浙大考研资料-浙江大学电磁学课件-第二章

x1
N
是曲线下某窄条的面积，表示位置 处于x1到x2范围内的概率。
黑点沿平面位置分布的概率密度
f (x, y) f (x) f ( y) dN Ndxdy
x2 y2 f (x, y)dxdy x2 f (x)dx y2 f ( y)dy N
x1 y1
x1
y1
N
表示位置黑点处于靶平面上某面元 ΔxΔy 内的概率。
A
v1
v2 f (v)dv
v1
4、三种速率之比
v p : v : vrms 1:1.128 :1.224
vp, v,
v2
kT m
T , vp
例: 设速率分布函数f(v)=Cv2 ,v＜v0;
f(v)
f(v)=0, v＞v0; C为常量。求：1）归一
化常数C；2）最概然速率，平均速率
和方均根速率；3）速率在0到v0/2之 间的分子的方均根速率
A
B
vx
v´x <0
B区的气体在x方向获得的动量：
dk=mvx-mv´x=m(vx- v´x)
dk
每交换一对分子B区气体受到A区气体的作用力： dt
dt时间内A区气体通过dA的速度为v的分子数为：
ndAvxdt f (v)dv
dt时间内A区气体通过dA输送到B区的总动量：
K 0 dvx dvy dvzmvx nvx f (vx , vy , vz )dtdA
v2 3 2,
2
v2 3kT , 2kT
Leabharlann Baidu
m
m
F(v)
dN v
( m ) e 3 2 m(v2x v2y v2z )/ 2kT
Ndvxdvydvz 2 kT
§2.5 气体分子碰壁数与压强
容器体积为V， 分子数为N，单位时间内与单位面 积器壁碰撞的分子数叫气体分子碰壁数。
dA
v
x
dt 时间内能碰到 dA的速度为v的分子，
设总分子数为N，速率在 v －v ＋dv 间隔的分子数为
ΔN，则ΔN/N为相对分子数，也就是一个分子的速率在
v －v ＋dv 间隔内的概率
v为横坐标，按Δv将横坐标分 割成小区间，以Δv为宽作矩形， 矩形面积正比于ΔN/N ，可得右图
当Δv →0，得到光滑曲线，这 曲线 f (v)便是速率分布函数
Mmg z
mg z
p p0e RT p0e kT
m : 单分子质量
p nkT ,
mg z
Ep
n n0e kT n0e kT
等温大气标高
H kT RT mg M m g
Mmg z
z
p p0e RT p0e H ,
当H z，p p0/e
问题：真懂了吗？
三、均方偏差
偏差 ui ui u 的平均值为零，但均方偏差的平
均值不为零，反映随机变量偏离平均值的程度
(u)2 (ui )2Pi (ui2Pi 2uiuPi u 2Pi )
u2 2u u u 2 u2 u 2 0,
u2 u 2
均方根偏差 (Δu)rms
解：1) 求归一化常数
v0
v
f (v)dv
v0 Cv2dv 1,
0
0
C 3 v03
2) vp v0
v
v f (v)dv
0
v0
0
vCv2dv
C 4
v04
3 4
v0
v2
v2 f (v)dv
0
v0
0
v2Cv2dv
3 5
v02
v2
3 5
v0
3）速率在0到v0 /2之间的分子的方均根速率
f
(vx
)
(m 2 kT
)1/ 2
mv2x
e 2kT
,
此为速度分量的分布函数，是一个偶函数。
四、麦克斯韦速度分布律的推导
总粒子数N， 粒子速度在x, y, z 三个方 向的分量分别为vx, vy, vz
1. 由平衡态各向同性
dN vi N
g(vi )dvi
i x, y, z
2. 由速度各向独立性
v2
v0 / 2 v2 f (v)dv
0
v0 / 2 f (v)dv
0
v0 / 2 v2Cv2dv
0
v0 / 2 Cv2dv
3v02 20
0
v2
3 20
v0
§2.4 麦克斯韦速度分布
一、速度空间 速度空间：以vx，vy，vz为坐标轴的三维空间
速度空间中的一个点，代表一 个具有某一速度的分子
第二章 分子动理学理论的平衡态理论
§2.1 分子动理学理论与统计物理学
