高中圆的基本性质与点圆关系 知识点及试题答案

高中圆的基本概念与点圆关系 知识点与答案解析

第一节 圆的基本概念

1.圆的标准方程：222()()x a y b r （圆心(,)a b ，半径为r ）

例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径

（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2 (a ≠0)

例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.

例3 已知三点A (3，2)，B (5，–3)，C (–1，3)，以P (2，–1)为圆心作一个圆，使

A 、

B 、

C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.

2.圆的一般方程：2

20x y Dx Ey F （其中2240D E F ），圆心为点)2,2(E D ——，半径2

422F E D r —

（Ⅰ）当2

240D E F 时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22

D E （Ⅱ）当2240D E F 时，方程不表示任何图形。 例1：已知方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k 的取值范围。

解： 方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，

∴0)83(44)2(22>+-+k k ，解得14-<>k k 或

∴当14-<>k k 或时，方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。

例2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m 的值是＿＿＿。

答案：－3

例3：求经过三点A （1，－1）、B （1,4）、C （4，－2）的圆的方程。

解：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，

A （1，－1）、

B （1,4）、

C （4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得

⎪⎩

⎪⎨⎧-=+--=++-=+-20241742F E D F E D F E D ，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2

∴所求圆的方程为023722=+--+y x y x 。

例4：若实数y x ,满足042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是__________。 解：由042422=--++y x y x ，得9)1()2(22=-++y x

∴点P(x, y)在以（－2,1）为圆心，半径r=3的圆C 上，

5)10()20(||22=-++=OC ，

∴原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为｜OC ｜＋r ＝5＋3

∴22y x +的最大值为5614)35(2+=+。

3.圆的一般方程的特点：

(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0。

②没有xy 这样的二次项。

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。

(3)与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。

4.圆的一般方程变形

如果220Ax Bxy Cy Dx Ey F 是圆，一定有（1）A=C 0；（2）B=0；（3）D2+E2-4AF>0。反之，也成立。

例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

2

22214441290244412110x y x y x y x y

例2：方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆时, m 的取值范围是（ D ）

A. 114m

B. 1m

C. 14m

D. 14m 或1m 例3：如果圆的方程为x 2+y 2+kx+2y+k 2=0，那么当圆面积最大时圆心坐标为（ ）

A.（-1，1）

B.（1，-1）

C.（-1，0）

D.（0，-1）

例4：圆0sin 2cos 222=+-+θθay ax y x 的圆心坐标为 ，半径为 .

例5：方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0表示一个圆。

1：求实数m 的范围。

2：求该圆半径r 的范围。

3：求圆心C 的轨迹的普通方程。

解：(1)方程表示圆的充要条件是2240D E F ，即：

4(m +3)2+4(1-4m 2)2-4(16m 4+9)>0，

解之得-71

(2)2

422F E D r — ，得到r 的取值范围

(3)设圆心为(x ，y )，

则

消去m 得：y =4(x -3)2-1，

∵-71

∴720

即轨迹为：y =4(x -3)2-1(720

例6：已知实数y x ,满足等式9)3()4(22=++-y x ，求y x +的最值。

第二节 点与圆的关系

1.点00(,)M x y 与圆2

22()()x a y b r 的关系的判断方法 （1）220

0()()x a y b >2r ，点在圆外 （2）220

0()()x a y b =2r ，点在圆上 （3）220

0()()x a y b <2r ，点在圆内

例1：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C 求它的外接圆的方程。 解析：用待定系数法确定a b r 、、三个参数。

例2：已知圆经过点(1,1)A 和(2,2)B ,且圆心在:10l x y 上,求圆的标准方程。

解析：圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B ,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。 例3：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M ---是否在这个圆上。

2.圆的对称性问题：圆的对称性问题可以转化为原点的对称性，而圆的半径r 相等。

例1：求x 2+y 2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程

解析：圆方程可以转化为(x+2)2+(y-6)2=1，圆心O(-2,6)，半径为1。设圆心关于直线的对称点O'(a,b) ，OO'和直线3x-4y-5=0对称，因此有：

解得

所求圆的方程为

223226()()155x y 。

3.与圆有关的轨迹方程