第四章-分离变量法1上课讲义

第四章 分离变量法

一、分离变量法的精神和解题要领

1．分离变量法的精神

将未知函数按多个单元函数分开，如，令

)()()()(),,,(t T z Z y Y x X t z y x u =

从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解

2．分离变量法的解题步骤

用分离变量法求解偏微分方程分4步

（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。

（2）求解特征值问题

（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如Λ,2,1,=n u n ）。

（4）叠加（如∑=

n

u

u ）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从

而得到偏微分方程定解问题的解。

3．特征值问题

在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。

常涉及到的几种特征值问题：

（1）⎩

⎨⎧===-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ

特征值 222l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1 sin )(==n x l

n C x X n n π

（2）⎩

⎨⎧='='=-'' 0)()0(0

)()(l X X x X x X μ

特征值 2)(

l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1,0 cos )(==n x l

n C x X n n π

（3）⎩⎨

⎧='==-''

0)()0(0

)()(l X X x X x X μ

特征值 2)21(πμl n +

-=，特征值函数Λ,2,1,0 21

sin )(=+

=n x l

n C x X n n π （4）⎩⎨

⎧=='=-''

0)()0(0

)()(l X X x X x X μ

特征值为2)21(πμl n +

-=，特征值函数Λ,2,1,0 21

cos )(=+

=n x l

n C x X n n π （5）⎩⎨⎧Φ=+Φ=Φ-Φ''

)()2(0

)()(ϕπϕϕμϕ

特征值2

m -=μ，特征函数Λ,2,1,0 sin cos )(=+=Φm m B m A m m m ϕϕϕ 4．有界弦的自由振动解

考虑长为l 两端固定弦的自由振动

⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤==≥==><<===

0 )( )(u

0)(t 0),(),0( )0,0( 002l x x u x t l u t u t l x u a u t t t xx tt ψϕ 1°．分离变量： 令 )()(),(t T x x t x u = 则原偏微分方程化为：

)()()(2t T x X a t T X ''=''

即

X X T

a T '

'=''2 上面等式左端是t 的函数，而右端是x 的函数，而t 和x 是相互独立的，因此要上式成

立，故只有两边都是常数，此等式才成立。

μ='

'=''X X T

a T 2

即 0 ,02

=-''=-''X X T a T μμ 代入边界条件

0)()( 0)()0(==t T l X t T X

由于)(t T 是t 的任意函数，它不可能恒为零，故只可能有

0)()0(==l X X

2°．特征值问题

考虑定解问题

⎩

⎨

⎧===-'' 0)()((1)

0)()(l X o X x X x X μ 讨论：若μ=0，则（1）的解为 21)(c x c x X += 由0)0(=X 得02=c ，由0)(=l X 得01=c 于是

0)(≡x X

可见μ不能为零

若μ>0，则方程（1）的解为

x

x

e c e

c x X μμ-

+=21)(

由边界条件得 ⎩⎨⎧=+=+-0

021

21l

l e c e c c c μμ 解之得 c 1=c 2=0，于是0)(≡x X 可见μ不能大于0。 若μ<0，记μ=-k 2

则（1）的解为

kx c kx c x X cos sin )(21+=

由边界条件有

⎩⎨

⎧==0

sin 0

12kl c c 因为c 2=0，故c 1不能为零，故只能是 sin kl =0。 这要求 kl =±n π n =0,1,2,…

但n 不能为零，否则k =0，又得到零解，而且±n 给出的两个解只相差一个负号，即线性相关，故l

n K π

=

n=1,2,… 综上，得到特征值为 2

2

)(l

n k πμ-=-= n =1,2,… 其相应的特征值函数为 x l

n C x X n n π

sin )(= n=1,2,…

3°．关于T (t )的方程的通解 将特征值 2

)(

l

n πμ-=代入至于T (t )的方程得 0)()()(2

=+''t T l

an t T π

其通解为：

t l

a

n B t l an A t T n n

n ππsin cos )('+'=

其中n

A '和n

B '为任意常数 故 ,...2,1,sin )sin cos

()()(),(=+==n x l

n t l a n B t l a n A t T x X t x u n n n n π

ππ 4°．有界弦的自由振动解

由叠加原理有

x l

n t l a n B t l a n A t T x X t x u t x u n n n n n n n π

ππsin )sin cos

()()(),(),(1

1

1

+===∑∑∑∞

=∞=∞=