数学史作业1

数学史作业
谌柳吉 2011041055 11数本（2）班
第一章
（1）进一步收集阅读相关材料，进行整理研究，初步探讨数学的起源与世界古老文明产生的关系.
答：关于数学的起源，却有着一个古老而神奇的传说。

相传在非常非常遥远的古代，有一天在黄河的波涛中突然跳出一匹“龙马”来，马背上驮着一幅图，图上画着许多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的河水中又爬出一只“神龟”来，龟背上也驮着一卷书，书中则阐述了数的排列方法。

马背上的图叫“河图”，乌龟背上的书叫做“洛书”，当“河图洛书”出现后，数学也就诞生了。

当然，这个也只不过是个传说罢了。

数学作为最古老的一门学科，他的起源可以上溯到一万多年以前。

但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少，迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。

（3）在古埃及和古巴比伦人的数学中，大量地使用了归纳的思想.试通过对他们文献资料的研究，阐述他们是如何利用这种思想发现和得到数学结论的，并进一步探讨这种古老的思想方法对我们今天的数学研究的现实意义.
答：古老的数学知识和现在的数学知识是传承的关系,是研究的先后,是树干和枝丫,不是枝丫与枝丫的关系.所以你如果认为那些知识和现代数学不一样那就错了.现在一些数学定理仍然是那个时候发现的.360度角度制就是古巴比伦人的数学成果,相信你也知道这个东西具有广泛的应用价值和实际意义.古埃及和古巴比伦人古老的数学知识是整个天文学的开端,也是最早的历法。

第二章
（1）试从数学科学发展的角度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系.
答：苏格拉底的学生柏拉图是亚里士多德制定其逻辑体系的直接先驱，他的逻辑思想大多散见于、、等著作中。

柏拉图发展了苏格拉底的学说，对概念进行过划分，提出了属和种差的定义方法。

他通过研究语法上的名词和动词构成的语句，认为单纯地说出名词或动词都不能构成语句，只有把名词和动词联结起来，加以肯定或否定，如“鸟飞”、“马跑”、“人未学习”等，才能构成语句，表达思想。

柏拉图还提出命题真假的标准，认为凡关于存在者说它是，便真；否则便假。

他强调思维应保持自身的一致性，不得同时断定同一事物既存在又不存在。

这些思想后来由亚里士多德加以发挥，从而确定为思维的基本原则。

柏拉图关于的学说，含有寻找推理中词的尝试，这是的萌芽。

亚里士多德曾谈到过柏拉图把属划分为种的思想，并举了这样一个例子：生物分为有死的，或不死的，人是生物，这就可以从中必然得出人是有死的或不死的。

但不能必然得出人是有死的，也不能必然得出人是不死的。

因此，亚里士多德说这是一种弱的三段论。

（3）毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？这种态度对数学发展有什么重要的影响？
答：从某种意义上来讲,现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数
学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派.这个学派兴旺的时期为公元前500年左右,
它是一个唯心主义流派.他们重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、
天文学、音乐称为“四艺”,在其中追求宇宙的和谐及规律性.他们认为“万物皆
数”,认为数学的知识是可靠的、准确的,而且可以应用于现实的世界.回顾以前
的各种数学,无非都是“算”,也就是提供算法.即使在古希腊,数学也是从实际出
发,应用到实际问题中去的.比如泰勒斯预测日食,利用影子距离计算金字塔高度,
测量船只离岸距离等等,都是属于计算技术范围的.至于埃及、巴比伦、中国、印
度等国的数学,并没有经历过这样的危机和革命,所以也就一直停留在“算学”阶
段.而希腊数学则走向了完全不同的道路,形成了欧几里得《几何原本》的公理体
系与亚里士多德的逻辑体系.
（5）希腊数学的鼎盛时期为什么会出现在亚历山大时期？试论述数学科学发展与社会发展的关系.
答：天文学方面的典范是托勒密的《天文学大成》，在这部著作中，他沿袭柏拉图、亚里士多德和希柏克的天文学思想，最终提出了一套完整而精致的“地心学说”。

他首先认为地球上一切物体都掉向地面，地球是静止不动的，它是宇宙的中心，一切天体都受地球的影响。

他设想月亮、水星、金星、太阳、火星、木星和土星都是以匀速沿着完全圆形轨道围绕着地球运行，恒星则在外层包围着整个宇宙，但是他的这种理论有时与对行星实际运动的观测数据不相符合。