确定N个分子的微观运动状态需要6N个参量。 虽然每个微观粒子的运动看是“无规”和偶然的，但 大量粒子的集合，却呈现出规律性，称为统计规律。统计 规律的基础是大量粒子的集体行为和微观粒子的运动规律。
当我们关心系统的宏观性质而不是个别粒子的行为 时，统计规律使问题得到简化。
统计物理学：分子动理学理论 系综理论 非平衡态统计
§2.2 概率论的基本知识
一、等概率性与概率的基本性质
1、概率的定义
随机事件：在一定条件下，如一事件可能发生也可能 不发生，这事件便称为随机事件。
设试验总次数为 N，事件 i 发生的次数为Ni ，事件的
概率为
N
P lim i
i
N N
Pi 1: 归一化条件
速度空间一体积元dvxdvydvz 内的 分子数，就是体积元内的代表点 的数目
vx
vz P(vx, vy, vz)
v
vy o
二、麦克斯韦速度分布函数
在速度空间， 速率在v—v+dv间隔内的分子，应分布
在以o为圆心，以v为半径，厚度为dv的球壳内，分子数为
dN Nf (v)dv N 4 (
m
)3
/
2
e
mv2 2kT
v
2
dv
2 kT
单位体积内的分子数为
dN
4 v2dv
N( m
2 kT
)3/
2
e
mv2 2kT
v+dv v
体积元dvxdvydvz内的分子数为
dN
4 v2dv
dvxdvydvz
N( m 2 kT
)3
/
2
e
mv2 2kT
dvx
dv
y
dvz
dN N
(m 2 kT
)3
/
2
e
mv2 2kT
f (v) dN Ndv
v
2、分布函数的物理意义
f (v) dN Ndv
速率在v附近单位速率间隔内的分子数占 总分子数的比率，称速率分布函数
f (v)dv dN N
速率在v—v+dv间隔内的分子数占总分子 数的比率，称速率分布
v2 f (v)dv N
v1
N
曲线下阴影的面积，速率在 v1—v2之间的分子数占总分 子数的比率
一柱定体位内于。以速d度A在为底，以v －vxdvt＋为间高dv隔的的斜
分子数密度
n f (v) dv
此体积内的分子数
vxdt
dA vx dt n f (v) dv
对所有可能的速度积分，其中vx>0，
N 0 dvx dvy dvznvx f (vx , vy , vz )dtdA
n
0 vxdvx
dN
v
N
g(vx )g(vy )g(vz )dvxdvydvz
3. 由于平衡态各向同性，速度分布与速度方向无 关， 所以， 速度分布函数只是速度的大小的函数。
F g(vx )g(vy )g(vz ) F(vx2 v2y vz2)
g(vx ) CeBvx2
F CeBv2x CeBv2y CeBv2z C e3 B(v2x v2y v2z ) C 3eBv2
K K K
ndvx
mvx2
f
(vx )dtdA
nmvx2dtdA
nkTdtdA
p K nkT dtdA
气体内部任一点的压强与器壁上的压强相等（为什么？）
§2.6 玻尔兹曼分布
一、等温大气压强公式
dz
dp gdz, pM m（理想气体） z
RT
dp Mm g dz
p
RT
二、平均值及其运算法则
设 u 是一随机变量，以概率Pi 取值 ui （事件）， 其
平均值
u 1
N
i
Niui ,
N Ni i
Ni N
ui
Piui ,
N
平均值运算法则 (1) 设 f (u)是随机变量u的函数，则
f (u) f (ui )Pi
(2) f (u) g(u) f (u) g(u) (3) cf (u) c f (u) (4) f (u) g(v) f (u) g(v) （u 和 v 互相独立）
dt时间内B区气体输送到A区的总动量：
K 0 dvx dvy dvzmvx nvx f (vx , vy , vz )dtdA
0 dvx dvy dvzmvx nvx f (vx , vy , vz )dtdA
(注意，v’x , dv’x <0)
dt时间内B区的气体在x方向获得的动量的增量：
m
m
2、平均速率
对随机变量A，Ai 出现的概率是P i= Ni/N，统计平均值
A PiAi NiAi N
若变量连续取值，则
A Af (v)dv
