高中数学期望
高中数学 期望 课件
算一算： 某人非法设摊抽奖，规则如下： 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋 中有同样大小的黑球4个白球4个，摸 奖者只能从中任取4个球，摸出4个颜 色相同的球奖50元，3黑1白或3白1黑 奖2元，2黑2白则没有奖励，问设摊 人是否有利可图？
(1)设:每次抽奖获得奖金数为元
ξ P 0
18 35
2
16 35
某教师所教(1)(2)两个班在一次考 试中平均分分别为80分、90分,已知 这两个班人数分别为60人、50人,问 该教师所教学生平均分是85分对吗？ 错
应该如何计算?
80 60 90 50 84.5 60 50
王义夫打枪的环数概率分布列如下:
P 4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
50
1 35
所以设摊人有利可图! (2)若每天有350人上当受骗则设摊 人平均每天获得非法收入是多少？ 82 5 350 372元 35
16 1 82 E= 2 35 50 35 35 <5
赚一赚： 某投资人打算作某项目投资,据评估， 项目盈利的可能性为60%，年盈利率 是40%，亏损的可能性是20%，其相 应的年亏损率为20%，其余的情况是 不盈不亏，投资人计划投资金额为10 万元，问该项目是否有投资价值？ 解：设年盈利为元.
P
4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.00.02 5 0.04 6 0.06 ...... 10 0.22 8.32 环
王义夫想再打一枪,你猜最可能会是几 环? 大约8-9环.
王义夫想再打n枪,你猜平均多少环?
说一说: 若离散型随机变量ξ的概率分布为
高中数学——期望方差学习
一、基本知识概要：1、期望的定义：则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x n P n+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=n P2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(x n-Eξ)2·P n+…称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根ξD=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
考点一期望与方差例1：设随机变量ξ具有分布P(ξ＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(ξ＋2)2，(21)Dξ-，(1)σξ-．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。
（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。
记随机变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).2、某同学参加3门课程的考试。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
高中数学 期望 课件
解:设每辆投保车辆公司获得的收益为
依题意的分布列为: ξ P 500 -4500 0.97 0.03
所以 E=485-135=350>0
答:保险公司开展该项业务有利可图.
某商场的促销决策：统计资料表明，每年 国庆节商场进行内促销活动可获纯利2万元； 商场进行外促销活动如不遇下雨可获纯利 10万元；如遇下雨则损失4万元,9月30日气 象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选 择哪种促销方式？
甘肃省会宁四中 王国瑞
教学目标： 掌握离散型随机变量的 数学期望含义；期望与分布列的关 系;随机变量函数=a +b的期望.
教学重点：离散型随机变量的数学 期望的形成过程. 教学难点：离散型随机变量期望的 意义的理解及实际应用.
方法培养：培养学生由具体到抽象； 由特殊到一般的思考问题的方法以及 归纳、猜想、证明的数学思想。
解:设进行外促销活动获利为ξ万元
P
4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
平均每枪命中环数为： 4 0.02 5 0.04 6 0.06 ...... 10 0.22 8.32 环
王义夫想再打一枪,你猜最可能会是几 环? 大约8-9环.
王义夫想再打n枪,你猜平均多少环?
