浅水立波-森弗罗理论 大连理工大学水力学必考内容

12.5 浅水立波

在海洋、水库等广阔水面上所发生的波浪，波高常达数米甚至更大，波陡L H /一般约为1/10~1/30。因此水质点波动的振幅是有限值，这种波浪称有限振幅波。

当波浪向前传播遇到各种类型的建筑物时，将受到这些建筑物的反作用，并发生反射、破碎、绕流等复杂现象而改变原来波浪的运动性质。当水深大于临界水深，行进的波浪遇到直墙式建筑物时将发生反射现象。波浪的反射和一般横波的反射原理相同。反射波以与原始推进波和建筑物的交角相等的反射角从建筑物的直墙面上反射出来。在建筑物前反射波系与原始推进波系叠加而成的波系称为干涉波。波浪与较陡的斜墙相遇或波浪越过直墙顶时墙前也要产生局部反射现象。如果推进波属于二向自由规则波，波浪行进的方向又和建筑物直墙面相垂直，则原始推进波系和反射波系叠加形成完整的立波，见图12.5.1所示。因此，立波是干涉波的一种特殊典型情况，但又是设计计算时必须加以考虑的重要情况之一。

本节将介绍有限振幅立波的基本运动规律和作用在直墙上的波压力。

图12.5.1 原始推进波和反射波叠加形成立波

两个具有完全相同的波高、波长和波周期的原始有限振幅推进波与其在直墙前产生的反射波互相叠加形成了立波。叠加后立波的最大振幅为原始推进波的二倍，而波长和波周期则不变。在直墙面上和离直墙2

L

n （n 为正整数）处，波面反复升降交替出现波峰和波谷，这些点称为波腹；在离直墙4

2L

L n

处，波面几乎没有升降，只是波面的倾斜度发生周期性的

变化，这些点称为波节。立波的波形不再向前移动，而是在波节之间的波面呈周期性的上下升降运动，所以称为立波或驻波。

立波的水质点运动轨迹不再是封闭曲线而是一段抛物线，抛物线的主轴铅直向下，线形弯曲向上，每个水质点只在抛物线的一段距离上往复摆动。

图12.5.2 浅水立波水质点的运动轨迹，为一抛物线

立波水质点的运动情况如图12.5.2所示。设墙前波面通过静水面时某水质点位于O 点，当墙前波面上升出现最大波峰时，该水质点上升至最高位置O '点；当墙前波面下降出现最大波谷时，该水质点下降至最低位置O ''点。图12.5.3表示在一个波动周期内水质点的速度

dt

du

u 加速度

,及波面波动之间的关系。由图可知，当波面通过静水面，水质点在平衡位置O 点时，其速度最大，加速度为零；当墙前出现最大波峰和波谷，水质点相应在最高或最低位置时，其速度为零而加速度达最大值。

图12.5.3 一个波动周期内水质点的速度dt

du

u 加速度,及波面波动之间的关系

和有限振幅推进波相对应，有限振幅立波也可分为深水立波和浅水立波两种。由深水推进波形成的立波称为深水立波；由浅水推进波形成的立波称为浅水立波。本节只介绍《海港水文规范》里所涉及的直墙式建筑物如防波堤前形成的浅水立波，着重介绍其波压强的分布

和波压力的计算。

12.5.1 水质点运动规律

取静水面为x 轴，取原始推进波传播方向为正；z 轴则取通过某一波节点的铅垂线，向下为正，这是与微幅波理论z 向上为正不同之处。（x 0，z 0）是静止时水质点的位置坐标。直墙面的横坐标取04

L x nL =+，n 为0,1,2…整数，以满足产生立波的条件。

对有限水深情况，森弗罗（Sainflou ）采用拉格朗日法建立浅水立波水质点的运动方程如下：

⎪⎭

⎪⎬⎫--=+=t kab kx t b z z kx t a x x σσσ2000

0sin 2sin sin 2cos sin 2

（12.5.1）

式中,,a b σ和k 为相应的浅水推进波水质点的轨迹椭圆半长轴、半短轴、角速度和波数：

002()2()2

2/2/T

chk d z H a shkd

shk d z H b shkd

kgthkd

k L

σπσπ-=-=

=== （12.5.2）

其中H 为浅水推进波波高，d 为水深。

若令t kab z z x x t b b t a a kx σσσπ

θ20000

0sin 2,,sin 2,sin 2,2

-='='='='-='，则式（12.5.1）可改写为

⎭⎬⎫''-'=''+'=θθcos sin 0

b z z a x x

（12.5.3）

浅水立波的波形曲线是椭圆余摆线，其椭圆半长轴b a ''半短轴,和波浪中线超高ζ'都是时间的函数。

（关于椭圆余摆线的注：以浅水推进有限振幅波为例，在自由表面处的波面方程为

sin 22

cos 2L H x cthkd H z θθπθ

⎫

=-

+⎪

⎪⎬⎪=-⎪⎭

设在波浪中线（即x 轴）以上L/2π处作一平行直线，取半径为R= L/2π的转圆沿此线自左向右滚动，在转

圆内取半径a 0=H/2cthkd ，b 0=H/2作两个辅助圆，则当A 点转至A /点时，内外辅助圆上I 、J 两点分别移至I /、J /，从I /作水平线，从J /作铅垂线，相交于M / ，M /点即为以O /为椭圆中心的水质点所在的位置。如此连续描绘的各M /点所构成的波面曲线就是椭圆余摆线。

椭圆余摆线的波峰部分比圆余摆线更为尖突，而波谷部分更为坦长。）

浅水立波的瞬时波高H '为

2sin H H t σ'=

（12.5.4）

上式表明，最大波高恰为浅水推进波波高的二倍。

自由表面上瞬时波浪中线超高0

ζ'为 2

20sin H cthkd t L

πζσ'=

（12.5.5）

当墙前出现最大波峰、波谷时，1sin ±=t σ，波浪中线超高值最大，即2

0max

H cthkd L

πζ'=。

由式（12.5.1）消去时间t ，即得浅水立波水质点的轨迹方程

220000cos 2)()(kx a x x kb tgkx x x a b

z z ----= （12.5.6）

可见浅水立波水质点的运动轨迹是抛物线，抛物线的主轴是通过波节点的铅垂线，即

02

L

x n

=，见图12.5.2所示。 当直墙前出现最大波峰、波谷时，在自由表面00=z 处水质点的位置为

0max

s z H H h ζ'=-=- （12.5.7）

即这时波峰点离静水面为s h H +，波谷点离静水面为s H h -。

当波陡0/≈L H 时，森弗罗浅水立波理论可满足连续方程和运动方程。事实上，自然界中作用在建筑物上的波陡多为

11~1030

。波陡越大，森弗罗浅水立波理论误差越大。