第九讲____完全平方数

第九讲 完全平方数

完全平方数是数论中的一个重点知识，也是各大杯赛中常考的一个知识点。这一讲学员需要掌握的主要是完全平方数的性质及灵活运用。

一、完全平方数的定义

把一个自然数平方后所得到的数叫做完全平方数或平方数。

二、常用完全平方数表

三、完全平方数性质

1、平方数的尾数特征（通过列表的观察可得）

性质1：完全平方数的个位只可能是0,1,4,5,6,9。

性质2：如果一个自然数介于两个连续的平方数之间，则这个数一定不是完全平方数。

性质3：若一个平方数的个位是6，则十位是奇数；

若一个平方数的个位是0 若一个平方数的个位是52、平方数的余数特征 性质4：完全平方数除以3的余数只能是0、1。 完全平方数除以4的余数只能是0、1。 完全平方数除以8的余数只能是0、1、4。完全平方数除以16的余数只能是0、1、43、平方数的因数特征

性质5 性质6: 完全平方数的因数有奇数个。

4、平方数的差特征

性质7：平方差公式： , 其中 和 的奇偶性相同。

四、完全平方数性质的灵活运用

1、平方数的基础练习

（1）不超过2010的最大的完全平方数是多少？估算 ， ，所以应该在40-50之间， ，所以

不超过2010的最大的平方数应该是

（2）一个平方数，它的最后三位数字相同但不为0，则该数最小是多少？性质1，个位只能是1,4,5,6,9，所以最小的应该是

111,444,555,666,999，但用余数特称有都被淘汰所以

最小只能是1111,1444,…，最后验证得到

注：在这7个性质中5,6,7是各大杯赛的常考点， 性质1-4主要是用于判断一个数是否为平方数。

2、平方数的例题讲解

例1、分析：肯定是发错了。作业本的总数量如果是个完全平方数的话由性质1可知，平方数的个位只能是0、1、

4、5、6、9，所以除以5的余数只能是0、1、4，而题每人5本最后余3本，所以不可能。

拓展练习：（1）1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6的结果是完全平方数吗？

提示：不是，该式子的结果个位为1+2+6+4+0+0=3，（性质1）

（2）我们知道：，，都是完全平方数，那么121+12321+1234321+ …+12345678987654321是不是完全平方数？

提示：不是。该式的个位是8个1相加得8，所以不是平方数。（性质1）

（3）完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9，可是个位数字是0,1,4,5,6,9的数不一定都是完全平方数。那么我们定义：个位是0,1,4,5,6,9，且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数和伪平方数

那个多？

提示：两位数共90个其中偶数共45个。两位数中个位为0,1,4,5,6,9的数各有9个，共6×9=54个，其中平方数有4-9的平方，共6个。所以伪平方数共54-6=48个。所以伪平方数大于偶数。

例2、分析：不能。（1）平方数的尾数特征性质3可知，个位为奇数，十位必为偶数，所以不能。（2）平方数的余数特征性质4，平方数除以4的余数只能是0,1。而这些数除以4的余数都是3。（看后两位）。所

以不能。

拓展练习：（1）除以4的余数是多少？

提示：平方数除以4的余数只有0,1。奇数的平方除以4的余数为1，偶数的平方除以4的余数为0，所以原题中应该是1005个1与1005个0的和，即1005除以4的余数1。（余数的性质：和的余数等于余数的和）。

（2）除以3的余数是多少？

提示：平方数除以3的余数只有0,1。3的倍数的平方除以3的余数为0，不是3的倍数的自然数平方除以3的余数都为1，所以原题中余数的和为1+1+0+1+1+0+…+1+1+0=2010÷3×2=1340，最后除以3的余数为

1340÷3=446……2。余数为2

（3）A是由2002个4组成的多位数，即444…44,则A是不是一个平方数？

提示：A=444…44=4×111…11=×111…11.A若想是个平方数则111…11必须也得是平方数，而111…11除以4的余数为3，所以不是。（同例2）

（4）数学课上，老师让同学们求两个边长为整数的正方形的面积和，三个学生分别给出了如下答案：997,998,999。老师说只有一个人做对了，那么正确答案是哪个？

提示：本题需要注意的是答案应该是两个平方数的和，所以平方数的性质不能直接用。

（1）平方数除以4的余数为0,1。所以两个平方数的和除以4的余数只能是0,1,2。因此999淘汰。（余3）

（2）平方数除以8的余数为0,1,4。所以两个平方数的和除以8的余数应该是0,1,2,4,5.因此998淘汰（余6）

最后就剩下997了。997=961+36=

例3、分析：本题主要运用的是平方数的因数特征性质5，即315×a的结果分解质因数后质因数的次数应该是偶数次的，而315=，所以a必须至少有1个5,1个7才能保证315×a分解质因数后质因数

的次数是偶数次的。所以a=5×7=35

拓展练习：（1）2160除以一个自然数的商是个完全平方数，则这个数最小是多少？（15）（2）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？（15）

（3）1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的共有几个？

提示：72=，要想使得一个数乘以72以后是平方数则这个自然数分解后必须至少有一个2和一个平方数才能使得积是一个平方数，2×，所以共31个。

（4）将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积是正好是平方数，那么这个平方数可能是几？

提示：若要使质数乘积为平方数，则质数必须成对出现，第一步我们可以把16分解成8加8，但8还不是质数。

第二步，我们可以把8分解成质数的和：2+2+2+2；2+3+3；3+5。则最后平方数只能是（）

；；（）。最后是256,324,225

例4、分析：本题主要是应用的平方数的因数特征，性质6。有奇数个因数的数必为平方数，所以本题实际就是求的是100以内的平方数有几个，共10个。