E = x1 p1+x2p2 + … +xnpn+ … E 反映了随机变量 取值的平均水平！！
试一试：
抛掷一个骰子所得点数的概率的分 布列为： P 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
E= 1 ×1/6 + 2× 1/6+3×1/6 + 4× 1/6+5 ×1/6 + 6×1/6 =(1+2+3+4+5+6)1/6=3 . 5
高中高三数学《随机变量和数学期望》教案、教学设计
（3）针对不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在逐步克服难点的过程中，提高自己的数学素养。
3.教学策略和手段：
（1）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，提高课堂教学效果。
2.教学过程：
（1）教师发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师选取部分学生作品进行展示，分析解题思路和技巧，并进行点评。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，巩固学生对随机变量和数学期望的理解。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，如随机变量的概念、分类、表示方法，数学期望的定义、性质和计算方法等。
4.小组合作完成一道综合应用题，要求学生在解决实际问题的过程中，运用随机变量和数学期望的知识。此题目旨在培养学生的合作意识和运用数学工具解决实际问题的能力。
5.针对课堂所学内容，教师编制一份测试卷，包括选择题、填空题、解答题等，全面检测学生对本章知识的掌握程度。
作业布置要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，遇到问题可请教同学或老师，培养自主解决问题的能力。
（2）以小组合作的形式，让学生探讨随机变量的表示方法，如分布列、概率密度函数等，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
（3）通过典型例题，引导学生掌握数学期望的定义和性质，学会运用数学期望进行计算。
2.对于难点内容的教学设想：
（1）针对分布列和概率密度函数的理解，设计直观的图表和动画，帮助学生形象地理解抽象概念。
4.引导学生关注社会热点问题，运用所学知识为社会发展贡献力量，培养他们的社会责任感和使命感。
数学期望常用公式总结高中
数学期望常用公式总结高中
数学期望是统计学中一个重要的概念，它用来衡量一组数据的平均值。
它有助于研究者分析数据，从而得出有效的结论。
在高中数学中，我们常用的数学期望公式有以下几种：（1）
期望的基本公式：期望就是数据的平均值。
其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示期望，∑x表示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。
（2）期望的期望公式：期望的期望公式表示期望可以用
来计算另一个期望。
其公式为：E(E(X)) = ∑E(X)P(X)，其中
E(E(X))表示期望的期望，∑E(X)表示每个可能的观测值的期望值的总和，P(X)表示每个观测值的概率。
（3）期望的条件期望公式：期望的条件期望公式表示期
望可以用来计算另一个条件期望。
其公式为：E(E(X|Y)) =
∑E(X|Y)P(Y)，其中E(E(X|Y))表示条件期望的期望，∑E(X|Y)
表示每个可能的观测值的条件期望的总和，P(Y)表示每个条件的概率。
（4）期望的离散概率分布公式：期望的离散概率分布公
式表示期望可以用来计算离散概率分布的期望值。
其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示离散概率分布的期望值，∑x表
示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。
以上就是高中数学中常用的数学期望公式。
它们可以帮助我们更准确地分析数据，从而得出有效的结论。
期望的计算方法及其性质
期望的计算方法及其性质期望是数学中一种重要的概念，表示事物发生的平均值。
在概率论、统计学、经济学、物理学等众多领域中都有着广泛的应用。
在计算期望时，需要根据不同的情况选择合适的方法，以达到正确计算的目的。
本文将对期望的计算方法及其性质进行探讨，希望能够为读者提供一些有价值的参考。
一、期望的定义在概率论中，期望是事件发生的平均值。
设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则X的期望E(X)定义如下：E(X)=∫xf(x)dx其中f(x)是X的概率密度函数。
当X是离散型随机变量时，其期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x其中p(x)是X取到值为x的概率。
当X是连续型随机变量时，其期望可以表示为积分的形式。
二、期望的基本性质1. 线性性设X和Y是两个随机变量，a和b是常数，则有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)这种关系称为期望的线性性。
当a=b=1时，此式表述了期望的可加性。
