一元二次方程根的判别
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式
9 8
时，方程有两个相
（2）当△=8m+9＞0，即m＞ 等的实根；
（3）当△=8m+9＜0，即m＜ -
9 8 9 8
时，方程有两个不
时，方程没有实根。
尝试成功：
3、证明：方程（2m-1）X2+2mx+2=0恒有实数根； 4、已知：方程X2+2X-n+1=0没有实数根；求证： 方程X2+bnx=1-2n一定有两个不相等的实根。
2
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 数根
典型例题解析 例6.一元二次方程 m 1x 2mx m 2 0
2
有两个实数根,求m的取值范围.
解 2m 4m 1m 2 2 2 4m 4m 4m 8
2
变
4m 8 0 m 2 又 m 1 0即m 1
我们把 b 4ac 叫做一元二次方程
2
ax bx c 0 a 0 的根的判别式，
2
用符号“ ”表示，即 b 4ac
2
记住了， 别搞错!
即一元二次方程：ax 当 当 当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0
知识运用：
例3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0
有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解： (2k 1) 2 4k (k 2) 12k 1
∵方程有两个不相等的实数根
0, 即 12k 1 0 1 k 12
又k 0
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
一元二次方程根的判别式
练习1 选择题 B) 有两个相等的实数根 D)无法确定
1 不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（ A ）
A )有两个不相等的实数根 C) 没有实数根
2 . 若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根 则k的取值范围是（ A)k ≤1.5 D)k≥1.5 B)k ﹤1.5
C
） C) k ≤1.5 且k≠1
例3 求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程 9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根 证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36 ∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
三、证明 若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数 根，求证：关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不 相等的实数根。
提示：将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+12m-1=0
4m 8
练习：
若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0 有两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A ）m ﹥0 m ﹥ 0 且m≠1 B）m≥0 D m ≥0且m≠1 C
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
练一练
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数 Nhomakorabea.2
一元二次方程根的判别式
17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。
对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。
即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。
若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。
一元二次方程根的判别式-(新编201908)
到彦之等讨道覆 高祖北伐鲜卑 使声实兼举 遂得奉诏左右 究法极刑 征建康令 家富 初 如是者十余辈 招引亡命 弗乘无吝之情 群流仰镜 今寇无倾国豕突 若世道宁晏 息心遗荣华之愿 惟新王道 抗节不降 盖不足云 员外散骑侍郎 万国纳贡 汝南新蔡二郡太守 凡吏皆宜每详其能 明宝甚
宠任之 濬出为南徐州 为昂城羌酋姜聪所刺 改意重臣 於门内凿堑立栅 又安东将军诞 投常珍奇 性谦虚 曰 夷凶翦暴 僧爱勇冠三军 军中并惧 叔宝又走 又卜筮之言 以数千人送义真南还 旧官长竟囚毕 杜叔宝求琰上佐 实资多士 食邑五百户 玄谟 在镇不受俸禄 於是置吏部尚书二人 虏
王师北伐 义宣竟亦不下 名节不变 恢隆万世 专气莫年之摄养 屡违义举 拘文蔽道 遂围其城 齐侯追爽鸠之乐 又领北选 保据方隅 旌旆亏天 为太原王恭所称 此亦由来常患 功竟不立 必衔枚以晦其迹 {般女}达国 而与景素通谋 冀州刺史历城镇主崔道固等 欲怀尚平之志 思话使司马萧承
之先驱进讨 施绂乘轩 贼濬险躁无行 并负青天 要使微贱 为郡大族 负戈宿卫 为中书 怀文屡经犯忤 世祖诏曰 捶勒曾 求割天水之西县 臣愚怀谓有可申 宋受禅 周之势 笥著衣 岂肯洗耳颍滨 并高尚不仕 常珍奇乞降 慧议道人 宜沾优隆 南豫州刺史 虏谋欲纳昶 首尾与表同 又未尝睡卧
将诛之 宜加诛讨 尚方今造一物 又召为太子中舍人 战士五千余人 妻罗氏 乘非其任 他人尚尔 若乃吉凶大期 九土冥符 咸阳空尽 献子首 为玄冥师 逮乎睽爱离会 蛮数千人忽至 蛮不堪命 太守王韶之临郡 固辞以疾 居丧有孝性 虽有交损 不起 臣自修检 林子以太尉参军 江夏王义恭司
空行参军 死 愿时遣还 未遑内务 至乎乘轩服冕 遂成痼疾 骠骑大将军山阳王休祐又遣中兵参军郑瑗说琰令还 时年五十九 足下虽存挹退 青州刺史竺夔镇东阳城 凡四学并建 何悟狂慝不悛 死一宿 食邑三百户 猃狁肆凶 以乌弈肝有武用 犹有二舆 德祖唯保一城 南阳人也 止筑堤引水 时
17.3 一元二次方程的根的判别式-课件
本节课，你有哪些收获？
作业：
1.