为了使他的模型有效，他创立了一种复杂的几何结构来纠正其明显的错误，即“本轮---均轮”系统。

他认为所有的天体包括太阳都是围绕地球旋转，其轨道由本轮、均轮决定。

这两种运动的复合便构成了一个行星的实际运动的轨迹。

这样才使托勒密对绕地球转的天体的位置的计算较为准确。

在光学方面，欧几里得于公元前300年左右从几何光学的角度初步地探究了视觉透视理论，著有<光学>一书。

公元150年托勒密探究了光的反射和折射原理,也著有<光学>一书。

天文学方面的典范是托勒密的《天文学大成》，在这部著作中，他沿袭柏拉图、亚里士多德和希柏克的天文学思想，最终提出了一套完整而精致的“地心学说”。

他首先认为地球上一切物体都掉向地面，地球是静止不动的，它是宇宙的中心，一切天体都受地球的影响。

他设想月亮、水星、金星、太阳、火星、木星和土星都是以匀速沿着完全圆形轨道围绕着地球运行，恒星则在外层包围着整个宇宙，但是他的这种理论有时与对行星实际运动的观测数据不相符合。

为了使他的模型有效，他创立了一种复杂的几何结构来纠正其明显的错误，即“本轮---均轮”系统。

他认为所有的天体包括太阳都是围绕地球旋转，其轨道由本轮、均轮决定。

这两种运动的复合便构成了一个行星的实际运动的轨迹。

这样才使托勒密对绕地球转的天体的位置的计算较为准确。

在光学方面，欧几里得于公元前300年左右从几何光学的角度初步地探究了视觉透视理论，著有<光学>一书。

公元150年托勒密探究了光的反射和折射原理,也著有<光学>一书。

（7）阿基米德是如何用力学方法发现和证明球体积计算公式的？试比较他的方法与其他名族，如中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同.
答：阿基米德是如何用力学方法发现和证明球体积计算公式的？试比较他的方法与其他名族，如中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同.以往教学时,阿基米德原理公式直接给出F浮=ρ涂·g·V排,并着重强调ρ液,V排的含义,这样学生会牢记公式F浮=ρ液·g·V排,而忽视F浮=G排,这样就偏离了阿基米德原理的根本内容,我在设计此教案时,刻意地把阿基米德原理的数学表达式先写成F浮=G排,再给出G排=ρ液·g·V排,从而完成F浮=G排=ρ液·g·V 排,这样学生可以更好地理解阿基米德原理的实质,并掌握了重力的一种表达式G=ρ·g·V.
（9）希腊数学最重要的成就有哪些？他们留给了后人哪些问题？这些问题为什么在希腊人的手里无法解决？
答：关于古希腊辉煌的数学成就的论析，著名数学史学家克莱因在《古今数学思想》一书中曾经指出过：“希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。

”古希腊数学为人类创造了巨大的精神财富。

不论从哪方面来衡量，都会令人感到其辉煌。

希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。

这時的数学精神所产生的任何思想，在后來人类文化发展史上佔据了重要的地位。

希腊数学的发展历史可以分为三个时期。

第一期约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪，从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，；第二期从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止，是亚历山大前期，；第三期是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领，是亚历山大后期。

在古希腊论证数学发展史上，泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624～前547年）被称为第一个几何学家，他确立和证实了为人们公认的第一批几何定理： b. 智者（Sophist）学派与古希腊三大难题: 在数学上，智人学派曾提出“三大问题”： 1.三等分任意角； 2.倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍； 3.化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。

e. 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线理论。

第三章
（1）印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学发展有何重要特色？
答：①发明了阿拉伯数1,2,3-9;
②他们采用了印度的数学记号并把它们传播到世界各地,这就是现在还在通用的阿拉伯数字.第二项贡献就是穆罕默德· 花拉子米吸取了印度、古希腊、古巴比仑的数学成就发展了代数学,给出了二次方程的解法.阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学、三角学方面,还有几何学.
（3）在印度数学中，不定方程的解法是一个十分重要的成就.进一步查阅相关资料，探讨印度数学家不定方程解法的创新和不足.
答：阿耶波多,他是迄今所知最早的印度數學家，是屬於拘蘇摩補羅學派。