这一性质十分重要，其意义在于，期望可以将事件的发生情况抽象成一个实数，使其具有线性的演算。
例如，在经济学中，我们可以将利润或收益看做一种随机变量，通过期望的线性性质，便可以对其进行计算和统计。
2. 单调性若X≤Y，则有：E(X)≤E(Y)这是期望的单调性质。
从定义上来看，当X≤Y时，X的取值总是小于等于Y的，因此X的期望值也应该小于等于Y的期望值。
这一性质告诉我们，期望可以衡量事件发生的趋势，可以用来进行决策和分析。
3. 平移性设Z=X+c，则有：E(Z)=E(X+c)=E(X)+c这是期望的平移性质。
从定义上来看，当Z=X+c时，Z的期望值应该等于X的期望值加上c。
这一性质告诉我们，期望可以平移，可以用来分析事物发生的变化趋势。
三、常见的计算方法1. 直接求期望直接求期望是一种最简单的计算方法。
对于离散型随机变量，我们可以直接按照期望的定义进行求解。
例如，设X是一个随机变量，其概率分布如下：X 1 2 3 4P(X) 0.1 0.2 0.3 0.4则X的期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x=0.1×1+0.2×2+0.3×3+0.4×4=2.8对于连续型随机变量，我们可以采用积分的方式进行求解。
高考数学冲刺数学期望考点突破
高考数学冲刺数学期望考点突破高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在高考数学中，数学期望这一考点常常让同学们感到困惑和棘手。
在最后的冲刺阶段，突破这一考点，对于提升数学成绩至关重要。
数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，它反映了随机变量取值的平均水平。
简单来说，就是对随机变量所有可能取值按照其概率加权后的平均值。
理解数学期望的定义是突破这一考点的基础。
我们可以通过一些简单的例子来帮助理解。
比如，掷骰子的游戏，骰子有六个面，分别标有 1 到 6 的数字。
每个数字出现的概率都是 1/6。
那么掷一次骰子的数学期望就是（1×1/6 ＋ 2×1/6 ＋ 3×1/6 ＋ 4×1/6 ＋ 5×1/6 ＋ 6×1/6）＝ 35。
这意味着，如果我们多次掷骰子，平均每次得到的点数大约是 35 。
在高考中，数学期望的题型多种多样。
常见的有离散型随机变量的数学期望和连续型随机变量的数学期望。
离散型随机变量的数学期望相对来说较为常见，比如抽奖问题、产品检验中的次品数等。
以抽奖为例，假设一个抽奖活动，一等奖奖金 1000 元，中奖概率为 01；二等奖奖金 500 元，中奖概率为 02；三等奖奖金 100 元，中奖概率为 03。
那么参与抽奖的数学期望就是 1000×01 ＋ 500×02 ＋100×03 ＝ 230 元。
这就告诉我们，从平均意义上讲，每次参与抽奖能获得的预期收益是 230 元。
对于连续型随机变量的数学期望，可能会涉及到概率密度函数的计算。
这需要我们掌握好积分的知识。
例如，某个连续型随机变量的概率密度函数为 f(x)，那么它的数学期望就是 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间根据具体问题确定）。
在解决数学期望的问题时，我们要注意以下几点：首先，要认真审题，明确题目中给出的是离散型还是连续型随机变量。
数学期望的六个公式
数学期望的六个公式数学期望是一个概念，用于描述概率实验或随机变量的预期值，被广泛应用于统计学，信息论，投机策略和把数字概念应用于实际问题的其他领域。
数学期望有六个公式，它们是总和期望，乘积期望，定义期望，方差公式，协方差公式和零期望公式。
首先，总和期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相加的结果，即E(X+Y) = E（X）+ E（Y）。
这意味着，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的总和期望就为7。
其次，乘积期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相乘的结果，即E（XY）=E（X）×E（Y）。
乘积期望不仅用于双重期望，而且还用于多重期望。
同样，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的乘积期望就为12。
接下来是定义期望，即定义期望公式，它定义为分布的期望的加权平均值，其中每个可能的值X在函数f（x）上有不同的权重。
这个公式可以用来求解可能的联合分布的任何期望。
下一个是方差公式，即方差公式，它定义为一个随机变量与其期望之间的偏离度量，并且可以用来衡量概率分布的扩散程度。
方差公式可以表达为Var（X）= E（X-E（X）），记作σ2。
然后是协方差公式，也称为协方差矩阵，它定义为两个随机变量之间的度量，它表示两个随机变量之间的关系。
它可以用来衡量两个变量之间正负相关性，并且可以用来检测金融数据中的关联性。
协方差公式可以表达为Cov（X，Y）= E（XY）-E（X）E（Y），记作σxy。
最后，是零期望公式，它定义为任意离散变量的期望是0，即E （X）= 0。
它常用于信号处理，表示非零值时没有偏移。
以上就是数学期望的六个基本公式。
数学期望在统计学，信息论，投机策略和其他应用概率的领域都有广泛的应用，有助于我们对概率分布的理解和分析。
高中数学课件-期望
提
知
升
初 求η的分布列的繁琐计算，简化了解题过程.