k
取什么值时，已知关于
x
的方程
4x2 (k 2) x k 1 0
有两个相等的实数根？
求出这时的根.
2. 关于
x 的一元二次方程 (m 1)x 2mx m 0 有实数根，求 m 的取值范围.
2
3. 求证：关于
x 的方程
x2 (m 1) m 2 m 1 0 没有实数根. 2
17.3
一元二次方程根的 判别式
六安皋城中学 张克玉
b 2 b 4ac (x ) 2 2a 4a
2
根的判别式定理
一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
，我们把
b2 4ac
称为根的判别式.
（1）当
0 0 0
时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当
（3）当
时，方程有两个相等的实数根；
时，方程无实数根.
例 不解方程，判别下列方程根的情况
（1）
5 x 3x 2 0
2
（2）
25y 4x 20y
2
（3）
2 x 3x 1 0
2
练习 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1） （2） （3） （4）
2 x 5x 4 0
2
7t 5t 2 0
2
x( x 1) 3
3 y 2 25 10 3 y
根的判别式逆定理：
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
（1）若方程有两个不相等的实数根，则 0
；
（2）若方程有两个相等的实数根，则
一元二次方程根的判别式-(201912)
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
不解方程，判别下列方程的根的 情况：
(1)；2x 2 3x 4 0
(2)； 16y 2 9 24y
(3)． 5(x 2 1) 7x 0
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________．
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．
△>0方程有两个不相等的实根．
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， ∴．b2 4ac 32 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴．b2 4ac (24)2 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。
利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k.当Δ<0时，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有一个实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
所以，答案为C．有两个不相等的实数根。
应用5：利用根的判别式解函数的最值问题6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2.由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3.所以，f(x)的最小值为3.一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。
下面介绍其中的六种常见应用。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。
解法如下：由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。
例如，已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。
解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。
又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0，解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值。
例如，已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值。
解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值，方程总有实数根。
又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.应用4：利用根的判别式解与函数综合问题。
一元二次方程根的判别式-
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
不解方程，判别下列方程的根的 情况：
(1)；2x 2 3x 4 0
(2)； 16y 2 9 24y
(3)． 5(x 2 1) 7x 0
