浅水立波-森弗罗理论 大连理工大学水力学必考内容

12.5 浅水立波
在海洋、水库等广阔水面上所发生的波浪，波高常达数米甚至更大，波陡L H /一般约为1/10~1/30。

因此水质点波动的振幅是有限值，这种波浪称有限振幅波。

当波浪向前传播遇到各种类型的建筑物时，将受到这些建筑物的反作用，并发生反射、破碎、绕流等复杂现象而改变原来波浪的运动性质。

当水深大于临界水深，行进的波浪遇到直墙式建筑物时将发生反射现象。

波浪的反射和一般横波的反射原理相同。

反射波以与原始推进波和建筑物的交角相等的反射角从建筑物的直墙面上反射出来。

在建筑物前反射波系与原始推进波系叠加而成的波系称为干涉波。

波浪与较陡的斜墙相遇或波浪越过直墙顶时墙前也要产生局部反射现象。

如果推进波属于二向自由规则波，波浪行进的方向又和建筑物直墙面相垂直，则原始推进波系和反射波系叠加形成完整的立波，见图12.5.1所示。

因此，立波是干涉波的一种特殊典型情况，但又是设计计算时必须加以考虑的重要情况之一。

本节将介绍有限振幅立波的基本运动规律和作用在直墙上的波压力。

图12.5.1 原始推进波和反射波叠加形成立波
两个具有完全相同的波高、波长和波周期的原始有限振幅推进波与其在直墙前产生的反射波互相叠加形成了立波。

叠加后立波的最大振幅为原始推进波的二倍，而波长和波周期则不变。

在直墙面上和离直墙2
L
n （n 为正整数）处，波面反复升降交替出现波峰和波谷，这些点称为波腹；在离直墙4
2L
L n
处，波面几乎没有升降，只是波面的倾斜度发生周期性的
变化，这些点称为波节。

立波的波形不再向前移动，而是在波节之间的波面呈周期性的上下升降运动，所以称为立波或驻波。

立波的水质点运动轨迹不再是封闭曲线而是一段抛物线，抛物线的主轴铅直向下，线形弯曲向上，每个水质点只在抛物线的一段距离上往复摆动。

图12.5.2 浅水立波水质点的运动轨迹，为一抛物线
立波水质点的运动情况如图12.5.2所示。

设墙前波面通过静水面时某水质点位于O 点，当墙前波面上升出现最大波峰时，该水质点上升至最高位置O '点；当墙前波面下降出现最大波谷时，该水质点下降至最低位置O ''点。

图12.5.3表示在一个波动周期内水质点的速度
dt
du
u 加速度
,及波面波动之间的关系。

由图可知，当波面通过静水面，水质点在平衡位置O 点时，其速度最大，加速度为零；当墙前出现最大波峰和波谷，水质点相应在最高或最低位置时，其速度为零而加速度达最大值。

图12.5.3 一个波动周期内水质点的速度dt
du
u 加速度,及波面波动之间的关系
和有限振幅推进波相对应，有限振幅立波也可分为深水立波和浅水立波两种。

由深水推进波形成的立波称为深水立波；由浅水推进波形成的立波称为浅水立波。

本节只介绍《海港水文规范》里所涉及的直墙式建筑物如防波堤前形成的浅水立波，着重介绍其波压强的分布
和波压力的计算。

12.5.1 水质点运动规律
取静水面为x 轴，取原始推进波传播方向为正；z 轴则取通过某一波节点的铅垂线，向下为正，这是与微幅波理论z 向上为正不同之处。

（x 0，z 0）是静止时水质点的位置坐标。

直墙面的横坐标取04
L x nL =+，n 为0,1,2…整数，以满足产生立波的条件。

对有限水深情况，森弗罗（Sainflou ）采用拉格朗日法建立浅水立波水质点的运动方程如下：
⎪⎭
⎪⎬⎫--=+=t kab kx t b z z kx t a x x σσσ2000
0sin 2sin sin 2cos sin 2
（12.5.1）
式中,,a b σ和k 为相应的浅水推进波水质点的轨迹椭圆半长轴、半短轴、角速度和波数：
002()2()2
2/2/T
chk d z H a shkd
shk d z H b shkd
kgthkd
k L
σπσπ-=-=
=== （12.5.2）
其中H 为浅水推进波波高，d 为水深。