他主要有兩本著作：一本是《阿耶波多曆書》，成書於公元499年，包括“天文表集”、“算術”、“時間的度量”、“球”等部份。

該書共4編，由121行詩構成，其中論及數學的有兩篇，並33行詩，內容包括算術、代數、幾何、三角等知識，而另一本天算書已經失傳。

他對數學作出了多方面的貢獻，其中正弦表和一次不定方程的解法是他最有代表性的成果。

他指出π = (104 × 8 + 62000) ÷ 20000 = 3.1416；而在製作正弦表方面，先把圓周分為360等份，而每份繼續分為60小等份，其特點更是計算半弦相當於現在的正弦線而不是全弦的長，這與肴臘人是不同的。

他建立了求一次線性不定方程by - ax = c﹝a,b,c都是整數﹞的正整數通解的法則，這項工作在當時是走在世界的前列，而其法實際上是輾轉相除法。

（5）阿尔∙花拉子米是阿拉伯最杰出的数学家之一，他对代数学的发展有着十分重要的贡献.试述他在代数方程的解法方面所取得的成就.
答：在《代数学》中，花拉子米用十分简单的例题讲述了解一次和二次方程的一般方法。

他的作法实质上已经把代数学作为一门关于解方程的科学来研究，只是其研究形式与现代的不同。

该书包括三部分：第一部分讲述现代意义下的初等代数，第二部分列举列举各种实用算数问题，最后一部分是关于继承遗产的应用问题.
（7）试比较印度、阿拉伯数学与古希腊数学的异同.
答：印度的数学比较散乱，中国的数学偏向与实用，阿拉伯数学则在代数方面突出贡献，而古希腊在几何方面有所成绩！现在提起西方数学古希腊的数学。

”古希腊的东西是文艺复兴时期从阿垃伯那里回译的，笛卡尔曾经说过，而且大幅度倒退：“据信，古希腊的数学思想也丧失殆尽，很多喜欢托伪古希腊人来创作，而且期间为了躲避耶酥教的迫害，及文艺复兴时期的托伪），罗马数字做个乘除都非常难，全是从古希腊（其实没有排除阿垃伯人的成果，一下跳到文艺复兴之后，而泰勒斯将几何学从埃及传入希腊，不能推算未知。

第四章
（1）作为世界四大文明古国之一，中国在公元前3000年至公元前1500年间有哪些数学成就？试将这些成就和其他文明古国作一比较.
答：①公元前1500年中国殷墟甲骨文，已有10进制记数法;
②象勾股定理，九章算术，周俾算经;
③中国数学的成就大最早发现勾股定理魏晋数学家刘徽运用极限理论提出计算圆周率的确方法祖冲之最早把圆周率推算到小数点后七位，比外国早一千年
（3）在春秋战国时期产生了哪些重要的、可与古希腊相媲美的数学成就又有哪些？
答：① 用矩测量高、深、广、远的方法,并举出勾股形的勾三股四、弦五以及环矩可以为圆等例子.
②筹算已得到普遍的应用,筹算记数法已使用十进位值制,这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的.
（5）刘徽是中国历史上最重要的数学家之一，它的《九章算术注》对于中国传统数学体系的形成具有十分重要的意义.试阐述它的主要数学成就.
答：刘徽是我国古代一位成就杰出的数学家。

关于他的身世和生平事迹，我们了解得很少，只知道他生活在公元三世纪的魏晋时期，在魏陈留王景元四年（公元263年）前后，曾经为我国古代数学经典著作《九章算术》作注，做了许多创造性的数学理论工作，对我国古代数学体系的形成和发展影响很大，在世界数学史上占有突出的地位。

