中考数学圆与相似-经典压轴题

（2）当点 E 在线段 AC 上运动时，点 F 也随着运动，若四边形 ABFC 的面积为 ，求 AE 的长； （3）如图 2，当点 E 在 AC 的延长线上运动时，CF、BE 相交于点 D，请你探求△ ECD 的面 积 S1 与△ DBF 的面积 S2 之间的数量关系，并说明理由；
（4）如图 2，当△ ECD 的面积 S1＝ 时，求 AE 的长． 【答案】（1）解：现点 E 沿边 AC 从点 A 向点 C 运动过程中，始终有△ ABE≅△ CBF. 由图 1 知，△ ABC 与△ EBF 都是等边三角形，∴ AB=CB，BE=BF，∠ ABC=∠ EBF=60°， ∴ ∠ CBF=∠ ABE=60°-∠ CBE，∴ △ ABE≅△ CBF. （2）解：由（1）知点 E 在运动过程中始终有△ ABE≅△ CBF， 因四边形 BECF 的面积等于三角形 BCF 的面积与三角形 BCE 的面积之和， ∴ 四 边 形 BECF 的 面 积 等 于 △ ABC 的 面 积 ， 因 △ ABC 的 边 长 为 2 ， 则
∴ 在 Rt△ ABC 中，BC=
（2）在 Rt△ ABC 中，AB= 如图 2，当点 D 在线段 BC 上时，此时只有 GF=GD
又∠ CBF=∠ ABE=60°+∠ CBE，∴ △ ABE≅△ CBF，
∴
，∴
，
则
，则
（4）解：由（3）知
，即
，
由
得
，∵ △ ABE≅△ CBF，
∴ AE=CF，∠ BAE=∠ BCF=60°，
又∠ BAE=∠ ABC=60°，得∠ ABC=∠ BCF，∴ CF∥ AB，则△ BDF 的边 CF 上的高与△ ABC 的高
四边形 ACDB 是菱形， 又∵ ∠ ACD 与△ FCE 中的∠ FCE 重合，它的对角∠ ABD 顶点在 EF 上， ∴ 四边形 ACDB 为△ FEC 的亲密菱形. （2）解：设菱形 ACDB 的边长为 x，∵ CF=6,CE=12, ∴ FA=6-x， 又∵ AB∥ CE, ∴ △ FAB∽ △ FCE,
，
，
代入
，
解得：
，
，
，
抛物线的解析式为
（2）解：设点 P 的坐标为(t,- t×2+ t+2)， ∵ A(-1,0)，B(3,0)， ∴ AB=4，
∴ S=
得：
（3）解：当
∽
时，
，即
，
整理得：
，
解得：
或
舍去 ，，Βιβλιοθήκη ，点 P 的坐标为
；
当
∽
，则
，即
，
整理得
，
解得：
或
舍去 ，
，
，
点 P 的坐标为
，
综上所述点 P 的坐标为
根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形 ACDB 是菱形；再根据题中的新定义即可得证.
（2）设菱形 ACDB 的边长为 x，根据已知可得 CF=6,CE=12,FA=6-x，根据相似三角形的判定
和性质可得
，解得：x=4,过点 A 作 AH⊥CD 于点 H,在 Rt△ ACH 中，根据锐角三
角形函数正弦的定义即可求得 AH ,再由四边形的面积公式即可得答案.
圆心，以任意长为半径作 AD，再分别以点 A 和点 D 为圆心，大于 AD 长为半径做弧，交
于点 B,AB∥ CD. （1）求证：四边形 ACDB 为△ CFE 的亲密菱形； （2）求四边形 ACDB 的面积. 【答案】（1）证明：由已知得：AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得：BC 是∠ FCE 的角 平分线, ∴ ∠ ACB=∠ DCB， 又∵ AB∥ CD, ∴ ∠ ABC=∠ DCB， ∴ ∠ ACB=∠ ABC， ∴ AC=AB， 又∵ AC=CD,AB=DB, ∴ AC=CD=DB=BA，
中考数学圆与相似-经典压轴题 一、相似
1．在等腰直角三角形 ABC 中,∠ ACB＝90°,AC＝BC,D 是 AB 边上的中点，Rt△ EFG 的直角顶 点 E 在 AB 边上移动.
