最新-2018新高考全案高考数学 17-4几何证明选讲2课件 精品

• 8．圆内接四边形的判定 • 如果一个四边形的一组对角 互补 内接于圆．
，那么这个四边形
• 9．圆内接四边形的性质
• 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都 等于 它的内对角．
• 1．(2011·广州一模)(几何证明选讲选做题)如下图所示， CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1， ∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．
• 5．弦切角定理 • 弦切角的度数 等于 它所夹的弧的度数的一半． • 推论：弦切角 等于 它所夹弧所对的圆周角．
• 6．相交弦定理 • 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积 相等 ．
• 7．切割线定理
• 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的 比例中项 ．
∴CP＝PPAD2＝
223a2＝98a.
3a
[答案]
9 8a
•
如图，梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，求证：A
、B、C、D共圆．
• [证明] ∵梯形ABCD是等腰梯形． • ∴∠A＝∠D • 又∵AD∥BC • ∴∠C＋∠D＝180° • ∵∠A＋∠C＝180° • ∴A、B、C、D共圆． • [点评与警示] 证明四点共圆通常证四边形的对角互补或 它的一个外角等于它的内角的对角．
• (2009·宁夏海南卷理)如图，已知△ABC的两条角平分 线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF. • (1)证明：B，D，H，E四点共圆； • (2)证明：CE平分∠DEF.
• [证明] (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋ ∠BCA＝120°， • 因为AD，CE是角平分线， • 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， • 故∠AHC＝120°. • 于是∠EHD＝∠AHC＝120°， • 因为∠EBD＋∠EHD＝180°， • 所以B，D，H，E四点共圆．
[解析] ∵AC、AD 分别是⊙O′、⊙O 的切线，AB 是 两圆的公共弦，由弦切角定理得∠CAB＝∠ADB，
∠DAB＝∠ACB， ∴△ABC∽△DBA， ∴BACB＝BADB，∴AB2＝BC·BD＝2×6， ∴AB＝2 3. • [[答点案评]与警2 示3.] 本题根据弦切角定理推出角相等，从而转 化为相似三角形问题来解决．
• [答案] 3
3．(2011·惠州二模)(几何证明选讲选做题)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AB＝2，AC 和 AD 是⊙O 的两条弦，AC ＝ 2，AD＝ 3，则∠CAD＝________.
[解析] 连结 BC、BD，则∠ACB＝∠ADB＝90°，
在 Rt△ABC 中，cos∠CAB＝AACB＝ 22，∴∠CAB＝4π；
• (2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°. • 由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝ 30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得 ∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.
• (2010·天津，11)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四
已知圆 O 的半径为 3，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC，圆心 O 到 AC 的距离为 2 2，AB＝3，则切线 AD 的长为 ________．
[解析] 由 OC＝3，O 到 AC 距离为 2 2知 BC＝2
由 AD2＝AB·AC＝3×5 知 AD＝ 15.
[答案] 15
• 1．解决平面几何问Fra Baidu bibliotek时，当条件较分散时，可适当添作 辅助线，使得分散的条件集中，并要分析待证明的结论与已 知条件关系，逐步消除差距．
边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则ABDC的 值为________．
[解析] 由切割线定理知 PB·PA＝PC·PD.
令 PB＝x，则 PA＝2x，
PC＝y，则 PD＝3y， ∴PB·PA＝2x2，PC·PD＝3y2，
∴2x2＝3y2，xy＝
2 3.
∵△PBC∽△PDA，
• 1．熟悉下列与圆有关的概念 • 圆的切线、割线、三角形的内切圆与旁切圆，圆心角，圆 弧的度数，圆周角，弦切角．
• 2．圆的切线的判定 • 经过圆的半径的外端且 垂直 于这条半径的直线，是圆 的切线．
• 3．圆的切线的性质 • 圆的切线 垂直 过切点的半径． • 推论：①从圆外的一个已知点所引的两条切线长 相等 ． • ②经过圆外的一个已知点和圆心的直线， 平分 从这点向 圆所作的两条切线所夹的角． • 4．圆周角定理 • 圆周角的度数 等于 它所对弧的度数的一半． • 推论：①直径(或半圆)所对的圆周角是 直角 ． • ②同弧或等弧所对的圆周角 相等 ． • ③等于直角的圆周角所对的弦是圆的 直径 ．
• [ 解 析 ] ∠A ＝ ∠BCD ＝ 30° ， 从 而 ∠BOC ＝ 60°.∴△OBC是等边三角形． • ∴圆的半径为1，面积为π. • [答案] π
• 2．(2009·深圳二模)如下图所示，已知EB是半圆O的直径 ，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C ，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.
∴DBCA＝PPAC＝2yx＝12
23＝
6 6.
[答案]
6 6
• 如图：PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，并且 不过圆心 O，已知∠BPA＝30°，PA＝2 3，PC＝1，则圆 O 的半径等于__________．
• [解析] 由圆的性质PA2＝PC·PB，得PB＝12，连接OA并 反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD＝4 ， DA ＝ 2 ， 故 CD ＝ 3 ， DB ＝ 8 ， 记 圆 的 半 径 为 R ， 由 于 ED·DA＝CD·DB • 因此，(2R－2)·2＝3·8，解得R＝7. • [答案] 7
• 2．在圆中证明线段的关系式首要考虑的是几个重要定理 ，结合相似三角形进行等比代换或等线代换，圆中角的关系 ，则往往利用圆周角，弦切角，圆心角与弧的关系转化．
(2010·广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD ＝23a，∠OAP＝30°，则 CP＝________.
[解析] ∵P 是弦 AB 的中点，∴OP⊥AB.
在 Rt△AOP 中，∠OAP＝30°，OA＝a，
∴AP＝ 23a＝BP.又∵CP·PD＝PA·PB，
在 Rt△ABD 中，cos∠DAB＝AADB＝ 23， ∴∠CAB＝π6；∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝51π2.
[答案]
5π 12.
• 如下图所示，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的 切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，若 BC＝2，BD＝6，则AB的长为________．