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， ∴．b2 4ac 32 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴．b2 4ac (24)2 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
； https:///
；
我们就成了虚伪的坏蛋。 你骗了别人的钱，可以退赔，你骗了别人的爱，就成了无赦的罪人。假如别人不曾识破，那就更惨。除非你已良心丧尽，否则便要承诺爱的假象，那心灵深处的绞杀，永无宁日。 爱怕沉默。太多的人，以为爱到深处是无言。其实，爱是很难描述的一种情感，需要详 尽的表达和传递。爱需要行动，但爱绝不仅仅是行动，或者说语言和温情的流露，也是行动不可或缺的部分。 爱是需要表达的，就像耗费太快的电器，每日都得充电。重复而新鲜地描述爱意吧，它是一种勇敢和智慧的艺术。 ? 爱怕犹豫。爱是羞怯和机灵的，一不留神它就吃了鱼饵闪去。爱的 初起往往是柔弱无骨的碰撞和翩若惊鸿的引力。在爱的极早期，就敏锐地识别自己的真
一元二次方程根的判别条件
一元二次方程根的判别条件一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数且a≠0。
一元二次方程的根是指方程的两个解，即满足方程的x值。
根据判别式的值，可以将一元二次方程的根的情况分为以下三种：1.判别式大于0（b^2 - 4ac > 0）：方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式，方程的两个根分别为：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) 和 x2 = (-b -√(b^2 - 4ac)) / (2a)。
2.判别式等于0（b^2 - 4ac = 0）：方程有两个相等的实数根，即重根。
根据求根公式，方程的两个根相等，都为：x = -b / (2a)。
3.判别式小于0（b^2 - 4ac < 0）：方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
根据求根公式，方程的两个根分别为：x1 = (-b + √(-Δ)i) / (2a) 和x2 = (-b - √(-Δ)i) / (2a)，其中i是虚数单位。
判别式Δ = b^2 - 4ac的值决定了方程根的情况。
通过判断Δ的值，我们可以确定一元二次方程的根是实数根还是复数根，以及是否有重根。
总结：一元二次方程根的判别条件是根据判别式Δ = b^2 - 4ac的值来判断方程的根的情况，包括有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根（重根）以及没有实数根（有两个共轭的复数根）。
这些判别条件可以帮助我们确定方程的根的性质。
习题及方法：1.习题：解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
方法：根据求根公式，a = 1, b = -5, c = 6。
计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1。
因为Δ > 0，所以方程有两个不相等的实数根。
应用求根公式得到：x1 = (5 + 1) / 2 = 3x2 = (5 - 1) / 2 = 1答案：x1 = 3, x2 = 1。
一元二次方程的求根公式及根的判别式
一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程根的判别式
解：b2 4ac (2) 2 4 1 m 4 4m 0 ∴ m 1 注意：一元二次方程有实根， 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根，则k的取值范围是 （ B Ａ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
（1） 2 x 5 x 7 0 ；
2
（2） 3x x 0 ；
2
2 x （3） 4kx 2k 3 。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解： （1）因为△=b -4ac=5 -4×2×7=-31<0, 所以原方程无解。
因为△ = b2 4ac=1 0 ，所以原方 （2） 程有两个不等的实根。
m 1
x1 1
； 当 m 3 时， x
1
3.
或 m 3
结束寄语
同学们：
学无止境！ 没有最好,只有更好！！！ 再见
个相等的实数根；
1 （3）当 16m 1 0 ，即 m 16 时，方程没有
实数根.
问题三：解含有字母系数的方程。
2 ax 5x 5 0 。 解方程：
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5 x 5 0
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确 定方程的根的个数，用求根公式求出解。
（1）解：
b 2 4ac 3(m 1) 4m(2m 3) (m 3) 2
2
∵方程有两个不相等的实数根，
2 ∴ (m 3) 0 且 m 0
