)∧(Q→P) T规那么⑥⑩，I；⑫得证间接证明法②⑪；Page 51 第39题〔1〕解：〔1〕符号化命题①P：明天是晴天；②Q：明天下雨；③R：我去看电影；④S：我不看书；条件符号化：P∨Q，P→R，R→S；结论符号化：①﹁S→Q〔2〕证明：P∨Q，P→R，R→S ⇒﹁S→Q①P→R P规那么；②R→S P规那么；③P→S T规那么①②；④﹁S→﹁P T规那么③，I；⑤P∨Q P规那么；⑥﹁P→Q T规那么⑤，I；⑦﹁S→Q T规那么④⑥，I；Page 51 第39题〔2〕解：〔1〕符号化命题①P：明天不下雨；②Q：可以买到车票；③R：我去参观计算机展览会；条件符号化：P∧Q→R；结论符号化：①﹁R→﹁P〔2〕证明：P∨Q，P→R，R→S ⇒﹁S→Q①P∧Q→R P规那么；②﹁R P规那么〔附加前提〕；③﹁(P∧Q) T规那么①②；④﹁P∨﹁Q T规那么③，I；⑤也就是说或者明天下雨或者买不到票，所以原命题说不能参加计算机展览的原因只是明天下雨是不完全的，故原命题无效。

离散数学期末复习题

离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集．（错）（2）{}φ是空集．（错）（3）{}{}a a a },{∈ （对）（4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对）（5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉．（错）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则（对）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （错）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系．（对）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律．（错）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA = （错）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （错）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集（ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有（ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是（ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是（ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A ⨯为（ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A 的恒等关系为（ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为（ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为（ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足（ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρ .~1~2ρρ7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是．ρρρ⊆8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。