（1）如图 1，若点 D 与点 E 重合且 EG⊥AC、DF⊥BC，分别交 AC、BC 于点 M、N， 易证 EM＝EN；如图 2，若点 D 与点 E 重合，将△ EFG 绕点 D 旋转，则线段 EM 与 EN 的长 度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由； （2）将图 1 中的 Rt△ EGF 绕点 D 顺时针旋转角度 α(0∘＜α＜45∘). 如图 2，在旋转过程中,当 ∠ MDC＝15∘时，连接 MN，若 AC＝BC＝2，请求出线段 MN 的长；
示出点 P 的坐标，利用三角形的面积公式，就可得出 s 与 t 的函数解析式。
（3）分两种情况讨论：当 △ ODP ∽ △ COB 时；当 △ ODP ∽ △ BOC ，分别利用相似三角
形的性质，分别得出对应边成比例，建立关于 t 的方程，求出 t 的值，就可得出点 P 的坐
标。
4．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上， 这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△ CFE 中，CF=6,CE=12,∠ FCE=45°,以点 C 为
m·AE 时，EN＝(m－1)·ME
2．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，△ ABC 是边长为 2 的等边三角形，E 是 AC 上一点，小亮以 BE 为边向 BE 的右侧作等边三角形 BEF，连接 CF．
（1）如图 1，当点 E 在线段 AC 上时，EF、BC 相交于点 D，小亮发现有两个三角形全等， 请你找出来，并证明；
据“SAS”判定三角形全等；（2）由（1）可得△ ABE≅△ CBF，则
，则四边形
ABFC=
=
，由四边形 ABFC 的
面积为 和等边三角形 ABC 的边长为 2，可求得△ ABE 的面积，由底 AB×AEsin60°，构造
方 程 可 解 出 AE. （ 3 ） 当 E 在 AC 的 延 长 线 上 时 ， △ ABE≅△ CBF 依 然 成 立 ， 则
5．在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=12．点 D 在直线 CB 上，以 CA ， CD 为边作矩形 ACDE ， 直线 AB 与直线 CE ， DE 的交点分别为 F ， G ．
（1）如图，点 D 在线段 CB 上，四边形 ACDE 是正方形． ①若点 G 为 DE 中点，求 FG 的长． ②若 DG=GF ， 求 BC 的长． （2）已知 BC=9，是否存在点 D ， 使得△ DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰 长；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）①在正方形 ACDE 中，有 DG=GE=6
∴
,
即
，
解得：x=4，
过点 A 作 AH⊥CD 于点 H,
在 Rt△ ACH 中，∠ ACH=45°,
∴ sin∠ ACH= ,
∴ AH=4× =2 ,
∴ 四边形 ACDB 的面积为：
.
【解析】【分析】（1）依题可得：AC=CD,AB=DB,BC 是∠ FCE 的角平分线,根据角平分线的
定义和平行线的性质得∠ ACB=∠ ABC，根据等角对等边得 AC=AB，从而得 AC=CD=DB=BA，
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠ CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1，根据角的和差得出
∠ MDP＝30°，根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由 cos∠ MDP＝ 得出 DM 的 长，又 DM＝DN，故△ MND 为等腰直角三角形 ，根据等腰直角三角形的性质即可得出 MN 的长； (3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME，如图 3，过点 E 作 EP⊥AB 交 AC 于点 P，则△ AEP 为等腰直角 三 角 形 ， ∠ PEB ＝ 90°， 根 据 同 角 的 余 角 相 等 得 出 ∠ MEP ＝ ∠ NEB 然 后 判 断 出 △ PME∽ △ BNE，根据相似三角形对应边成比例即可得出 u 结论，由此规律可知，当 AB＝
，
∴ 四边形 BECF 的面积为 ，又四边形 ABFC 的面积是 ，
∴
，在三角形 ABE 中，因∠ A=60°，∴ 边 AB 上的高为 AEsin60°,
∴
，则 AE= .
（3）解：
.
由图 2 知，△ ABC 与△ EBF 都是等边三角形，∴ AB=CB，BE=BF，∠ ABC=∠ EBF=60°，
（2）解：作 DP⊥AC 于 P,则
∠ CDP＝45°CP＝DP＝AP＝1 ∵ ∠ CDG＝15°∴ ∠ MDP＝30°
∵ cos∠ MDP＝
∴ DM＝
， DM＝DN，
∵ △ MND 为等腰直角三角形
∴ MN＝
（3）NE＝2ME；EN＝(m－1)ME 【解析】【解答】解：(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME 证明：如图 3，过点 E 作 EP⊥AB 交 AC 于点 P
（3）图 3, 旋转后,若 Rt△ EGF 的顶点 E 在线段 AB 上移动(不与点 D、B 重合)，当 AB＝3AE 时，线段 EM 与 EN 的数量关系是________；当 AB＝m·AE 时，线段 EM 与 EN 的数量关系 是________.