探
基
础
【规范解答】E(η)=E(3ξ-3)=3E(ξ)-3
自
主
课 =3×（200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+
演
堂
练
互 动
280×0.18+300×0.12)-3=3×250-3=747（元）.
课
探
后
究 所以这个月出租车行驶一天收费均值为747元.
初
探 即用数字来说明问题.数字期望反映了随机变量取值的平均水 基 础
平.用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问
自
主
课 堂
题中有重要的价值.因此，需要用期望来解决这一问题.
演 练
互
动
课
探
后
究
巩
固
作
业
规
范
课
警
前 【规范解答】设来领奖的人数
示
新
提
知 ξ=k,(k=0,1,2,…,3 000),所以
变量，司机收费为η（元），则η=3ξ-3，
警 示
新 知
已知出租车一天内可能的行车路程（单位：
提 升
初
探 km)及概率如下
基
础
自
主
课
演
堂
练
互
动
课
探
后
究
巩
求出租车行驶一天收费的均值.
固
作
业
规
范
课 【审题指导】利用公式E（aX+b)=aE(X)+b,将求
警
高三数学学习计划期望
高三数学学习计划期望一、学习目标1. 熟练掌握高中数学基本概念和方法，包括函数、方程、不等式、三角函数、导数、积分等内容；2. 熟练掌握高中数学常见题型的解题方法，包括代数式的化简、方程的解法、函数的图像与性质分析、导数和积分的应用等；3. 提高数学思维能力和解题能力，培养逻辑思维和数学推理能力；4. 夯实数学基础，为高考和未来的学习打下坚实的基础。
二、学习计划1. 每天坚持复习数学知识，包括课上所学知识、作业和课外练习，保持知识的新鲜度和熟练度；2. 安排每周至少2次的专题复习，对数学知识进行梳理和整合，加深理解和掌握；3. 在学习过程中，及时解决遇到的问题和难点，积极向老师请教、请教同学，并利用互联网资源进行查阅和学习；4. 积极参加数学竞赛和辅导班，提高数学解题能力和思维灵活性；5. 留出足够时间进行模拟考试和真题练习，熟悉高考数学题型，提高应试能力；6. 在学习过程中，注重数学知识的应用，培养数学的实际运用能力，做到理论联系实际。
三、学习方法1. 形成良好的学习习惯，每天保持一定的学习时间，不做时间上的浪费；2. 多做题，多复习，多总结，不断强化记忆和理解，牢固掌握数学基础知识；3. 善于归纳总结，建立属于自己的数学知识体系和思维模式，提高解题的速度和准确度；4. 多加练习数学的应用题型，锻炼数学思维和实际解题能力；5. 在遇到难题或不懂的问题时，要敢于向老师请教，主动与同学讨论，利用多种资源寻求解决办法；6. 在解题过程中，要善于分析问题，对数学问题进行分类和归纳，形成自己的解题思路和方法。
四、心态与态度1. 学习数学要保持积极的态度和信心，相信自己能掌握好数学知识；2. 对待数学要认真、严谨，不怕吃苦，勤于练习，不轻言放弃；3. 学会从失败中吸取经验和教训，不畏惧失败，坚持不懈地攻克数学难题；4. 一定要经常检视自己的学习态度和方法，不断修正和改进，保持良好的学习状态。
五、总结高三数学学习计划的制定涉及到时间安排、学习内容选择、学习方法的选择和学习态度等多方面，需要我们全面考虑和合理安排。
数学期望公式高中
数学期望公式高中数学期望公式（Expectation Formula）是概率论中最常用的计算方法。
它用来计算一个随机变量X的平均值。
如果对于每一个x，都有一个概率p(x)，那么p(x)被称为X的概率分布，而在概率论的术语里，这时已经有了期望的概念。
通俗的解释就是，数学期望公式是用来计算一个随机变量的期望值的。
数学期望公式的表达形式是：E(X)=∑XP(X)其中E(X)代表期望，∑X表示X的范围，P(X)表示变量X在每一个X上的概率。
以上是数学期望公式的最基本形式，可以根据实际情况将其拓展为更多形式。
数学期望公式在金融统计学、经济学、投资学、概率论和统计学中都有广泛的应用，主要用于计算封闭的概率系统（非随机现象）的变量的期望值。
比如，有一个从1到7的等概率命中实验，你要求出期望值，可以用数学期望公式来计算：E（X）=1×1/7 + 2×1/7 + 3×1/7 + 4×1/7 + 5×1/7 +6×1/7 + 7×1/7=4即，期望值为4。
另外，我们还可以使用数学期望公式来计算多个随机变量的期望值，比如，计算x+y的期望值：E（X+Y）=∑_xy（x+y）P(X,Y)其中，P(X,Y)是x、y的联合概率分布，∑_xy表示x、y的范围。
此外，数学期望的概念不仅仅限于概率论，它在生活中也有很多应用，比如，购买一件商品的总价值，它可以表示为期望的形式：E（Price）=V×P其中V表示商品的单价，P表示购买的数量。
总之，数学期望公式是一种统计方法，它可以帮助我们计算一个随机变量在大量测试样本下的期望值，也是很多领域中功能强大的一种统计工具。
4-1数学期望 ppt课件
若级数 xk pk 绝对收敛，则称此级数的和为随 i 1
机变量 X 的数学期望。记作 :EX.