他的著作有《九章算术注》九卷，《重差》一卷，《九章重差图》一卷。

唐朝初年，《九章重差图》已经失传。

《重差》一卷流传到现在，被称为《海岛算经》。

刘徽的主要数学工作是为《九章算术》作注。

……《九章算术》所包含的内容是非常丰富多彩的，并且和实际生活有极其密切的联系，充分体现了我国古代数学来源于生产生活实际、又服务于生产生活实际的优良传统。

但是，由于《九章算术》是以问题集的形式编集的，它的叙述体例往往是举出一个或几个问题以后，再归纳出求解这些问题的方法，或者直接作出结论，文字非常简略。

它的缺点是对这些解法或结论缺乏必要解释和说明。

至于这些解法或者结论所依据的理论，就更没有做任何系统的探讨。

这种状况明显地妨碍数学的进一步发展。

（7）宋元时期最杰出的数学家有哪些？试阐述他们的代表作和主要数学成就.
答：宋元数学四大家是指秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰;秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出,被誉为“宋元数学四大家”.秦九韶（公元1202－1261）,字道古,安岳人.其父秦季栖,进士出身,官至上部郎中、秘书少监.秦九韶聪敏勤学.宋绍定四年（1231）,秦九韶考中进士,先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职.先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官,1261年左右被贬至梅州（今广东梅县）,不久死于任所.他在政务之余,对数学进行虔心钻研,并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料,进行分析、研究.宋淳祜四至七年（1244至1247）,他在为母亲守孝时,把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑,写成了闻名的巨著《数学九章》,并创造了“大衍求一术”.这不仅在当时处于世界领先地位,在近代数学和现代电子计算设计中,也起到了重要作用,被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”,被称为“秦九韶程序”.现在,世界各国从小学、中学到大学的数学课程,几乎都接触到他的定理、定律和解题原则.秦九韶在数学方面的研究成果,比英国数学家取得的成果要早800多年.李冶(1192-1279)是中国古代数学家,字仁卿,号敬斋,真定府栾城县(今河北省栾城县)人.1234年初,金朝终于为蒙古所灭．金朝的灭亡给李冶生活带来不幸,但由于他不再为官,这在客观上使他的科学研究有了充分的时间．他在桐川的研究工作是多方面的,包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学．其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结,写成数学史上的不朽名著----《测圆海镜》.杨辉,中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带,其著作甚多.他著名的数学书共五种二十一卷.著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）.杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面,他对筹算乘除捷算法进行总结和发展,有的还编成了歌决,如九归口决.他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法,同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后,关于高阶等差级数的研究.杨辉在"纂类"中,将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序,重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分,勾股等九类.他非常重视数学教育的普及和发展,在《算法通变本末》中,杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献.朱世杰（1300前后）,字汉卿,号松庭,寓居燕山（今
北京附近）,“以数学名家周游湖海二十余年”,“踵门而学者云集”.朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）.《算学启蒙》是一部通俗数学名著,曾流传海外,影响了朝鲜、日本数学的发展.《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志,其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）.中国元代数学家,对多元高次方程组解法、高阶等差级数求和,高次内插法都有深入研究,他著有《算学启蒙》(1299年)、《四元玉鉴》(1303年)各3卷,在后者中讨论了多达四元的高次联立方程组解法,联系在一起的多项式的表达和运算以及消去法,已接近近世代数学,处于世界领先地位,他通晓高次招差法公式,比西方早四百年,中外数学史家都高度评价朱世杰和他的名著《四元玉鉴》.
（9）中国传统数学是世界数学发展长河的一支不容忽视的源头，与西方数学相比，它有哪些重要特点？
答：中国数学的特点和对世界的影响中国数学的特点：
（1）以算法为中心，属于应用数学中国数学不脱离社会生活与生产的实际，以解决实际问题为目标，数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的；（2）具有较强的社会性中国传统数学文化中，数学被儒学家培养人的道德与技能的基本知识---六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一，它的作用在于“通神明、顺性命，经世务、类万物”，所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印，往往与术数交织在一起同时，数学教育与研究往往被封建政府所控制，唐宋时代的数学教育与科举制度、历代数学家往往是政府的天文官员，这些事例充分反映了这一性质；
（3）寓理于算，理论高度概括由于中国传统数学注重解决实际问题，而且因中国人综合、归纳思维的决定。

第五章
（1）导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么？
答：黑暗时代是指中世纪的初步开始暑期，正是这个时期，希腊和罗马的典籍遗失或被毁；科学、哲学或文学进展甚少，甚至毫无进展；统一的罗马律法崩溃了，取而代之的是各种地方风俗；而村庄而武装起来以抵御远近侵略者的袭击。

在这一切动荡不安之际，抑或由于这种动荡不安，基督教会变得愈来愈强大。

约
从公元400年至公元1000年，神秘主义、迷信和反理智主义在欧洲盛行，欧洲从总体上进入黑暗的时代。

原因:封建领主势力逐渐扩大.天主教在欧洲得到了充分的发展.欧洲的领主(地主阶级)利用天主教和教会勾结实行愚民政策,不允许其他思想存在让农民受控于他们,更好的为他们服务。