离散数学习题答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。

(2)5是无理数。

(3)3是素数或4是素数。

(4)x2+3<5，其中x是任意实数。

(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。

(7)刘红与魏新是同学。

(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。

(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。

(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

(13)2025年元旦下大雪。

1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。

在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。

2.将上题中是简单命题的命题符号化。

(1)p：中国有四大发明。

(2)q：5是无理数。

(7)r：刘红与魏新是同学。

(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。

(1)t：2025年元旦下大雪。

3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。

“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。

解：原命题可符号化为：p：5是有理数。

其否定式为：非p。

非p的真值为1。

4.将下列命题符号化，并指出真值。

(1)2与5都是素数。

(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。

(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。

(4)3是偶素数。

(5)4既不是素数，也不是偶数。

a：2是素数。

b：5是素数。

c：π是无理数。

d：e是无理数。

f：2是最小的素数。

g：2是最小的自然数。

h：3是偶数。

i：3是素数。

j：4是素数。

k：4是偶数。

解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。

这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。

5.将下列命题符号化，并指出真值。

a：2是偶数。

b：3是偶数。

c：4是偶数。

离散数学分章练习题

西南大学课程考核),=)，——————————————密————————————封————————————线——————————————4. 设N+是非零自然数集，f：N+ ×N+ →N+，y xyxf=),(, ∈yx,N+, 则f( )(A) 仅是单射(B) 仅是满射(C) 是双射(D) 不是函数.5 设集合A中有4个元素，则A上的划分共有( )个.(A)13 (B)14 (C)15 (D)166. 设集合A中有99个元素，则A的子集有( )个.(A)299. (B)99. (C) 2100. (D)100.7. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律.8.幂集P(P(P(∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}.(C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}.三、判断1.若一个元素a既存在左逆元l a，又存在右逆元r a，则rlaa=. ( )2.函数的复合运算“ ”满足结合律. ( )3. 设|A| = 4，|B| = 2，则A到B的满射有30个. ( )4. 设BAf→:, CBg→:, 若复合函数f g是满射, 则f必是满射. ( )5.在自然数集N上定义运算“*”如下: x*y = x – 2y, x, y∈N, 则“*”满足结合律. ( )6. {∅}是空集. ( )7. 设A，B，C是集合，若CABA⊕=⊕, 则B = C. ( )8. P({∅}) = {∅} . ( )四、综合1、(15分)设N为实数集合，定义N 到N为的函数f和g如下：∈∀x N，1)(+=xxf，}1,0max{)(-=xxg. 证明：——————————————密————————————封————————————线——————————————(1) f是单射而不是满射，g是满射而不是单射.(2) Igf=N但Ifg≠N.2、 (10分)设A和B是集合，使BBA=-成立的充要条件是什么，并给出理由.3、(10分)已知A ={{∅}, {∅, 1}}, B = {{∅, 1}, {1}}, 计算A∪B, A○+B，A的幂集P(A).解4、(15分)设),(≤A是偏序集，定义函数)(:APAf→如下：对于任意Aa∈，},|{)(axAxxaf≤∈=.证明f是单射，且当ba≤时有)()(bfaf⊆.5、(15分)设CBgBAf→→:,:, 若gf 是满射，证明g是满射，并举例说明f不一定是满射.6、(10分)设BAf→:且CBg→:，若gf 是单射，证明f是单射，并举例说明g不一定是单射.——————————————密————————————封————————————线——————————————第二章一、填空题(每小题3分，共15分)1.设集合A中有3个元素，则A上的二元关系有( )个，其中有( )个是A到A 的函数.2.（C2）设集合A中有3个元素，则A上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A的函数.3. 设|X| = n, P(X)为集合X的幂集, 则| P(X)| = ________. 在代数结构(P(X), ∪)中，则P(X) 对∪运算的单位元是________, 零元是________ .4. 设N是自然数集合, f和g是N到N的函数, 且f(n) = 2n+1，g(n) = n2, 那么复合函数(f f) (n)=________ , (f g) (n)=________ , (g f) (n) =________.5. 设A ={l, 2, 3, 4}, A上的二元关系R ={(1, 2), (3, 4), (4, 3)}, S = {(l, 3), (3, 4), (4, 1)}, 则SR⋂=________, 1)(-⋃SR=________, SR =________.6. 集合A上的等价关系R必满足( 、、).7. 设|A| = 3, 则在A上可定义( )个不同的反对称关系.二、选择1.设R是集合A上的偏序关系，1-R是R的逆关系，则1-⋃RR是A上的(A)偏序关系(B)等价关系(C)相容关系(D)以上结论都不成立2.设R是集合A上的偏序关系，则1-⋃RR是( ).(A)偏序关系(B)等价关系(C)相容关系(D)以上答案都不对3．集合A = {1, 2, 3, 4}上的关系R= {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 3)}, 则下列不是．．t(R)中元素的是( )(A) (1, 1) (B) (1, 2)(C) (1, 3) (D) (1, 4).4．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是( )(A) 若R和S是自反的, 则R∩S是自反的——————————————密————————————封————————————线——————————————(B) 若R和S是对称的, 则R S是对称的(C) 若R和S是反对称的, 则R S是反对称的(D) 若R和S是传递的, 则R∪S是传递的.5．集合A = {1, 2, …, 10}上的关系R ={(x, y)|x + y = 10, x, y ∈A}, 则R的性质是( )(A) 自反的(B) 对称的(C) 传递的、对称的(D) 反自反的、传递的.2. 设集合A中有4个元素，则A上的等价关系共有( )个.(A)13 (B)14 (C)15 (D)166.设R是集合A上的偏序关系，1-R是R的逆关系，则1-⋃RR是A上的(A)偏序关系(B)等价关系(C)相容关系(D)以上结论都不成立三、判断1. 设R和S是集合A上的等价关系，则SR 是A上的等价关系. ( )2. 关系矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111对应的关系具有自反性. ( )四、综合1、 (10分) 设R和S是集合A上的对称关系，证明SR 对称的充要条件是RSSR=.2、(15分)设},,,{dcbaA=,A上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(cdbdadccbcaccabaaaR=, 1〉.