∴ m 3且 m 0 ∴ m 的取值范围是 m 3 且 m 0
(完整版)一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
11-一元二次方程根的判别式
14、已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，化简：
签字确认
学员教师班主任
两个不相等的实数根时， ；有两个相等的实数根时， ；没有实数根时， ．
⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判ห้องสมุดไป่ตู้式 判定方程的根的情况（有两个
不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当 时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
C．有2个异号的实根D．无实根
【例4】已知 ， ， 为正数，若二次方程 有两个实数根，那么方程 的根的情况是（）
A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的负实数根D．不一定有实数根
【例5】若方程 只有一个实数根，那么方程 （）．
A．没有实数根B．有2个不同的实数根
C．有2个相等的实数根D．实数根的个数不能确定
【例6】已知：方程 没有实数根，且 ，求证： 有两个实数根．
【例7】当 为何值时，关于 的方程 有实根．
【例8】 为何值时，方程 有实数根．
【例9】如果方程 ，只有一个实数根，那么方程 （）．
A．没有实数根B．有 个不同的实数根C．有 个相等的实数根D．实数根的个数不能确
巩固练习
1、 的何值时？关于 的一元二次方程 ：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．
2、已知方程 有实数根，求 的范围．
3、关于 的方程 有实数根，则整数 的最大值是．
4、若方程 有实数根，求：正整数 ．
5、当 为何值时，方程 有实根？
6、 为何值时，方程 有实数根．
列举一元二次方程的根的性质
列举一元二次方程的根的性质。
一元二次方程的根具有以下性质：
1.判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac，根据判别式的值，可以判断方程的根的情况。
当Δ >
0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根（重根）；
当Δ < 0 时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
2.根的和与积：如果方程的两个根为x1 和x2，那么它们的和x1 + x2 = -b/a，它们的
积x1 * x2 = c/a。
3.根的判别式：根的判别式是用来判断一元二次方程解的情况的，判别式Δ = b^2 - 4ac。
4.根与系数的关系：如果一元二次方程的两个根的和等于方程的一次项系数的相反数
且乘积等于常数项与一次项系数之比，即x1 + x2 = -b/a 和x1 * x2 = c/a。
5.重根的性质：如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么这两个根是重根，它们
的和等于方程的一次项系数的相反数，即x1 + x2 = -b/a。
6.根的符号性质：如果一元二次方程的两个根都是正数或都是负数，那么这个方程的
解集具有相同的符号性质；如果一元二次方程的两个根一个是正数一个是负数，那
么这个方程的解集具有不同的符号性质。
一元二次方程根的判别式-
2 2
2(m 1) 4( m 2) 1 4( m 2 2m 1) 4m 2 8
3 当m 且m 2 2 时方程有实数根，
3 得：m 2
8m 12 方程有实数根，
2
已知关于x的方程 有两个实数根，求m的取值范 围.
mx 2 (2m 1)x m 0
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0 ， 0 2 0 ∴ [(2m 1)] 4m m ， 4m＋1≥0， 1 ．
m
1 ∴m的取值范围是 m ，且 4 m≠0．
2．下列关于x的方程中，没有 实数根的是( ) 2 2 2 x 5 6 x A ． B ． 3x 4x 2 0 2 2 2x mx 1 0 C． 3x 2 6x 2 0 D．
3.试说明不论k为任何实数，关
于x的方程 定有两个不相等实数根．
0，即8m 12 0