若令t kab z z x x t b b t a a kx σσσπ
θ20000
0sin 2,,sin 2,sin 2,2
-='='='='-='，则式（12.5.1）可改写为
⎭⎬⎫''-'=''+'=θθcos sin 0
b z z a x x
（12.5.3）
浅水立波的波形曲线是椭圆余摆线，其椭圆半长轴b a ''半短轴,和波浪中线超高ζ'都是时间的函数。

（关于椭圆余摆线的注：以浅水推进有限振幅波为例，在自由表面处的波面方程为
sin 22
cos 2L H x cthkd H z θθπθ
⎫
=-
+⎪
⎪⎬⎪=-⎪⎭
设在波浪中线（即x 轴）以上L/2π处作一平行直线，取半径为R= L/2π的转圆沿此线自左向右滚动，在转
圆内取半径a 0=H/2cthkd ，b 0=H/2作两个辅助圆，则当A 点转至A /点时，内外辅助圆上I 、J 两点分别移至I /、J /，从I /作水平线，从J /作铅垂线，相交于M / ，M /点即为以O /为椭圆中心的水质点所在的位置。

如此连续描绘的各M /点所构成的波面曲线就是椭圆余摆线。

椭圆余摆线的波峰部分比圆余摆线更为尖突，而波谷部分更为坦长。

）
浅水立波的瞬时波高H '为
2sin H H t σ'=
（12.5.4）
上式表明，最大波高恰为浅水推进波波高的二倍。

自由表面上瞬时波浪中线超高0
ζ'为 2
20sin H cthkd t L
πζσ'=
（12.5.5）
当墙前出现最大波峰、波谷时，1sin ±=t σ，波浪中线超高值最大，即2
0max
H cthkd L
πζ'=。

由式（12.5.1）消去时间t ，即得浅水立波水质点的轨迹方程
220000cos 2)()(kx a x x kb tgkx x x a b
z z ----= （12.5.6）
可见浅水立波水质点的运动轨迹是抛物线，抛物线的主轴是通过波节点的铅垂线，即
02
L
x n
=，见图12.5.2所示。

当直墙前出现最大波峰、波谷时，在自由表面00=z 处水质点的位置为
0max
s z H H h ζ'=-=- （12.5.7）
即这时波峰点离静水面为s h H +，波谷点离静水面为s H h -。

当波陡0/≈L H 时，森弗罗浅水立波理论可满足连续方程和运动方程。

事实上，自然界中作用在建筑物上的波陡多为
11~1030。

波陡越大，森弗罗浅水立波理论误差越大。

12.5.2 波压力
浅水立波中任意水质点在波动时所受的压强为
()t shkd z d shk chkd z d chk kx H z p
σγsin )(sin 0000⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---+= （12.5.8）
在工程设计中需要计算的是作用在直墙面上的最大、最小波压力。

如前所述，森弗罗建立的浅水立波水质点运动关系式是以直墙面的横坐标为04L x nL =+，n 为0,1,2…整数，因此
在该处1sin 0=kx ，浅水立波在直墙面上的水质点在波动时所受的波压强为
()()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---+=shkh z d shk chkd z d chk t H z p
000sin σγ （12.5.9）
当墙前出现最大波峰和波谷时有1sin ±=t σ，在直墙面上的水质点的波压强分别为最大值和最小值
()()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---±=shkd z d shk chkd z d chk H z p
000γ （12.5.10）
这时在直墙的水底处()d z =0的波压强为
d p p
H
d d chkd γ
γ
=±
=+ （12.5.11）
式中
chkd
H
p d
±
=γ
为净波压强或波动压强。

由于森弗罗采用的是拉格朗日法，所以上式所给的是原始坐标为()00,z x 的水质点在波动时所受的波压强，因此，若要求直墙面上的波压力，需先绘制直墙面上的波压强分布图。

图12.5.4浅水立波，直墙面上的波压强分布
当墙前出现最大波峰时，直墙面上的波压强分布如图12.5.4a 所示，总波压强分布曲线为111D B A ，这时总波压强大于静水压强（A 1C 1线），所以净波压强为正值，其分布曲线为
111A B D '。