画出R的关系图RG.2〉.判断R所具有的性质.3〉.求出R的关系矩阵RM.3、(10分) 在整数集合Z上定义关系R如下：对于任意∈yx,Z，yyxxRyx+=+⇔∈22),(.判断R是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性.——————————————密————————————封————————————线——————————————4、(10分) 设A ={a, b, c, d}，R={(a, b), (a, d), (b, c), (c, a), (d, a)}，求用关系图计算R的传递闭包t(R).5、(10分)设R是集合A上自反和传递的关系，试证明：R R=R.6、(10分)设A ={2, 3, 6, 12, 24, 36}, 请画出A上整除关系“|”的哈斯图，并给出子集{6, 12, 24, 36}的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界.——————————————密————————————封————————————线——————————————第三章一、填空.用联结词⌝，∧表示联结词∨, →和联结词↔：BA∨= ________, BA→=________, BA↔=________.二、选择1. 下列( )组命题公式是等值的.(A)BABA∨⌝∧⌝,. (B))(),(BAAABA⌝→→⌝→→.(C))(),(BABBAB∨∧⌝∨→. (D) BBAA),(∧∨⌝.2.由2个命题变元p和q组成的不等值的命题公式的个数有(A)2 (B)4 (C)8 (D)163.下列( )组命题公式是不等值的.(A))(BA→⌝与BA⌝∧. (B) )(BA↔⌝与)()(BABA∧⌝∨⌝∧.(C))(CBA∨→与CBA→⌝∧)(. (D))(CBA∨→与)(CBA∨∧⌝.4.下列联结词中，不满足交换律的是( ).(A)∧. (B)∨. (C)⊕. (D) →.三、判断1. {→⌝,}是最小功能完备联结词集合. ( )2. 任意最小联结词集至少有2个联结词. ( )3. 若⌝(p∧q)→r为真, 则(p, q, r) = (0, 0,1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1,1). ( )4. 设A, B, C是命题公式，则)(CACBA→→⌝∨∨也是命题公式. ( )5. 逻辑联结词“→”满足结合律. ( )6. 设x和y是实数集中的变量, 则x + y > 0是命题函数. ( )四、综合——————————————密————————————封————————————线——————————————1、(10分)利用真值表求命题公式))(())((pqrrqpA→→↔→→=的主析取范式和主合取范式.2、((10分)利用真值表求命题公式)())(qpqpA⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.3、(15分)设p, q, r为命题变元，分别用等值演算法和真值表法计算(p→q)→r的主合取范式.4、 (15分)分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((rqppqrA∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.5、(15分)构造下面推理的证明：如果小张和小王去看电影, 则小李也去看电影. 小赵不去看电影或小张去看电影. 小王去看电影. 所以, 当小赵去看电影时, 小李也去.6、(10分) (1)列出与非联结词“↑”的运算表.(2)仅使用与非联结词“↑”分别表示∨∧⌝,,.——————————————密————————————封————————————线——————————————第四章一、填空1.令G(x): x是金子，F(x): x是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).2. 令Z(x): x是整数，O(x): x是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).3. 令C(x): x是计算机，D(x, y): x能做y，I(x): x是智能工作，则命题“并非所有智能工作都能由计算机来做”符号化为( ).4.谓词公式))()(())()((yPyQyxQxPx⌝∧∃∧→∀中量词x∀的辖域为( ), 量词y∃的辖域为( ).5. 在公式),()(),(),())((yxPxzxQyxPyx∃→∨∃∀中x∀的辖域为P(x, y). ( )二、选择1．在公式(x∀)F(x, y)→(∃y)G(x，y)中变元x是( )(A) 自由变元(B) 约束变元(C) 既是自由变元，又是约束变元(D) 既不是自由变元，又不是约束变元.2．设p：我们划船，q：我们跑步, 则有命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( )(A) ⌝p∧⌝q(B) ⌝p∨⌝q(C) ⌝ (p↔ q) (D) ⌝ (⌝p∨⌝q).3.谓词公式)())()((xRyyQxPx→∃∨∀中，x∀的辖域为( ).(A)))()((yyQxPx∃∨∀. (B))(xP. (C))()(yyQxP∃∨. (D))(xP和)(xR.三、综合1、(10分)求))),(),((),,((vyvQuxuQzyxzPyx∃→∃∧∃∀∀的前束范式.2、(10分)符号化下面命题，并构造推理证明：人是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底——————————————密————————————封————————————线——————————————是要死的.3、(10分)举例说明))()(()()(xBxAxxxBxxA∧∃⇒∃∧∃不成立.4、(10分)符号化下面命题，并构造推理证明：人是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的.——————————————密————————————封————————————线——————————————第五章一、填空1.6阶非Abel群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.2. 设集合A关于*满足( 、)，则(A, *)构成独异点.3. 任意6阶群的平凡子群一定是( )群.4.6阶非Abel群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.二、选择1. 设A是奇数集合，×为乘法运算，则(A，×)是( )(A) 半群(B) 群(C) 循环群(D) 交换群.2. 非零实数集合R– {0}关于数的乘法运算“⋅”构成一个群，令f: R– {0}→ R– {0},定义如下xxf1)(=，则Ker f = ( ).(A)0. (B) R– {0}.(C)1. (D) {1}.3.下列代数结构(G, *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q, “*”是数的乘法.(C)G = Z, “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.4. 设A是奇数集合，×为乘法运算，则(A，×)是( )(A) 半群(B) 群(C) 循环群(D) 交换群.三、判断1.任意有限域的元素个数为2n. ( )2.若H，K均为G的子群，则H⋃K也是G的子群. ( )3. 4阶循环群必存在4阶元素. ( )4. 任意有限群都与某置换群同构. ( )——————————————密————————————封————————————线——————————————四、综合1、 (10分)设),(⋅G是群，若函数1)(,:-=→xxfGGf是G的自同态，则G是Abel群.2、(10分)设),(⋅G是群，GKH≤,，若GKH=⋃，则GH=或GK=.3、(10分)证明：任意有限群G中，阶大于2的元素个数必是偶数.——————————————密————————————封————————————线——————————————第六章一、填空1.设}24,12,8,6,4,3,2,1{=L，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.2. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).3. 设),,(⋅+R是整环, 则),(+R是________, ),(⋅R是运算可交换的含幺________且_____零因子.4. 