既有 EX xk pk i 1
数学期望简称期望，又称均值.
PPT课件
4
数学期望
例1 甲、乙两人射击，他们射击水平由下表给出：
X:甲击中的环数
Y:乙击中的环数
X
8
9 10
Y
P
0.1 0.3 0.6
5
1 ex 0
4 e x
EM xfM (x)dx
x0 x0
0 x 5 1 ex 4 exdx
137 1
160
PPT课件
10
数学期望
2. 令：N=min{X1, X2, X3, X4, X5}, X1, X2, X3, X4, X5是 独立同分布的,于是 利用第三章第五节P99;5.8式
P
试问哪一个人的射击水平高?
解:甲、乙的平均环数为:
8
9
10
0.2 0.5 0.3
EX 8 0.1 9 0.3 10 0.6 9.5
EY 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
甲的射击水平比乙的高.
从平均环数上看
PPT课件
5
数学期望
2. 连续型
第四章 随机变量的数字特征
§1 数学期望 §2 方差 §3 协方差及相关系数 §4 矩
PPT课件
1
数学期望
§4.1 数学期望
数学期望的概念
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
PPT课件
2
数学期望
例1： 某班有N人参加 考试，其中有ni个人为ai ,i=1,2,…
人教版B版高中数学选修4-9(B版)期望值法
回顾旧知
根据预测各种事件可能发生的先验概率，然后再采 用期望效果最好的方案作为最优决策方案，称为风 险决策。
根据过去经验或主观判断而形成的对各自然状态的 风险程度的测算值。简言之，原始的概率就称为先 验概率。
引入新知
以期望值为标准的决策方法
方法简述：以收益和损失矩阵为依据，分 别计算各可行方案的期望值，选择其中期望收 益值最大（或期望损失值最小）的方案作为最 优方案。
例2、生产A,B两种新产品各需资金200万元,试 制A产品50次，成功40次，如果生产成功,当年 可获利100万元,如果失败,将亏损80万元,试制 B产品50次，成功35次,如果生产成功,当年可 获利80万元,如果失败,将亏损50万元。分别求 出投资生产A，B两种产品的期望值。并根据计 算结果说明投资哪种产品比较?
