复合函数定义

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复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案

复合函数一，复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。

二，对高中复合函数的通解法——综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1：指出下列函数的复合过程。

（1）y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2解：(１) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。

（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。

（3）∵y=sin3x=(sinx)-3∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。

（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。

看下例题：例２：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。

经典误解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。

由g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11∵f(u1)的定义域为[1、2]∴１≤x﹤2∴-9≤2x-11﹤-6即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]经典误解２：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]∴1≤x+3﹤2∴-2≤x﹤-1∴-4≤2x﹤-2∴-9≤2x-5﹤-7∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]（下转2页）注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。

复合函数

当 a 0 时,显然适合题意.
当
a0
a0 时 0a4 2 a 4a 1 0
综上知函数的单调性
引理1：函数y f [ g ( x)],若u g ( x)在区间(a, b)上单增，其值域为(c, d ), 又函数y f (u )在区间(c, d )上是增函数，那么复合函数y f [ g ( x)]在区间(a, b)上是增函数。
1 x
2 x 2 x 1
的单调区间。
2.求函数y 2 的单调区间。 3.求函数y 4 2 的单调区间。
x x
则u 2 x 2 1在(,0)上单增，在(0,)上单减， y 2 在区间(,1)上单增，
u
y 2 , u (,1)
u
(,0)
u 2 x 2 1
(0,)
y 2u
y2
2 x 2 1
单增单增单增
单减单增单减
故y 23x1在(,0)上单减，在 (0,)上单增。
f (u1 ) f (u2 ) 即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上单减。
记u1 g ( x1 ), u2 g ( x2 ) 则u1 u2，且u1 , u2 (c, d ) 又y f (u )在区间(c, d )上单增
复合函数y f [ g ( x)]的单调性是由内层函数 u g ( x) 和外层函数 y f (u)单调性共同决定的。
g(x) f(x)
单增单增
单增单减单减
单减单增单减
单减单减单增
f[g(x)] 单增
例1 ：求函数y 2
3 x 1

复合函数

复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。

这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。

要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。

二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。

分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。

本题用换元和“凑型”的办法解决。

解法一设13+=x t ,则31-=t x 。

把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。

解法二由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。

分析由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。

随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（）(A)[0,2] (B)[23,21-] (C)[25,21] (D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96k x k x y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. (方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。

高中数学讲义：复合函数零点问题

复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =éùëû2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =éùëû函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。

例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f éùëû解：()2224f ==()()2412g f g \==éùëû3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。

例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =éùëû，求x 解：令()t f x =，则()2020g t t t =Þ-=解得0,2t t ==当()0020xt f x =Þ=Þ=，则x ÎÆ当()2222x t f x =Þ=Þ=，则1x =综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =éùëû的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D Î，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =éùëû根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =éùëû的根的个数6、求解复合函数()y g f x =éùëû零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =éùëû中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ì¹ï-=íï=î，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >¹）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。