当墙前出现最大波谷时，直墙面上的总波压强分布如图12.5.4b 所示，总波压强分
布曲线为22nD A ，这时总波压强小于静水压强，净波压强为负值，其分布曲线为''22D AA 。

为了简化计算，可假定总波压强沿水深按直线分布。

当墙前出现最大波峰和波谷时，为图中的直线22111D n A D B A ''及。

于是当墙前出现最大波峰时，直墙面上的总净波压力为
()()22
121
d h H d p d P s d γγ-+++=
（12.5.12）
这时最大净波压强s p 发生在静水面上A 点，即
()()
s
s d s h H d h H p d p ++++=
γ （12.5.13）
当墙前出现最大波谷时，直墙面上的总净波压力为
()()22
121
d h H d p d P s d γγ-+--=
' （12.5.14）
这时最大净波压强's p 发生在波谷点2A ：
()s s h H p --='γ
（12.5.15）
实际工程中，例如直立式防波堤等，直墙式建筑物常设置抛石明基床，如图12.5.5所示。

当基床上的水深1d 大于临界水深c d 时，建筑物前仍可产生立波。

图12.5.5 抛石明基床
图12.5.6为当墙前出现最大波峰时，明基床直墙式建筑物的直墙上总波压强分布图。

从图12.5.6可知，这时直墙面与基床面交接处的净波压强为
()
d
d p p p p d s s b 1
--= （12.5.16）
这时，直墙面上的总净波压力为
()()21112
121
d h H d p d P s b γγ-+++=
（12.5.17）
图12.5.6 抛石明基床上最大波压强分布
在校核直墙的整体稳定性时，需考虑作用在直墙式建筑物直墙底面的波压力。

假设墙底临波浪一侧A 点的净波压强为b p ，墙后一侧B 点的净波压强为零，墙底AB 之间的净波压强按直线分布。

当墙前出现最大波峰时，直墙底面的总净波压力（又称波浪浮托力）为
b u bp P 2
1
=
（12.5.18）
式中b 为直墙宽度。

这时直墙底面的波浪浮托力方向向上。

图12.5.7为当墙前出现最大波谷时直墙面上的波压强分布图。

当墙前出现最大波谷时，直墙面与基床面交接处的净波压强为
()1s
b
s s d s
d H h p p p p d H h -+'''=---+
（12.5.19）
这时，直墙面上的总净波压力为
()()211111
22
b s P d p d H h d γγ''=
--+- （12.5.20）
图12.5.7抛石明基床上最小波压强分布
因为当墙前出现最大波谷时，总波压强小于静水压强。

所以s
p '，P p b ''和都是负值。

这时，直墙底面的总净波压力为
b u
p b p '='2
1
（12.5.21）
其作用方向向下。

12.5.3 临界水深
影响浅水立波发生破碎的因素，比浅水推进波更为复杂。

如果没有突起的基床等边界条件影响，和浅水推进波一样只从波形的稳定条件考虑，则根据椭圆余摆线的极限波高条件可知，当自由表面上的水质点的轨迹椭圆的半长轴等于转圆半径时，波峰处斜率不连续，波浪将发生破碎。

理论上浅水立波的临界水深c d （或称破碎水深b d ）为
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
-H L H L L L H th k d c ππππ22ln 4211 （12.5.22）
影响临界水深的因素很复杂，它的大小除了与波高、波陡有关外，还受水底坡度、糙率、风及水流等影响。

波陡愈大，波形愈容易破碎，临界水深也愈大。

水底坡度较陡，波能集中的作用也较显著，波浪也容易在较深的地方破碎。

水底糙率较大，使底层波浪传播较缓慢，引起波浪变形而在较深的地方破碎。

风向和波浪方向一致时，波浪前坡较后坡陡峻；水流和波浪传播方向相反时，波浪前坡加陡，都将使波浪在水深较大的地方发生破碎。

如图12.5.5所示，具有明基床的直墙式建筑物，基床轮廓和抛石基床的糙率及渗透性对波浪的运动产生一定的影响。

当基床前水深d 较大而直墙前基床上的水深1d 较小时，波浪则可能在基床上破碎。

所以对具有明基床的直墙式建筑物前产生立波的条件，除了基床前水深d 要大于临界水深之外，基床上的水深1d 也还要大于临界水深。

相对水深
H
d
愈大，基床上的临界水深c d 越小，也就是说高基床的直墙式建筑物临界水深c d 较低基床的为小。

一般说来，基床上的临界水深 1.5~2.0c d H H =，对于低基床取2.0H ，对高基床取H 5.1。

对于建筑物前底坡平缓的无基床或暗基床的直墙式建筑物，临界水深H d c 0.2取。

现场观测、实验研究分析以及工程实例验算表明，当相对水深
10.1~0.230
d H L
L =≥，波陡
时，浅水立波按森弗罗简化法计算墙前出现最大波峰时的总净波压力，一般与实际情况还比较接近并稍偏于安全。