设),(≤L是分配格，对于任意Lzyx∈,,，若zxyx+=+且zxyx⋅=⋅，则( ).5.设}24,12,8,6,4,3,2,1{=L，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.二、选择1.图1的Hasse图所示的格中，( )没有补元.(A) a. (B) c. (C) e. (D) f.2.设R是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是(A)有界格(B)分配格(C)有补格(D)布尔格3．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是( )密————————————封————————————线——————————————4．在代数系统中，整环和域的关系是( )(A) 整环一定是域(B) 域不一定是整环(C) 域一定是整环(D) 域一定不是整环.5.设},,{cbaX=，则下列集合中，( )不是)),((⊆XP的子布尔代数.(A){∅, X}. (B) {{b}, {a, c}, X}. (C){ ∅, {a}, {b, c}, X}. (D){ ∅, {c}, {a, b}, X}.6.设),(≤L是至少3个元素的一条链，则),(≤L( ).(A)不是格. (B)是有补格. (C)是分配格. (D)是布尔格.7.下列集合( )关于给定的运算构成整环.(A)∈+baba,|2{3Z}关于数的加法和乘法.(B)∈+baba,|2{Z}关于数的加法和乘法.(C)∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛baabba,|{Z}关于矩阵的加法和乘法.(D) n{阶实矩阵}关于矩阵的加法和乘法.8. 下列偏序集，( )是格.密————————————封————————————线——————————————9.设p是素数且n是正整数，则任意有限域的元素个数为(A)np+(B)pn(C)n p(D)p n10.设Z+为正整数集合，E为正偶数集合，则格(Z+, |)与格(E, |)的关系为( )，其中“|”为整除关系.(A)同构. (B)自同构. (C)不同态. (D)不同构.三、判断1. 在同构意义下，有限布尔代数只有,,,),((⋂⋃XP∅, X). ( )2.任意有限域的元素个数为2n. ( )3. 在任意格),,(⋅+L中，有)()(cbacba⋅+≤⋅+. ( )4. 任意两个具有2n)1(≥n个元素的有限布尔代数都是同构的. ( )5. 设<L，≤>是格, 其中L ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, ≤为整除关系, 则3的补元是8. ( )6.整环不一定是域. ( )7. 任意链均为分配格.四、综合：(10分)设),(≤L是格，对于任意Lzyx∈,,有)()()(zxyxzyx+⋅+≤⋅+.——————————————密————————————封————————————线——————————————第七章一、填空、1.设有向图G = (V, E)，V = {v1，v2，v3，v4}，若G的邻接矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111111, 则v1的出度deg+(v1) =________, v1的入度deg-(v1) =________, 从v2到v4长度为2的路有________条.2.当n( )时，n阶完全无向图n K是平面图，当当n为( )时，n K是欧拉图.二、选择1. 一棵树有3个5度点、1个4度点、3个2度点，其它的都是1度，那么它的边数是（）(A) 17 (B) 18(C) 19 (D) 20.2.若简单无向图G与其补图G同构，则称G为自补图. 5阶不同构的自补图有( )个.(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.3.3阶完全无向图3K的不同构的生成子图有(A)2 (B)3 (C)4 (D)54.4阶完全无向图4K中含3条边的不同构的生成子图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)25．设G为有n阶简单图, 则有( )(A) Δ(G)＜n(B) Δ(G)≤n(C) Δ(G)＞n(D) Δ(G)≥n.10.任何无向图中，节点之间的可达关系是( )关系.(A)等价. (B)相容. (C)偏序. (D)拟序.6. 不同构的(5, 3)简单图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2——————————————密————————————封————————————线——————————————7.4阶完全无向图4K中含3条边的不同构的生成子图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、判断1. .设G是n(n为奇数)简单图，则G与G中度数为奇数的节点个数相同. ( )2. 设G是简单无向图，则G或G必连通. ( )3. 设G是简单图，则G与G中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、综合1、(10分)证明：一个图是强连通的，当且仅当图中有一个回路，它至少包含每个结点一次.2、(10分)下图给出了一个有向图.(1) 求出它的邻接矩阵A和可达矩阵P.(2) 求出A2，A3，A4.——————————————密————————————封————————————线——————————————第八章一、填空1. 对于n阶完全无向图K n, 当n为( )时是Euler图，当n ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图.2. 当________时, 完全图K n是非平面图. 对于二部图K m, n, 当________时, K m, n是平面图，当________时，K m, n是非平面图.3. 在下图中，_______________________________是其Euler轨迹(或Euler路).4.当n( )时，n阶完全无向图n K是平面图，当当n为( )时，n K是欧拉图.5. 完全二部图K m,n为哈密尔顿图，当且仅当( ).6. 当________时, 完全图K n是非平面图. 对于二部图K m, n, 当________时, K m, n是平面图，当________时，K m, n是非平面图.7. 设G是(7, 15)简单平面图，则G一定( )连通图，其每个面恰由( )条边围成，G的面数为( ).8. ( )无向图称为无向树.二、选择1. 下面既是汉密尔顿图又是欧拉图的图是( )——————————————密————————————封————————————线——————————————2．具有4个结点的非同构的无向树的数目是( )(A) 2 (B) 3(C) 4 (D) 5.三、判断1.任何),(mn平面图的面数2+-=nmr. ( )2. Hamilton图是连通图.( )3. 若G为平面图，则存在节点v, deg(v) ≤ 5. ( )四、综合1、(10分)设G是(n, m)无向图，若nm≥，证明G中必存在圈.2、(10分)设),(EVG=是连通赋权图，其各边上的权均不相同，},{21VV是V的划分，则1V与2V间的权最小的边必在G的最小生成树上.3、(10分)证明：在至少两个人的人群中，必有两个人有相同个数的朋友.4、(10分)将6阶完全无向图K6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K3或蓝色的K3.5、(10分)(1)给出(n, m)连通平面图的面数r计算公式.(2)若(n, m)连通平面图的每个面至少由5条边围成，给出n和m所满足的关系式.(3)证明：Petersen图不是平面图.6、(10分)今有n个人, 已知他们中任何2人的朋友合起来一定包含其余n -2人. 试证明：——————————————密————————————封————————————线——————————————(1) 当n≥3时，这n个人能排成一列，使得中间任何人是其两旁的人的朋友，而两头的人是其左边(或右边)的人的朋友.(2) 当n≥4时，这n个人能排成一圆圈，使得每个人是其两旁的人的朋友.7、(10分)设G是(n, m)无向图，若nm≥，证明G中必存在圈.8、(10分)设),(EVG=是连通赋权图，其各边上的权均不相同，},{21VV是V的划分，则1V与2V间的权最小的边必在G的最小生成树上.9、(10分)证明: 对于任意)2(≥nn个人的组里，必有两个人有相同个数的朋友..10、(10分)用有序树表示代数式)11/3())/43()2((+-+--xba.。