函数复合结构

函数复合结构函数复合结构是数学中常见的一种运算方式，它可以将多个函数组合在一起形成一个新的函数。

在实际问题中，函数复合结构可以帮助我们更好地理解和解决复杂的数学和物理问题。

本文将从函数复合的定义、性质和应用等方面进行阐述。

一、函数复合的定义函数复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，并得到一个新的函数。

其定义如下：设有函数f(x)和g(x)，则函数f(x)和g(x)的复合函数记作(f∘g)(x)，定义为(f∘g)(x)=f(g(x))。

二、函数复合的性质1. 结合律：对于三个函数f(x)，g(x)和h(x)，有(f∘g)∘h=f∘(g∘h)。

即函数复合满足结合律。

2. 不满足交换律：一般情况下，函数复合不满足交换律，即f∘g≠g∘f。

3. 存在单位元素：对于任意函数f(x)，有f∘i=i∘f=f(x)，其中i(x)=x为恒等函数。

4. 不一定可逆：一般情况下，函数复合不可逆，即(f∘g)的逆函数不一定等于g的逆函数∘f的逆函数。

三、函数复合的应用函数复合在数学和物理中有广泛的应用，以下将介绍其中的几个典型应用。

1. 复合函数的求导在微积分中，函数复合结构可以帮助我们求解复杂函数的导数。

根据链式法则，设有复合函数y=f(g(x))，则其导数可以通过f'(g(x))和g'(x)的乘积来求解。

2. 函数的叠加模型在信号处理和电路分析中，函数复合结构可以用来描述多个信号或电路元件的叠加模型。

通过将多个函数按照一定的规则进行复合，可以得到复杂的信号或电路响应。

3. 函数的递归定义在计算机科学中，函数复合结构可以用来定义递归函数。

递归函数是一种自身调用的函数，在函数定义中使用函数自身来描述问题的解决方法。

4. 函数的优化问题在优化理论和最优化算法中，函数复合结构可以用来描述目标函数和约束条件之间的关系。

通过对复合函数的优化，可以求解出最优的问题解。

四、函数复合的例子下面通过几个具体的例子来说明函数复合的应用。

复合函数与反函数

复合函数与反函数复合函数和反函数是数学中常用的概念，它们在函数的组合和逆运算中起着重要的作用。

本文将介绍复合函数和反函数的定义、性质以及它们的应用。

一、复合函数的定义与性质复合函数是指把一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。

设有函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数记作(f o g)(x)，读作“f合g(x)”或“f在g(x)的基础上”。

具体而言，设有函数f(x)和g(x)，则(f o g)(x) = f(g(x))。

在计算复合函数时，首先对g(x)进行计算，然后将其结果作为f(x)的输入。

例如，若f(x) = 2x，g(x) = x + 1，则(f o g)(x) = f(g(x)) = 2(x + 1) = 2x + 2。

复合函数的性质如下：1. 结合律：对于函数f(x)，g(x)和h(x)，有(f o g) o h = f o (g o h)。

2. 唯一性：对于函数f(x)和g(x)，若(f o g)(x) = x，则g(x)为f(x)的反函数，而f(x)为g(x)的反函数。

二、反函数的定义与性质反函数是指一个函数与其自身的复合函数互为逆函数的关系。

设有函数f(x)，若存在函数g(x)，使得(g o f)(x) = x和(f o g)(x) = x，则g(x)为f(x)的反函数。

具体而言，设有函数f(x)，则其反函数记作f^(-1)(x)。

反函数的定义满足以下条件：1. f^(-1)(f(x)) = x，对于所有在f(x)的定义域上的x成立。

2. f(f^(-1)(x)) = x，对于所有在f^(-1)(x)的定义域上的x成立。

反函数的性质如下：1. 反函数的导数：若f(x)在某一区间上连续且可导，则f^(-1)(x)在相应的区间上也连续且可导，并且(f^(-1))'(x) = 1 / f'(f^(-1)(x))。

2. 反函数的图像：若f(x)的图像关于y = x对称，则f(x)的反函数的图像与f(x)的图像关于y = x对称。

浅谈复合函数

浅谈复合函数复合函数是一种非常有用的数学工具，它可以用来描述多个函数之间的关系。

在本文中，我们将讨论复合函数的定义、性质以及如何求解复合函数。

首先，让我们来了解一下复合函数的定义。

定义：若函数 f 和 g 都是定义在一个集合 D 上的函数，则将函数 g 当作函数 f 的输入，并得到函数 h，则称函数 h 为函数 f 和 g 的复合函数，记作 h = f(g(x))。

例如，若函数f(x)=x^2+1，函数g(x)=x+1，则函数h = f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2+1。