所以虽然该理论不能完全正确地反映波压强随时间的变化规律，但由于计算简便，仍为实际工程设计所采用。

当相对水深
110.1~2030
d H L
L <=，波陡
时，对于墙
前出现最大波峰的情况，其计算结果还偏小，在计算时应乘以修正系数K ，见表12.5.1。

表12.5.1 森弗罗浅水立波总净波压力修正系数K 值
当墙前出现最大波谷时，若相对水深1
1
0.1~0.5~
1530
d H L
L
==
，波陡
，森弗罗的简化
法计算结果虽略偏大，但可建议采用。

当相对水深
2.0>L
d
时，采用森弗罗简化法计算墙前出现最大波峰情况，所得的总净波压力和净波压强将显著偏大。

这种情况的波压力计算宜考虑采用其它高阶近似解，或通过模型试验加以确定。

【例题】 设有一直墙式明基床防波堤，断面如图12.5.5所示，基床前水深为d 10米，基床上水深1d 为8米，直墙宽度b 为8米，原始推进波的波高H 为3米，波长L 为50米，波浪传播方向垂直于防波堤的直墙面。

试求作用在防波堤直墙上的波压力。

解：因基床前的相对水深
100.20.550
d L
=
=<，基床上的水深米米6281=>=H d ，原始
推进波的行进方向垂直于直墙面，所以直墙前的波浪为浅水立波。

当墙前出现最大波峰时：自由表面上波浪中线超高为
2
2
3210
50
50
s H h cthkd cth
L
πππ⨯⨯=
=
665.026.150
9==
cth π
米 这时波峰点高出静水面的距离为
30.665 3.665s H h +=+=米
水底处()d z =0的净波压强为
2/5.159
.14
.2926.138.9米千牛==⨯=
=
ch chkd
H
p d γ 按森弗罗简化法的波压强公式计算：静水面处的净波压强为
()()()9.81015.5(30.665)1030.665
d s s s
d p H h p d H h γ++⨯++=
=++++
=30.4千牛/米2
直墙面与基床面交接处的净波压强为
()
()21/4.1810
8
5.154.304.30米千牛=--=--=d d p p p p d s s p 直墙面上的单宽总净波压力为
()()()()2111211
22
11
9.8818.4830.6659.88249.9/22
b s P d p d H h d γγ=
+++-=⨯+++-⨯⨯=千牛米
直墙底的单宽波浪浮托力为
11
818.473.7/22
u b P bp ==⨯⨯=千牛米
当墙前出现最大波谷时：波谷点低于静水面的距离为
30.665 2.335s H h -=-=米
该点的净波压强为
2()22.9/s
s p H h γ'=--=-千牛米 这时水底处0()z d =的净波压强为
2/5.15米千牛-=-
=chkd
H
p d γ
直墙面与基床面交接处的净波压强为 2
1/4.17665.03100.665
3-815.523.423.4)
(米千牛）
（-=+-+-+-=+-+--'-'='s
s
d s s b h H d h H d p p p p 直墙面上的单宽总净波压力为
211211
()()221
(9.8817.4)(830.665)21
9.88141.1/2
t b
s P d p d H h d γγ''=--+-=⨯--+-⨯⨯=-千牛米 直墙底的单宽总净波压力为
米千牛/8.69)4.17(82
1
21-=-⨯⨯='=
'b u p b P
【练习题】有一直墙式明基床防波堤，基床前水深d=8m，基床上水深m
d7
，直墙
1
宽度b=6m，原始推进波波高H=2.5m，波长L=40m，波浪传播方向垂直于防波堤的直墙面。

试分别计算墙前出现最大波峰和波谷时直墙面上的单宽总净波压力和直墙底的波浪浮托力。