离散数学课后习题答案

第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。

离散数学第三版课后习题答案

反之，对任x∈（A\C）\（B\C），可知x∈A\C，xB\C。由x∈A\C，可知x∈A，xC。又因为xB\C及xC，可知xB。所以，x∈（A\B）\C。因此（A\B）\C（A\B）\C。
由此可得（A\B）\（B\C）（A\B）\C。
3）方法一：（A\C）\C
=A\（B∪C）(根据1))
=A\（C∪B）（并运算交换律）
4）真。因为是集合{}的元素；
5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；
6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；
8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4.对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
A′∪B=(A∪A′)∪B（∪的交换律）
A′∪B=X∪B（互补律）
A′∪B=Ｘ（零壹律）
方法三：因为A′X且BX，所以根据定理2的3）就有A′∪BＸ；
另一方面，由于BA′∪B及根据换质位律可得B′A′A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3），可得X=B∪B′A′∪B，即XA′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。
=（A\C）\B（根据1））
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，xB，xC。由为x∈A，xC，所以，x∈A\C。又由xB，x∈（A\C）\B。所以，（A\B）\C（A\C）\B。
同理可证得（A\C）\B（A\B）\C。
9.设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：
ABA′∪B=XA∩B′=
[解](采用循环证法)
离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
离散数学习题解答

离散数学课后习题答案(第一章)

1-1，1-2 （1）指出下列哪些语句是命题，那些不是命题，如果是命题，指出它的真值。 a) 离散数学是计算机科学系的一门必修课。是命题，真值为 T。 b) 计算机有空吗？不是命题。 c) 明天我去看电影。是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 请勿随地吐痰。不是命题。 e) 不存在最大的质数。是命题，真值为 T。 f) 如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。是命题，真值为 T。 g) 9+5 ≤ 12. 是命题，真值为 F。 h) X=3. 不是命题。 i) 我们要努力学习。不是命题。（2）举例说明原子命题和复合命题。原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3）设 P 表示命题“天下雪。 ”
习题 1-5 （1）试证下列各式为重言式。 a) (P∧(P→Q))→Q 证明：(P∧(P→Q))→Q ⇔(P∧(┐P∨Q))→Q ⇔(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q ⇔(P∧Q)→Q ⇔┐(P∧Q)∨Q ⇔┐P∨┐Q∨Q ⇔┐P∨T ⇔T b) ┐P→(P→Q) 证明：┐P→(P→Q) ⇔P∨(┐P∨Q) ⇔ (P∨┐P)∨Q ⇔T∨Q ⇔T
c) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) 证明：((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) 因为(P→Q)∧(Q→R)⇒(P→R) 所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。 d) ((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 证明：((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) ⇔((a∨c)∧b)∨(c∧a) ⇔((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a)) ⇔(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a) 所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 为重言式。（2）不构造真值表证明下列蕴含式。 a)(P→Q)⇒P→(P∧Q) 解法 1：设 P→Q 为 T （1）若 P 为 T，则 Q 为 T，所以 P∧Q 为 T，故 P→(P∧Q)为 T （2）若 P 为 F，则 Q 为 F，所以 P∧Q 为 F，P→(P∧Q)为 T 命题得证解法 2：设 P→(P∧Q)为 F ，则 P 为 T，(P∧Q)为 F ，故必有 P 为 T，Q 为 F ，所以 P→Q 为 F。解法 3： (P→Q) →(P→(P∧Q)) ⇔┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q)) ⇔┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q)) ⇔T 所以(P→Q)⇒P→(P∧Q) b)(P→Q)→Q⇒P∨Q 设 P∨Q 为 F，则 P 为 F，且 Q 为 F，故 P→Q 为 T，(P→Q)→Q 为 F，所以(P→Q)→Q⇒P∨Q。