注意，复合函数的定义并不是将函数 f 和 g 相乘或相加，而是将函数 g 作为函数 f的输入。

现在，让我们来看一看复合函数的一些性质。

性质 1：复合函数的定义域是函数 g 的定义域。

性质 2：复合函数的值域是函数 f 的值域。

性质 3：若函数 f 和 g 都是单射函数，则复合函数 h 也是单射函数。

性质 4：若函数 f 和 g 都是可导函数，则复合函数 h 也是可导函数。

性质 5：若函数 f 和 g 都是连续函数，则复合函数 h 也是连续函数。

接下来，我们来讨论如何求解复合函数。

假设我们已经知道函数 f 和 g，并想要求出复合函数 h。

那么，我们需要做的就是将函数 g 代入函数 f 中，并得到函数 h。

例如，若函数f(x)=x^2+1，函数g(x)=x+1，则函数h = f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2+1。

注意，在求解复合函数时，我们需要先将函数 g 代入函数 f 中，再得到函数 h。

因此，我们可以将复合函数表示为 h(x)=f(g(x))。

此外，我们还可以使用复合函数的运算法则来求解复合函数。

这一运算法则规定，若函数 f 和 g 分别为函数 h 和 k 的复合函数，则函数 f 和 g 的复合函数为(f∘g)(x)=f(g(x))。

例如，若函数 f(x)=x^2+1，函数 g(x)=x+1，函数 h(x)=x^3+1，函数 k(x)=x+2，则函数 f 和 g 的复合函数为(f∘g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2+1，函数 h 和 k 的复合函数为(h∘k)(x)=h(k(x))=(x+2)^3+1。

复合函数

复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1.设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