状态
方案
概率
大型扩建
中型扩建
小型扩建
销路好 0.7 200 150 100
销路差 0.3 -60 20 60
解：应用期望值法进行决策分析，其步 骤是：
（1）计算各方案的期望收益值： • 大型扩建：E=0.7×200＋0.3×(-60)=122 • 中型扩建：E=0.7×150＋0.3×20=111 • 小型扩建：E=0.7×100＋0.3×60=88
（2）选择决策方案。根据计算结果，大型扩建方 案获利期望值是122万，中型扩建方案获利期望 值是111万元、小型扩建方案获利期望值是88万 元。因此，选择方案的决策问题。 各状态发生的概率及每一方案在各个状态下收益 值如表所示。
表：收益值表
状态
θ1
概率
收益 0.1
方案
d1
30
d2
15
d3
高中数学选修2-3-离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的期望与方差知识集结知识元离散型随机变量的期望与方差知识讲解1．离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…x n…P p1p2…p n…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n＝，Eξ＝（x1+x2+…+x n）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，p n…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．例题精讲离散型随机变量的期望与方差例1.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5例2.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15例3.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9当堂练习单选题练习1.随机变量ξ的分布列如表，且E（ξ）=1.1，则D（ξ）=（）A．0.36B．0.52C．0.49D．0.68练习2.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5练习3.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15练习4.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9解答题练习1.'为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影响的话，每投入100万元资金，在甲企业可获利150万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失50万元；同样的情况，在乙企业可获利100万元，否则将损失20万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为0.6和0.5．（1）若在甲、乙两企业分别投资500万元，求获利1250万元的概率；（2）若在两企业的投资额相差不超过300万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？'练习2.'某蛇养殖基地因国家实施精准扶贫，大力扶持农业产业发展，拟扩大养殖规模．现对该养殖基地已经售出的王锦蛇的体长（单位：厘米）进行了统计，得到体长的频数分布表如下：若王锦蛇、乌梢蛇成年母蛇的购买成本分别为650元/条、600元/条，每条母蛇平均可为养殖场获得1200元/年的销售额，且每条蛇的繁殖年限均为整数，将每条蛇的繁殖年限的频率看作概率，以每条蛇所获得的毛利润（毛利润=总销售额-购买成本）的期望值作为购买蛇类的依据，试问：应购买哪类蛇？'练习3.'中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为x，求随机变量x的分布列及数学期望．'练习4.'已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．（1）将甲每天生产的次品数记为x（单位：件），日利润记为y（单位：元），写出y与x的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习5.'“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．'。
数学期望公式
数学期望公式数学期望是概率论中一个重要的概念，它用于描述随机变量的平均数。
数学期望的计算方法有很多种，其中最常见的是离散型随机变量的数学期望公式和连续型随机变量的数学期望公式。
本文将详细介绍这两个公式，并简要介绍一些常见的应用。
首先，我们来介绍离散型随机变量的数学期望公式。
离散型随机变量的取值是有限个或可数个，用概率分布函数来描述。
设随机变量X 的取值为x1、x2、...、xn，对应的概率分布函数是P(X=x1)、P(X=x2)、...、P(X=xn)。
则X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X)=x1*P(X=x1)+x2*P(X=x2)+...+xn*P(X=xn)其中，E(X)表示随机变量X的数学期望。
接下来，我们来介绍连续型随机变量的数学期望公式。
连续型随机变量的取值是一个区间上的任意实数，在概率密度函数中描述。
设随机变量X的概率密度函数是f(x)，则X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X)=∫xf(x)dx其中，∫表示对x的积分。
数学期望公式的意义在于可以帮助我们计算随机变量的平均值，从而更好地理解和解释概率分布的特征。
数学期望是概率论中的一个核心概念，被广泛应用于统计分析、经济学、工程学等领域。
在统计分析中，数学期望可以用来描述一组数据的平均水平。
比如，我们可以计算一个班级学生的平均成绩，从而了解整个班级的学习情况。
在经济学中，数学期望可以用来衡量风险和收益，从而帮助决策者制定合理的投资策略。
在工程学中，数学期望可以用来评估系统的性能和可靠性，从而指导工程设计和优化。
除了离散型和连续型随机变量的数学期望公式，还有一些常见的概率分布的数学期望公式，如正态分布、泊松分布、指数分布等。