离散数学习题

第一章习题之答禄夫天创作1.2.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。

（1）2是无理数。

（2）5能被2整除。

（3）现在开会吗？（4）x+5>0（5）这朵花真是好看！（6）2是素数当且仅当三角形有三条边。

（7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。

（8）2000年10月1日天气晴好。

（9）太阳系以外的星球上有生物。

（10）小李在宿舍里。

（11）全体起立。

（12）4是2的倍数或是3的倍数。

（13）4是偶数且是奇数。

（14）李明和王华是同学。

（15）蓝色和黄色可以调配成绿色。

1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。

1.3判断下列各命题的真值。

（1）若2+2=4，则3+3=6；（2）若2+2=4，则3+3≠6；（3）若2+2≠=4，则3+3=6；（4）若2+2≠=4，则3+3≠=6；（5）2+2=4，当且仅当3+3=6；（6）2+2=4，当且仅当3+3≠6；（7）2+2≠4，当且仅当3+3=6；（8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6；1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。

（1）如果今天是1号，则明天是2号；（2）如果今天是1号，则明天是3号；1.5将下列命题符号化。

（1）2是偶数不是素数；（2）小王不单聪明而且用功；（3）虽然天气冷。

老王还是来了；（4）他一边吃饭，一边看电视；（5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来；（6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来；（7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来；（8）不经一事，不长一智；1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r);（2）(p↔r)∧(⌝p∨s);（3）（p∧(q∨r)→((p∨q)∧(r∧s);(4)⌝(p∨(q→r∧⌝p)))→(r∨⌝s);1.6设p：2+3=5。

q：大熊猫产在中国。

r：复旦大学在广州。

求下列复合命题的真值：（1）(p q)→r（2）(r→(p∧q))┐p（3）┐r→(┐p∨┐q∨r)（4）(p∧q∧┐r)((┐p∨┐q)→r)1.7．用真值表判断下列公式的类型：方法不限。

哈工大《离散数学》教科书习题答案

教材习题解答第一章集合及其运算8P 习题3. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。

解：2210x x ++=的根为1x =-，故所求集合为{1}-4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈；b)对每个集A ，A φ⊆；c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈；e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆；g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆；i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈；k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆；m)对每个集A ，{}A A =；n){}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈；r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈；t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈；答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真5.设有n 个集合12,,,n A A A L 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆L ，试证：12n A A A ===L证明：由1241n A A A A A ⊆⊆⊆⊆⊆L ，可得12A A ⊆且21A A ⊆，故12A A =。

同理可得：134n A A A A ====L因此123n A A A A ====L6.设{,{}}S φφ=，试求2S ？解：2{,{},{{}},{,{}}}S φφφφφ=7.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。

证明：（1）当n ＝0时，0,2{},212S S S φφ====，命题成立。

（2）假设当(0,)n k k k N =≥∈时命题成立，即22S k =（S k =时）。

那么对于1S ∀（11S k =+），12S 中的元素可分为两类，一类为不包含1S 中某一元素x 的集合，另一类为包含x 的集合。

离散数学(1-4章)自测题(答案)

《离散数学》题库答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q5.答：（1）6.答：2不是偶数且-3不是负数。