三角函数的复合函数

三角函数的复合函数三角函数在数学中起着重要的作用，它们有着广泛的应用。

在本文中，我们将关注三角函数的复合函数，探讨它们的性质和相关的应用。

1. 复合函数的定义在数学中，复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。

对于三角函数而言，复合函数可以表示为f(g(x))，其中f和g都是三角函数。

需要注意的是，复合函数的定义域和值域可能会有所变化。

2. 复合函数的性质复合函数的性质包括可微性、奇偶性和周期性。

2.1 可微性对于可微函数的复合函数而言，其导数可以通过链式法则进行计算。

例如，设h(x) = sin(cos(x))，则h'(x) = -sin(x) * cos(cos(x))。

复合函数的可微性在解决一些数学问题时起着重要的作用。

2.2 奇偶性三角函数中的正弦函数和余弦函数具有奇偶性。

如果f(x)是一个奇函数，g(x)是一个偶函数，则f(g(x))是一个奇函数；如果f(x)和g(x)均为奇函数或偶函数，则f(g(x))也是一个奇函数。

2.3 周期性正弦函数和余弦函数都具有周期性。

设f(x) = sin(x)，则f(g(x)) =sin(g(x))仍然具有周期性，其周期取决于函数g(x)的周期。

3. 复合函数的应用复合函数在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

3.1 泰勒展开复合函数的泰勒展开能够帮助我们近似计算函数的值。

例如，我们可以利用sin(x)的泰勒展开式来近似计算sin(g(x))的值。

3.2 信号处理三角函数的复合函数在信号处理中有着重要的应用。

例如，在音频处理中，我们可以使用三角函数的复合函数来模拟声音的振荡和变化。

3.3 物理学中的波动在物理学中，波动是一个重要的概念。

三角函数的复合函数可用于描述波动的变化。

例如，光的传播和声音的传播都可以通过三角函数的复合函数来表示。

综上所述，三角函数的复合函数具有重要的性质和应用。

通过研究复合函数，我们能够更深入地理解三角函数及其在数学和其他学科中的应用。

复合函数的概念

复合函数的概念复合函数是指将两个或多个函数结合在一起，变成一个新的函数。

它是在数学计算中常用的一种运算模式，是一种将简单函数合并成复杂函数的操作。

一、定义1、复合函数：指将多个函数结合组成一个新的函数，即多个函数组合在一起而成为一个函数。

2、展开式：复合函数也可以表示为展开式，即从内层函数外围开始计算，逐渐往外层函数计算。

二、形式表示复合函数的形式表示由以下几种方式：1、笛卡尔积形式：是以笛卡尔乘积的思路表示的复合函数，用来表示比较复杂的复合函数的形式。

2、函数柱面形式：通过将各个函数沿着垂直方向叠加，表示复合函数的形式。

三、性质1、复合函数的性质是多个函数结合后新生成函数的性质，复合函数是服从基本函数的性质。

2、函数的单调性：复合函数有两种可能的单调性，一种是函数总体单调，另一种是函数单调变换。

3、函数的对称性：复合函数在函数上可能有对称性，即在某一特定的平面上，函数的曲线形态具有对称性。

4、函数的微分性：复合函数的微分性依赖于基本函数的微分，函数的微分结果乘以对应的系数即可。

四、应用1、函数拟合：复合函数可以用来拟合一些不太复杂的函数，可以节省计算量，研究物理问题时可以拟合出相关的函数。

2、回归分析：复合函数在回归分析中也发挥着重要的作用，可以用复合函数来进行曲线拟合，从而确定多个变量之间的关系。

3、解决方程：用复合函数可以求解复杂的方程组等多元函数的极值，从而寻求函数的最优解。

总结：复合函数是指将两个或多个函数结合在一起，变成一个新的函数，是数学计算常用的一种运算模式，它也可以表示为展开式，从内层函数外围开始计算，逐渐往外层函数计算。

复合函数的性质是多个函数结合后新生成函数的性质，复合函数是服从基本函数的性质。

可以用复合函数来拟合一些不太复杂的函数，进行回归分析，也可以用来解决复杂的方程组等多元函数的最优解。

复合函数求解析式解题技巧

复合函数求解析式解题技巧求解复合函数的解析式是高中数学中的一种重要技巧，也是解决相关问题的常用方法之一。

对于给定的两个函数，可以通过复合运算得到一个新的函数，它是两个函数的组合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

本文将介绍复合函数求解析式的一般方法和一些常用的技巧。

一、复合函数的定义和表示复合函数是指由两个已知的函数f(x)和g(x)组成的一个新函数h(x)，它的定义如下：h(x) = f(g(x))其中，f(x)表示函数f关于自变量x的解析式，g(x)表示函数g关于自变量x的解析式，h(x)表示函数h关于自变量x的解析式。

二、复合函数求解析式的一般方法要求解复合函数的解析式，可以按照以下步骤进行。

1. 将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。

2. 将复合函数的自变量替换成中间变量，即设y = g(x)。

3. 将中间变量y代入函数f的解析式，得到h(x) = f(y)。

4. 将中间变量y的解析式替换成g(x)的解析式，得到h(x) = f(g(x))。

需要注意的是，求解复合函数的解析式时，需要注意两个函数之间的定义域和值域是否相容。

即函数g的值域必须是函数f的定义域的子集，否则无法进行复合运算。

三、常用的复合函数求解析式的技巧在实际的题目中，常常需要利用复合函数求解析式解决问题。

以下是一些常用的技巧和方法。

1. 复合函数的相反运算有时候需要求解复合函数的相反运算，即已知h(x)，要求g(x)。

可以通过以下步骤进行求解。

将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。

将复合函数的自变量和因变量互换位置，得到g(x) = f ⁻¹(h(x))，其中f⁻¹表示函数f的反函数。

需要注意的是，函数f必须是可逆的，即函数f必须是单调且一一对应的。

2. 复合函数的化简运算有时候需要求解复合函数的结果，可以通过化简运算来简化问题。

例如，已知f(x) = 2x + 3和g(x) = x²，求h(x) = f(g(x))的解析式。

复合函数

复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A⊇B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：设函数f x()的定义域为D，即x D∈，所以f的作用范围为D，又f对g x()作用，作用范围不变，所以D∈，E(，解得x Eg∈x)为[]f g x()的定义域。