（3）导致欧洲文艺复兴的因素有哪些？在欧洲文艺复兴时期主要出现了哪些数学成就？
答：因素：1、14～16世纪,在意大利首先迸发出一股资产阶级文化新潮流.
2、许多知识分子借助于古希腊、罗马的古典文化,从各个方面冲击教会的束缚,建立资产阶级人文主义的世界观.在当时人们看来是“文艺复兴”,其实是资产阶级文化的兴起.
3、15世纪后期扩大到欧洲其他一些国家,16世纪文艺复兴达到高潮.
数学成就：文艺复兴时期的作品,集中体现了人文主义思想：主张个性解放,反对中世纪的禁欲主义和宗教观；提倡科学文化,反对蒙昧主义,摆脱教会对人们思想的束缚；肯定人权,反对神权,屏弃作为神学和经院哲学基础的一切权威和传统教条；拥护中央集权,反对封建割据,这是人文主义的主要思想.其中,代表性作品有：但丁的《神曲》、薄伽丘的《十日谈》、马基雅维利的《君主论》、拉伯雷的《巨人传》等.
文艺复兴时期的艺术歌颂了人体的美,主张人体比例是世界上最和谐的比例,并把它应用到建筑上,一系列的虽然仍然以宗教故事为主题的绘画、雕塑,但表现的都是普通人的场景,将神拉到了地上.
（5）欧洲数学家为什么要引入对数的概念？查阅相关资料，试比较纳皮尔和比尔吉引入对数的方法.
答：对数方法是苏格兰的 Merchiston 男爵约翰·纳皮尔1614年在书《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》中首次公开提出的,(Joost B ürgi独立的发现了对数；但直到 Napier 之后四年才发表).这个方法对科学进步有所贡献,特别是对天文学,使某些繁难的计算成为可能.在计算器和计算机发明之前,它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中.他一生研究数学,以
发明对数运算而著称.那时候天文学家Tycho Brahe（第谷,1546～1601）等人做了很多的观察,需要很多的计算,而且要算几个数的连乘,因此苦不堪言.1594年,他为了寻求一种球面三角计算的简便方法,运用了独特的方法构造出对数方法.这让他在数学史上被重重地记上一笔,然而完成此对数却整整花了他20年的工夫.1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数：Nap logX.1616年Briggs（亨利·布里格斯,1561 - 1630）去拜访纳皮尔,建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便,这也就是后来常用的对数了.可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世,后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业,以10为底列出一个很详细的对数表.并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》,于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法.
纳皮尔:于1590年左右开始写关于对数的著作，后来发表了两本拉丁文论著：《奇妙的对数定理说明书》(Mirifici logarithmo-rum canonis descriptio，1614)和《奇妙对数定律的构造》(Miri-fici logarithmorum canonis constructio，1619)．《奇妙的对数定理说明书》对于对数的性质和用法作了简要叙述，并包括以分弧为间隔的角的正弦的对数表．此书的第一个英文译本的译者是E．赖特(Wright)，他死后由儿子S．赖特(Wright)发表(1616)．《奇妙对数定律的构造》一书，是R．纳皮尔(Napier)在其父死后整理出版的，其中包括纳皮尔多年前写的材料；此书对于对数表的计算和赖以建立的根据作了充分解释．《奇妙的对数定理说明书》引起了人们广泛的兴趣．此书出版之后，伦敦格雷沙姆学院几何学教授布里格斯专程到爱丁堡向这位伟大的对数发明者表示敬意．通过这次访问，纳皮尔和布里格斯商定：如果把对数改变一下，使得1的对数为0，10的对数为10的适当次幂，造出来的表会更有用．于是，就有了今天的常用对数．
对数作为一种计算方法，其优越性在于：通过对数，乘法和除法被归结为简单的加法和减法运算．这种想法起源于纳皮尔时代人们所熟知的公式比尔吉:发明对数的时间大约在1610年，但他推迟了发表的时间，而纳皮尔的对数表在1614年公诸于世，早比尔吉6年。

纳皮尔是苏格兰的一个贵族，他对数值计算颇有研究。

他制造的“纳皮尔算筹”，化简了乘除法运算，其原理就。