7.答：（2）8.答：⌝P ，Q→P9.答：P(x)∨∃yR(y)10.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))11、a、(P→Q)∧R解：(P→Q)∧R⇔(⌝P∨Q )∧R⇔(⌝P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）⇔(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧R)∨((⌝P∨P)∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔m3∨ m1∨m7 （主析取范式）⇔m1∨ m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6 （主合取范式）b、Q→(P∨⌝R)解：Q→(P∨⌝R)⇔⌝Q∨P∨⌝R⇔M5（主合取范式）⇔ m0∨ m1∨ m2∨m3∨ m4∨m6 ∨m7 （主析取范式）c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式)12、a、P→Q，⌝Q∨R，⌝R，⌝S∨P=>⌝S证明：(1) ⌝R 前提(2) ⌝Q∨R 前提(3)⌝Q （1），（2）析取三段论(4) P→Q 前提(5)⌝P （3），（4）拒取式(6)⌝S∨P 前提(7) ⌝S （5），（6）析取三段论b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理c、A，A→B， A→C， B→(D→⌝C) => ⌝D证明：（1） A 前提（2） A→B 前提（3） B (1)，(2) 假言推理（4） A→C 前提（5） C (1)，(4) 假言推理（6） B→(D→⌝C) 前提（7） D→⌝C (3)，(6) 假言推理（8）⌝D (5)，(7) 拒取式d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确13.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2映射的有关概念1.分别计算⎡1.5⎡，⎡-1⎡，⎡-1.5⎡，⎡1.5⎡，⎡-1⎡，⎡-1.5⎡.求解⎡1.5⎡=2，⎡-1⎡=-1，⎡-1.5⎡=-1，⎡1.5⎡=1，⎡-1⎡=-1，⎡-1.5⎡=-2.2.下列映射中，那些是双射?说明理由.(1)f:z→z,f(x)=3x.(2)f:z→n,f(x)=|x|+1.(3)f:r→r,f(x)=x3+1.(4)f:n⨯n→n,f(x1,x2)=x1+x2+1.(5)f:n→n⨯n,f(x)=(x,x+1).解(1)对于任意对x1,x2∈z，若f(x1)=f(x2)，则3x1=3x2，于是x1=x2，所以f是单射.由于对任意x∈z，f(x)≠2∈z，因此f不是满射，进而f不是双射.(2)由于2,-2∈z且f(2)=f(-2)=3，因此f不是单射.又由于0∈n，而任一x∈z均存有f(x)=|x|+1≠0，于是f不是单射.似乎，f不是双射.(3)对于任意对x1,x2∈r，若f(x1)=f(x2)，则x1+1=x2+1，于是x1=x2，所以f是单射.对于任意y∈r，取x=(y-1)，这时1⎡⎡3f(x)=x+1=⎡(y-1)3⎡+1=(y-1)+1=y，⎡⎡33313所以f就是单射.进而f就是双射.(4)由于(1,2),(2,1)∈n⨯n且(1,2)≠(2,1)，而f(1,2)=f(2,1)=4，因此f不是单射.又由于0∈n，而任意(x1,x2)∈n⨯n均有f(x1,x2)=x1+x2+1≠0，于是f不是满射.显然，f就不是双射.(5)由于x1,x2∈n，若f(x1)=f(x2)，则(x1,x1+1)=(x2,x2+1)，于是x1=x2，因此f就是单射.又由于(0,0)∈n⨯n，而任一x∈n均存有f(x)=(x,x+1)≠(0,0)，于是f不是单射.因为f不是单射，所以f不是双射.3.对于有限集合a和b，假定f:a→b且|a|=|b|，证明:f是单射的充要条件是f是满射.对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒)因为f就是单射，所以|a|=|f(a)|.由于|a|=|b|，所以|f(a)|=|b|.又因为b非常有限且f(a)⊆b，故f(a)=b，即f就是单射.(⇐)若f是满射，则f(a)=b.由于|a|=|b|，于是|a|=|f(a)|.又因为a和b是有限集合，因此f是单射.对于无穷子集，上述结论不设立.比如f:n→n，f(x)=2x，f就是单射，但f不是单射.4.设f:a→b,试证明:(1)fib=f.(2)iaf=f.特别地，若f:a→a，则fia=iaf=f.证(1)对于任意x∈a，由于f(x)∈b，所以(fib)(x)=ib(f(x))=f(x)，因此fib=f.(2)对于任一x∈a，由于ia(x)=x，所以(iaf)(x)=f(ia(x))=f(x)，于是存有iaf=f.由(1)和(2)知，若f:a→a，则fia=iaf=f.5.试列举一个例子表明ff=f设立，其中f:a→a且f≠ia.若f的逆映射存有，满足条件的f还存有吗?解令a={a,b,c}，f(a)=f(b)=f(c)=a，即对于任意x∈a，f(x)=a，显然f:a→a且f≠ia.而对于任意x∈a，有(ff)(x)=f(f(x))=f(a)=a，因此ff=f.若ff=f且f的逆映射f-1存有，由第3题知ff=f=fia，所以-1-1于是利用定理7有(ff)f=(ff)ia，f-1(ff)=f-1(fia)，进而iaf=iaia，因此f=ia.所以若f的逆映射存有，满足条件的f不存有.6.