例1、⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶已知定义域是，求定义域．点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：解：⑴函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．函数的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．∴，∴，即，∴函数的定义域[0，]．⑵函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定义域是[-3，1]．点评：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数的值域。

⑶函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域∴∴∴∴的定义域是[1，）．例2．已知函数定义域是（a,b），求的定义域．解：由题，，，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为．说明：①已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。

实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。

通过解不等式求得的范围，即为的定义域。

②已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。

实际上是已知直接变量的取值范围，即。

先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。

复合函数的计算与应用

复合函数的计算与应用复合函数是数学中的一个重要概念，它在计算和应用问题中起到了关键作用。

本文将对复合函数的计算方法进行介绍，并结合实际应用场景进行分析。

一、复合函数的定义在数学中，如果有两个函数，假设函数f 的定义域为X，值域为Y，函数 g 的定义域为 Y，值域为 Z，则称函数 g 和 f 的复合函数为 g∘f。

其中，复合函数 g∘f 的定义域是 X，值域是 Z。

二、复合函数的计算方法计算复合函数时，需要按照先代入 f，再代入 g 的顺序进行计算。

具体步骤如下：1. 确定复合函数的形式：g(f(x))。

2. 将 x 代入函数 f，计算出 f(x)。

3. 将 f(x) 代入函数 g，计算出 g(f(x))。

举例说明：假设有函数 f(x) = x^2和函数 g(x) = 2x+1，计算复合函数 g∘f(x) 的值。

1. 确定复合函数的形式：g(f(x))。

2. 代入 f(x) = x^2，得到 f(x) = (x^2)^2 = x^4。

3. 将 f(x) = x^4 代入 g(x) = 2x+1，得到 g(f(x)) = 2(x^4) + 1。

通过以上步骤，我们可以计算出复合函数 g∘f(x) 的具体表达式为2(x^4) + 1。

三、复合函数的应用复合函数在实际问题中有广泛的应用，下面将结合不同领域的实例进行说明。

1. 经济学领域：在经济学中，经济收入通常与税率和个人所得相关。

假设有两个函数，函数 f 表示税率与收入的关系，函数 g 表示个人收入与消费之间的关系。

则通过计算复合函数 g∘f(x)，我们可以得到个人的可支配收入与税率的关系，进而分析经济政策对个人消费的影响。

2. 自然科学领域：在物理学中，使用复合函数可以描述物体的运动。

假设有函数 f(t) 表示物体的位移与时间的关系，函数 g(x) 表示位移与速度之间的关系。

通过计算复合函数 g∘f(t)，我们可以得到物体的速度与时间的关系，从而分析物体在不同时间段内的运动特性。

复合函数讲义

.复合函数（讲义）➢ 知识点睛1. 复合函数定义若函数()y f u =，()u g x =，则称函数(())y f g x =为复合函数，其中()f u 为外层函数，g (x )为内层函数，u 是中间变量．2. 复合函数定义域的求法①若y =()f x 的定义域为[a ，b ]，则复合函数(())y f g x =的定义域即为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；②若(())y f g x =的定义域为[a ，b ]，则函数y =()f x 的定义域即为x ∈[a ，b ]时g (x )的取值范围．注：同一对应法则f 下的范围相同，即f (u )、f (g (x ))、f (h (x ))三个函数中，u ，g (x )，f (x )的范围相同．3. 复合函数的单调性口诀：同增异减．已知函数(())y f g x =，则求其单调区间的一般步骤如下：（1）确定定义域；（2）将复合函数(())y f g x =分解成：()y f u =，()u g x =；（3）分别确定这两个函数的单调区间．4. 复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇．即：➢ 精讲精练1. （1）设函数 f (x )=2x +3，g(x )=3x -5，则 f (g (x ))=____________，g (f(x ))=____________；（2）已知2211()f x x x x -=+，则(1)f x +=_________．2. （1）设函数f (x )的定义域为[01]，，则函数2()f x 的定义域为____________，函数2)f 的定义域为____________；3. 求函数的值域：4. 已知函数233x x y a -+=，当[13]x ∈，时有最小值8，则a 的值为____________．5. 如果函数2()21x x f x a a =+-（a >0，且a ≠1）在[-1，1]上有最大值14，则a的值为____________．6. 