(1)
设总分子数为N，速率在vi—vi+Δv间隔的分子数为 ΔNi，则全部分子的平均速率
v Nivi Pivi N
v 1
vdN
确定常数：B应当小于0。设B＝－1/α
dNv N
C3e(v2x v2y v2z )/ dvxdvydvz
归一化：
dNv C3
N
ev2x/ dvx
ev2y/ dvy
ev2z / dvz 1
C 1
速率分布： dNv 4 v2ev2/ dv N 3 3
常数 由实验确定，例如，计算得：
概率之和。
例如，图案向上和数字向上是相互排斥事件。
同时或依次发生的互不相关事件的总概率等于每个 事件发生的概率的乘积。
例如，抛硬币1出现图案和抛硬币2出现数字，是互 不相关事件，同时或依次发生的概率是1/4。如果从定义 出发计算这一概率，请注意什么是等概率事件。
如果硬币不可分辨，计算结果会不同。例如，一个 硬币是图案，而另一个硬币是数字的概率是1/2。
§2.3 麦克斯韦速率分布
1920年，朗缪尔实验
一、测定分子速率的实验
两相同圆盘，狭缝错开 一角度，
t L v L
v
能够通过狭缝到达探测器D的分子，其速率必须满足此 式。由于狭缝有一定的宽度，所以通过狭缝的分子的速率 有一个范围 v—v+Δv 。实验表明，对应不同的ω，探测器 测到的分子数是不同的。
dvxdvydvz
f (vx , vy , vz )dvxdvydvz
即为麦克斯韦速度分布，可记为 f (v)dv，而 f (v) 为
麦克斯韦速度分布函数。
三、速度分量的分布函数
dN N
(m 2 kT
)3/
2
e
m(
v2x v2y 2kT
v2z
)
dvxdv
y
dvz
f (vx )dvx f (vy )dvy f (vz )dvz
相对均方根偏差（涨落）
(Δu)2
(Δu)rms (Δu)2
u
u
四、概率分布函数 当随机变量连续变化时，
概率 Pi 连续分布。
ΔN/N是在x－x＋Δx窄条内 找到黑点的概率
黑点沿x方向分布的概率密度
f (x) lim N x0 N x
概率密度也称概率分布函数
P59图2.2
x2 f (x)dx N
v f (v)dv
Cv
3e
mv2 2 kT
dv
N0
0
0
8kT 1.60 kT
m
m
3、均方根速率
v2 v2 f (v)dv 3kT
0
m
v2 3kT 1.73 kT
m
m
请注意：如果分布函数未归一化，则
A Af (v)dv
(2)
f (v)dv
例如，当求的是部分区间的平均值时
v2 Af (v)dv
f
(vx )dtdA
n( kT )1/2 dAdt
2 m
1 nvdAdt 4
气体分子碰壁数 Γ 1 n v 4
与第一章的结果定性一致。
用类似思路，可证明理想气体内部任一点的压强 p=nkT
设dA为气体任一截面。dt时间内，若A区
有一个分子通过dA到达B区，速度为 v。B 区有一个分子通过dA到达A区，速度为 v
既然 f (v)dv 是概率，则必有
0 f (v)dv 1
称归一化条件
3、麦克斯韦速率分布函数：
f (v) 4 (
m
)3/
2
e
mv2 2kT
v2
Ce
mv2 2kT
v2
2 kT
这一分布适用于平衡态， 由实验得到。
三、三种速率
1、最概然速率
概率最大的速率vp
d f (v) 0 dv
vp
2kT 1.41 kT
问题：如果分子速度较慢，狭缝转一圈或几圈后被探 测到，怎么办？
二、麦克斯韦速率分布
1、分布与分布函数 大量的‘偶然’事件的集合具有统计规律。某个量处
于各取值区域的概率，称为该量的分布。
处于平衡态的气体，分子按速率大小的分布是确定的。
速率的取值是连续的，所以无法说某一速率的分子数有 多少，只能说在某一速率间隔内的分子数是多少。
例如，抛硬币，图案向上是事件1，数字向上是事件2。
它们出现的概率都是1/2。
2、等概率性 每一随机事件发生的概率相等，若没有理由说明哪
一事件出现的概率大（小）些。
例如，图案向上和数字向上为等概率事件。判断哪 些事件是等概率事件十分关键。
3、概率运算法则 n个相互排斥事件发生的总概率等于每个事件发生的