设f:a→b,g:b→c.若f和g是满射，则fg是满射，试证明.证因为f就是单射，所以f(a)=b.又因为g就是单射，所以g(b)=c.于是(fg)(a)=g(f(a))=g(b)=c，因此fg就是a至c的单射.另证对于任意z∈c，因为g是满射，于是存在y∈b使得g(y)=z.又因为f是满射，存在x∈a使得f(x)=y.因此，(fg)(x)=g(f(x))=g(y)=z，所以fg是a到c的满射.7.设f:a→b,g:b→c.试证明:若fg就是单射，则f就是单射.试举例说明，这时g不一定就是单射.证对于任意x1,x2∈a，假定f(x1)=f(x2)，则显然g(f(x1))=g(f(x2))，即(fg)(x1)=(fg)(x2).因为fg是单射，所以x1=x2，于是f是单射.比如a={a,b}，b={1,2,3}，c={α,β,γ,δ}，令f(a)=1,f(b)=2，g(1)=α,g(2)=β,g(3)=β，则似乎存有(fg)(a)=g(f(a))=g(1)=α,(fg)(b)=g(f(b))=g(2)=β,于是fg就是a至c的单射，但g似乎不是单射.8.设f:a→b,若存在g:b→a，使得fg=ia且gf=ib，试证明:f是双射且f-1=g.证因为fg=ia，而ia就是单射，所以f就是单射.又因为gf=ib，而ib就是单射，所以f就是单射.因此f就是双射.由于f是双射，所以f而(f-1-1存有.因为fg=ia，于是f-1(fg)=f-1ia.f)g=f-1ia且ibg=f-1，所以存有f-1=g.9.设f:a→b,g:b→c.若f和g是双射，则fg是双射且(fg)-1=g-1f-1.-1-1证根据定理4(1)(2)言，fg就是双射.下证(fg)=gf-1.因为(fg)(g-1f-1)=f(gg-1)f-1=fibf-1=ff-1=ia，(g-1f-1)(fg)=g-1(f-1f)g=g-1ibg=g-1g=ic，在上面的推导中多次利用了定理7.由第7题知，(fg)-1=g-1f10.设g就是子集a至a的所有双射共同组成的子集，证明(1)任意f,g∈g，有fg∈g.(2)对于任一f,g,h∈g，存有(fg)h=f(gh).(3)ia∈g且对于任意f∈g，有iaf=fia=f.(4)对于任一f∈g，存有f-1-1.∈g且ff-1=f-1f=ia.证(1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11.若a={a,b,c},b={1,2},问a到b的满射、单射、双射各有多少个?试推广你的结论.求解将a中的3个元素对应至b中的2个元素，相等于将3个元素分为2部分，共计3种分法;在排序a至b的单射个数时还须要将b中元素展开排序，共计2种排序方式，于是a至b的单射共计3⨯2=6个(恳请自己分别写下a至b的6个单射).由于|a|=3,|b|=2，所以a到b的单射没有，进而a到b的双射也没有.假设|a|=m,|b|=n.(1)a至b的单射若m(2)a到b的单射若m>n，不存在单射；若m≤n，由于b中任意选取m个m元素，再将其展开全系列排序都获得a至b的单射，故a至b的单射共计cn⋅m!个.(3)a到b的双射若m≠n，不存在双射；若m=n，此时b中元素的任意一个排列均可得到一个a到b的双射，因此a到b的双射共有m!个.12.设a,b,c,d就是任一子集，f就是a至b的双射，g就是c至d的双射，令h:a⨯c→b⨯d，对任一(a,c)∈a⨯c,h(a,c)=(f(a),g(c)).证明:h就是双射.证对于任意(a1,c1)∈a⨯c，(a2,c2)∈a⨯c，假定h(a1,c1)=h(a2,c2)，即(f(a1),g(c1))=(f(a2),g(c2))，于是f(a1)=f(a2)且g(c1)=g(c2)，根据未知条件存有a1=a2且c1=c2，进而(a1,c1)=(a2,c2)，因此h就是单射.任意(b,d)∈b⨯d，则b∈b,d∈d，由于f是a到b的双射且g是c到d的双射，于是存在a∈a,c∈c使得f(a)=b,g(c)=d，因此h(a,c)=(f(a),g(c))=(b,d)，所以h是满射.故h就是双射.13.设f:a→b,g:b→c,h:c→a，若fgh=ia，ghf=ib，hfg=ic，则f,g,h均可逆，并求出f-1,g-1,h-1.证因为并集态射就是双射，多次采用定理6即可得结论.由于fgh=ia，所以f是单射且h是满射.由于ghf=ib，所以g是单射且f是满射.由于hfg=ic，所以h是单射且g是满射.于是f,g,h是双射，因此f,g,h均可逆.由于fgh=ia，所以f-1=gh且h-1=fg，进而g-1=hf.14.已知ackermann函数a:n⨯n→n的定义为(1)a(0,n)=n+1,n≥0;(2)a(m,0)=a(m-1,1),m>0;(3)a(m,n)=a(m-1,a(m,n-1)),m>0,n>0.分别计算a(2,3)和a(3,2).求解由未知条件存有a(0,1)=2，a(1,0)=a(0,1)=2，于是a(1,1)=a(0,a(1,0))=a(0,2)=2+1=3，a(1,2)=a(0,a(1,1))=a(0,3)=3+1=4，由此可进一步得出a(1,n)=n+2，a(2,0)=a(1,1)=3，a(2,1)=a(1,a(2,0))=a(1,3)=3+2=5，a(2,2)=a(1,a(2,1))=a(1,5)=5+2=7，a(2,3)=a(1,a(2,2))=a(1,7)=7+2=9.因此有 a(2,n)=2n+3，a(3,0)=a(2,1)=2⋅1+3=5，a(3,1)=a(2,a(3,0))=a(2,5)=2⋅5+3=13，a(3,2)=a(2,a(2,2))=a(2,13)=2⋅13+3=29.所以存有a(2,3)=9,a(3,2)=29.。