设0a >，1a ≠，函数2lg (23)xx y a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为____________．7. 若函数()f x 在()-∞+∞，上是减函数，则2(2)y f x x =-的单调递增区间是____________．8. 直接写出下列函数的单调区间：（2）函数2()ln(23)f x x x =--的单调递减区间是_________；（3）函数()242x x f x =-⋅的单调递减区间是____________；（4）函数20.50.5log log 2()x f x x =-+的单调减区间是______．9. 求下列函数的单调区间：（4）函数()f x =的单调递增区间是_______．10. 已知f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上递减，那么f (x )在(1，+∞)上（）A ．递增无最大值B ．递减无最小值C ．递增有最大值D ．递减有最小值11. 已知函数log (()2)a f x x a =-在(11)-，上是x 的减函数，则a 的取值范围是____________．【参考答案】1.（1）6x-7；6x+4；（2）x2+2x+32.（1）[-1，1]；[4，9]；（2）5[0]2，；11(][)32-∞-+∞U，，；（3）4]；（4）(-4，-1)∪(1，4)3.（1）(-∞，-2)；（2）3[57]4，；（3）1[2]4-，4.165.13或36.(2，3)7.(1，+∞)8.（1）(-∞，3)；（2）(-∞，-1)；（3）(-∞，-2)；（4）(09.（1）(-∞，-2)，(-2，+∞)；（2）(-2，2)；（3）(-1，1)；（4）7 ()2 -∞-，10.A11.(1，2]12.(-8，-6]13.a＞1。

复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

千里之行，始于足下。

复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。

在数学中，复合函数是一种常见的概念，并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。

本文将对复合函数的知识点进行总结，并通过分类讲解一些例题。

一、复合函数的定义：设有函数f和g，对于g的定义域中的每个x，存在f的定义域中的y，使得y=g(x)，则有一个复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。

二、复合函数的求解步骤：1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。

2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域，并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。

3. 将g(x)的值代入f(x)中，得到新的函数h(x)。

三、复合函数的性质：1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。

2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。

四、复合函数的例题分类讲解：1. 简单的复合函数求导：例题1：已知f(x)=x²和g(x)=2x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

解析：首先计算g'(x)=2，然后计算f'的导函数f'(x)=2x。

根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。

2. 复合函数中含有指数函数：例题2：已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x)，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。

解析：首先计算g'(x)=1/x，然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。

根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。

3. 复合函数中含有三角函数：例题3：已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。

全面剖析复合函数及性质

全面剖析复合函数及性质山东省汶上县第一中学（272500）丁阳会一、复合函数的定义.一般地，对于两个函数y =f (u )和u =g(x),如果通过u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y =f (u )和u =g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)),其中函数y =f (u )称为外函数，函数u =g(x)称为内函数，u 称为中间变量。

复合函数可以分解为几个简单函数即内函数和外函数，例如复合函数21x y -=由外函数u y =和内函数21x u -=两个基本初等函数复合而成的。

二、复合函数的定义域.复合函数))((x g f y =可以分解为⎩⎨⎧==（内函数）（外函数）),(),(x g u u f y ，该复合函数的对应关系可以理解为自变量x 以u 为中间变量通过g f 与两个对应关系对应到y ，即y u x f g −−−→−−−−→−对应关系对应关系，其中外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域，外函数)(u f y =的值域是复合函数))((x g f y =的值域，内函数)(x g u =的定义域是复合函数))((x g f y =的定义域。