【答案】（1）解：EM＝EN;原因如下： ∵ ∠ ACB＝90° AC＝BC D 是 AB 边上的中点 ∴ DC＝DB ∠ ACD＝∠ B＝45° ∠ CDB＝90° ∴ ∠ CDF＋∠ FDB＝90° ∵ ∠ GDF＝90°∴ ∠ GDC＋∠ CDF＝90°∴ ∠ CDM＝∠ BDN 在△ CDM 和△ BDN 中 ∠ MCD＝∠ B，DC＝DB，∠ CDM＝∠ BDN， ∴ △ CDM≌ △ BDN ∴ DM＝DN 即 EM＝EN
，即
由等量关系即可得答案.
（ 4 ） 由 （ 3 ） 可 求 出 △ FBD 的 面 积 ， 由 △ ABE≅△ CBF ， 则 AE=CF ，
∠ BAE=∠ BCF=60°=∠ ABC，则 CF//AB,则对于△ BDF 的边 CF 上的高等于△ ABC 的高，则可求
出 DF 的长度；由 AE=CF，可设 CE=x，且 CD//AB 可得
由此规律可知，当 AB＝m·AE 时，EN＝(m－1)·ME
【分析】（1）EM＝EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出 DC＝DB ∠ ACD＝∠ B＝
45° ∠ CDB ＝ 90°根 据 同 角 的 余 角 相 等 得 出 ∠ CDM ＝ ∠ BDN ， 然 后 由 ASA 判 断 出
△ CDM≌ △ BDN 根据全等三角形的对应边相等得出 DM＝DN 即 EM＝EN；
相等，即为 ，
则 DF= ，设 CE=x，则 2+x=CD+DF=CD+ ，∴ CD=x- ，
在△ ABE 中，由 CD∥ AB 得，
，即
，
化简得 即 CE=1，∴ AE=3.
，∴ x=1 或 x=− （舍），
【解析】【分析】（1）不难发现△ ABE≅△ CBF，由等边三角形的性质得到相应的条件，根
，代入相关值解出 x 即可.
3．如图，抛物线 ，作直线 BC．
与坐标轴交点分别为
，
，
（1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上第一象限内一动点，过点 P 作
轴于点 D，设点 P 的横坐标为
，求 （3）条件同 ，若 【答案】（1）解：把
的面积 S 与 t 的函数关系式；
与
相似，求点 P 的坐标．
则△ AEP 为等腰直角三角形，∠ PEB＝90° ∴ AE＝PE ∵ AB＝3AE ∴ BE＝2AE ∴ BE＝2PE 又∵ ∠ MEP＋∠ PEN＝90° ∠ PEN＋∠ NEB＝90° ∴ ∠ MEP＝∠ NEB 又∵ ∠ MPE＝∠ B＝45° ∴ △ PME∽ △ BNE
∴
，即 EN＝2EM
在 Rt△ AEG 中，AG= ∵ EG∥ AC ∴ △ ACF∽ △ GEF
∴
，
∴
∴ ②如图 1，在正方形 ACDE 中，AE=ED
∠ AEF=∠ DEF=45°， 又 EF=EF，∴ △ AEF≌ △ DEF ∴ ∠ 1=∠ 2（设为 x） ∵ AE∥ BC ∴ ∠ b=∠ 1=x ∵ GF=GD ∴ ∠ 3=∠ 2=x 在△ dbf 中，∠ 3+∠ FDb+∠ b=180° ∴ x+（x+90°）+x=180°，解得 x=30° ∴ ∠ B=30°
或
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将点 A、B、C 三点坐标分别代入函数解析式，
建立方程组，就可求出 a、b、c 的值，即可解答；或设函数解析式为交点式，即 y=a
（x+1）(x-3），再将点 C 的坐标代入可解答。
（2）点 P 为抛物线上第一象限内一动点，因此利用二次函数解析式，由 P 的横坐标为 t 表