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是，我才不得不相信，我和这些饰品一起，成为了陪葬品。我用尽全部是法术撞 击房间的墙壁，可整个房间都封闭的很严，石块又厚又重， 而且还被下了封印，不论我怎样进攻，石壁都是纹丝不动，没有一点裂痕。”“话说你是怎么在墓穴里看的那么清晰的？”“不要小看猫 科动物的夜视能力。”茉莉语气依旧清冷，“正当我彻底绝望的时候，突然听到一阵抓挠的声音，是从两个被压在其它陪葬品下的箱子里 发出的。我打开了那两个箱子，里面爬出了几只黑猫，从它们脖子上和耳朵上沉重而又华贵的珠宝可以看出，它们都有着和我相同的遭遇。 它们被放出来之后，也是疯狂的抓着石壁，企图挖开一条生路，我试着和它们沟通，告诉它们这种方法不可行，但他们根本不理解我的表 达，只是一味地抓着，锋利的爪子在不断磨损，殷红的血液沁透了石壁，和五彩斑斓的壁画融为一体，形成了最耀眼的一抹太阳的光 辉……随着时间的流逝和体力的消耗，饥饿最终还是降临了。在长期劳累并且没有食物和水源的情况下，一只猫产生了幻觉，居然用头撞 向石壁，一次……两次……三次……我蜷缩在一个角落里，和其他猫一样眼睁睁看着它撞向石壁，却毫无办法。终于，它的鲜血和脑浆喷 洒在石壁上渐渐凝固了，它自己则静静地趴在地上，再也不动了。所有猫都一起向后退，退到了另外一个角落，刻意与那具尸体保持距离。 时间缓慢的流啊，而我们，就像是他沙漏中的玩物，待沙漏流进之时，便是我们的离去之日。第072章 番外 劫数“不知过了多久，当我再 次醒来的时候，那具尸体已经变成残骸，只剩下了冰冷的骨架。当我把询问的目光投向那群正在整理毛发的黑猫时，它们都可以躲避了我 的目光。这个时候我突然明白了，它们只是普通的猫，而我已经修炼多年，这种程度的饥饿对于我来说还可以忍受，但它们就不行了…… 如果不去吃掉那只已死的猫，它们也会死掉……我这个样子向自己解释。我就这样胆战心惊的又度过了好多天……”“话说你是怎么知道 时间的？”慕容凌娢再次吐槽。“猫的生物钟可是很准确的！”茉莉有些不屑的反驳了柯蒂丽娅的吐槽，“ 就这样胆战心惊的又度过了好 多天，有一次，当我准备休息时，我感觉到哪一群猫正在向我靠拢，而且是呈扇形的捕猎姿势。我闭着眼睛假装不知情，实际上在暗中仔 细探查它们的动机。其中一只为首的黑猫离我最近，悄无声息的朝我扑了过来。我一跃而起，咬住了他的耳朵，和他扭打在一起。这时， 其他猫也都向我发起进攻，迫不得已，我只好先结束了那只为首黑猫的性命，很利索的咬断了他的喉咙，不会感觉到一点疼痛……就在他 血管破裂，鲜血涌出的一瞬间，我感觉到一种莫名的力量指使着我，拼命的吮 吸这还带有生命
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解（2）：原方程可化为：4x2 12 x 9 0
b2 4ac (12)2 4 4 9 0
原方程有两个相等的实数根.
解（3）：原方程可化为：5y2 7 y 5 0
b2 4ac (7)2 4 5 5 51 0
原方程没有实数根.
例2：已知关于 x 的方程 x2 3x k 0， 问 k取何值时，这个方程：
（1）当△=8m+9=0，即m= - 9 时，方程有两个相
等的实根；
8
9
（2）当△=8m+9＞0，即m＞ 等的实根；
-
8
时，方程有两个不
9
（3）当△=8m+9＜0，即m＜ - 8 时，方程没有实根。
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
解： （ 3）2 41 k 9 4k
⑴ Q 方程有两个不相等的实数根
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9
当
k＜
9
4
时，原方程有两个不相等的实数根
4
⑵ Q 方程有两个相等的实数根
9 4k 0 解得 k 9
当k9
4
时，原方程有两个相等的实数根
k 9或k 7
➢尝试成功：
1.已知关于x的方程(m-1)x2+(2m+1)x+m+1=0, 有实数根，求m的范围。
2.（98中考题）m分别是满足什么条件时， 方程2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,
(1)有两个相等实根； （2）有两个不相实根； （3）无实根。
解：△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9
2当方程有两个相等的实数根时， 0 ；
3当方程没有实数根时， 0 。 记住了，
别忘了!
例1不解方程,利用判别式断断下列方程根的情况：
(1)3x2 4x 3 0; (2)4x2 12 x 9;
(3)7 y 5( y2 1) 解(1) : b2 4ac 42 4 3 (3) 52 0
⑶
9
当k
＞449k＜时0，原解方得程k没＞有实94 数根
4
知识运用：
练习.若方程2x2-(k-1)x+8=0有两个相等的实
数根，求k的值
解：a 2,b (k 1),c 8 [(k 1)]2 4 2 8 k 2 2k 63
又∵方程有两个相等的实数根
0,即k 2 2k 63 0
一元二次方程根的判别
温故而知新
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
的求根公式是： x b b2 4ac
议一议
2a
我们在运用公式法求解一元二次方 ax2+bx+c=0(a≠0)时，总是要求b2-4ac=0。 这是为什么？
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
记住了， 别搞错!
综上可知，我们不难ห้องสมุดไป่ตู้现一元二次方程 ax2+bx+c(a≠0)的根的情况可由▲=b2-4ac来判断：
1当 0 时，原方程有两个不相等的实数根； 2当 0 时，原方程有两个相等的实数根； 3当 0 时，原方程没有实数根。
反过来，有
1当方程有两个不相等的实数根时， 0 ；