（一）已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域。

已知函数)(x f 的定义域为[a,b],则函数))((x g f 的定义域是指满足不等式a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围; 例1.已知)(x f 的定义域为[1,2]，求函数)1(2x f y +=的定义域.分析：)1(2x f y +=可以分解为⎩⎨⎧+==21)(xu u f y ，外函数)(u f y =的定义域[1,2]是内函数21x u +=的值域，求复合函数的定义域，只须解不等式2112≤+≤x ，便可求出其定义域.解：由2112≤+≤x 得1≤x ,即1≤x ，11≤≤-∴x∴函数)1(2x f y +=的定义域是[-1，1]。

复合函数(讲义)

复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。

2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。

注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。

3.复合函数的单调性口诀：同增异减。

已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。

4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。

即：f(x)。

偶函数。

奇函数。

奇函数g(x)。

偶函数。

奇函数。

偶函数。

奇函数f(g(x))。

偶函数。

奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。

复合函数知识总结及例题

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,若A=B,则y关于X函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，U叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f (χ)的定义域，求f[g(χ) 1的定义域思路：设函数f (X)的定义域为D，即X ∙ D ,所以f的作用范围为D，又f对g(χ)作用，作用范围不变，所以g(x)∙ D ,解得X ∙E，E为f Ig(X)]的定义域。

例1.设函数f (u)的定义域为(O，1)，贝U函数f (Inx)的定义域为___________________ 。

解析：函数f (U)的定义域为(0，1)即u • (0，1),所以f的作用范围为(0，1)又f对InX作用，作用范围不变，所以0 ：：： In X ：：： 1解得X • (1, e),故函数f (In x)的定义域为(1, e)1例2.若函数f (X)= ----------- ,则函数f [f (x)]的定义域为 ___________________ 。

X +11解析：先求f的作用范围，由f (X) ,知X = -1X +1即f的作用范围为■ RlX= ,又f对f(χ)作用所以f (X) ∙R且f (x) - -1 ,即f If(X) 1中X应r d x≠-1X 式一1 L满足彳即｛1 ,解得x≠一1且x≠一2I f(X)H—1 —≠-1ιX +1故函数f If (X) 的定义域为CX R|x = -1且Xn -2(2)、已知f Ig(X)】的定义域，求f (x)的定义域思路：设f Ig(X) 1的定义域为D,即X ∙D ,由此得g(x) ∙E ,所以f的作用范围为E,又f对X作用，作用范围不变，所以X ∙E, E为f (X)的定义域。

例3.已知f (3 —2x)的定义域为X E[―1, 2 ],则函数f (x)的定义域为 _________________ 。

复合函数的含义

复合函数含义：函数y=log 2x 是对数函数，那么函数y=log 2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log 2u ，u=2x-1，因此函数y=log 2(2x-1)是由对数函数y=log 2u 和一次函数u=2x-1经过复合而成的。

一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x 2+1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x 换成g(x),f(g(x)) = 3g(x)+5 = 3(x 2+1)+5 = 3x 2+8.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型：（一）求复合函数表达式；（二）求复合函数相关定义域；（三）复合函数的单调性；（四）函数性质等与复合函数结合。

新课程中复合函数相关题： 7，如果tt t g tt t f -=+=1)(,1)(，证明：)(2)()(2t g t g t f -=-。

8、已知函数)(x f 与)(x g 分别由下表给出，那么_____________________))1((=f f _____________________))2((=g f _____________________))3((=f g _____________________))4((=g g9、设函数32)(+=x x f ，函数53)(-=x x g ，求))(()),((x f g x g f 。

7、已知)(x f 是一个定义在R 上的函数，求证：（1）)()()(x f x f x g -+=是偶函数；（2）)()()(x f x f x h --=是奇函数。

复合函数定义

复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案

复合函数

复合函数

高中数学讲义： 复合函数零点问题

函数复合结构

复合函数与反函数

浅谈复合函数

复合函数

三角函数的复合函数

复合函数的概念

复合函数求解析式解题技巧

复合函数

复合函数的计算与应用

复合函数讲义

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全面剖析复合函数及性质

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