这些分布函数都有特定的形式，可以使用数学期望公式来计算其数学期望。
值得注意的是，数学期望并不是随机变量取值的真实平均值，而是其期望值。
这是因为随机变量的取值是根据概率分布进行随机生成的，不同的取值有不同的概率。
数学期望与方差解析
数学期望与方差解析数学期望和方差是统计学中重要的概念，我们经常在数据分析和概率论中会用到这两个概念。
本文将对数学期望和方差进行详细解析，包括定义、性质、计算方法等内容，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值的概念，用来衡量随机变量的集中趋势。
对于一个随机变量X，其数学期望E(X)定义为：E(X) = Σ x * P(X=x)其中，x为随机变量X的取值，P(X=x)为随机变量X取值为x的概率。
数学期望的计算方法是将随机变量所有可能取值与其对应的概率相乘，然后求和。
数学期望的意义在于它可以用来描述随机变量的平均水平。
数学期望有以下性质：1. 线性性质：对于任意常数a、b和随机变量X、Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 非负性质：对于任意非负随机变量X，有E(X) ≥ 0。
3. 单调性质：若X和Y是两个随机变量，且X≤Y，则E(X) ≤ E(Y)。
二、方差方差是衡量随机变量离散程度的指标，计算随机变量与其数学期望之间的差异。
对于随机变量X，其方差Var(X)定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]方差的计算方法是将随机变量与其期望之间的差值平方后取期望。
方差越大，表示随机变量的取值波动越大；方差越小，表示随机变量的取值趋于稳定。
方差是衡量随机变量分散程度的量，可以帮助我们更好地理解随机变量的变化情况。
方差的性质包括：1. 非负性质：方差永远不会小于0，即Var(X) ≥ 0。
2. 方差与数学期望之间的关系：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。
通过数学期望和方差的解析，我们可以更好地理解随机变量的特征和分布规律，为数据分析和概率推断提供有力支持。
掌握数学期望和方差的计算方法和性质，对于深入学习统计学和概率论具有重要意义。
愿本文对读者有所帮助，引发更多关于概率统计的思考和讨论。
高中数学概率与期望值解题技巧
高中数学概率与期望值解题技巧概率与期望值是高中数学中重要的概念和解题方法，它们在各个领域都有广泛的应用。
掌握概率与期望值的解题技巧，对于高中学生来说非常重要。
本文将从几个常见的题型入手，介绍概率与期望值的解题技巧，并给出具体例子进行说明。
一、概率的计算概率是指某个事件发生的可能性。
在计算概率时，我们需要知道事件的样本空间和事件的发生数。
下面以“抛硬币”为例进行说明。
例题1：抛掷一枚硬币，问正面朝上的概率是多少？解析：硬币的样本空间为{正面，反面}，而正面朝上的事件只有一个，即{正面}。
因此，正面朝上的概率为1/2。
例题2：一副扑克牌中，从中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？解析：扑克牌的样本空间为52张牌，其中红心有13张。
因此，抽到红心的概率为13/52，即1/4。
二、条件概率条件概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。
在计算条件概率时，我们需要知道条件事件的发生数和事件的发生数。
下面以“扑克牌”为例进行说明。
例题3：一副扑克牌中，从中随机抽取一张牌，已知抽到的牌是红心，问这张牌是红桃的概率是多少？解析：已知抽到的牌是红心，说明样本空间缩小为红心牌。
而红心牌中红桃牌有1张，因此，这张牌是红桃的概率为1/13。
例题4：一副扑克牌中，从中随机抽取两张牌，已知第一张牌是红心，问第二张牌也是红心的概率是多少？解析：已知第一张牌是红心，说明样本空间缩小为红心牌。
而红心牌中红心牌有12张，因此，第二张牌也是红心的概率为12/51。
三、期望值的计算期望值是指随机变量的平均值，它可以用来衡量一个随机事件的平均结果。
在计算期望值时，我们需要知道事件的可能结果和每个结果的概率。
下面以“骰子”为例进行说明。
例题5：掷一颗均匀的六面骰子，问掷出的点数的期望值是多少？解析：六面骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}，每个点数的概率为1/6。
因此，点数的期望值为(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。
例题6：掷两颗均匀的六面骰子，问两颗骰子的点数之和的期望值是多少？解析：两颗骰子的样本空间为{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，每个点数之和的概率可以通过列举得到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数
8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数
4 12 42 32 10 （I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．
2、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在一次游戏中，
（i ）摸出3个白球的概率；
（ii ）获奖的概率；
（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X
3、某市公租房的房源位于A,B,C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。
求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望。
4、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；
(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
求X 的期望。
5、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘。
已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ。